ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 3452
Скачиваний: 14
32
Глава 2. Алгебраические объекты; Алгебра многочленов
Рис. 9
треугольника, вершины которого занумерованы числами 1,2,3. Каждое само-
совмещение этого треугольника можно характеризовать перестановкой
1
2
3
k
1
k
2
k
3
на множестве вершин треугольника. Здесь
k
j
– номер места, которое после
преобразования
ϕ
заняла вершина
j,
j
= 1
,
2
,
3
.
Повороты
ϕ
0
=
e, ϕ
1
, ϕ
2
плоскости на углы
0
,
2
/
3
π,
4
/
3
π
соответственно вокруг точки 0 против часо-
вой стрелки переводят треугольник в себя. Кроме того, имеется три осевых
симметрии
ϕ
3
, ϕ
4
, ϕ
5
,
определяемые осями симметрии
a, b, c
соответствен-
но, проходящими через вершины треугольника и середины его противопо-
ложных сторон. В результате такого соответствия между самосовмещениями
треугольника и перестановками множества вершин получаем
ϕ
0
∼
1 2 3
1 2 3
, ϕ
1
∼
1 2 3
2 3 1
, ϕ
2
∼
1 2 3
3 1 2
,
ϕ
3
∼
1 2 3
1 3 2
, ϕ
4
∼
1 2 3
3 2 1
, ϕ
5
∼
1 2 3
2 1 3
.
Таким
образом,
построен
изоморфизм
между
груп-
пой самосовмещений и группой
S
3
(см. определение 12).
Определение 10.
Подгруппа
H
из группы
G
называется
нормальной
,
если
a x a
−
1
∈
H
∀
a
∈
G
∀
x
∈
H.
Непосредственно из определения следует, что каждая подгруппа из абе-
левой группы нормальна.
Пусть
H
– нормальная подгруппа группы
G
. На
G
введем отношение
эквивалентности
R
, считая
x
∼
y
, если
x y
−
1
∈
H.
Лемма 1.
R
– отношение эквивалентности на
G
.
§
5
.
Алгебраические операции.Группы
33
Доказательство.
Очевидно, что
x
∼
x
∀
x
∈
G
.
Если
x
∼
y
, то
xy
−
1
∈
H
, и поэтому принадлежит
H
также элемент
yx
−
1
= (
xy
−
1
)
−
1
(элемент
yx
−
1
является обратным к
xy
−
1
). Итак,
y
∼
x
.
Наконец, если
x
∼
y
и
y
∼
z
, то
xy
−
1
, yz
−
1
∈
H
и поэтому
xz
−
1
=
= (
xy
−
1
)(
yz
−
1
)
∈
H
, что означает
x
∼
z
. Лемма доказана.
Лемма 2.
Каждый класс эквивалентности
A
из фактор-множества
G/R
имеет вид
xH
=
{
xh
:
h
∈
H
}
, где
x
– любой элемент из
A
.
Доказательство.
Пусть
x
– произвольный элемент из
A
. Если
z
=
=
xh
∈
xH
, то
zx
−
1
=
xhx
−
1
∈
H
, т.е.
z
∈
A
. Следовательно,
xH
⊂
A
.
Обратно, если
a
∈
A
, то
x
−
1
a
=
a
−
1
(
ax
−
1
)
a
=
h
∈
H,
т.е.
a
=
xh
∈
xH
и
поэтому
A
⊂
xH.
Итак,
A
=
xH
∀
x
∈
A.
Лемма доказана.
В фактор-множестве
G/R
введем операцию умножения, положив
AB
=
xyH
, если
A
=
xH
и
B
=
yH
. Отметим, что
AB
= (
x
1
H
)(
y
1
H
)
,
∀
x
1
∈
A
∀
y
1
∈
B,
так как
xy
∼
x
1
y
1
(ибо
(
x
1
y
1
)(
xy
)
−
1
=
x
1
y
1
y
−
1
x
−
1
=
= (
x
1
(
y
1
y
−
1
)
x
−
1
1
(
x
1
x
−
1
)
∈
H
)
.
Непосредственно из ассоциативности операции умножения в группе
G
следует ассоциативность введенной операции умножения в фактор-мно-
жестве
G/R
. Единицей в
G/R
является класс эквивалентности
eH
=
H.
Яс-
но, что класс эквивалентности
x
−
1
H
является обратным к
xH
. Итак,
G/R
– группа.
Определение 11.
Группа
G/R
называется
фактор-группой
группы
G
по нормальной подгруппе
H
. Для полученной фактор-группы далее исполь-
зуется обозначение
G/H.
Пример 13.
Рассмотрим группу
Z
целых чисел (по сложению), некото-
рое натуральное число
m
≥
2
и подгруппу
m
Z
целых чисел, делящихся на
m
. Подгруппа
m
Z
приводит к отношению эквивалентности, рассмотренному
в примере 2 из
§
2
.
Тогда фактор-группа
Z
m
=
Z/mZ
состоит из
m
классов
эквивалентности.
m
Z
,
1 +
m
Z
, . . . m
−
1 +
Z
,
где
k
+
m
Z
=
{
k
+
mj, j
∈
Z
}
, k
= 1
,
2
, . . . , m
−
1
.
При
m
= 2
получим,
что группа
Z
2
состоит из двух элементов: класса
2
Z
= 0 + 2
Z
четных чисел
и класса
1 + 2
Z
нечетных чисел. По определению
2
Z
+ 2
Z
= 2
Z
,
2
Z
+ (1 +
2
Z
) = 1 + 2
Z
,
1 + 2
Z
+ (1 + 2
Z
) = 2
Z
.
Определение 12.
Пусть
G
и
S
– две группы. Отображение
f
:
G
→
S
называется
гомоморфизмом групп
, если
f
(
g
1
g
2
) =
f
(
g
1
)
f
(
g
2
)
∀
g
1
, g
2
∈
G.
Если гомоморфизм
f
является биективным отображением, то он называется
изоморфизмом
, а группы
G
и
S
–
изоморфными
.
34
Глава 2. Алгебраические объекты; Алгебра многочленов
Лемма 3.
Если
f
:
G
→
S
– изоморфизм групп, то обратное отобра-
жение
f
−
1
:
G
→
S
является гоморфизмом групп (и, следовательно, изомор-
физмом).
Доказательство.
Пусть
s
1
, s
2
– два элемента из группы
S
и
g
1
, g
2
– та-
кие элементы из
G
, что
f
(
g
1
) =
s
1
, f
(
g
2
) =
s
2
.
Тогда
f
(
g
1
g
2
) =
f
(
g
1
)
f
(
g
2
) =
=
s
1
s
2
,
и поэтому
f
−
1
(
s
1
s
2
) =
g
1
g
2
=
f
−
1
(
s
1
)
f
−
1
(
s
2
)
по определению обрат-
ного отображения. Лемма доказана.
Пример 14.
Рассмотрим две группы: группу
R
(см. пример 4) и груп-
пу
R
+
(см. пример 5). Отображение
f
:
R
→
R
+
,
определенное равен-
ством
f
(
t
) =
exp t
=
e
t
, t
∈
R
является изоморфизмом групп, так как
f
(
t
1
+
t
2
) =
e
t
1
+
t
2
=
e
t
1
e
t
2
=
f
(
t
1
)
f
(
t
2
)
.
Обратное отображение имеет вид
f
−
1
(
t
) =
ln t
∈
R
+
.
Таким образом,
R
и
R
+
– изоморфные группы.
Если взять какую-нибудь группу и рассмотреть изоморфные ей
группы, то нетрудно понять, что они алгебраически все одинаковы (могут
отличаться природой элементов и групповыми операциями). Изоморфные
группы, если их рассматривать как абстрактные группы, совпадают. Имен-
но понятие изоморфизма групп позволяют отвлечься от природы элементов
рассматриваемых групп, сосредоточившись на изучении алгебраической опе-
рации.
Пример 15.
Группа
Z
2
(из примера 13) изоморфна группе
{
0
,
1
}
(из
примера 10). Изоморфизм
f
:
Z
2
→ {
0
,
1
}
задается с помощью двух равенств
f
(2
Z
) = 0
и
f
(1 + 2
Z
) = 1
.
Определение 13.
Пусть
f
:
G
→
S
– гомоморфизм групп. Множество
Ker f
=
{
g
∈
G
:
f
(
g
) =
e
S
}
(
e
S
– единица группы
S
) называется
ядром
гомоморфизма
f
.
Т е о р е м а.
Пусть
f
:
G
→
S
– гомоморфизм групп. Тогда имеют
место следующие свойства:
1)
f
(
e
G
) =
e
S
;
2)
f
(
x
−
1
) =
f
(
x
)
−
1
∀
x
∈
G
;
3)
Ker f
– нормальная подгруппа группы
G
.
Доказательство.
1. Пусть
f
(
e
G
) =
u.
Тогда
u
=
f
(
e
G
) =
f
(
e
G
e
G
) =
=
f
(
e
G
)
f
(
e
G
) =
u
2
.
Умножая обе части полученного равенства на элемент
u
−
1
, получим, что
u
=
e
S
.
2. Из равенств
e
S
=
f
(
e
G
) =
f
(
xx
−
1
) =
f
(
x
−
1
)
f
(
x
)
следует, что
f
(
x
−
1
) =
f
(
x
)
−
1
.
3. Если
x
∈
Ker f,
т.е. если
f
(
x
) =
e
S
, то из утверждения 2) полу-
чаем, что
f
(
x
−
1
) =
f
(
x
)
−
1
=
e
S
,
т.е.
x
−
1
∈
Ker f.
Если
x, y
∈
Ker f,
то
f
(
xy
) =
f
(
x
)
f
(
y
) =
e
2
S
=
e
S
.
Таким образом,
Ker f
– подгруппа из
группы
G
. Подгруппа
Ker f
является нормальной, так как
f
(
g x g
−
1
) =
=
f
(
g
)
f
(
x
)
f
(
g
−
1
) =
e
s
∀
g
∈
G
∀
x
∈
Ker f.
Теорема доказана.
§
5
.
Алгебраические операции.Группы
35
В заключение параграфа отметим, что в дальнейшем для произведения
(суммы в абелевой группе) нескольких элементов из группы используются
следующие обозначения
n
Y
j
=1
a
j
=
a
1
a
2
. . . a
n
, a
n
=
a . . . a
| {z }
n
раз
, a
−
n
= (
a
−
1
)
n
,
n
X
j
=1
a
j
=
a
1
+
· · ·
+
a
n
(если
G
– абелева группа с аддитивной формой записи операции).
Используется также обозначение
X
j
∈
M
a
j
для суммы элементов
a
j
, j
∈
M
из абелевой группы
G
, индексированных
элементами конечного множества
M
.
Упражнения к § 5
1. Определите, какие из следующих числовых множеств образуют группу
а) по сложению,
б) по умножению
1)
Q
;
2)
R
\ {
0
}
;
3)
R
+
S
{
0
}
;
4)
{
1
,
−
1
}
;
5)
{
2
, . . .
2
n
, . . .
}
.
2. Докажите, что следующие множества образуют группы относительно
введенных на них операций умножения
1) множество свободных векторов (с операцией сложения векторов);
2) повороты плоскости вокруг заданной точки с операцией суперпо-
зиции отображений (поворотов);
3) движения плоскости, оставляющие некоторый треугольник на ме-
сте;
4) множество непрерывных биективных отображений отрезка
[0
,
1]
в себя, принимающих нулевое значение в точке 0 и равных 1 в точке
1 (с операцией суперпозиций функций).
5) множество корней
n
-ой степени из единицы с операцией умноже-
ния чисел.
3. Какие группы из предыдущей задачи абелевы?
36
Глава 2. Алгебраические объекты; Алгебра многочленов
4. Докажите, что подмножество
{
(
a, b
)
∈
R
2
:
a
6
= 0
} ⊂
R
2
образует группу
относительно умножения, определяемого формулой
(
a, b
)(
c, d
) = (
ac, ad
+
b
)
.
Будет ли эта группа абелева?
5. Докажите, что функция вида
f
(
x
) =
ax
+
b, a
6
= 0
, f
:
R
→
R
образуют
группу относительно суперпозиции отображений, изоморфную группе из
предыдущей задачи.
6. Докажите, что в любой группе
1) единичный элемент
e
единствен;
2) для любого элемента
a
обратный элемент
a
−
1
единствен;
3) равенство
ax
=
b
равносильно
x
=
a
−
1
b
, а равенство
xa
=
b
равносильно
x
=
ba
−
1
;
4) для любых двух элементов
a, b
выполняется равенство
(
ab
)
−
1
=
=
b
−
1
a
−
1
.
7. Докажите, что если квадрат любого элемента группы равен единичному
элементу , то группа абелева.
8. Докажите, что множество перестановок
G
1
=
{
f
∈
S
n
:
f
(1) = 1
}
образует подгруппу, которая не является нормальной, если
n
≥
3
.
9. Докажите, что множество параллельных переносов плоскости является
нормальной подгруппой группы движений плоскости.
10. Докажите, что множество самосовмещений некоторой фигуры из (плос-
кости или пространства)
E
образует подгруппу группы движений в
E
.
11. Найдите подгруппу
S
всех самосовмещений прямой в группе всех дви-
жений плоскости. Докажите, что
G
– бесконечная неабелева группа.
12. Найдите подгруппу всех самосовмещений каждой из следующих фигур
в группе всех движений плоскости:
а) ромба;
б) квадрата;
в) равнобедренного треугольника;
г) правильного
n
–угольника;
д) цифры 8.