ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 17.04.2021
Просмотров: 1235
Скачиваний: 3
Л.4. Построение математической модели
Конечные уравнения:
задача о наилучшем совместном приближенном удовлетворении системы уравнений
Общий принцип:
n
неизвестных —
n
конечных уравнений.
Но если уравнения выписываются с определенной погрешностью, то в
ряде случаев увеличивают количество уравнений.
Для наилучшего совместного удовлетворения системы можно
использовать один из вариантов метода наименьших квадратов.
Пример:
x
+
y
= 3
.
1
,
x
+ 2
y
= 4
.
9
,
2
x
+ 3
y
= 7
.
8
(
x
+
y
−
3
.
1)
2
+ (
x
+ 2
y
−
4
.
9)
2
+ (2
x
+ 3
y
−
7
.
8)
2
→
min
x
= 1
.
23
,
y
= 1
.
80
2014
51 / 74
Л.4. Построение математической модели
6. Уравнения для функций одного аргумента
Обыкновенные дифференциальные уравнения
d
n
u
dt
n
=
F
t
,
u
,
du
dt
, . . . ,
d
n
−
1
u
dt
n
−
1
Требуется
n
добавочных условий.
Начальные условия
(ОДУ рассматривается как развитие некоторого
процесса во времени):
u
(
t
=
t
0
) =
u
0
,
du
dt
t
=
t
0
=
du
dt
0
, . . . ,
du
n
−
1
dt
n
−
1
t
=
t
0
=
d
n
−
1
u
dt
n
−
1
0
Краевые условия
(
u
(
t
)
строится на некотором интервале):
k
условий
на левом конце интервала,
n
−
k
– на правом.
2014
52 / 74
Л.4. Построение математической модели
Разностные уравнения
u
k
+
r
=
ϕ
(
u
k
,
u
k
+1
, . . . ,
u
k
+
r
−
1
,
k
)
,
k
= 0
,
1
,
2
, . . .
Φ(
u
k
,
u
k
+1
, . . . ,
u
k
+
r
−
1
,
u
k
+
r
,
k
)
,
k
= 0
,
1
,
2
, . . .
Обычно появляются как математические модели механических и иных
систем, для которых определен
закон перехода из одного
состояния в другое
в некоторые
дискретные моменты времени
,
либо как модели стационарного состояния
дискретной системы
взаимосвязанных объектов
.
Появляются при приближенном решении ОДУ (методы Рунге-Кутта,
Адамса и др.)
2014
53 / 74
Л.4. Построение математической модели
Дифференциально-функциональные уравнения
(дифференциальные
уравнения с отклоняющимся аргументом)
Пример:
u
′
(
t
) =
f
(
t
,
u
(
t
)
,
u
(
t
−
h
))
u
′
(
t
) =
f
(
t
,
u
(
t
)
,
u
(
t
−
h
)
,
u
′
(
t
−
h
))
,
h
>
0
.
Такие уравнения появляются, если в моделируемой системе имеется
элемент задержки, в результате действия которого скорость эволюции
системы определяется ее состоянием не только в
текущий
момент
t
,
но и в
предшествующий
момент
t
−
h
.
Появление "запаздывания"
h
приводит не только к количественным, но
и к
качественным
изменениям постановок задач и свойств их
решений.
Так, в качестве начального условия для уравнений первого порядка
задаются все значения искомой функции
u
(
t
)
при
t
0
−
h
≤
t
≤
t
0
; при
заданном начальном условии уравнение может решаться не в обе
стороны, как обычно, а только "вперед"по
t
и т.д.
2014
54 / 74
Л.4. Построение математической модели
Интегро-дифференциальные уравнения
Уравнение включает не одно, а несколько дискретных запаздываний, а
также «распределенное запаздывание».
В линейном случае:
u
′
(
t
) =
Z
t
t
0
K
(
t
,
s
)
u
(
s
)
ds
+
f
(
t
)
,
t
≥
t
0
Интегральные уравнения
1. Интегральные уравнения Фредгольма второго рода:
u
(
t
) =
Z
β
α
K
(
t
,
s
)
u
(
s
)
ds
+
f
(
t
)
,
α
≤
t
≤
β
2. Уравнения Вольтерра второго рода:
u
(
t
) =
Z
t
α
K
(
t
,
s
)
u
(
s
)
ds
+
f
(
t
)
,
α
≤
t
≤
β
2014
55 / 74