ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 3494
Скачиваний: 14
§
24. Определители и линейная независимость векторов
167
теорем 3 и 4 из
§
19. Если
a
1
, . . . , a
n
- некоторая система векторов из
X
, то
наряду с ней рассмотрим систему векторов вида
b
k
=
Aa
k
= (
a
k
1
, . . . , a
km
)
,
1
≤
k
≤
n
из
K
m
(
a
k
=
a
k
1
e
1
+
· · ·
+
a
km
e
m
)
.
Допустим (для определенности),
что
a
1
, . . . , a
m
- базисные векторы системы векторов
a
j
,
1
≤
j
≤
n.
Докажем,
что векторы
b
1
, . . . , b
m
- базисные векторы для системы
b
j
,
1
≤
j
≤
n.
Если
m
P
j
=1
α
j
b
j
= 0
,
то
0 =
m
X
j
=1
α
j
b
j
=
m
X
j
=1
α
j
Aa
j
=
A
m
X
j
=1
α
j
a
j
!
.
Из инъективности оператора
A
получаем, что
m
P
j
=1
α
j
a
j
= 0
,
а из линейной
независимости векторов
a
1
, . . . , a
m
следует, что
α
1
=
· · ·
=
α
m
= 0
.
Итак,
векторы
b
1
, . . . , b
m
линейно независимы и, следовательно, (см. следствие 2 из
теоремы 2,
§
14) образуют базис в
K
m
.
Ввиду изоморфизма каждого конечномерного линейного пространства
X
пространству
K
m
, где
m
=
dim X
, из замечания 3 следует, что можно
ограничиться рассмотрением систем векторов из пространства
K
m
.
Пусть далее
a
j
= (
a
1
j
, a
2
j
, . . . , a
mj
)
, j
= 1
, . . . , n
- система векторов из
K
m
. Формулировку результатов о базисных векторах и ранге данной системы
векторов удобно проводить, используя матрицу вида
A
=
a
11
a
12
. . .
a
1
n
a
21
a
22
. . .
a
2
n
...
...
...
...
a
m
1
a
m
2
. . . a
mn
,
а также следующие понятия.
Определение 2.
Минором
k
- го порядка матрицы
A
называется мат-
рица
B
с элементами, лежащими на пересечении некоторых
k
строк и
k
столбцов матрицы
A
(разумеется
k
≤
m, k
≤
n
)
.
Минор
B
называется
невырожденным
, если
det
B 6
= 0
(и
вырожденным
в противном случае).
Определение 3.
Пусть
A 6
= 0
.
Наивысший порядок
r
невырожденных
миноров матрицы
A
называется
рангом матрицы
A
и обозначается сим-
168
Глава 3. Линейная алгебра
волом
rang
A
.
Любой невырожденный минор порядка
rang
A
называется
базисным
.
Т е о р е м а 2.
Столбцы матрицы
A
, на которых расположен базисный
минор матрицы
A
, являются базисными векторами для системы вектором
a
1
, . . . , a
n
из
K
m
.
Доказательство.
Допустим (для определенности), что базисный минор
расположен на первых
r
строках и первых
r
столбцах матрицы
A
. Докажем,
что тогда векторы
a
1
, . . . , a
r
являются базисными.
Если бы векторы
a
1
, . . . , a
r
были линейно зависимы, то в силу теоре-
мы 1 базисный минор имеет равный нулю определитель, что противоречит
условию.
Докажем, что любой вектор
a
j
, j
≥
r
+1
является линейной комбинацией
векторов
a
1
, . . . , a
r
. С этой целью добавим к первым столбцам матрицы
A
j
- ый столбец и рассмотрим квадратную матрицу вида
A
r
+1
=
a
11
a
12
. . . a
1
r
a
1
j
a
21
a
22
. . . a
2
r
a
2
j
...
...
...
...
...
a
r
1
a
r
2
. . . a
rr
a
rj
a
k
1
a
k
2
. . . a
kr
a
kj
.
Если
k
≤
r,
то определитель этой матрицы равен нулю. Если
k > r
, то полу-
ченная матрица является минором
r
+ 1
- го порядка и поэтому по условию
имеет нулевой определитель.
Разложив определитель матрицы
A
r
+1
по последней строке, получим
c
1
a
k
1
+
c
2
a
k
2
+
· · ·
+
c
r
a
kr
+
c
r
+1
a
kj
= 0
,
где
c
1
=
A
k
1
, c
2
=
A
k
2
, . . . , c
r
=
A
kr
, c
r
+1
=
A
kj
- алгебраические дополнения
к элементам
a
k
1
, a
k
2
, . . . , a
kr
, a
kj
соответственно. Поскольку
c
r
+1
=
A
kj
6
= 0
,
то, введя обозначения
λ
i
=
−
c
i
c
r
+1
, i
= 1
, . . . , r,
получим равенства
a
kj
=
λ
1
a
k
1
+
λ
2
a
k
2
+
· · ·
+
λ
r
a
kr
, k
= 1
, . . . , m.
§
24. Определители и линейная независимость векторов
169
Таким образом,
a
j
=
λ
1
a
1
+
λ
2
a
2
+
· · ·
+
λ
r
a
r
,
т.е. вектор
a
j
является линейной
комбинацией векторов
a
1
, . . . , a
r
.
Теорема доказана.
Следствие 2.
Строки матрицы
A
, на которых расположен базисный
минор матрицы
A
, являются базисными векторами для системы векторов
a
0
k
= (
a
k
1
, a
k
2
, . . . , a
kn
)
, k
= 1
, . . . , m
из линейного пространства
K
n
.
Для доказательства достаточно рассмотреть транспонированную матри-
цу
A
t
= (
a
ji
)
и применить к ней теорему 2.
Т е о р е м а 3.
Пусть
X
- конечномерное линейное пространство с
базисом
e
1
, . . . , e
n
и
f
1
, . . . , f
m
- базис в конечномерном линейном простран-
стве
Y
. Тогда ранг любого оператора
A
∈
L
(
X, Y
)
равен рангу его матрицы
A
= (
a
ij
)
∈
M atr
m,n
(
K
)
.
Доказательство.
Из замечания 2 следует, что ранг оператора
A
сов-
падает с рангом системы векторов
a
k
=
Ae
k
, k
= 1
, . . . , n.
В свою очередь,
в силу замечания 3, ранг этой системы векторов совпадает с рангом систе-
мы векторов
b
k
= (
b
1
k
, b
2
k
, . . . , b
mk
)
, k
= 1
, . . . , n,
определяемой из условия
a
k
=
b
1
k
f
1
+
b
2
k
f
2
+
· · ·
+
b
mk
f
m
.
Из определения матрицы оператора
A
следует,
что
b
1
k
=
a
1
k
, . . . , b
mk
=
a
mk
,
т.е. векторы
b
k
,
1
≤
k
≤
m
являются столбцами
матрицы
A
. Следовательно, в силу теоремы 2, их ранг совпадает с рангом
матрицы
A
. Теорема доказана.
Из доказательства теоремы 3 и теоремы 1,
§
19 получаем
Следствие 3.
Пусть
j
1
, . . . , j
r
- столбцы матрицы
A
оператора
A
, на ко-
торых расположен базисный минор для матрицы
A
. Тогда векторы
Ae
j
1
, . . . , Ae
jr
образуют базис в подпространстве
Im A
⊂
Y, dim Im A
=
r
и
def A
=
dim Ker A
=
n
−
r.
Применим полученные в теоремах 2 и 3 результаты к системам линей-
ных алгебраических уравнений общего вида. А именно, рассмотрим систему
уравнений вида (1) из
§
19 и эквивалентное ему уравнение вида
Ax
=
b
= (
b
1
, . . . , b
m
)
∈
K
m
,
(2)
где
A
:
K
n
→
K
m
- линейный оператор, определяемый матрицей
A
= (
a
ij
)
170
Глава 3. Линейная алгебра
коэффициентов рассматриваемой системы уравнений (более подробно см. в
§
19).
Вначале остановимся на рассмотрении однородной системы уравнений
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
· · ·
+
a
1
n
x
n
= 0
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
· · ·
+
a
2
n
x
n
= 0
· · ·
a
m
1
x
1
+
a
m
2
+
· · ·
+
a
mn
x
n
= 0
(3)
и соответствующего уравнения вида
Ax
= 0
.
(4)
Т е о р е м а 4.
Решения системы уравнений (3) (или, что все рав-
но, уравнения (4) образуют подпространство из линейного пространства
K
n
размерности
n
−
r
, где
r
=
rang
A
- ранг матрицы
A
= (
a
ij
)
.
Доказательство.
Искомые решения образуют подпространство
Ker A
из
K
n
,
размерность которого, согласно следствию 1 теоремы 3, равна
n
−
r
.
Следствие 4.
Система уравнений (3) имеет ненулевое решение тогда
и только тогда, когда ранг матрицы
A
= (
a
ij
)
меньше числа ее столбцов
(
rang
A
< n
)
.
Установим необходимое и достаточное условие совместности системы
уравнений (1) из
§
19. С этой целью наряду с матрицей
A
= (
a
ij
)
рассмотрим
(так называемую)
расширенную матрицу
системы уравнений, имеющую вид
A
1
=
a
11
a
12
. . .
a
1
n
b
1
a
21
a
22
. . .
a
2
n
b
2
...
...
...
...
...
a
m
1
a
m
2
. . . a
mn
b
m
,
которая получается из матрицы
A
добавлением столбца свободных членов.
Т е о р е м а 5 (теорема Кронекера-Капелли)
. Для того чтобы си-
стема уравнений (1) из
§
19 имела решение, необходимо и достаточно, чтобы
rang
A
1
=
rang
A
.
Доказательство. Необходимость.
Пусть рассматриваемая система
уравнений имеет решение
x
0
= (
x
0
1
, . . . , x
0
n
)
.
Тогда вектор
b
=
§
24. Определители и линейная независимость векторов
171
= (
b
1
, . . . , b
m
)
представляется в виде линейной комбинации
b
=
x
0
1
a
1
+
x
0
2
a
2
+
· · ·
+
x
0
n
a
n
столбцов
a
k
, k
= 1
, . . . , n
матрицы
A
= (
a
ij
)
(см. уравнение (1) из этого
параграфа). Отсюда следует, что вектор
b
является также линейной комби-
нацией базисных столбцов матрицы
A
, число которых равно рангу матрицы
A
.
Поэтому
rang
A
1
=
rang
A
.
Достаточность.
Пусть
rang
A
1
=
rang
A
.
Тогда из теоремы 2 следует,
что все столбцы матрицы
A
1
являются линейными комбинациями базисных
столбцов матрицы
A
.
В частности, вектор
b
является линейной комбинацией
базисных столбцов матрицы
A
,
и поэтому существуют такие числа
c
1
, . . . , c
n
,
что
b
=
c
1
a
1
+
· · ·
+
c
n
a
n
(мы можем приписать нули перед столбцами, не яв-
ляющимися базисными), что эквивалентно тому, что вектор
x
0
= (
c
1
, . . . , c
n
)
является решением системы уравнений (1) из
§
19. Теорема доказана.
Обсудим вопрос нахождения всех решений рассматриваемой системы
уравнений (1) из
§
19 при условии их существования, т.е. при условии, что
ранги матриц
A
и
A
1
совпадают. Пусть
r
=
rang
A
=
rang
A
1
.
Не ограничивая общности, можно считать, что базисный минор матрицы
A
(и, следовательно,
A
1
)
находится в левом верхнем углу (иначе следует сде-
лать перестановки уравнений и неизвестных). Тогда первые
r
строк матриц
A
и
A
1
являются базисными для всех строк этих матриц, рассматриваемых
в качестве элементов пространств
K
n
и
K
n
+1
соответственно (см. следствие
2). Это означает, что каждое из уравнений системы, начиная с
(
r
+ 1)
- го
уравнения, является линейной комбинацией первых
r
уравнений этой систе-
мы, т.е. всякое решение первых
r
уравнений обращает в тождество и все
последующие уравнения этой системы.
Поэтому достаточно найти решения лишь первых
r
уравнений системы,