ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 3497
Скачиваний: 14
§
22. Определители
157
Поскольку
ϕ
(
E
) =
det
(
E
B
) =
det
B
,
то для любой матрицы
X
из
M atr
n
(
K
)
получаем равенство
ϕ
(
X
) =
det
(
XB
) =
det X det
B
.
В частно-
сти, при
X
=
A
получаем доказываемое равенство. Теорема доказана.
Т е о р е м а 5.
Матрица
A ∈
M atr
n
(
K
)
обратима тогда и только тогда,
когда ее определитель
det
A
отличен от нуля. Если
det
A 6
= 0
,
то обратная
матрица
A
−
1
имеет вид
A
ji
det
A
,
где
A
ij
– алгебраическое дополнение к
элементам
a
ij
и
det
A
−
1
= 1
/det
A
.
Доказательство.
Если
A
обратима, то имеет место равенство
AA
−
1
=
E,
и поэтому в силу теоремы 4
det
A ·
det
A
−
1
= 1
.
Следовательно,
det
A 6
= 0
и
det
A
−
1
= 1
/det
A
.
Пусть теперь
det
A 6
= 0
.
Рассмотрим матрицу
B
=
A
ji
det
A
и докажем,
что
AB
=
BA
=
E.
По определению произведения матриц матрица
C
=
AB
имеет элементы
c
ij
вида
c
ij
=
1
det
A
n
X
k
=1
a
ik
A
jk
.
Согласно теореме 3,
c
ii
=
1
det
A
n
P
k
=1
a
ik
A
ik
=
1
det
A
det
A
= 1
,
1
≤
i
≤
n.
Если же
i
6
=
j
, то
c
ij
=
n
P
k
=1
a
ik
A
jk
– определитель матрицы
A
j
, в которой
все элементы совпадают с элементами матрицы
A
, но только вместо
j
- ой
строки стоит
i
- ая строка матрицы
A
. Так как
A
j
имеет две одинаковые
строки, то
c
ij
=
det
A
j
= 0
∀
i
6
=
j.
Итак,
C
=
AB
=
E.
Аналогично проверяется равенство
BA
=
E.
Тео-
рема доказана.
Т е о р е м а 6.
Подобные матрицы имеют одинаковые определители.
Доказательство.
Пусть
A
,
B ∈
M atr
n
(
K
)
– подобные матрицы, и пусть
A
=
U
−
1
BU
,
где
U
– обратимая матрица из
M atr
n
(
K
)
.
Тогда, согласно тео-
ремам 4 и 5, получаем
det
A
=
det
U
−
1
det
B
det
U
= (
det
U
)
−
1
det
B
det
U
=
det
B
.
158
Глава 3. Линейная алгебра
Теорема доказана.
Определение 4.
Пусть
A
– произвольный оператор из
L
(
X
)
.
Опреде-
лителем оператора
A
называется определитель его матрицы (относительно
некоторого базиса в
X
).
Поскольку все матрицы данного оператора подобны друг другу, то в силу
теоремы 6 определение 4 корректно (не зависит от матрицы рассматриваемо-
го оператора).
Тем же символом
det A
обозначим введенное в определении 4 отображе-
ние из
L
(
X
)
в
K
. Учитывая результаты о взаимосвязи между операторами
и матрицами, полученные в
§
20 (см.теорему 6 и 7), и, используя теоремы 4
и 5, получаем, что имеют место следующие две теоремы.
Т е о р е м а 7.
det
(
AB
) = (
det A
)(
det B
)
∀
A, B
∈
L
(
X
)
.
Т е о р е м а 8.
Оператор
A
∈
L
(
X
)
обратим тогда и только тогда,
когда
det A
6
= 0
.
Вычисление определителя матрицы, основанное на формуле (1), требует
сложения
n
!
слагаемых и поэтому на практике мало используется. Одним из
наиболее эффективных методов вычисления определителей матриц является
метод Гаусса. Он основан на преобразованиях матрицы (см. теорему 1), не
меняющих ее определителя.
Пусть в матрице
A
= (
a
ij
)
∈
M atr
n
(
K
)
отличен от нуля элемент
a
km
(назовем его
ведущим
). К любой
i
- ой строке,
i
6
=
k
добавим
k
- ую стро-
ку, умноженную на число
−
a
im
a
km
.
В результате получим матрицу с тем же
определителем и у этой новой матрицы все элементы
m
- го столбца, кро-
ме ведущего, будут нулевые. Разлагая определитель новой матрицы по
m
-
ому столбцу, мы сведем вычисление определителя матрицы
k
- го порядка
к вычислению одного определителя матрицы порядка
n
−
1
. Затем тот же
прием применяется к вычислению определителя матрицы
n
−
1
- го порядка
и т.д. Метод Гаусса требует для вычисления определителя
n
- го порядка
алгебраических операций порядка
2
3
n
2
.
§
22. Определители
159
Упражнения к § 22
1. Докажите, что если матрица из
M atr
n
(
K
)
имеет более чем
n
2
−
n
ну-
левых элементов, то ее определитель равен нулю.
2. Как изменится определитель матрицы из
M atr
n
(
C
)
,
если каждый эле-
мент матрицы заменить сопряженным числом?
3. Каждый элемент матрицы умножен на число
α.
Как изменится опреде-
литель матрицы?
4. Вычислите определители матриц из
M atr
n
(
C
)
вида
x
1
y
1
x
1
y
2
. . .
x
1
y
n
x
2
y
1
x
2
y
2
. . .
x
2
y
n
...
...
...
...
x
n
y
1
x
n
y
2
. . . x
n
y
n
,
1
2
. . .
n
n
+ 1
n
+ 2
. . .
2
n
...
...
...
...
n
(
n
−
1) + 1
n
(
n
−
1) + 2
. . .
n
2
.
5. Пусть
f
1
, . . . , f
n
∈ P
n
−
2
(
K
)
.
Докажите, что определитель матрицы
f
1
(
a
1
)
f
1
(
a
2
)
. . .
f
1
(
a
n
)
f
2
(
a
1
)
f
2
(
a
2
)
. . .
f
2
(
a
n
)
...
...
...
...
f
n
(
a
1
)
f
n
(
a
2
)
. . . f
n
(
a
n
)
равен нулю для любых чисел
a
1
, a
2
, . . . , a
n
∈
K.
6. Числа 1443, 1287, 1248, 1404 делятся на 13. Докажите, что определитель
матрицы из
M atr
n
(
R
)
вида
1 4 4 3
1 2 8 7
1 2 4 8
1 4 0 4
делится на 13.
160
Глава 3. Линейная алгебра
7. Докажите, что определитель матрицы
1
a
1
a
2
1
. . . a
n
−
1
1
1
a
2
a
2
2
. . . a
n
−
1
2
... ... ...
...
...
1
a
n
a
2
n
. . . a
n
−
1
n
при целых значениях
a
1
, a
2
, . . . , a
n
делится на
1
n
−
1
2
n
−
2
. . .
(
n
−
1)
.
8. Найдите обратные матрицы для следующих матриц
1)
cos α
−
sin α
sin α
cos
α
;
2)
a b
c d
, ad
−
bc
6
= 0;
3)
0
0
. . .
0
λ
1
0
0
. . . λ
2
0
... ... ...
... ...
λ
n
0
. . .
0
0
;
4)
1
a
0
. . .
0
0 1
a . . .
0
... ... ... ... ...
0 0 0
. . . a
0 0 0
. . .
1
;
5)
a
−
b
b
a
n
, a
2
+
b
2
6
= 0
, n
≥
1;
6)
1 1 2
2 3 5
4 3 6
.
9. Найдите
определители
следующих
операторов
из
L
(
P
n
(
C
))
1) (
A
1
ϕ
)(
z
) =
zϕ
(0) +
ϕ
(
z
)
,
2) (
A
2
ϕ
)(
z
) =
zϕ
0
(
z
)
,
3) (
A
3
ϕ
)(
z
) =
ϕ
(
z
)
−
ϕ
(0)
z
,
4) (
A
4
ϕ
)(
z
) =
z
2
ϕ
00
(
z
) +
ϕ
0
(
z
)
,
5)
A
1
A
2
,
6)
A
3
A
4
.
10. Какие из следующих операторов обратимы:
1)
A
1
x
= (
x, a
)
b
+
x, A
:
H
→
H, H
- евклидово пространство;
2)
A
2
x
= (
x, a
1
)
b
1
+ (
x, a
2
)
b
2
, A
2
:
H
→
H, dim H
= 2?
11. Пусть
X
– конечномерное линейное пространство с базисом
e
1
, . . . , e
n
и
A
∈
L
(
X
)
.
Наряду с функцией
g
:
X
n
→
K,
определенной форму-
лой (3),
§
21, рассмотрим антисимметрическую полилинейную функ-
цию
g
A
:
X
n
→
K
(см. задачу 3,
§
21), определенную формулой
§
22. Определители
161
g
A
(
x
) =
g
(
Ax
1
, . . . , Ax
n
)
, x
= (
x
1
, . . . , x
n
)
∈
X
n
.
Число
α
∈
K,
одно-
значно определяемое из равенства
g
A
=
α g
(см. замечание 2,
§
21),
назовем
определителем оператора
A
и обозначим символом
det A.
До-
кажите, что это определение определителя совпадает с определением 4
определителя оператора.
12. Пользуясь определением определителя из задачи 11, докажите равенство
det AB
=
det A det B
∀
A, B
∈
L
(
X
)
.
13. Пусть
A, B
– ненулевые операторы из
L
(
X
)
и
AB
= 0
.
Докажите, что
det A
=
det B
= 0
.
14. Какие из указанных множеств из алгебры
M atr
n
(
K
)
образуют группу
и подалгебру относительно операции умножения, введенной в алгебре
матриц:
1) множество диагональных матриц;
2) множество верхних треугольных матриц;
3) множество симметрических матриц;
4) множество матриц, определитель которых есть фиксированное число
d
∈
K
.
15. Докажите, что множество матриц вида
a
−
b
−
c
d
b
a
−
d
−
c
c
d
a
b
−
d
c
−
b
a
образует тело (его называют
телом кватернионов
).
16. Нуждается ли в проверке равенство
BA
=
E
из доказательства теоре-
мы 5?