ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 17.04.2021
Просмотров: 1229
Скачиваний: 3
Л.4. Построение математической модели
Задача на собственные значения
λ
u
(
t
) =
Z
β
α
K
(
t
,
s
)
u
(
s
)
ds
,
α
≤
t
≤
β
Встречается, например, при математическом моделировании
колебаний сплошных сред.
Собственным значением
ядра
K
, определяющим частоту так
называемых нормальных колебаний среды, называется любое значение
λ
, при котором уравнение имеет ненулевые решения;
сами эти решения, определяющие моды (формы) таких колебаний,
называются
собственными функциями
.
2014
56 / 74
Л.4. Построение математической модели
7. Уравнения для функций нескольких аргументов
Уравнения с частными производными или уравнения математической физики
Появляются в задачах, связанных с механикой сплошной среды,
теорией тепломассообмена, теорией электромагнитных полей и т.д.,
причем независимыми переменными чаще всего служат
геометрические координаты и в случае эволюционных задач время.
Два класса:
1. Уравнения, описывающие стационарное состояние среды.
Уравнение Лапласа:
∇
2
u
= 0
, уравнение Пуассона:
∇
2
u
=
f
(
~
r
)
,
∇
2
= ∆ =
∂
2
∂
x
2
+
∂
2
∂
y
2
+
∂
2
∂
z
2
Эти уравнения применяются при описании напряженного состояния
однородных изотропных упругих тел, стационарных течений идеальной
несжимаемой жидкости, стационарного распределения температуры,
электрических и магнитных полей и т.д.
2014
57 / 74
Л.4. Построение математической модели
При изучении прогиба плоской однородной пластинки применяются
также уравнения
∂
2
∂
x
2
+
∂
2
∂
y
2
2
u
= 0
,
∂
2
∂
x
2
+
∂
2
∂
y
2
2
u
=
f
(
x
,
y
)
.
Если рассматривается неоднородная среда либо неплоская пластинка,
то уравнения остаются линейными, но коэффициенты при
производных перестают быть постоянными.
При рассмотрении больших деформаций, течений сжимаемой среды и
др. уравнения становятся нелинейными.
Для уравнений стационарного состояния добавочными обычно служат
краевые условия, отражающие ситуацию на границе (
∂
D
) области (
D
).
Краевые условия первого, второго и третьего родов
: задание
u
,
∂
u
/∂~
n
, линейной комбинации
u
и
∂
u
/∂~
n
, соответственно.
2014
58 / 74
Л.4. Построение математической модели
2. Эволюционные уравнения.
Волновое уравнение:
∂
2
u
∂
t
2
=
a
2
∇
2
u
.
Уравнение теплопроводности:
∂
u
∂
t
=
a
2
∇
2
u
.
Для таких уравнений обычно ставится начальное условие, отражающее
начальное состояние моделируемого процесса (
u
(
t
=
t
0
)
,
u
′
t
(
t
=
t
0
)
).
Если для исследования существенна ситуация на границе области, в
которой происходит процесс, то задаются еще граничные условия;
тогда говорят о
начально-краевой задаче
.
Эволюционные задачи оптимального управления
: условия
ставятся не только в начальный, но и в конечный моменты времени.
2014
59 / 74
Л.5. Построение математической модели
Лекция 4. Построение математической модели
(продолжение)
2014
60 / 74