ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 3469
Скачиваний: 14
82
Глава 3. Линейная алгебра
Совместная система называется
определенной
, если она имеет единственное
решение и
неопределенной
, если она имеет, по крайней мере, два решения.
Пример 1.
Система уравнений
x
1
+
x
2
= 1
,
x
1
−
x
2
= 3
определенна
((2
,
−
1)
∈
R
2
– единственное решение этой системы). С другой
стороны, система
2
x
1
−
x
2
= 1
,
4
x
1
−
2
x
2
= 2
имеет бесконечно много решений вида
(
α,
2
α
−
1)
∈
R
2
, α
∈
R
.
Определение 3.
Две системы уравнений называются
равносильными
или эквивалентными
, если они имеют одно и то же множество решений.
Отметим, что следующие два элементарных преобразования:
1) исключение из системы уравнений вида
0
·
x
1
+ 0
·
x
2
+
· · ·
+ 0
·
x
n
= 0
,
(3)
2) прибавление к обеим частям одного из уравнений системы соответ-
ствующих
частей
другого
уравнения,
умноженных
на
любое
число,
приводят к новой эквивалентной системе уравнений. Именно эти два ти-
па преобразований лежат в основе метода Гаусса решения систем линейных
уравнений, к изложению которого мы приступаем.
Метод Гаусса заключается в последовательном исключении неизвест-
ных, и поэтому его также называют
методом последовательного исключения
неизвестных
.
Если среди уравнений системы (1) есть хоть одно уравнение вида
0
·
x
1
+ 0
·
x
2
+
· · ·
+ 0
·
x
n
=
b
6
= 0
,
(4)
то такая система уравнений несовместна.
Пусть теперь система уравнений (1) не содержит уравнений вида (3);
иначе мы его отбросим и перейдем к другой эквивалентной системе.
Положим для определенности
a
11
6
= 0
(в противном случае следует на-
чинать с какого-нибудь другого ненулевого коэффициента из первого уравне-
ния системы (1)). Оставив первое уравнение без изменения, исключим из всех
уравнений системы (1), начиная со второго, неизвестное
x
1
. Для этого обе ча-
сти первого уравнения умножим на число
a
21
a
11
и вычтем из соответствующих
частей второго уравнения, затем обе части первого уравнения, умноженные
§
13
.
Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
83
на число
a
31
a
11
, вычтем из соответствующих частей третьего уравнения и так
до последнего уравнения. В результате таких преобразований получим экви-
валентную систему уравнений
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
. . .
+
a
in
x
n
=
b
1
,
a
0
22
x
2
+
. . .
+
a
0
2
n
x
n
=
b
0
2
,
. . .
. . .
. . .
. . . . . .
a
0
s
2
x
2
+
. . .
+
a
0
sn
x
n
=
b
0
s
.
(1
0
)
В полученной системе уравнений
(1
0
)
число уравнений
s
могло оказаться
меньше, чем
m
; это связано с тем, что среди них могли оказаться уравнения
вида (3), которые мы договорились отбрасывать. Если же среди уравнений
системы
(1
0
)
оказались уравнения вида (4), то нами была бы установлена
несовместность системы (1).
Таким образом, среди коэффициентов второго уравнения есть отличные
от нуля. Для определенности, пусть
a
0
22
6
= 0
.
Систему уравнений
(1
0
)
преоб-
разуем, исключая из последних
s
−
2
уравнений неизвестную
x
2
: вычитая из
третьего уравнения второе, предварительно умноженное на
a
0
32
/ a
0
22
,
из чет-
вертого уравнения - второе, умноженное на
a
0
34
/ a
0
22
и т.д. В итоге получим
систему уравнений, эквивалентную системе
(1
0
)
(и, следовательно, системе
(1)), которая имеет вид
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
a
13
x
3
+
. . .
+
a
in
x
n
=
b
1
,
a
00
22
x
2
+
a
00
23
x
3
+
. . .
+
a
00
2
n
x
n
=
b
00
2
,
a
00
33
x
3
+
. . .
+
a
00
3
n
x
n
=
b
00
3
,
. . .
. . .
. . .
. . . . . .
a
00
l
3
x
3
+
. . .
+
a
00
ln
x
n
=
b
00
l
, l
≤
s
≤
m.
Продолжая такие преобразования далее, систему (1) преобразуем к следую-
щей эквивалентной системе уравнений
c
11
x
1
+
c
12
x
2
+
c
13
x
3
+
. . .
+
c
1
k
x
k
+
. . .
+
c
1
n
x
n
=
d
1
,
c
22
x
2
+
c
23
x
3
+
. . .
+
c
2
k
x
k
+
. . .
+
c
2
n
x
n
=
d
2
,
c
33
x
3
+
. . .
+
c
3
k
x
k
+
. . .
+
c
3
n
x
n
=
d
2
,
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . . . . .
c
kk
x
k
+
. . .
+
c
kn
x
n
=
d
k
,
(1
00
)
где
k
≤
m
и коэффициенты
c
11
, c
22
, . . . , c
kk
отличны от нуля. Заметим, что
если в процессе проводимых преобразований системы (1) получим одно из
уравнений вида (4), то система (1) несовместна.
При решении системы (1) возможны два случая
84
Глава 3. Линейная алгебра
Случай
k
=
n
.
Последнее уравнение системы (1) имеет вид
c
nn
x
n
=
d
nn
и поэтому
x
n
=
d
n
/c
nn
. Подставив это значение в предпоследнее уравнение
системы
(1
00
)
,
получим равенство
c
n
−
1
,n
−
1
x
n
−
1
+
c
n
−
2
,n
x
n
=
d
n
−
1
,
откуда на-
ходим значение
x
n
−
1
. Продолжая такой процесс, найдем
x
n
−
2
, . . . ,
x
1
.
Таким образом, система (1) в этом случае имеет единственное решение.
Случай
k < n.
Из последнего уравнения системы
(1
00
)
получаем, что
x
k
= 1
/c
kk
(
d
k
−
c
k k
+1
x
k
+1
− · · · −
c
kn
x
n
)
.
Подставив это выражение для
x
k
в предпоследнее уравнение, найдем выра-
жение для
x
k
−
1
и т.д. В конце концов система (1) будет иметь вид
x
1
=
α
1
k
+1
x
k
+1
+
· · ·
+
α
1
n
x
n
+
β
2
,
x
2
=
α
2
k
+1
x
k
+1
+
· · ·
+
α
2
n
x
n
+
β
2
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x
k
=
α
n k
+1
x
k
+1
+
· · ·
+
α
kn
x
n
+
β
k
.
Неизвестные
x
k
+1
, . . . , x
n
называются
свободными
. Им можно придать произ-
вольные значения и затем из последней системы найти значения неизвестных
x
1
, x
2
, . . . , x
k
. Итак, при
k < n
система (1) имеет бесконечное множество ре-
шений.
Суммируя все изложенное, получаем, что метод Гаусса применим к лю-
бой системе линейных уравнений и имеет место
Т е о р е м а 1.
1) Система (1) несовместна, если в процессе преобра-
зований получим уравнение вида (4), и совместна, если такие уравнения не
встречаются.
2) Совместная система (1) будет иметь единственное решение (будет
определенной), если она преобразуется к системе вида
(1
00
)
, где
k
=
n.
3) Совместная система (1) будет иметь бесконечно много решений (неоп-
ределенной), если она преобразуется к системе
(1
00
)
, где
k < n.
Сделанные выводы применимы к
однородной системе
линейных урав-
нений, т.е. уравнений вида (1), где числа
b
i
, . . . , b
m
,
называемые
свободными
членами
, нулевые. Однородная система всегда совместна, так как она обла-
дает нулевым решением
(0
,
0
, . . . ,
0)
.
Т е о р е м а 2.
Однородная система уравнений, в которой число
уравнений меньше числа неизвестных, имеет бесконечное число решений.
§
14
.
Линейные пространства. Базисы
85
Упражнения к § 13
1. Решите системы уравнений
a
)
x
1
−
3
x
2
+ 2
x
2
= 1
,
b
)
x
1
+
x
2
+
x
3
= 6
,
2
x
1
+
x
2
−
4
x
3
= 5
,
2
x
1
+
x
2
−
x
3
= 1
,
5
x
1
−
8
x
2
+ 2
x
3
= 8
.
3
x
1
+ 5
x
2
−
3
x
3
= 4
.
§
14. Линейные пространства. Базисы
В следующем определении вводится в рассмотрение класс алгебраиче-
ских структур, который играет основополагающую роль в линейной алгебре.
Определение 1.
Множество
X
называется
линейным
(или
векторным
)
пространством
над полем
K
, если: 1)
X
– абелева группа (с аддитивной
формой записи операции),
2) задан внешний закон композиции
f
:
K
×
X
→
X
(
αx
– обозначение для
f
(
α, x
)
), причем выполнены следующие
условия
a
) 1
x
=
x,
b
) (
λ
+
µ
)
x
=
λ x
+
µ x,
c
)
λ
(
x
+
y
) =
λ x
+
λ y,
d
) (
λ µ
)
x
=
λ
(
µ x
)
,
для любых чисел
λ, µ
из
K
и любых элементов
x, y
∈
X.
Элементы
линейного
пространства
обычно
называют
векторами
.
Наиболее важны - и только они будут рассматриваться - линейные про-
странства над полями
R
и
C
. Они, соответственно, будут называться
веще-
ственными и комплексными линейными пространствами.
Слово "линей-
ный"часто будет опускаться.
В геометрии примером линейного пространства является пространство
(свободных) векторов плоскости или пространства.
Рассмотрим еще несколько примеров линейных пространств.
Пример 1.
Пусть
K
– некоторое поле. Множество
K
n
упорядоченных
наборов из
n
чисел поля
K
образует линейное пространство над полем
K
,
если положить
x
+
y
= (
x
1
+
y
1
, x
2
+
y
2
, . . . , x
n
+
y
n
)
, αx
= (
αx
1
, αx
2
, . . . , αx
n
)
для любых
x
= (
x
1
, x
2
, . . . , x
n
)
, y
= (
y
1
, . . . , y
n
)
∈
K
n
и любого числа
α
∈
K
. Нулевым элементом в
K
n
служит набор
0 = (0
,
0
, . . . ,
0)
.
Эле-
ментом, противоположным к элементу
x
= (
x
1
, . . . , x
n
)
,
служит элемент
−
x
= (
−
x
1
, . . . ,
−
x
n
)
.
Проверка аксиом линейного пространства проста (сде-
лайте это !).
86
Глава 3. Линейная алгебра
В частности, само поле
K
=
K
1
является линейным пространством.
Если
K
=
R
,
то
R
n
– вещественное линейное пространство, и, если
K
=
C
,
то
C
n
– комплексное линейное пространство. Отметим еще линейное
пространство
{
0
,
1
}
n
, играющее важную роль в теории кодирования
(
{
0
,
1
}
n
состоит из наборов
n
чисел, равных нулю или единице).
Пример 2.
Пусть
P
n
=
P
n
(
K
)
– множество многочленов над полем
K
степени не выше
n
≥
0
.
В
§
9
были определены операции сложения и умно-
жения многочленов на комплексные числа. Нулевым элементом линейного
пространства
P
n
служит нулевой многочлен. Таким образом,
P
n
– линейное
пространство над полем
K
.
Пример 3.
Каждая алгебра является линейным пространством. В част-
ности, линейным пространством является алгебра многочленов, рассматри-
ваемая в
§
9
.
Пример 4.
Множество
C
[
a, b
]
непрерывных вещественнозначных
(или комплекснозначных) функций, определенных на отрезке
[
a, b
]
,
образует
вещественное (соответственно, комплексное) пространство. Алгебраические
операции определяются следующим образом:
(
x
+
y
)(
t
) =
x
(
t
) +
y
(
t
)
,
(
α x
)(
t
) =
α x
(
t
)
для любого числа
α
∈
R
(
α
∈
C
)
и любых функций
x, y
из
C
[
a, b
]
.
Операция сложения функций определена корректно, так как сумма двух
непрерывных функций непрерывна. Нулевым элементом пространства
C
[
a, b
]
служит тождественно равная нулю функция.
Пример 5.
Множество
C
w
непрерывных и периодических, периода
w >
0
, функций является линейным пространством с алгебраическими опера-
циями сложения и умножения на числа из поля
K
(
K
=
R
или
K
=
C
в за-
висимости от того, являются функции из
C
w
вещественнозначными или ком-
плексными), определяемыми как и в примере 4. Следует только отметить, что
x
+
y, α x
∈
C
w
,
если
x, y
∈
C
w
и
α
∈
K
. Действительно,
(
x
+
y
)(
t
+
w
) =
x
(
t
+
w
) +
y
(
t
+
w
) =
x
(
t
) +
y
(
t
) = (
x
+
y
)(
t
)
∀
t
∈
R
,
(
α x
)(
t
+
w
) =
α x
(
t
) = (
α x
)(
t
)
.
Пример 6.
Матрицы вида
a
11
a
12
. . .
a
1
n
a
11
a
22
. . .
a
2
n
...
...
...
...
a
m
1
a
m
2
. . . a
mn
,
обозначаемые также символом
(
a
ij
)
,
где
a
11
, a
12
, . . . , a
mn
принадлежат полю
K
, образуют линейное пространство
M atr
m,n
(
K
)
(символом
M atr
n
(
K
)
, если