ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 3568
Скачиваний: 14
182
Глава 3. Линейная алгебра
мы 8 из
§
22 условие
λ
1
. . . λ
n
6
= 0
необходимо и достаточно для обратимости
оператора
A
. Поскольку обратная матрица
A
−
1
имеет вид
(
λ
−
1
i
δ
ij
)
,
то опе-
ратор
A
−
1
задается равенствами (3).
Замечание 1.
Непосредственно из определения 1 следует, что оператор
A
∈
L
(
X
)
является оператором простой структуры тогда и только тогда,
когда матрица оператора
A
в некотором базисе из
X
имеет диагональный
вид.
Замечание 2.
Если
A
∈
L
(
X
)
- оператор простой структуры вида (2) и
m
- натуральное число, то оператор
A
m
является оператором простой струк-
туры, причем он определяется на базисных векторах равенствами
A
m
e
k
=
λ
m
k
e
k
, k
= 1
, . . . , n.
Лемма 1 и приведенные замечания показывают, что операторы простой
структуры оправдывают свое название. Однако сразу же возникает вопрос:
каждый ли линейный оператор
A
∈
L
(
X
)
для
dim
≥
2
имеет простую
структуру? Ответ на этот вопрос отрицательный. Именно операторы из сле-
дующего определения не являются операторами простой структуры.
Определение 2.
Ненулевой оператор
Q
∈
L
(
X
)
называется
нильпо-
тентным
, если
Q
m
= 0
для некоторого натурального числа
m
. Наименьшее
из чисел
m
, для которых имеет место это равенство, называется
индексом
нильпотентности
оператора
Q
.
Пример 1.
Оператор дифференцирования
D
:
P
n
(
C
)
→ P
n
(
C
)
,
где
n
≥
1
, является нильпотентным оператором. Действительно,
D
n
+1
ϕ
=
=
ϕ
(
n
+1)
= 0
∀
ϕ
∈ P
n
(
C
)
,
т.е.
D
n
+1
= 0
.
Т е о р е м а 1.
Ненулевой нильпотентный оператор
Q
∈
L
(
X
)
не
является оператором простой структуры.
Доказательство.
Допустим, что
Q
является оператором простой
структуры. Тогда существует базис
e
1
, . . . , e
n
в
X
и числа
λ
1
, . . . , λ
n
∈
K
§
26. Собственные значения и собственные векторы
183
такие, что имеют место равенства
Qe
k
=
λ
k
e
k
, k
= 1
, . . . , n.
(4)
Пусть
Q
m
= 0
, где
m
≥
2
.
Применяя последовательно
m
−
1
раз оператор
Q
к обеим частям равенств (4), получим равенства
λ
m
−
1
k
e
k
= 0
, k
= 1
, . . . , n.
Следовательно,
λ
k
= 0
∀
k
= 1
, . . . , n.
Тогда из равенств (4) следует, что
оператор
Q
нулевой. Это противоречит условиям теоремы. Теорема доказана.
Итак, из теоремы 1 следует, что оператор дифференцирования из при-
мера 1 не является оператором простой структуры.
Несмотря на этот негативный пример, можно показать, что для любого
оператора
A
∈
L
(
X
)
в случае комплексного пространства
X
существуют
ненулевые векторы, которые он переводит в коллинеарные. Наличие таких
векторов позволяет существенно упростить изучение линейного оператора.
Это будет предметом рассмотрения в следующих параграфах.
Определение 3.
Ненулевой вектор
x
0
∈
X
называется
собственным
вектором
оператора
A
∈
L
(
X
)
, если существует число
λ
0
∈
K
такое, что
имеет место равенство
Ax
0
=
λ
0
x
0
.
Число
λ
0
называется
собственным значением
оператора
A
(отвечающим
собственному вектору
x
0
).
Определение 3 можно переформулировать следующим образом, перво-
начально вводя понятие собственного значения: число
λ
0
∈
K
называется
собственным значением
оператора
A
∈
L
(
X
)
, если существует ненулевой
вектор
x
0
∈
X
такой, что
Ax
0
=
λ
0
x
0
.
Вектор
x
0
называется
собственным
вектором
оператора
A
, отвечающим собственному значению
λ
0
.
Непосредственно из определения следует, что если
A
∈
L
(
X
)
- опера-
тор простой структуры из определения 1, то числа
λ
1
, . . . , λ
n
из равенств
(2) являются собственными значениями, а векторы
e
1
, . . . , e
n
- собственными
векторами оператора
A
.
184
Глава 3. Линейная алгебра
Отметим еще, что каждый ненулевой вектор из
X
является собственным
вектором операторов 0 и
I
, причем 0 - единственное собственное значение ну-
левого оператора 0, а 1 - единственное собственное значение тождественного
оператора
I
.
Определение 4.
Совокупность всех собственных значений оператора
A
∈
L
(
X
)
обозначается символом
σ
(
A
) (
⊂
K
)
и называется
спектром опе-
ратора
A
.
Таким образом,
σ
(0) =
{
0
}
, σ
(
I
) =
{
1
}
, σ
(
αI
) =
{
α
} ∀
α
∈
K.
Замечание 3.
Из определения следует, что совокупность собственных
векторов оператора
A
∈
L
(
X
)
,
отвечающих собственному значению
λ
0
∈
σ
(
A
)
,
состоит из
ненулевых
векторов подпространства
Ker
(
A
−
λ
0
I
)
.
Подпространство
Ker
(
A
−
λ
0
I
)
назовем
собственным подпространством
оператора
A
и обозначим символом
E
(
λ
0
, A
)
. Отметим, что размерность соб-
ственного подпространства может совпадать с
n
=
dim X.
Например, это
верно для операторов вида
αI, α
∈
K.
Замечание 4.
Из замечания 3 и теоремы 3,
§
19 следует, что
λ
0
является
собственным значением оператора
A
тогда и только тогда, когда оператор
A
−
λ
0
I
необратим. Поэтому имеет место
Т е о р е м а 2.
Спектр
σ
(
A
)
оператора
A
∈
L
(
X
)
состоит из множества
комплексных чисел
λ
0
, для которых оператор
A
−
λ
0
I
необратим.
Замечание 5.
Из замечания 4 и теоремы 8,
§
22 следует, что число
λ
0
∈
K
является собственным значением оператора
A
∈
L
(
X
)
тогда
и
только тогда, когда
det
(
A
−
λ
0
I
) = 0
.
Поскольку
det
(
A
−
λ
0
I
) =
=
det
(
A −
λ
0
E
)
,
где
A
= (
a
ij
)
∈
M atr
n
(
K
)
- некоторая матрица оператора
A
, то
σ
(
A
) =
{
λ
0
∈
K
:
det
(
A −
λ
0
E
) = 0
}
,
т.е. спектр
σ
(
A
)
оператора
A
совпадает с нулями функции
p
A
(
λ
) =
det
(
A −
λE
)
.
§
26. Собственные значения и собственные векторы
185
Поскольку
A −
λE
=
a
11
−
λ
a
12
· · ·
a
1
n
a
21
a
22
−
λ
· · ·
a
2
n
...
...
...
...
a
n
1
a
n
2
· · ·
a
nn
−
λ
,
то функция
p
A
:
K
→
K
является многочленом степени
n
, который имеет
вид
p
A
(
λ
) = (
−
1)
n
λ
n
+
p
1
λ
n
−
1
+
· · ·
+
p
n
,
где
p
1
= (
−
1)
n
−
1
(
a
11
+
a
22
+
· · ·
+
a
nn
)
, p
n
=
p
A
(0) =
det
A
.
Определение 5.
Многочлен
p
A
(
λ
) =
det
(
A
−
λI
)
(
p
A
(
λ
) =
det
(
A −
λE
))
из
P
(
K
)
называется
характеристическим многочленом
оператора
A
(матрицы
A
= (
a
ij
)
∈
M atr
n
(
K
)
).
Определение 6.
Число
a
11
+
a
22
+
· · ·
+
a
nn
называется
следом оператора
A
(матрицы
A
) и обозначается символом
tr A
(
tr
A
)
.
Поскольку характеристический многочлен оператора
A
не зависит от
выбора его матрицы, то определение следа оператора корректно.
Из замечания 5 и основной теоремы высшей алгебры следует
Т е о р е м а 3.
Пусть
X
- комплексное линейное пространство
(
dim X
≥
1)
.
Тогда каждый линейный оператор
A
∈
L
(
X
)
имеет хотя бы од-
но собственное значение, его спектр
σ
(
A
)
состоит из не более чем
n
=
dim X
комплексных чисел, совпадающих с корнями характеристического многочле-
на
p
A
оператора
A
.
Определение 7.
Кратность корня
λ
0
характеристического многочлена
оператора
A
называется
алгебраической кратностью
собственного значения
λ
0
оператора
A
, а размерность собственного подпространства
E
(
λ
0
, A
)
опе-
ратора
A
называется
геометрической кратностью
собственного значения
λ
0
.
В следующем примере показано, что алгебраическая и геометрическая
кратности собственного значения могут не совпадать.
186
Глава 3. Линейная алгебра
Пример 2.
Рассмотрим оператор дифференцирования
D
:
P
n
(
C
)
→
P
n
(
C
)
.
Из доказательства теоремы 1 видно, что
σ
(
D
) =
{
0
}
,
и поэтому
p
D
(
λ
) = (
−
1)
n
+1
λ
n
+1
,
т.е. 0 - собственное значение алгебраической кратности
n
+1
.
В то же время
E
(0
, D
) =
KerD
=
{
ρ
0
:
ρ
0
∈
C
}
состоит из многочленов
степени
≤
0
,
т.е. геометрическая кратность числа 0 равна 1.
Можно доказать (это будет сделано в
§
33), что геометрическая крат-
ность любого собственного значения линейного оператора всегда не превос-
ходит его алгебраической кратности.
Определение 8.
Собственное значение линейного оператора называется
простым
, если его алгебраическая кратность равна единице.
Непосредственно из теоремы 3 и формул Виета (см.
§
11) получаем
Следствие 1.
Имеют место равенства
tr A
=
tr
A
=
k
1
λ
1
+
· · ·
,
+
k
m
λ
m
, det A
=
det
A
=
λ
k
1
1
λ
k
2
2
· · ·
λ
k
m
m
,
где
σ
(
A
) =
{
λ
1
, . . . , λ
m
}
и
k
j
- алгебраическая кратность собственного зна-
чения
λ
j
оператора
A
∈
L
(
X
)
(
A
- его матрица).
Замечание 6.
Именно использование основной теоремы высшей алгеб-
ры привело к требованию в условиях теоремы 3 комплексности линейных
пространств. Утверждения этой теоремы неверны для вещественных линей-
ных пространств. Об этом говорит следующий пример.
Пример 3.
Пусть
оператор
A
:
R
2
→
R
2
- задается матрицей
A
=
0 1
−
1 0
.
Поскольку
p
A
(
λ
) =
λ
2
+ 1
, λ
∈
R
,
то
σ
(
A
) =
{
λ
∈
R
:
p
A
(
λ
) = 0
}
,
т.е.
σ
(
A
) =
∅
.
Т е о р е м а 4.
Пусть
λ
1
, . . . , λ
m
∈
K
- различные собственные значения
оператора
A
. Тогда соответствующие им собственные векторы
e
1
, . . . , e
m
(т.е.
Ae
k
=
λ
k
e
k
, k
= 1
, . . . , m
)
линейно независимы.
Доказательство
проведем индукцией по числу
m
линейно независи-
мых векторов. При
m
= 1
имеем один ненулевой собственной вектор
e
1
,
который всегда линейно независим.