ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 17.04.2021
Просмотров: 1327
Скачиваний: 6
— 41 —
Рассмотрим множество
[
a, b
]
∩
Q
=
{
r
1
, r
2
, ..., r
k
, ...
}
рациональных чи-
сел. Числовая последовательность
{
x
n
(
r
1
)
}
ограничена. Тогда существует
сходящаяся подпоследовательность
{
x
1
n
(
r
1
)
} ⊂ {
x
n
(
r
1
)
}
. Далее рассмотрим
последовательность
{
x
1
n
(
r
2
)
}
, которая также ограничена. Тогда существует
сходящаяся подпоследовательность
{
x
2
n
(
r
2
)
} ⊂ {
x
1
n
(
r
2
)
}
. Повторяя эти рас-
суждения для точек
r
3
, r
4
, ..., r
k
, ...
, получим вложенные последовательности
{
x
n
} ⊃ {
x
1
n
} ⊃ {
x
2
n
} ⊃
...
⊃ {
x
k
n
} ⊃
...
такие, что для всех
k
∈
N
сходят-
ся последовательности
{
x
k
n
(
r
k
)
}
∞
n
=1
. Выберем диагональную последователь-
ность
{
x
n
n
}
. Очевидно, что
{
x
n
n
} ⊂ {
x
n
}
и последовательность
{
x
n
n
(
t
)
}
схо-
дится в любой рациональной точке
t
=
r
k
∈
[
a, b
]
. Объясняется это тем, что
{
x
n
n
(
r
k
)
}
∞
n
=
k
⊂ {
x
k
n
(
r
k
)
}
∞
n
=1
.
Возьмем произвольное
ε >
0
и из условия равностепенной непрерывности
множества функций
M
выберем по
ε/
3
соответствующее
δ >
0
. Построим
разбиение
a
=
t
0
< t
1
< t
2
< ... < t
m
=
b
отрезка
[
a, b
]
на промежутки длины
меньше
δ
. В каждом отрезке
[
t
i
−
1
, t
i
]
возьмем по одной рациональной точке
r
i
∈
(
t
i
−
1
, t
i
)
, где
i
= 1
, m
. Последовательность
{
x
n
n
(
t
)
}
сходится в точках
r
1
, r
2
, ..., r
m
, тогда
(
∃
N
∈
N
)(
∀
n
≥
N
)(
∀
p
≥
0)(
∀
i
= 1
, m
) [
|
x
n
+
p
n
+
p
(
r
i
)
−
x
n
n
(
r
i
)
|
< ε/
3 ]
.
(22)
Возьмем точку
t
∈
[
a, b
]
. Пусть эта точка
t
∈
[
t
i
−
1
, t
i
]
. В таком случае при
n
≥
N
и
p
≥
0
получим из (22) и свойства равностепенной непрерывности
|
x
n
+
p
n
+
p
(
t
)
−
x
n
n
(
t
)
| ≤ |
x
n
+
p
n
+
p
(
t
)
−
x
n
+
p
n
+
p
(
r
i
)
|
+
|
x
n
+
p
n
+
p
(
r
i
)
−
x
n
n
(
r
i
)
|
+
|
x
n
n
(
r
i
)
−
x
n
n
(
t
)
|
< ε.
Таким образом, показали
(
∀
ε >
0)(
∃
N
∈
N
)(
∀
n
≥
N
)(
∀
p
≥
0)(
∀
t
∈
[
a, b
]) [
|
x
n
+
p
n
+
p
(
t
)
−
x
n
n
(
t
)
|
< ε
]
,
что означает фундаментальность последовательности
{
x
n
n
}
в полном про-
странстве
C
[
a, b
]
. Следовательно, последовательность
{
x
n
n
}
сходится, а мно-
жество
M
относительно компактно.
♥
•
Задачи:
18.2. Пусть
M
– ограниченное в
C
[
a, b
]
множество функций, удовлетворя-
ющих условию Липшица с общей постоянной. Показать, что множество
M
относительно компактно в
C
[
a, b
]
.
18.3. Пусть
M
=
{
x
(
t
)
}
– множество функций из
C
[
a, b
]
, удовлетворяющих
условию Липшица с общей постоянной. Пусть существует точка
t
o
∈
[
a, b
]
,
что соответствующее числовое множество
{
x
(
t
o
)
}
ограничено. Показать, что
множество
M
относительно компактно в
C
[
a, b
]
.
18.4. Пусть
M
=
{
x
(
t
)
}
– множество дифференцируемых на отрезке
[
a, b
]
— 42 —
функций, удовлетворяющих условию
(
∃
K
≥
0)(
∀
x
∈
M
)(
∀
t
∈
[
a, b
]) [
|
x
0
(
t
)
| ≤
K
]
∧
(
∀
x
∈
M
)(
∃
t
o
∈
[
a, b
])[
x
(
t
o
) = 0]
.
Показать, что множество
M
относительно компактно в
C
[
a, b
]
.
18.5. Пусть
M
– ограниченное в
C
[
a, b
]
множество. Показать относитель-
ную компактность в
C
[
a, b
]
множества
n
y
∈
C
[
a, b
]
|
[
y
(
t
) =
Z
t
a
x
(
s
)
ds
]
∧
(
x
∈
M
)
o
.
18.6. Какие из следующих множеств относительно компактны в
C
[0
,
1]
:
1)
{
1
−
2
n
−
1
t
2
}
∞
n
=1
;
2)
{
t
n
}
∞
n
=1
;
3)
{
t
n
−
t
n
+1
}
∞
n
=1
;
4)
{
n
−
1
sin
nt
}
∞
n
=1
;
5)
{
(1 +
nt
2
)
−
1
}
∞
n
=1
;
6)
{
sin (
t
+
α
)
}
α
∈
R
1
;
7)
{
arctg (
t
+
α
)
}
α
∈
R
1
;
8)
{
n
[1
−
cos (
t n
−
1
)]
}
∞
n
=1
?
18.7. Пусть
y
(
t, s
)
– функция, непрерывная по совокупности переменных
на квадрате
t, s
∈
[
a, b
]
. Для каждого
s
∈
[
a, b
]
определим функцию
x
s
(
t
) =
y
(
t, s
)
по переменной
t
∈
[
a, b
]
. Показать, что множество функций
{
x
s
(
t
)
}
s
∈
[
a,b
]
компактно в
C
[
a, b
]
.
ГЛАВА II
ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
§
19. Линейные пространства
Пусть
E
— множество элементов и для любых
x, y
∈
E
и вещественных
или комплексных чисел
λ
определены две операции:
1.
λ x
∈
E
;
2.
x
+
y
∈
E
.
Предполагается, что при этом выполняются следующие аксиомы:
1.
x
+
y
=
y
+
x
,
2.
x
+ (
y
+
z
) = (
x
+
y
) +
z
,
3.
λ
(
x
+
y
) =
λ x
+
λ y
,
4.
(
λ
+
µ
)
x
=
λ x
+
µ x
,
5.
λ
(
µ x
) = (
λ µ
)
x
,
6.
1
x
=
x
,
7.
(
∃
нулевой элемент
Θ
∈
E
) [ 0
x
= Θ]
.
В таком случае множество
E
называется
линейным пространством
. Если
числа
λ
только вещественные, то
E
называется
вещественным
линейным
пространством. Если же числа
λ
могут быть комплексными, то
E
называется
комплексным
линейным пространством.
— 43 —
Пусть
E
– линейное пространство. Для элемента
x
∈
E
определим элемент
−
x
= (
−
1)
x
∈
E
, и для
x, y
∈
E
определим элемент
x
−
y
=
x
+ (
−
y
)
∈
E
.
Укажем некоторые простейшие свойства, следующие из аксиом линейного
пространства.
а)
(
∀
x
∈
E
) [
x
+ Θ =
x
]
.
б)
Нулевой элемент единственный.
в)
(
∀
x
∈
E
) [
x
+ (
−
x
) = Θ ]
.
г)
(
∀
x
∈
E
) [
−
(
−
x
) =
x
]
.
д)
(
∀
x, y
∈
E
)(
∀
λ, µ
) [ (
λ
(
x
−
y
) =
λ x
−
λ y
)
∧
( (
λ
−
µ
)
x
=
λ x
−
µ x
) ]
.
е)
(
∀
x, y, z
∈
E
) [ (
x
+
y
=
z
)
←→
(
x
=
z
−
y
) ]
.
ж)
(
∀
x, y
∈
E
) [ (
x
−
y
= Θ)
→
(
x
=
y
) ]
.
з)
(
∀
λ
)[
λ
Θ = Θ ]
.
и)
(
λ x
= Θ)
→
[ (
λ
= 0)
∨
(
x
= Θ) ]
.
к)
(
λ x
=
λ y
)
→
[ (
λ
= 0)
∨
(
x
=
y
) ]
.
л)
(
λ x
=
µ x
)
→
[ (
λ
=
µ
)
∨
(
x
= Θ) ]
.
Доказательство
этих свойств рекомендуется провести самостоятельно.
Примеры линейных пространств.
1.
R
1
(либо
C
1
) с обычными операциями умножения и сложения веще-
ственных (комплексных) чисел.
2.
R
n
=
{
x
= (
x
1
, x
2
, ..., x
n
)
|
x
i
∈
R
1
(
i
= 1
, n
)
}
(либо соответственно
C
n
),
где действия умножения на число и сложение элементов проводятся покоор-
динатно:
λ x
= (
λ x
1
, λ x
2
, ..., λ x
n
)
и
x
+
y
= (
x
1
+
y
1
, x
2
+
y
2
, ..., x
n
+
y
n
)
.
3.
C
[
a, b
]
– непрерывные на отрезке
[
a, b
]
функции, где операции умножения
на число и сложения проводятся пототечно:
(
λ x
)(
t
) =
λ x
(
t
)
и
(
x
+
y
)(
t
) =
x
(
t
) +
y
(
t
)
.
4.
C
k
[
a, b
]
, где
k
∈
N
, – множество
k
раз непрерывно дифференцируемых
на
[
a, b
]
функций с операциями умножения и сложения, как в
C
[
a, b
]
.
5.
m
=
{
x
= (
x
1
, x
2
, ..., x
k
, ...
)
|
sup
k
|
x
k
|
<
∞}
– множество ограниченных
числовых последовательностей, где действия умножения на число и сложения
элементов проводятся покоординатно.
6.
l
p
=
{
x
= (
x
1
, x
2
, ..., x
k
, ...
)
|
P
∞
k
=1
|
x
k
|
p
<
∞}
, где
0
< p <
∞
, – множе-
ство числовых последовательностей, суммируемых с
p
-ой степенью. Действия
умножения на число и сложения элементов определяются покоординатно.
При этом, очевидно, что для
x
∈
l
p
элемент
λ x
∈
l
p
. Выполнение же для
x, y
∈
l
p
условия
x
+
y
∈
l
p
следует из оценки
|
x
k
+
y
k
|
p
6
2
p
(
|
x
k
|
p
+
|
y
k
|
p
)
.
— 44 —
•
Задачи:
19.1. Являются ли линейными пространствами следующие множества фун-
кций (с естественными алгебраическими операциями) :
1) функции
x
(
t
)
непрерывны на
[
a, b
]
и
x
(
a
) = 0
;
2) функции
x
(
t
)
непрерывны на
[
a, b
]
и
x
(
b
) = 1
?
19.2. Пусть
E, F
– линейные пространства. Определим линейные операции
на множестве
E
×
F
=
{
(
x, y
)
|
(
x
∈
E
)
∧
(
y
∈
F
)
}
следующим образом:
α
(
x
1
, y
1
) +
β
(
x
2
, y
2
) = (
αx
1
+
βx
2
, αy
1
+
βy
2
)
. Показать, что тогда
E
×
F
–
линейное пространство.
Пусть
E
– линейное пространство и
A, B
⊂
E
. Определим множества:
λ A
=
{
λ x
|
x
∈
A
}
и
A
+
B
=
{
x
+
y
|
(
x
∈
A
)
∧
(
y
∈
B
)
}
.
•
Задача.
19.3. Пусть
A
– подмножество линейного пространства. Справедливо ли
для любых чисел
λ
и
µ
равенство
(
λ
+
µ
)
A
=
λA
+
µA
?
Замкнутым отрезком
в линейном пространстве
E
, соединяющим точки
x, y
∈
E
, называется множество
[
x, y
] =
{
(1
−
t
)
x
+
ty
|
t
∈
[0
,
1]
}
.
Пусть
E
– линейное пространство. Множество
A
⊂
E
называется
выпук-
лым
, если
(
∀
x, y
∈
A
) [ [
x, y
]
⊂
A
]
.
•
Задачи:
19.4. Доказать, что пересечение любой системы выпуклых множеств есть
выпуклое множество.
19.5. Пусть
A
и
B
– выпуклые множества. Доказать, что для любых чисел
λ
и
µ
множество
λA
+
µB
выпукло.
19.6. Пусть
A
– выпуклое множество и
{
x
i
}
n
i
=1
⊂
A
. Показать, что если
α
i
≥
0
и
P
n
i
=1
α
i
= 1
, то
P
n
i
=1
α
i
x
i
∈
A
.
19.7. Доказать, что множество
A
выпукло тогда и только тогда, когда для
любых чисел
t >
0
и
s >
0
выполнено
(
t
+
s
)
A
=
t A
+
s A
.
Элементы
x
1
, x
2
, . . . , x
n
из линейного пространства называются
линейно
независимыми
, если из того, что
P
n
k
=1
c
k
x
k
= Θ
следует
(
∀
k
= 1
, n
) [
c
k
= 0]
.
Заметим, что если элементы
x
1
, x
2
, . . . , x
n
линейно независимы, то необходи-
мо
(
∀
k
= 1
, n
) [
x
k
6
= Θ ]
.
Система элементов
x
1
, x
2
, . . . , x
n
из линейного пространства называется
линейно зависимой
, если существует набор чисел
c
1
, c
2
, . . . , c
n
, среди которых
есть отличные от нуля, и
P
n
k
=1
c
k
x
k
= Θ
.
Если для элементов
x
1
, x
2
, . . . , x
n
линейного пространства выполняется,
например, равенство
x
n
=
P
n
−
1
k
=1
c
k
x
k
, то говорят, что элемент
x
n
есть
линей-
— 45 —
ная комбинация
элементов
x
1
, x
2
, . . . , x
n
−
1
.
Бесконечное множество элементов в линейном пространстве называется
линейно независимым в том случае, если линейно независимо всякое конечное
подмножество элементов этого множества.
•
Задачи:
19.8. Показать, что в
C
[0
, π
]
функции
1
,
cos
t,
cos
2
t
линейно независимы,
а функции
1
,
cos 2
t,
cos
2
t
линейно зависимы.
19.9. Показать, что в
C
[
a, b
]
функции
t
k
(
k
= 0
,
1
, ..., n
)
линейно независи-
мы.
Пусть
E
– линейное пространство. Непустое множество
L
⊂
E
называется
линейным многообразием
, если
(
∀
λ
)(
∀
x, y
∈
L
) [ (
λ x
∈
L
)
∧
(
x
+
y
∈
L
) ]
.
Заметим, что для любого
L
– линейного многообразия в линейном про-
странстве
E
выполняется
Θ
∈
L
.
Пусть даны элементы
x
1
, x
2
, . . . , x
n
в линейном пространстве. Определим
множество
L
=
{
P
n
k
=1
c
k
x
k
|
c
k
−
числа
}
. Очевидно, что
L
линейное много-
образие, которое называется линейным многообразием, порожденным эле-
ментами
x
1
, x
2
, . . . , x
n
, или
линейной оболочкой
этих элементов. Обозначают
L
=
L
(
x
1
, x
2
, . . . , x
n
)
.
Лемма 2.
Пусть в линейном пространстве элементы
y
1
, y
2
, ..., y
k
∈ L
(
x
1
, x
2
, ..., x
n
)
. Тогда
L
(
y
1
, y
2
, ..., y
k
)
⊂ L
(
x
1
, x
2
, ..., x
n
)
.
Доказательство.
Если
z
∈ L
(
y
1
, y
2
, . . . , y
k
)
, то
z
=
P
k
i
=1
a
i
y
i
. В свою оче-
редь,
y
i
=
P
n
j
=1
b
i
j
x
j
. Следовательно,
z
=
k
X
i
=1
a
i
³
n
X
j
=1
b
i
j
x
j
´
=
n
X
j
=1
³
k
X
i
=1
a
i
b
i
j
´
x
j
=
n
X
j
=1
c
j
x
j
,
где
c
j
=
P
k
i
=1
a
i
b
i
j
. Итак,
z
∈ L
(
x
1
, x
2
, . . . , x
n
)
.
♥
Лемма 3.
Пусть в линейном пространстве элемент
x
=
P
n
k
=1
c
k
x
k
, тогда
L
(
x, x
1
, x
2
, . . . , x
n
) =
L
(
x
1
, x
2
, . . . , x
n
)
.
Доказательство
очевидным образом следует из леммы 2.
♥
Лемма 3 означает, что, если
L
=
L
(
x
1
, x
2
, . . . , x
n
)
и некоторый элемент
x
k
есть линейная комбинация остальных, то элемент
x
k
можно исключить из
определения линейной оболочки без ее изменения.
Линейное многообразие
L
в линейном пространстве называется
конечно-
мерным
, если
(
∃
x
1
, x
2
, . . . , x
n
∈
L
) [
L
=
L
(
x
1
, x
2
, . . . , x
n
)]
. Если при этом
выделенные элементы
x
1
, x
2
, . . . , x
n
линейно независимы, то они называются