ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 3454
Скачиваний: 14
§
5
.
Алгебраические операции.Группы
37
13. Докажите, что если
f
и
g
– движения, то
f
−
1
и
f
◦
g
также являются
движениями.
14. Докажите, что в абелевой группе
G
множество элементов вида
{
g
2
:
g
∈
G
}
образует подгруппу в
G
.
15. Докажите, что если
H
1
и
H
2
– нормальные подгруппы из группы
G
и
H
1
T
H
2
=
{
e
}
,
то элементы из
H
1
перестановочны с элементами из
H
2
.
16. Найдите перестановку из
S
n
, обратную к перестановке
1 2
. . . n
−
1
n
2 3
. . .
n
1
.
17. Найдите перестановку
f
∈
S
n
, для которой
а)
f
=
f
−
1
,
б)
f
3
=
e
.
18. Докажите, что гомоморфизм
f
:
G
→
S
групп является инъективным
отображением тогда и только тогда, когда
Kerf
=
{
e
}
.
19. Докажите, что любые две группы, состоящие из трех элементов, изо-
морфны.
20. Пусть
Z
– группа целых чисел (по сложению). Какие из следующих
отображений
f
k
:
Z
→
Z, k
= 1
,
2
,
3
являются гомоморфизмами группы
Z
:
1)
f
1
(
m
) =
m
+ 1;
2)
f
2
(
m
) = 2
m
;
3)
f
3
(
m
) =
−
m, m
∈
Z
.
Какие из гомоморфизмов являются изоморфизмами?
21. Пусть
f
:
G
→
S
– гомоморфизм групп. Докажите, что образ
f
(
G
)
отображения
f
является подгруппой группы
S
.
22. Пусть
A
– некоторая вершина правильного тетраэдра. Докажите, что
множество самосовмещений тетраэдра, оставляющих неподвижной точ-
ку
A
, есть группа, изоморфная группе перестановок
S
3
.
23. Докажите, что группа самосовмещений правильного тетраэдра изоморф-
на группе
S
4
.
24. Докажите, что множество всех самосовмещений куба, оставляющих не-
подвижной некоторую его вершину, есть группа. Опишите эту группу.
38
Глава 2. Алгебраические объекты; Алгебра многочленов
25. Пусть
G
– группа и
a
– некоторый элемент из
G
. Докажите, что отоб-
ражение
f
:
G
→
G, f
(
g
) =
a g a
−
1
является изоморфизмом группы
G
.
26. Пусть
G
– группа. Докажите, что отображение
f
:
G
→
G, f
(
g
) =
g
−
1
,
g
∈
G
является гомоморфизмом группы
G
тогда и только тогда, когда
G
– абелева группа.
27. Докажите, что группа перестановок
S
(
A
)
конечного множества
A
=
{
a
1
, . . . , a
n
}
изоморфна симметрической группе
S
n
.
28. Найдите фактор-группы
G/G
0
и
G/G
, где
G
0
– подгруппа из
G
, состо-
ящая только из единичного элемента
e
(
G
0
=
{
e
}
)
.
29. Пусть
f
:
G
→
S
– гомоморфизм групп. Докажите, что группа
f
(
G
)
изоморфна фактор-группе
G/Ker f.
30. Найдите (с точностью до изоморфизма) фактор-группу
R
/
Z
.
31. Докажите, что натуральное число
(
m
−
1)! + 1
делится на простое число
m
∈
N
(указание: рассмотрите группу
Z
/mZ
и докажите, что если
G
-
группа из
m
элементов, то
g
m
=
e
∀
g
∈
G
)
.
§
6. Группы перестановок
В этом параграфе более подробно остановимся на изучении группы
S
(
A
n
)
перестановок конечного множества
A
n
=
{
a
1
, a
2
, . . . , a
n
}
и, в частно-
сти, симметрической группы
S
n
=
S
(
{
1
, . . . , n
}
)
.
Важность изучения групп
перестановок связана с теоремой Кэли (см. теорему 8), в которой утвержда-
ется, что любая конечная группа изоморфна некоторой подгруппе группы
S
n
для подходящего
n
.
Т е о р е м а 1.
Число
P
n
перестановок множества
A
n
равно
n
!.
Доказательство
теоремы проведем индукцией по числу
n
. Если
n
= 1
, то группа
S
(
A
1
)
состоит только из тождественного отображения.
Поэтому
P
1
= 1
!.
Пусть
n >
1
и
P
n
−
1
= (
n
−
1)!
для числа перестановок любого мно-
жества, состоящего из
n
−
1
элементов (согласно индуктивного предполо-
жения). Множество
S
(
A
n
)
представим в виде объединения
n
S
k
=1
M
k
взаимно
пересекающихся подмножеств
M
k
=
{
f
∈
S
(
A
n
) :
f
(
a
1
) =
a
k
}
,
1
≤
k
≤
n.
§
6
.
Группы перестановок
39
Число элементов в каждом из этих множеств одно и то же и, следователь-
но, равно числу элементов множества
M
1
, которое, очевидно, равно числу
перестановок множества
{
a
2
, a
3
, . . . , a
n
}
,
т.е. числу
P
n
−
1
= (
n
−
1)!
.
Поэтому
P
n
=
n
(
n
−
1)! =
n
!
Теорема доказана.
Определение 1.
Пусть
ϕ
= (
a
k
1
, a
k
2
, . . . a
k
n
)
– некоторая перестановка
множества
A
n
=
{
a
1
, . . . , a
n
}
.
Если найдется пара
(
k
i
, k
j
)
, такая, что
i < j
,
но
k
i
> k
j
, то будем говорить, что пара
(
a
k
i
, a
k
j
)
образует
инверсию
. Общее
число инверсий перестановки
ϕ
обозначим символом
N
(
ϕ
)
.
Если
N
(
ϕ
)
–
четное число, то перестановка называется
четной
, а если
N
(
ϕ
)
нечетно, то
– нечетной.
Так, для перестановки
ϕ
=
1 2 3 4
4 2 3 1
число
N
(
ϕ
)
равно 5 и поэтому
нечетная.
Определение 2.
Символом
sign
:
S
(
A
n
)
→ {−
1
,
1
}
обозначим отобра-
жение из группы
S
(
A
n
)
в группу
{
1
,
−
1
}
(см. пример 3 из
§
5
), определенное
формулой
sign
(
ϕ
) = (
−
1)
N
(
ϕ
)
.
Определение 3.
Перестановка
ϕ
∈
S
(
A
n
)
, переставляющая только два
элемента (остальные остаются на месте), называется
транспозицией
.
Так, транспозиции из
S
n
имеют вид
1
. . .
i . . . j . . . n
1
. . . j . . .
i . . . n
,
где
многоточиями заменены числа, остающиеся на месте. Легко видеть, что
sign
(
ϕ
) =
−
1
для любой транспозиции
ϕ
∈
S
(
A
n
)
.
Т е о р е м а 2.
sign
(
ψ
◦
ϕ
) =
sign
(
ϕ
◦
ψ
) =
−
sign
(
ϕ
)
∀
ϕ
∈
S
(
A
n
)
и
для любой транспозиции
ψ.
Доказательство
проведем для симметрической группы
S
n
,
так как в
общем случае оно проводится аналогично.
Аналогично проводимому до-
казательству устанавливается равенство
signϕ
◦
ψ
=
−
signϕ.
Пусть
ϕ
=
1
. . .
n
k
1
. . . k
n
и
ψ
– транспозиция из
S
n
, меняющая места-
ми числа
i
и
j
. Тогда
ϕ
◦
ψ
=
1
2
. . .
i
i
+ 1
. . . j
−
1
j
. . .
n
k
1
k
2
. . . k
j
k
i
+1
. . .
k
j
−
1
k
i
. . . k
n
.
Вначале рассмотрим случай, когда
j
=
i
+ 1
.
Ясно, что как в переста-
новке
ϕ
, так и в перестановке
ϕ
◦
ψ
каждое из чисел
k
i
, k
i
+1
образует одну
и ту же инверсию с числами, остающимися на месте. Если пара
(
k
i
, k
i
+1
)
не
образовывала инверсии, то в новой перестановке
ϕ
◦
ψ
появляется одна новая
инверсия, т.е. число инверсий увеличивается на единицу. Если же эта пара
образует инверсию, то в перестановке
ϕ
◦
ψ
она не будет образовывать инвер-
сию, т.е. число инверсий уменьшится на единицу. И в том, и другом случае
40
Глава 2. Алгебраические объекты; Алгебра многочленов
получаем
sign
(
ϕ
◦
ψ
) =
−
signϕ
=
signψ signϕ,
так как
signψ
=
−
1
.
Рассмотрим теперь общий случай. Транспозицию
ψ
можно представить
в виде суперпозиции
ψ
=
ψ
1
◦
. . . ψ
m
−
1
◦
ψ
m
◦
ψ
m
−
1
◦· · ·◦
ψ
1
2(
j
−
i
)
−
1 = 2
m
−
1
транспозий
ψ
1
, ψ
2
, . . . , ψ
m
, ψ
m
−
1
, . . . , ψ
1
,
где
ψ
1
переставляет числа
i
и
i
+ 1
ψ
2
– числа
i
+ 1
и
i
+ 2
и т.д.
Наконец, транспозиция
ψ
m
будет переставлять местами числа
j
и
j
−
1
.
Тогда
sign ϕ
◦
ψ
= (
sign ϕ
)(
−
1)
2
m
−
1
=
−
sign ϕ.
Теорема доказана.
Т е о р е м а 3.
Всякая перестановка
ϕ
∈
S
(
A
n
)
,
A
n
=
{
a
1
, . . . , a
n
}
может быть разложена в произведение (суперпозицию) транспозиций, причем
число сомножителей четно, если она четна и нечетно, если
ϕ
– нечетная
перестановка.
Доказательство
проведем индукцией по числу
n
. Если
n
= 2
, то
S
(
A
2
)
состоит из тождественной перестановки
e
и перестановки
ϕ
=
a
1
a
2
a
2
a
1
,
являющейся транспозицией, причем,
e
=
ϕ
2
=
ϕ
◦
ϕ.
Допустим теперь, что наше утверждение доказано для
n
−
1
и докажем
его для
n
.
Рассмотрим произвольную перестановку
ϕ
=
a
1
a
2
. . .
a
n
a
k
1
a
k
2
. . . a
k
n
из группы
S
(
A
n
)
. Вначале предположим, что
k
1
6
= 1
и
ϕ
(
a
m
) =
a
1
при
m
6
= 1
.
Тогда перестановку
ϕ
можно представить в виде
ϕ
=
ψ
1
◦
f
супер-
позции перестановки
f
и транспозиции
ψ
1
,
которые имеют вид
ψ
1
=
a
1
a
2
. . . a
k
1
. . . a
n
a
k
1
a
2
. . .
a
1
. . . a
n
, f
=
a
1
a
2
a
3
. . .
a
m
. . .
a
n
a
1
a
k
2
a
k
3
. . . a
k
1
. . . a
k
n
.
Ввиду свойства
f
(
a
1
) =
a
1
, перестановку
f
по сути дела можно рассмат-
ривать как перестановку только
n
−
1
элементов
a
2
, . . . , a
n
,
которую в си-
лу индуктивного предположения, можно представить в виде суперпозиции
транспозиций. Следовательно, это же верно и для
ϕ
. Случай
k
1
= 1
в силу
проведенных рассуждений очевиден. Теорема доказана.
Т е о р е м а 4.
Отображение
sign
:
S
(
A
n
)
→ {−
1
,
1
}
является
гомоморфизмом групп.
Доказательство.
Пусть
f, ϕ
– две перестановки из
S
(
A
n
)
,
которые
в силу теоремы 3 можно представить в виде суперпозиций транспозиций
f
=
f
1
◦ · · · ◦
f
m
, ϕ
=
ϕ
1
◦ · · · ◦
ϕ
k
и тогда
f
◦
ϕ
=
f
1
◦ · · · ◦
f
m
◦
ϕ
1
◦ · · · ◦
ϕ
k
.
Из
теоремы 2 получаем, что
sign
(
f
◦
ϕ
) = (
−
1)
m
+
k
=
sign
(
f
)
sign
(
ϕ
)
.
Теорема
доказана.
§
6
.
Группы перестановок
41
Следствие 1.
sign
(
ϕ
) =
sign
(
ϕ
−
1
)
, ϕ
∈
S
(
A
n
)
.
Утверждение следствия следует из равенств
sign
(
ϕ
◦
ϕ
−
1
) =
sign
(
ϕ
)
sign
(
ϕ
−
1
) = 1
.
Следствие 2.
Множество четных перестановок из
S
(
A
n
)
образует нор-
мальную подгруппу.
Доказательство.
Если
f
– четная перестановка и
ϕ
– произвольная
перестановка из
S
(
A
n
)
, то
sign
(
ϕ
◦
f
◦
ϕ
−
1
) =
sign
(
ϕ
)
sign
(
f
)
sign
(
ϕ
−
1
) = 1
.
Проверка того факта, что четные перестановки образуют подгруппу отнесены
в упражнение 10. Следствие доказано.
К вопросам о разложении перестановок в произведение транспозиций и
определения их четности (нечетности) можно подойти несколько по-другому,
используя следующие понятия.
Определение 4.
Элемент
x
0
из множества
X
называется
неподвижной
точкой отображения
ϕ
:
X
→
X
, если
ϕ
(
x
0
) =
x
0
.
Если же
ϕ
(
x
0
)
6
=
x
0
,
то
x
0
называется
подвижной
точкой отображения
ϕ.
Например, для перестановки
ϕ
=
1 2 3 4 5
1 3 5 4 2
множество непо-
движных точек состоит из двух чисел 1 и 4, а числа 2,3 и 5 являются ее
подвижными точками.
Определение 5.
Перестановка
ϕ
∈
S
(
A
n
)
называется
циклической или
циклом
, если для любой пары
(
a, b
)
подвижных точек из
A
n
существует та-
кое натуральное число
m
, что
ϕ
m
(
a
) =
b.
Число подвижных точек цикла
называется
длиной цикла
.
Пример 1.
Перестановка
ϕ
=
1 2 3 4 5 6 7 8
1 8 6 4 5 2 7 3
∈
S
8
является циклической, так как подвижными ее точками являются числа 2,3,6,8,
причем
ϕ
переводит число 2 в 8, 8 в 3, 3 в 6, а 6 снова в 2. Длина цикла рав-
на 4.
Отметим, что циклами являются транспозиции.
Непосредственно из определения циклической перестановки следует, что
ее граф можно представить в виде объединения непересекающихся связных