ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 3472
Скачиваний: 14
92
Глава 3. Линейная алгебра
являются нулевое подпространство
{
0
}
и все пространство
X
. Эти подпро-
странства называют тривиальными.
Рассмотрим несколько примеров подпространств.
Пример 1.
P
n
(
K
)
– подпространство из
P
(
K
)
.
Пример 2.
Пусть
x
1
, . . . , x
n
– элементы из линейного пространства
X
.
Тогда линейная оболочка
X
n
=
L
(
x
1
, . . . , x
n
)
этих векторов образует линей-
ное подпространство из
X
. Если элементы
x
1
, . . . , x
n
линейно независимы,
то ясно, что
dim
X
n
=
n
(докажите !).
Пример 3.
Рассмотрим линейное пространство
C
w
−
w
– периодических
комплекснозначных функций. Функции
ϕ
k
(
t
) =
e
i
2
πk
w
t
= cos
2
πk
w
t
+
i
sin
2
πk
w
t, t
∈
R
,
−
n
≤
k
≤
n, n
∈
N
принадлежат пространству
C
w
и поэтому множество
T
n,w
функций вида (на-
зываемыx
тригонометрическими многочленами
или
полиномами
)
n
X
k
=
−
n
α
k
e
i
2
πk
w
t
, α
k
∈
C
,
−
n
≤
k
≤
n
образует линейное подпространство из
C
w
. Функции
ϕ
k
,
−
n
≤
k
≤
n
линей-
но независимы. Это следует из равенств
ϕ
k
(
t
) = (
ϕ
1
(
t
))
k
, k
≥
1
и основной
теоремы высшей алгебры. Действительно, если
n
P
k
=
−
n
α
k
e
i
2
πk
w
t
= 0
∀
t
∈
R
,
то,
умножив обе части этого равенства на функцию
ϕ
n
,
получим, что
n
P
k
=
−
n
α
k
e
i
2
π
(
k
+
n
)
w
t
=
n
P
k
=
−
n
α
k
ϕ
1
(
t
)
k
+
n
= 0
.
Положим
z
=
ϕ
1
(
t
)
и тогда
n
P
k
=
−
n
α
k
z
k
+
n
= 0
для любого
z
∈
C
с
|
z
|
= 1
. Однако это возможно только
в случае, когда
α
k
= 0
,
−
n
≤
k
≤
n.
Таким образом,
dim
T
n,w
= 2
n
+ 1
.
Отсюда, в частности, следует бесконечномерность пространства
C
w
.
Определение 2.
Скажем, что линейное пространство
X
является
пря-
мой суммой
своих подпространств
X
1
и
X
2
, если каждый вектор
x
из
X
можно единственным образом представить в виде
x
=
x
1
+
x
2
,
где
x
1
∈
X
1
и
x
2
∈
X
2
.
В этом случае используется обозначение
X
=
X
1
L
X
2
.
Т е о р е м а 1.
Конечномерное линейное пространство
X
является
прямой суммой своих подпространств
X
1
и
X
2
тогда и только тогда, когда
выполнены следующие два условия:
1)
X
1
\
X
2
=
{
0
}
;
2)
dimX
=
dimX
1
+
dimX
2
.
§
15
.
Линейные подпространства. Прямые суммы подпространств...
93
Доказательство. Необходимость.
Если
a
∈
X
1
T
X
2
, то
−
a
∈
X
1
T
X
2
,
и поэтому нулевой элемент
0
∈
X
допускает представления вида
0 = 0 + 0
,
0 =
a
+ (
−
a
)
.
В силу единственности представления
a
= 0
.
Для доказательства выполнения условия 2) теоремы рассмотрим базис
e
1
, . . . , e
m
в
X
, и некоторый базис
f
1
, . . . , f
k
в
X
2
(так что
m
=
dim X
1
,
k
=
dim X
2
)
.
Ясно, что достаточно показать, что их объединение
e
1
, . . . , e
m
,
f
1
, . . . , f
k
является базисом в
X
. Из равенства нулю линейной комбинации
m
P
i
=1
α
i
e
i
+
k
P
j
=1
β
j
f
j
и единственности представления нулевого вектора соглас-
но определению 2 получаем, что
m
P
i
=1
α
i
e
i
= 0
,
k
P
j
=1
β
j
f
j
= 0
.
Отсюда следует
α
1
=
. . . α
m
=
β
1
=
· · ·
=
β
k
= 0
.
Таким образом, векторы
e
1
, . . . , e
m
, f
1
, . . . , f
k
линейно независимы. Если
x
– произвольный вектор из
X
,то его можно
представить в виде
x
=
x
1
+
x
2
, где
x
1
∈
X
1
и
x
2
∈
X
2
. В свою очередь,
имеют место представления
x
1
=
m
P
i
=1
α
i
e
i
, x
2
=
k
P
j
=1
β
j
f
j
и, следовательно,
x
=
m
P
i
=1
α
i
e
i
+
k
P
j
=1
β
j
f
j
. Необходимость условий доказана.
Достаточность.
Пусть выполнены условия 1) и 2) теоремы. Допустим,
что для некоторого вектора
x
∈
X
допустимы два представления
x
=
x
1
+
x
2
, x
=
x
0
1
+
x
0
2
,
где
x
1
, x
0
1
∈
X
1
и
x
2
, x
0
2
∈
X
2
.
Вычитая одно равенство из
другого, получаем
0 = (
x
1
−
x
0
1
) + (
x
2
−
x
0
2
)
или
X
1
3
x
0
1
−
x
1
=
x
2
−
x
0
2
∈
X
2
.
Отсюда следует, что
x
0
1
=
x
1
, x
0
2
=
x
2
.
Выбирая в
X
1
и
X
2
какие-нибудь базисы
e
1
, . . . , e
m
(
m
=
dim X
1
)
f
1
, . . . , f
k
(
k
=
dim X
2
)
соответственно, из проведенных при доказательстве
необходимости рассуждений получаем, что объединение этих базисов состоит
из линейно независимых векторов. Поскольку их число
k
+
m
=
dim X
1
+
dim X
2
равно размерности
dim X
пространства
X
, то в силу следствия 2 тео-
ремы 2 из
§
14
они образуют базис в пространстве
X
. Следовательно, любой
вектор
x
∈
X
допускает представление вида
x
=
m
P
i
=1
α
i
e
i
+
k
P
j
=1
β
j
f
j
=
x
1
+
x
2
,
где
x
1
=
m
P
i
=1
α
i
e
i
, x
2
=
k
P
j
=1
β
j
f
j
.
Теорема доказана.
Т е о р е м а 2.
Пусть
M
– подпространство из конечномерного ли-
нейного пространства
X
. Тогда существует подпространство
N
из
X
такое,
что
X
=
M
⊕
N.
Доказательство.
Пусть
e
1
, . . . , e
m
– базис в
M
. Если
m < dim X
,
то существует вектор
e
m
+1
такой, что
e
1
, . . . , e
m
, e
m
+1
– линейно независи-
94
Глава 3. Линейная алгебра
мые векторы. Если
m
+ 1
< n,
то существует вектор
e
m
+2
такой, что век-
торы
e
1
, . . . , e
m
, e
m
+1
, e
m
+2
линейно независимы. Продолжая таким образом,
мы построим базис
e
1
, . . . , e
m
, e
m
+1
, . . . , e
n
,
где
n
=
dim X,
в
X
. В качестве
подпространства
N
возьмем линейную оболочку векторов
e
m
+1
, . . . , e
n
,
т.е.
векторы вида
n
P
j
=
m
+1
α
j
e
j
, α
j
∈
K.
Ясно, что
x
=
M
⊕
N.
Теорема доказана.
Следствие 1.
Размерность любого подпространства не превосходит раз-
мерности всего пространства.
Следствие 2.
Любой линейно независимый набор векторов из линей-
ного конечномерного пространства можно дополнить до базиса во всем про-
странстве.
Замечание 1.
Аналогичным образом (см. определение 2) дается опре-
деление прямой суммы
X
=
X
1
⊕
X
2
⊕ · · · ⊕
X
m
подпространств
X
1
,
X
2
, . . . , X
m
из заданного линейного пространства
X
и формулируется соот-
ветствующее теореме 2 утверждение.
Определение 3.
Пусть
X
k
,
1
≤
k
≤
m
– совокупность линейных про-
странств, рассматриваемых над одним и тем же полем
K
. Их произведение
X
=
X
1
× · · · ×
X
m
является линейным пространством, если для любой пары
элементов
x
= (
x
1
, . . . , x
m
)
, y
= (
y
1
, . . . , y
m
)
из
X
и любого числа
α
∈
K
положить
x
+
y
= (
x
1
+
y
1
, . . . , x
m
+
y
m
)
, αx
= (
αx
1
, . . . , αx
m
)
.
Так введенные алгебраические операции позволяют рассматривать
X
в качестве линейного пространства (нулевым элементом этого пространства
является набор
0 = (0
1
,
0
2
, . . . ,
0
m
)
,
где
0
k
– нуль в
X
k
.
Если
X
1
=
· · ·
=
X
m
=
K,
то
X
=
X
1
× · · · ×
X
m
совпадает с введенным
нами ранее линейным пространством
K
m
(см. пример 1 из
§
2
).
Пусть
M
– подпространство из линейного пространства
X
. Введем на
X
отношение эквивалентности
R
, считая
x
∼
y,
где
x, y
∈
X,
если
x
−
y
∈
M.
В полученном фактор-множестве
X/R
обозначаемом в дальнейшем
X/M,
введем две алгебраические операции с помощью следующих равенств
˜
x
+ ˜
y
=
]
x
+
y,
α
˜
x
=
g
α x,
α
∈
K, x, y
∈
X,
где символ
˜
x
обозначает класс эквивалентности, содержащий элемент
x
из
X
. Легко видеть (см. лемму 2 из
§
5), что
˜
x
=
x
+
M
=
{
x
+
y
:
y
∈
M
}
.
Поэтому
˜
x
+ ˜
y
=
x
+
y
+
M
∀
x, y
∈
X
и
α
˜
x
=
αx
+
M.
Нулевым элементом
из линейного пространства
X/M
является класс
˜
0
, т.е. подпространство
M
.
Определение
4.
Линейное
пространство
X/M
называется
фактор-пространством
(линейного пространства
X
по подпространству
M
)
§
15
.
Линейные подпространства. Прямые суммы подпространств...
95
Т е о р е м а 3.
Пусть
M
– подпространство из конечномерного линей-
ного пространства
X
. Тогда
dim X/M
=
dim X
−
dim M.
Доказательство.
Пусть
e
1
, . . . , e
n
– некоторый базис в
M
и
f
1
, . . . , f
k
– векторы из
X
такие, что
e
1
, . . . , e
m
, f
1
, . . . , f
k
– базис в
X
(см. доказатель-
ство теоремы 2 и следствия 2 теоремы 2). Покажем, что классы эквивалент-
ности
˜
f
1
=
f
1
+
M, . . . ,
˜
f
k
=
f
k
+
M
образуют базис в
X/M
и, следовательно,
будет установлено доказываемое равенство (ибо
dim X
=
m
+
k
=
dim M
+
dim X/M
)
.
Вначале установим их линейную независимость.
Из условия
k
P
i
=1
α
i
˜
f
i
=
k
P
i
=1
α
i
f
i
+
M
= ˜
0 =
M
следует, что
k
P
i
=1
α
i
f
i
∈
M,
т.е.
k
P
j
=1
α
i
f
i
=
m
P
j
=1
β
j
e
j
.
Из линейной независимости векторов
e
1
, . . . , e
m
,
f
1
, . . . , f
k
следует, что
α
1
=
α
2
=
· · ·
=
α
k
=
β
1
=
· · ·
=
β
m
.
Пусть
˜
x
– произвольный класс эквивалентности из
X/M.
Вектор
x
∈
X
можно представить в виде
x
=
k
P
j
=1
α
i
f
i
+
m
P
j
=1
β
j
e
j
,
и поэтому
˜
x
=
k
P
i
=1
α
i
˜
f
i
.
Теорема доказана.
Если
M
– подпространство из линейного пространства
X
, то число
dimX
−
dimM
называют
коразмерностью подпространства
M
и обозна-
чают
CodimM.
Упражнения к
§
15
1. Установите, что если
X
1
и
X
2
– подпространства из линейного простран-
ства
X
, то
X
1
T
X
2
также является подпространством.
2. Докажите, что подмножества функций
{
ϕ
∈
C
[
a, b
] :
ϕ
(
a
) = 0
}
,
{
ϕ
∈
C
[
a, b
] :
ϕ
(
a
) =
ϕ
(
b
)
}
образуют линейные подпространства из
C
[
a, b
]
.
3. Какие из следующих подмножеств линейного пространства
C
[
a, b
]
являются линейными подпространствами
{
f
∈
C
[
a, b
] :
f
(
a
) +
f
(
b
) = 0
}
,
{
f
∈
C
[
a, b
] :
f
(
a
) = 1
}
,
{
f
∈
C
[
a, b
] :
b
R
a
f
(
t
)
dt
= 0
}
?
4. Докажите, что подмножество
{
f
∈ P
n
:
f
0
= 0
}
является линейным
подпространством из
P
n
.
96
Глава 3. Линейная алгебра
5. Докажите, что
C
[
a, b
]
есть прямая сумма подпространства
M
0
=
{
ϕ
∈
C
[
a, b
] :
ϕ
(
a
) = 0
}
и подпространства
M
c
постоянных функций.
6. Докажите, что линейное пространство
R
n
есть прямая сумма подпро-
странств:
M
1
=
{
x
= (
x
1
, . . . , x
n
)
∈
R
n
:
x
1
+
· · ·
+
x
n
= 0
}
,
M
2
=
{
x
∈
R
n
:
x
2
=
· · ·
=
x
n
= 0
}
.
7. Найдите размерность подпространств
{
ϕ
∈ P
n
(
R
) :
ϕ
(0) =
ϕ
(1) = 0
}
,
{
ϕ
∈ P
n
(
R
) :
ϕ
(0) = 0
}
.
из линейного пространства
P
n
(
R
)
.
8. Найдите размерность подпространства
M
=
{
x
= (
x
1
, . . . , x
n
) :
x
1
+
x
2
+
· · ·
+
x
n
= 0
}
из линейного пространства
R
n
.
9. Рассмотрите подпространство
M
1
=
{
x
= (
x
1
, x
2
, x
3
) :
x
1
+
x
2
−
x
3
= 0
} ⊂
R
3
и докажите, что его размерность равна двум. Укажите еще одно дву-
мерное подпространство
M
2
⊂
R
3
и одномерное
N
⊂
R
3
такие, что
R
3
=
M
1
L
N
=
M
2
L
N.
10. Докажите, что следующие
2
n
+ 1
функций
1
,
cos
2
π
w
t,
sin
2
π
w
t,
cos
4
π
w
t,
sin
4
π
w
t, . . . ,
cos
2
πn
w
t,
sin
2
πn
w
t
образуют базис в подпространстве
T
n,w
пространства
C
w
.
11. Какие из следующих подмножеств пространства
C
[
−
1
,
1]
являются ли-
нейными подпространствами: а) непрерывно дифференцируемые функ-
ции; б) нечетные функции (т.е. функции, удовлетворяющие условию
f
(
x
) =
−
f
(
x
)
∀
x
∈
[
−
1
,
1]
; в) четные функции (т.е. функции, удовле-
творяющие условию
f
(
x
) =
f
(
−
x
)
∀
x
∈
[
−
1
,
1])
; г) неотрицательные
функции; д) функции, удовлетворяющие условию
Z
1
−
1
f
(
x
)
dx
= 0?