ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 3453
Скачиваний: 14
§
37. Спектральный радиус и норма операторов
277
Упражнения к § 37
1. Какие из следующих матриц положительно определены
1 1
1 0
,
0
i
−
i
0
,
2
i
−
i
2
,
2 0 1
0 2 0
1 0 2
,
1 1 1
1 1 1
1 1 1
?
2. Найдите необходимые и достаточные условия положительной определен-
ности матрицы
a b
c d
∈
M atr
2
(
C
)
.
3. Для каких
α
∈
C
положительно определена матрица
α
1 1
1 0 0
1 0 1
?
4. Докажите, что матрица Грама любой системы векторов
a
1
, . . . , a
n
поло-
жительно полуопределена.
5. Приведите пример положительно определенной матрицы, имеющей от-
рицательные элементы.
6. Докажите
положительность
всех
диагональных
элементов
поло-
жительно определенной матрицы.
7. Получите оценки
λ
n
(
A
)
≥
a
ii
, i
= 1
, . . . , n
для любой симметрической
матрицы
A
= (
a
ij
)
∈
M atr
n
(
K
)
.
8. Получите неравенство Шура:
n
X
i
=1
|
λ
i
(
A
)
|
2
≤
X
1
≤
i,j
≤
n
|
a
ij
|
2
,
A
= (
a
ij
)
∈
M atr
n
(
K
)
.
Это неравенство превращается в равенство для нормальной матрицы.
9. Докажите, что для любой положительно определенной матрицы
A
=
(
a
ij
)
∈
M atr
n
(
K
)
имеет место оценка
det
A ≤
a
11
, . . . , a
nn
.
278
Глава 3. Линейная алгебра.
10. Докажите, что в положительно определенной матрице максимальный по
модулю элемент расположен на главной диагонали.
11. В положительно полуопределенной матрице определитель главного ми-
нора порядка
k
равен нулю. Докажите, что определители всех главных
миноров порядка
> k
тоже нулевые.
12. Получите аналог теоремы 9 для положительно полуопределенных опе-
раторов.
13. Докажите, что если
A >
0 (
A
∈
L
(
H
))
,
то
A
+
A
−
1
>
2
I.
14. Докажите, что если
A > B,
то
B
−
1
> A
−
1
(
A, B
∈
L
(
H
))
.
15. Пусть
A >
0
для
A
∈
L
(
H
)
.
Докажите, что формула
[
x, y
] = (
Ax, y
)
,
x, y
∈
H
задает скалярное произведение в
H
.
16. Докажите, что если
A
=
A
∗
,
то
e
A
>
0
и
||
e
A
|| ≤
e
γ
,
где
γ
= max
λ
∈
σ
(
A
)
λ.
17. Пусть
A >
0
, A
∈
L
(
H
)
.
Докажите существование и единственность
логарифма
ln A.
18. Найдите положительно определенный корень из матриц
5
−
3
−
3
5
,
2 1 1
1 2 1
1 1 2
.
19. Какие из следующих трехдиагональных матриц положительно опреде-
лены (полуопределены)
1 1
1 2 1
1 2
· · ·
· · ·
· · ·
2 1
1 1
,
−
1 1
1 2 1
· · ·
· · ·
· · ·
2 1
1 1 1
1 1
?
§
37. Спектральный радиус и норма операторов
279
20. Пусть
A > B >
0
, A, B
∈
L
(
H
)
.
Докажите, что
det A > det B >
0
, tr A > trB >
0
.
21. Пусть
A
∈
L
(
H
1
, H
2
)
,
где
H
1
, H
2
- евклидовы пространства со скалярны-
ми
произведениями
(
x, y
)
1
и
(
x, y
)
2
соответственно.
Оператор
A
∗
:
H
2
→
H
1
называется сопряженным к оператору
A
, если
(
Ax, y
)
1
= (
x, A
∗
y
)
2
.
Докажите положительную полуопределенность опе-
раторов
A
∗
A
∈
L
(
H
1
)
, AA
∗
∈
L
(
H
2
)
.
22. Пусть
A
∈
L
(
H
1
, H
2
)
и
e
1
, . . . , e
n
- ортонормированный базис в
H
1
из
собственных векторов оператора
A
∗
A
, причем
A
∗
Ae
j
=
α
2
j
e
j
,
j
= 1
, . . . , n,
где
α
j
≥
0
, j
= 1
, . . . n, α
1
α
2
. . . α
m
6
= 0
, α
m
+1
=
· · ·
=
α
n
= 0
.
Докажите, что
1) векторы
e
m
+1
, . . . , e
n
образуют базис в
Ker A
;
2)
||
Ae
i
||
=
α
i
, i
= 1
, . . . , m
и векторы
Ae
1
, . . . , Ae
m
взаимно ортого-
нальны;
3) для любого вектора
b
∈
H
2
вектор
x
0
=
n
P
j
=1
(
b, Ae
j
)
α
2
j
e
j
обладает свой-
ством
||
b
−
Ax
0
||
= inf
x
∈
H
1
||
b
−
Ax
||
.
23. Установите взаимосвязь свойства 3) из упражнения 22 c методом наи-
меньших квадратов (
§
25).
24. Докажите, что если
U
∈
L
(
H
)
- изометрический изоморфизм, то
U
-
унитарный оператор.
25. Докажите, что введенное в определении 4 отношение на
L
(
H
)
есть отно-
шение порядка (и, значит,
L
(
H
)
- частично упорядоченное множество).
Приведите пример линейно упорядоченного подмножества из
L
(
H
)
.
26. Пусть
p
(
z
) =
a
0
+
a
1
z
+
· · ·
+
a
n
−
1
, z
n
−
1
+
z
n
- многочлен из
P
(
C
)
.
До-
кажите, что для его корней
λ
k
,
1
≤
k
≤
m
≤
n,
верна оценка Коши
280
Глава 3. Линейная алгебра
|
λ
k
|≤
max
{|
a
0
|
,
1+
|
a
1
|
, . . . ,
1+
|
a
n
−
1
|} ≤
2+ max
0
≤
i
≤
n
−
1
|
a
i
|
,
1
≤
k
≤
m
(указание:
рассмотрите
сопровождающую
матрицу
A
,
оператор
A
:
K
n
→
K
n
,
определяемый
A
,
используйте лемму 1 и упражнение
20 из § 19).
27. Докажите, что
r
(
A
) =
r
(
A
t
)
для любой матрицы
A ∈
M atr
n
(
R
)
.
28. Используя теорему Шура, докажите теорему Гамильтона-Кэли.
§
38. Билинейные и квадратичные формы
Понятие билинейной (и полилинейной) формы было введено в
§
21; там
же рассматривались примеры билинейных форм. В этом параграфе изуча-
ются билинейные (и ассоциированные с ними) квадратичные формы, опре-
деленные на вещественном евклидовом пространстве
H
).
Определение 1.
Пусть
e
1
, . . . , e
n
- некоторый базис в
H
. Матрица
(
a
ij
)
∈
M atr
n
(
R
)
, где
a
ij
=
ϕ
(
e
i
, e
j
)
,
1
≤
i, j
≤
n,
называется
матрицей
билинейной формы
ϕ
:
H
×
H
→
R
относительно базиса
(
e
i
)
.
Поскольку
ϕ
(
x, y
) =
ϕ
n
P
i
=1
x
i
e
i
,
n
P
j
=1
y
j
e
j
!
=
P
1
≤
i,j
≤
n
x
i
y
j
ϕ
(
e
i
, e
j
)
,
то били-
нейная форма
ϕ
однозначно определяется ее матрицей.
Т е о р е м а 1.
Для каждой билинейной формы
ϕ
:
H
×
H
→
H
существует оператор
A
∈
L
(
H
)
такой, что
ϕ
(
x, y
) = (
Ax, y
)
,
(
x, y
)
∈
H
×
H.
(1)
Доказательство.
Если
A
= (
a
ij
)
∈
M atr
n
(
R
)
- матрица билиней-
ной формы
ϕ
относительно ортонормированного базиса
e
1
, . . . , e
n
,
то рас-
смотрим оператор
A
∈
L
(
H
)
,
задаваемый матрицей
A
t
,
транспонирован-
ной к
A
. Из формулы (5),
§
18 следует, что билинейные формы
ϕ
и
f,
где
f
(
x, y
) = (
Ax, y
)
,
имеют одинаковые матрицы и поэтому совпадают. Теорема
доказана.
§
38. Билинейные и квадратичные формы.
281
Замечание 1.
Каждая билинейная форма
ϕ
:
R
n
×
R
n
→
R
имеет вид
ϕ
(
x, y
) =
X
1
≤
i,j
≤
n
a
ij
x
i
y
j
, x
= (
x
1
, . . . , x
n
)
, y
= (
y
1
, . . . , y
n
)
,
где
(
a
ij
)
∈
M atr
n
(
R
)
- матрица билинейной формы
ϕ
относительно обычного
базиса в
H
.
Замечание 2.
Матрица, транспонированная к матрице билинейной
формы (1), совпадает с матрицей оператора
A
(относительно того же ба-
зиса).
Замечание 3.
Форма (1) симметрична тогда и только тогда, когда опе-
ратор
A
самосопряжен. Для симметричной формы ее матрица совпадает с
матрицей оператора
A
относительно ортонормированного базиса в
H
.
Определение 2.
Функция
f
:
H
→
R
называется
квадратичной фор-
мой
, если она может быть представлена в виде
f
(
x
) =
ϕ
(
x, x
)
, x
∈
H,
где
ϕ
:
H
×
H
→
R
- некоторая билинейная форма.
Определение 3.
Квадратичная форма
f
:
H
→
R
называется
положи-
тельно определенной (положительно полуопределенной)
, если
f
(
x
)
>
0
∀
x
6
= 0 (
f
(
x
)
≥
0
∀
x
∈
H
)
.
Замечание 4.
Заданной квадратичной форме
f
:
H
→
R
может соот-
ветствовать бесконечно много билинейных форм
ϕ
:
H
×
H
→
R
со свойством
ϕ
(
x, x
) =
f
(
x
)
∀
x
∈
H.
Однако, если
ϕ
- симметрическая билинейная форма,
то из равенства
ϕ
(
x
+
y, x
+
y
) =
ϕ
(
x, x
) + 2
ϕ
(
x, y
) +
ϕ
(
y, y
)
следует, что
ϕ
(
x, y
) =
1
2
[
f
(
x
+
y
)
−
f
(
x
)
−
f
(
y
)]
.
Таким образом, для данной квадратичной формы
f
существует един-
ственная симметрическая форма
ϕ,
для которой
f
(
x
) =
ϕ
(
x, x
)
.
Такая били-
нейная форма
ϕ
называется
полярной
к квадратичной форме
f.