ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 3474
Скачиваний: 14
§
14
.
Линейные пространства. Базисы
87
m
=
n
) над полем
K
.
Суммой
двух матриц
(
a
ij
)
,
(
b
ij
)
∈
M atr
m,n
(
K
)
назы-
вается матрица
(
a
ij
+
b
ij
)
,
а
произведением числа
α
∈
K
на матрицу
(
a
ij
)
называется матрица
(
αa
ij
)
.
Нулевым вектором этого пространства является
матрица, состоящая только из нулевых чисел; она называется
нулевой
.
Непосредственно из определения линейных пространств
M atr
m,n
(
K
)
и
K
n
следует, что
M atr
1
,n
(
K
) =
K
n
. Можно также считать, что
M atr
n,
1
(
K
)
совпадает с
K
n
.
Замечание 1.
Каждое комплексное линейное пространство можно рас-
сматривать как вещественное линейное пространство.
В следующих определениях вводится ряд понятий, играющих важную
роль при изучении линейных пространств.
Определение 2.
Пусть
X
– линейное пространство над полем
K
. Век-
торы
e
1
, e
2
, . . . , e
n
из
X
называются
линейно зависимыми
, если существуют
числа
α
1
, α
2
, . . . , α
n
из
K
, не равные нулю одновременно, такие, что имеет
место равенство
α
1
e
1
+
α
2
e
2
+
· · ·
+
α
n
e
n
= 0
.
(1)
Векторы
e
1
, e
2
, . . . , e
n
,
не являющиеся линейно зависимыми, называются
ли-
нейно независимыми
, т.е. если равенство (1) возможно лишь в случае
α
1
=
α
2
=
. . . ,
=
α
n
= 0
.
Например, функции
f
1
(
x
) = sin
x
и
f
2
(
x
) = 2 sin
x,
принадлежащие
пространству
C
2
π
,
линейно зависимы, так как
2
f
1
+ (
−
1)
f
2
= 0
∈
C
2
π
.
В линейном пространстве свободных векторов (физического прост-
ранства) любые три некомпланарных вектора линейно независимы. Линейно
независимыми будут функции
ϕ
1
(
t
) = sin
t, ϕ
2
(
t
) = cos
t
из
C
2
π
,
так как из
равенства
α
sin
t
+
β
cos
t
= 0
∀
t
∈
R
следует, что
α
=
β
= 0
(например, при
t
= 0
получаем, что
β
= 0)
.
Определение 3.
Вектор
x
из линейного пространства
X
называется
линейной комбинацией
векторов
x
1
, x
2
, . . . , x
n
из
X
, если он представим в
виде
x
=
α
1
x
1
+
α
2
x
2
+
· · ·
+
α
n
x
n
,
где
α
1
, . . . , α
n
∈
K.
Пример 7.
Пусть
X
- линейное пространство над полем
K
и
x
1
, x
2
, . . . , x
n
- некоторые векторы из
X
. Совокупность векторов вида
n
X
i
=1
α
i
x
i
, α
i
∈
K
88
Глава 3. Линейная алгебра
называется
линейной оболочкой
векторов
x
1
, . . . , x
n
,
образует линейное про-
странство и обозначается символом
L
(
x
1
, x
2
, . . . , x
n
)
.
Т е о р е м а 1.
Векторы
x
1
, . . . , x
k
из линейного пространства
X
линейно зависимы в том и только в том случае, если один из них является
линейной комбинацией остальных.
Доказательство.
Если один из векторов, скажем
x
1
,
является линей-
ной комбинацией остальных, то имеет место равенство
x
1
−
α
2
x
2
−
α
3
x
3
−
· · · −
α
k
x
k
= 0
,
где
α
2
, . . . , α
k
∈
K.
Это означает линейную зависимость
рассматриваемых векторов.
Пусть теперь векторы
x
1
, . . . , x
k
линейно зависимы. Тогда сущест-
вуют не равные нулю одновременно числа
λ
1
, . . . , λ
k
∈
K
(пусть для опре-
деленности
λ
1
6
= 0
) такие, что
λ
1
x
1
+
· · ·
+
λ
k
x
k
= 0
.
Из этого равен-
ства следует (если умножить обе части этого равенства на число
1
λ
1
), что
x
1
=
−
λ
2
λ
1
x
2
+
−
λ
3
λ
1
x
3
+
· · ·
+
−
λ
n
λ
1
x
k
,
т.е. один из векторов является
линейной комбинацией остальных. Теорема доказана.
Два вектора
x, y
из линейного пространства
X
называются
коллине-
арными
, если они линейно зависимы, т.е. если
x
=
αy, α
∈
K
либо если
y
=
βx, β
∈
K.
Определение 4.
Линейное пространство
X
называется
конечномер-
ным
, если существуют линейно независимые векторы
e
1
, . . . , e
n
∈
X
такие,
что любой вектор из
X
является их линейной комбинацией. Такой упоря-
доченный набор векторов
e
1
, . . . , e
n
называется
базисом пространства
X
,
число
n
–
размерностью пространства
(и обозначается символом
dim
X
).
Числа
α
1
, . . . , α
n
,
определяемые из разложения
x
=
α
1
e
1
+
· · ·
+
α
n
e
n
,
называются
координатами вектора
x
(относительно базиса
e
1
, . . . , e
n
).
Отметим, что размерность нулевого пространства (т.е. линейного про-
странства, состоящего только из нулевого элемента) считается равной нулю.
В следующей теореме обосновывается корректность определения размерно-
сти линейного пространства.
Т е о р е м а 2.
Если
e
1
, . . . , e
n
,
– базис в линейном пространстве
X
и
e
0
1
, . . . , e
0
m
– линейно независимые векторы в
X
, то
m
≤
n.
Доказательство.
Допустим, что
n < m.
Тогда векторы
e
0
1
, . . . , e
0
m
мож-
но представить в виде
e
0
k
=
n
X
i
=1
a
ik
e
i
, k
= 1
, . . . , m.
Следовательно, для любых чисел
x
1
, . . . , x
m
из поля
K
имеют место равен-
§
14
.
Линейные пространства. Базисы
89
ства
m
X
k
=1
x
k
e
0
k
=
m
X
k
=1
x
k
n
X
i
=1
a
ik
e
i
!
=
n
X
i
=1
m
X
k
=1
a
ik
x
k
!
e
i
.
Из линейной независимости векторов
e
1
, . . . , e
n
следует, что условие
m
P
k
=1
x
k
e
0
k
= 0
эквивалентно выполнению следующих равенств:
m
X
k
=1
a
ik
x
k
= 0
, i
= 1
, . . . , n.
(3)
Из теоремы 2 (§ 13) получаем, что однородная система уравнений (3) имеет
ненулевое решение, ибо число уравнений
n
меньше числа
m
неизвестных.
Однако это противоречит линейной независимости векторов
e
0
1
, . . . , e
0
m
.
Тео-
рема доказана.
Непосредственно из доказательства теоремы 2 получаем
Следствие 1.
Пусть
e
1
, . . . , e
n
и
e
0
1
, . . . , e
0
m
– два базиса в линейном
пространстве
X
. Тогда
m
=
n
.
Следствие 2.
Если
e
1
, . . . , e
n
– базис в линейном пространстве
X
, то
любые
n
линейно независимых векторов
e
0
1
, . . . , e
0
n
также образуют базис в
X
.
Следствие 3.
Пусть
e
1
, . . . , e
n
– базис в линейном пространстве
X
и
векторы
e
0
1
, . . . , e
0
m
– допускают представления вида
e
0
k
=
n
X
i
=1
a
ik
e
i
, k
= 1
, . . . , m.
Тогда векторы
e
0
1
, . . . , e
0
m
линейно независимы тогда и только тогда, когда
система уравнений вида
m
X
k
=1
a
ik
x
k
= 0
, i
= 1
, . . . , n
имеет только нулевое решение.
Определение 5.
Линейное пространство
X
называется
бесконечномер-
ным
, если для любого натурального числа
n
в
X
существует
n
линейно
независимых векторов.
Рассмотрим несколько примеров линейных пространств и базисов в них,
выясним их размерность.
90
Глава 3. Линейная алгебра
Пример 1.
Векторы вида
e
1
=
(1
,
0
, . . . ,
0)
,
e
2
=
(0
,
1
, . . . ,
0)
,
· · ·
e
n
=
(0
,
0
, . . . ,
1)
,
образуют базис в линейном пространстве
K
n
. Таким образом,
K
n
(
K
– поле)
является конечномерным пространством и
dim
K
n
=
n.
Пример 2.
Многочлены
f
0
(
z
) = 1
, f
1
(
z
) =
z, . . . , f
n
(
z
) =
z
n
, z
∈
K
образуют базис в линейном пространстве
P
n
(
K
)
,
где
K
=
R
или
K
=
C
.
Линейная независимость следует из основной теоремы высшей алгебры. По-
этому
P
n
(
K
)
– конечномерное пространство и
dim
P
n
(
K
) =
n
+ 1
.
Пример 3.
Пространства
P
(
R
)
и
P
(
C
)
бесконечномерны, так как этим
пространствам принадлежат многочлены
f
k
,
0
≤
k
≤
n
−
1
из примера 2 для
любого натурального числа
n
.
Пример 4.
Линейное пространство
C
[
a, b
]
бесконечномерно, так как
функции
f
0
(
t
) = 1
, f
1
(
t
) =
t, . . . , f
n
(
t
) =
t
n
принадлежат
C
[
a, b
]
и линейно
независимы при любом
n
∈
N
.
Пример 5.
В линейном пространстве
M atr
m,n
(
K
)
базисом являются
матрицы
E
ij
,
1
≤
i
≤
m,
1
≤
j
≤
n,
где
E
ij
– матрица, на пересечении
i
–
ой строки и
j
– го столбца которой стоит единица, а остальные ее элементы
нулевые. Действительно, каждая матрица
A
= (
a
ij
)
∈
M atr
m,n
(
K
)
может
быть представлена в виде
A
=
P
1
≤
i
≤
m
1
≤
j
≤
n
a
ij
E
ij
.
Итак,
dim
M atr
m,n
(
K
) =
mn.
Замечание 2.
Каждое линейное пространство
K
n
можно рассматри-
вать как линейное пространство функций
f
:
I
n
=
{
1
, . . . , n
} →
K
с опера-
цией сложения функций и умножения их на числа из
K
((
f
+
g
)(
k
) =
f
(
k
) +
g
(
k
)
,
(
αf
)(
k
) =
αf
(
k
)
, k
∈
I
n
, α
∈
K
)
.
Аналогично, каждую матрицу
A
= (
a
ij
)
∈
M atr
n,m
(
K
)
можно рассматривать как функцию:
A
:
I
m
×
I
n
→
K,
(
i, j
)
7→
a
ij
.
Упражнения к § 14
1. Пусть
X
– линейное пространство. Докажите, что выполнены равенства:
1)
0
·
x
= 0; 2)
−
x
= (
−
1)
x
∀
x
∈
X.
2. Докажите, что если к линейно зависимым векторам
x, y, . . . , z
добавить
произвольные векторы
u, . . . , v,
то все эти векторы будут линейно зави-
симы.
§
15
.
Линейные подпространства. Прямые суммы подпространств...
91
3. Докажите, что для любого комплексного числа
a
многочлены
f
0
(
z
) = 1
, f
1
(
z
) =
z
−
a, . . . , f
n
(
z
) = (
z
−
a
)
n
образуют базис в линейном пространстве
P
n
(
C
)
.
4. Рассмотрите линейное пространство
C
n
над полем
R
и докажите, что
его размерность равна
2
n.
5. Докажите, что в пространстве
P
n
многочлены разной степени линейно
независимы.
6. Систему многочленов
ϕ
1
(
z
) =
z
5
+
z
4
, ϕ
2
(
z
) =
z
5
−
3
z
3
, ϕ
3
(
z
) =
z
5
+
2
z
2
, ϕ
4
(
z
) =
z
5
−
z
дополните до базиса пространства
P
5
(
C
)
.
7. Пусть
e
1
, . . . , e
n
– базис в линейном пространстве
X
. Докажите, что
векторы
e
1
, e
1
+
e
2
, e
2
+
e
3
, . . . , e
n
−
1
+
e
n
также образуют базис в
X
.
8. Установите, что матрицы
0 1
1 1
,
1 1
0 1
,
1 0
1 1
,
1 1
1 0
,
образуют базис в линейном пространстве
M atr
2
(
R
)
.
9. Пусть
a
1
, . . . , a
n
– попарно различные элементы из поля
C
.
Положим
ϕ
k
(
z
) =
n
Q
j
6
=
k, j
=1
(
z
−
a
j
)(
a
k
−
a
j
)
−
1
, k
= 1
, . . . , n.
Докажите, что эти мно-
гочлены образуют базис в
P
n
−
1
(
C
)
и координаты каждого многочлена
f
∈ P
n
−
1
(
C
)
в этом базисе есть числа
f
(
a
1
)
, . . . , f
(
a
n
)
.
10. Каким условиям должно удовлетворять число
α
∈
R
,
чтобы векторы
(
α,
1
,
0)
,
(1
, α,
1)
,
(0
,
1
, α
)
из
R
3
были линейно независимы?
11. Пусть
X
– линейное пространство размерности
n
и
e
1
, . . . , e
n
– векторы
из
X
такие, что каждый вектор из
X
является их линейной комбинаци-
ей. Докажите, что эти векторы образуют бизис в
X
.
§
15. Линейные подпространства. Прямые суммы подпространств,
произведение пространств, фактор-пространства
Определение 1.
Подмножество
M
из линейного пространства над по-
лем
K
называется
линейным подпространством
(или, короче,
подпростран-
ством
), если
x
+
y
∈
M, αx
∈
M
для любых
x, y
∈
M
и
α
∈
K.
Непосредственно из определения следует, что каждое подпространство
является самостоятельным линейным пространством (нулевым элементом яв-
ляется нуль исходного пространства). Самыми простыми подпространствами