ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 3492
Скачиваний: 14
172
Глава 3. Линейная алгебра
которые перепишем в виде
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
· · ·
+
a
1
r
x
r
=
b
1
−
a
1(
r
+1)
x
r
+1
− · · · − −
a
1
n
x
n
,
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
· · ·
+
a
2
r
x
r
=
b
2
−
a
2(
r
+1)
x
r
+1
− · · · −
a
2
n
x
n
,
· · ·
a
r
1
x
1
+
a
r
2
x
2
+
· · ·
+
a
rr
x
r
=
b
r
−
a
r
(
r
+1)
x
r
+1
− · · · −
a
rn
x
n
.
(5)
Если придать неизвестным
x
r
+1
, . . . , x
n
произвольные значения
c
r
+1
, . . . , c
n
,
то система уравнений (5) является системой уравнений с
r
неизвестными
x
1
, . . . , x
r
,
причем определитель
∆
r
матрицы этой системы отличен от нуля,
так как является определителем базисного минора. Следовательно, для на-
хождения единственного решения
(
c
1
, . . . , c
r
)
системы (5) (где
x
r
+1
=
c
r
+1
, . . . , x
n
=
c
n
)
,
можно воспользоваться формулами из теоремы 1,
§
23.
В итоге получаем, что любое решение системы (1) из
§
19 имеет вид
(
c
1
, . . . , c
r
, c
r
+1
, . . . , c
n
)
.
Пример 1.
Выясним, будет ли совместной система уравнений
x
1
−
2
x
2
+ 3
x
3
= 4
2
x
1
+
x
2
−
4
x
3
= 3
3
x
1
−
x
2
−
x
3
= 7
.
В случае совместности найдем все ее решения.
С этой целью рассмотрим матрицу
A
системы и расширенную матрицу
A
1
.
Они имеют соответственно вид
A
=
1
−
2
3
2
1
−
4
3
−
1
−
1
,
A
1
=
1
−
2
3 4
2
1
−
4 3
3
−
1
−
2 7
.
Легко видеть, что
rang A
=
rang
A
1
= 2
.
Поэтому система уравнений сов-
местна, причем ввиду того, что
rang
A
= 2
<
3
,
она имеет бесконечное число
решений. Минор
1
−
2
2
1
ненулевой и поэтому получаем эквивалентную
систему уравнений
x
1
−
2
x
2
= 4
−
3
x
3
,
2
x
1
+
x
2
= 3
−
4
x
3
,
§
24. Определители и линейная независимость векторов
173
где
x
3
- произвольное число из
R
. Отсюда получаем, что
x
1
=
x
3
+ 2
, x
2
= 2
x
3
−
1
общее решение системы уравнений, где
x
3
- любое число из
R
.
Упражнения к § 24
1. Найдите базисные векторы системы векторов из
a
1
= (0
,
2
,
−
1)
, a
2
= (3 7
,
1)
, a
3
= (2
,
0
,
3)
, a
4
= (5
,
1 8)
.
2. Определите ранг системы векторов из
P
2
(
R
)
ϕ
1
(
t
) = 2
t
−
t
2
, ϕ
2
(
t
) = 3 + 7
t
+
t
2
, ϕ
3
(
t
) = 2 + 3
t
2
, ϕ
4
(
t
) = 5 +
t
+ 8
t
2
.
3. Будут ли многочлены
ϕ
1
(
t
) = 1 +
t
+
t
2
, ϕ
2
(
t
) =
t
−
t
2
, ϕ
3
(
t
) = 2 +
t
+ 2
t
2
образовывать базис в
P
2
(
R
)
?
4. Как может измениться ранг матрицы при изменении лишь одной
строки (столбца) ?
5. Докажите, что все матрицы ранга 1 из
M atr
n
(
K
)
имеют вид
a
1
b
1
a
1
b
2
. . .
a
1
b
n
a
2
b
1
a
2
b
2
. . .
a
2
b
n
...
...
...
...
a
n
b
1
a
n
b
2
. . . a
n
b
n
,
где
a
= (
a
1
, . . . , a
n
)
∈
K
n
, b
= (
b
1
, . . . , b
n
)
∈
K
n
.
6. Найдите ранг матрицы
1
a
1
a
2
1
. . . a
n
−
1
1
1
a
2
a
2
2
. . . a
n
−
1
2
... ... ...
...
...
1
a
k
a
2
k
. . . a
n
−
1
k
,
где
a
1
, . . . , a
k
- различные числа и
k
≤
n.
174
Глава 3. Линейная алгебра
7. Рассмотрите линейную оболочку векторов
a
1
= (2
,
4
,
8
,
−
4
,
7)
, a
2
= (4
,
−
2
,
−
1
,
3
,
1)
,
a
3
= (3
,
5
,
2
,
−
2
,
4)
, a
4
= (
−
5
,
1
,
7
,
−
6
,
2)
.
Принадлежит ли этому подпространству вектор
b
= (6
,
18
,
1
,
−
9
,
8)
.
8. Найдите ранг операторов
A
i
:
P
n
(
R
)
→ P
n
(
R
)
, i
= 1
,
2 :
A
1
ϕ
=
ϕ
00
,
(
A
2
ϕ
)(
t
) =
ϕ
(
t
)
−
ϕ
(0)
t
9. Найдите базис в образе оператора
A
:
R
3
→
R
3
,
определенного с помо-
щью матрицы
1 2
1
2 1
2
−
1 1
−
1
.
10. Выясните, совместны ли системы уравнений:
x
1
+
x
2
+
x
3
= 3
,
x
1
+ 2
x
2
+ 3
x
3
= 6
,
x
1
+ 2
x
2
+ 3
x
3
= 6
,
2
x
1
+ 3
ix
2
+ 4
x
3
= 9
,
2
x
1
+ 3
x
2
+ 4
x
3
= 7
,
3
ix
1
+ 5
ix
2
+ 7
x
1
= 15
.
В случае совместности найдите все решения.
11. Найдите ранг оператора
A
:
P
3
(
C
)
→
C
4
:
Aϕ
= (
ϕ
(0))
, ϕ
(
i
)
, ϕ
(0)
−
ϕ
(
i
)
, ϕ
(1))
.
12. Найдите ранг оператора
A
:
H
→
H
(
H
- евклидово пространство),
определенного формулой
Ax
= (
x, a
1
)
b
1
+ (
x, a
2
)
b
2
, a
1
, a
2
, b
1
, b
2
∈
H.
13. Пусть
ϕ
1
, . . . , ϕ
n
- совокупность функций из
C
[
a, b
]
. Докажите, что
функции
ϕ
1
, . . . , ϕ
n
линейно независимы тогда и только тогда, когда
найдутся числа
t
1
,
· · ·
, t
n
из
R
такие, что определитель матрицы
(
ϕ
i
(
t
j
))
∈
M atr
n
(
R
)
отличен от нуля.
§
24. Определители и линейная независимость векторов
175
14. Определите размерность подпространства многочленов из
P
n
(
C
)
,
удовлетворяющих условиям
f
(
a
1
) =
f
(
a
2
) =
· · ·
=
f
(
a
k
) = 0
,
где
a
1
, . . . , a
k
- различные числа из
C
.
15. Найдите базис в подпространстве многочленов из
P
4
(
C
)
,
удовлетворяю-
щих условиям
f
(0) =
f
(
−
1) =
f
(1) = 0
.
16. Найдите три линейно независимых многочлена из
P
5
(
C
)
,
удовлетворя-
ющих условиям
ϕ
(0) = 1
, ϕ
(1) = 0
, ϕ
(2) =
−
1
, ϕ
(3) = 1
.
17. Докажите, что для любых чисел
a, b
0
, b
1
, . . . , b
n
из
C
существует един-
ственный многочлен
ϕ
∈ P
n
(
C
)
такой, что
ϕ
(
a
) =
b
0
, ϕ
0
(
a
) =
b
1
, . . . , ϕ
(
n
)
(
a
) =
b
n
.
18. Найдите многочлен
f
∈ P
3
(
C
)
,
для которого
f
(1) = 0
, f
0
(0) =
−
1
, f
00
(
−
1) = 0
, f
(0) = 1
.
19. Какой вид имеет матрица, у которой все миноры второго порядка нуле-
вые ?
20. Пусть
X
- конечномерное линейное пространство,
dim X
=
k
и
ϕ
1
, . . . , ϕ
k
- линейно независимые функционалы из
X
∗
. Докажите, что
для линейной независимости векторов
a
1
, . . . , a
k
∈
X
необходимо и до-
статочно, чтобы определитель матрицы
(
ϕ
i
(
a
j
))
∈
M atr
k
(
K
)
был нену-
левым.
21. Пусть
X
- конечномерное линейное пространство и
λ
1
, . . . , λ
m
∈
X
∗
-
линейно независимые функционалы. Тогда система уравнений
λ
i
(
x
) =
=
b
i
,
1
≤
i
≤
m,
разрешима для любых чисел
b
1
, . . . , b
m
из поля
K
.
Примените полученный результат к системе уравнений вида (1).
176
Глава 3. Линейная алгебра
22. Решите систему матричных уравнений
X
+
Y
=
0 1
0 1
2
X − Y
=
1 0
1 0
,
X
,
Y ∈
M atr
2
(
R
)
.
23. Решите матричные уравнения
a)
2
−
1
4
−
2
X
=
2 2
1 1
,
б)
X
1 2
1 3
=
1 1
1 1
,
в)
3 1
2 1
X
1 3
1 2
=
1 2
2 1
,
X ∈
M atr
2
(
R
)
.
§
25. Матрица Грама и ее применение (линейная
независимость векторов, метод наименьших квадратов)
Пусть
a
1
, . . . , a
n
- система векторов из пространства со скалярным про-
изведением
H
. В этом параграфе
H
- вещественное евклидово пространство.
Определение 1.
Матрица
((
a
i
, a
j
)) =
(
a
1
, a
1
) (
a
1
, a
2
)
. . .
(
a
1
, a
n
)
(
a
2
, a
1
) (
a
2
, a
2
)
. . .
(
a
2
, a
n
)
...
...
...
...
(
a
n
, a
1
) (
a
n
, a
2
)
. . .
(
a
n
, a
n
)
∈
M atr
n
(
R
)
(1)
называется
матрицей Грама
системы векторов
a
1
, . . . , a
n
, а ее определитель
обозначается символом
G
(
a
1
, . . . , a
n
)
.
Если
e
1
, . . . , e
n
- ортонормированное множество из
H
, то ясно, что мат-
рица Грама такой системы векторов является единичной.
Т е о р е м а 1.
Векторы
a
1
, . . . , a
n
из
H
линейно независимы тогда и
только тогда, когда
G
(
a
1
, . . . , a
n
)
6
= 0
.
Доказательство.
Пусть
G
(
a
1
, . . . , a
n
)
6
= 0
.
Рассмотрим линейную ком-
бинацию
x
1
a
1
+
· · ·
+
x
n
a
n
и приравняем ее нулю:
x
1
a
1
+
· · ·
+
x
n
a
n
= 0
.