ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 17.04.2021
Просмотров: 1221
Скачиваний: 3
Л.1. Понятие математической модели. Основные требования
Общность натурного и компьютерного экспериментов:
Лабораторный эксперимент
Компьютерный эксперимент
Образец
Математическая модель
Физический прибор
Программа
Калибровка
Тестирование программы
Измерения
Расчеты
Анализ данных
Анализ данных
2014
11 / 74
Л.1. Понятие математической модели. Основные требования
Множественность и единство моделей
Реальный объект может иметь
несколько неравносильных
математических моделей.
Это связано как с необходимостью исследования различных систем
S
1
,
S
2
, . . .
его свойств, так и с выбором типа модели.
Построение различных моделей одного и того же объекта может иметь
целью различную точность, детализацию его свойств.
Пример 2. Груз на пружине (пример 1) с учетом вязкого трения.
f
– (малый) коэффициент трения.
m
d
2
x
dt
2
+
f
dx
dt
+
kx
= 0
Различные изменения мат. модели возможны и после формулирования
содержательной модели.
2014
12 / 74
Л.1. Понятие математической модели. Основные требования
Обратная картина:
различные реальные объекты или различные
содержательные модели могут иметь
одну и ту же
математическую
модель.
Пример 3.
Сила
j
=
j
(
t
)
электрического тока в замкнутом контуре с
сопротивлением
R
, индуктивностью
L
и емкостью
C
удовлетворяет
уравнению
L
d
2
j
dt
2
+
R
dj
dt
+
j
C
= 0
.
То же уравнение при другом смысле букв описывает разнообразные
осцилляторы иной природы.
2014
13 / 74
Л.1. Понятие математической модели. Основные требования
Требование адекватности математической модели
Требование правильного соответствия изучаемому реальному объекту
A
относительно выбранной системы
S
его свойств:
1)
правильное качественное описание рассматриваемых свойств
объекта;
2)
правильное количественное описание этих свойств с некоторой
разумной точностью.
В соответствии с тем, ставится условие 2) или нет, говорят
соответственно о
количественных
или
качественных моделях
.
Вместо количественной адекватности говорят также о
точности
модели
.
Вопрос:
По отношению к каким свойствам являются
адекватными/неадекватными модели из примеров 1 и 2?
2014
14 / 74
Л.1. Понятие математической модели. Основные требования
Пример 4.
Задача о распространении тепла в твердом теле, материал которого
однороден и изотропен.
Уравнение теплопроводности:
∂θ
∂
t
=
a
∇
2
θ,
θ
– температура,
t
– время,
a
– коэффициент температуропроводности
Модель адекватна количественно и в качественно по отношению к
таким свойствам как эволюция температуры, сохранение количества
тепла и выравнивание температуры при
t
→ ∞
, невозможность
температурных всплесков и т.д.
С другой стороны из уравнения вытекает вывод о бесконечной
скорости распространения тепла.
Всякая адекватность математической модели реальному объекту
относительна и имеет свои рамки применимости.
2014
15 / 74