ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 17.04.2021
Просмотров: 1326
Скачиваний: 6
— 21 —
2.
Пустое множество
∅
в метрическом пространстве является открытым
множеством.
Утверждение следует из очевидного включения
∅
⊂
∅
◦
.
♥
3.
Множество
X
в метрическом пространстве
{
X, ρ
}
является открытым
множеством.
Действительно,
(
∀
x
∈
X
)(
∀
ε >
0)[
B
(
x, ε
)
⊂
X
]
. То есть
(
∀
x
∈
X
)[
x
∈
X
◦
]
,
что и означает
X
⊂
X
◦
.
♥
•
Задача.
9.1. Показать, что в дискретном метрическом пространстве каждое мно-
жество открыто.
Теорема 6.
В метрическом пространстве дополнение открытого множе-
ства замкнуто, а дополнение замкнутого множества открыто.
Доказательство.
Пусть
{
X, ρ
}
– метрическое пространство и
M
⊂
X
.
Будем обозначать
CM
=
X
\
M
– дополнение множества
M
.
Пусть множество
M
– открыто, то есть
M
=
M
◦
. Тогда, используя теорему
5 (свойство 1), получим
CM
=
X
\
M
=
X
\
M
◦
= (
X
\
M
) =
CM
. Итак,
множество
CM
замкнуто.
Пусть множество
M
– замкнуто, то есть
M
=
M
. Тогда, используя теорему
5 (свойство 2), получим
CM
=
X
\
M
=
X
\
M
= (
X
\
M
)
◦
= (
CM
)
◦
. Итак,
множество
CM
открыто.
♥
•
Задачи:
9.2. Пусть
f
(
x
)
– непрерывная на
R
1
функция. Доказать, что для любого
a
∈
R
1
в
R
1
открыто множество
{
x
∈
R
1
|
f
(
x
)
< a
}
.
9.3. Доказать, что для любой функции
x
o
∈
C
[
a, b
]
в пространстве
C
[
a, b
]
открыто множество
{
x
∈
C
[
a, b
]
|
(
∀
t
∈
[
a, b
])[
x
(
t
)
< x
o
(
t
)]
}
.
Теорема 7.
В метрическом пространстве объединение любого числа и
пересечение конечного числа открытых множеств есть открытые множества.
Доказательство.
Пусть
A
=
S
ξ
A
ξ
, где
(
∀
ξ
)[
A
ξ
=
A
◦
ξ
]
. Запишем равен-
ства
A
=
C
(
CA
) =
C
T
ξ
(
CA
ξ
)
. Из теоремы 6 следует, что множества
CA
ξ
замкнуты, но тогда из теоремы 3 получим замкнутость множества
T
ξ
(
CA
ξ
)
.
Теперь, вновь из теоремы 6, получим открытость множества
A
.
Пусть
A
=
T
n
k
=1
A
k
, где
(
∀
k
)[
A
k
=
A
◦
k
]
. Запишем равенства
A
=
C
(
CA
) =
C
S
n
k
=1
(
CA
k
)
. Из теоремы 6 следует, что множества
CA
k
замкнуты, но тогда
из теоремы 3 получим замкнутость множества
S
n
k
=1
(
CA
k
)
. Теперь, вновь из
теоремы 6, получим открытость множества
A
.
♥
— 22 —
•
Задача.
9.4. Построить счетную последовательность открытых множеств, пересе-
чение которых не является открытым.
§
10. Открытые и замкнутые множества на прямой
Пусть
M
– множество на
R
1
, ограниченное снизу. Тогда существует точ-
ная нижняя граница множества
M
, которую обозначим
α
= inf
M
. По опре-
делению точной нижней границы
(
∀
n
∈
N
)(
∃
x
n
∈
M
)[
α
≤
x
n
< α
+ 1
/n
]
.
Последовательность
{
x
n
} ⊂
M
и
x
n
→
α
при
n
→ ∞
. Из теоремы 2 следует,
что
α
∈
M
.
Пусть
M
– множество на
R
1
, ограниченное сверху. Тогда существует точ-
ная верхняя граница множества
M
, которую обозначим
β
= sup
M
. Подобно
тому, как это было сделано для
α
, устанавливается, что
β
∈
M
.
Пусть
M
– ограниченное множество на
R
1
. Тогда
M
⊂
[
α, β
]
. Отрезок
[
α, β
]
называется
наименьшим отрезком
, содержащим множество
M
.
Теорема 8.
Всякое непустое ограниченное открытое множество на пря-
мой есть объединение конечного или счетного числа попарно непересекаю-
щихся интервалов.
Доказательство.
Пусть
A
⊂
R
1
– ограниченное и открытое множество.
Возьмем
x
∈
A
и рассмотрим множество
F
= [
x,
+
∞
)
∩
CA
. Множество
F
замкнуто как пересечение двух замкнутых множеств
[
x,
+
∞
)
и
CA
. Множе-
ство
F
непустое, так как
A
ограничено. Кроме того, множество
F
ограничено
снизу точкой
x
. Пусть
b
= inf
F
. Очевидно,
x
≤
b
. Заметим, что
x
∈
A
, а
b
∈
F
=
F
⊂
CA
. Следовательно,
x < b
.
Рассмотрим полуинтервал
[
x, b
)
и покажем, что
[
x, b
)
⊂
A
. Предположим,
что
[
x, b
)
6⊂
A
. Тогда
(
∃
y
∈
[
x, b
)) [
y /
∈
A
]
. Получили
y
∈
F
такой, что
y < b
,
но это невозможно, так как
b
= inf
F
. Таким образом,
[
x, b
)
⊂
A
. Заметим
также, что
b /
∈
A
, так как
b
∈
F
и, следовательно,
b
∈
CA
.
Если для того же
x
∈
A
рассмотреть множество
Φ = (
−∞
, x
]
∩
CA
, то,
рассуждая подобным образом, получим для
a
= sup Φ
, что
(
a, x
]
⊂
A
и
a /
∈
A
.
Таким образом, если
x
∈
A
, то существует интервал
(
a, b
)
3
x
такой,
что
(
a, b
)
⊂
A
и
a, b /
∈
A
. Такие интервалы, из которых состоит открытое
множество
A
, называются
составляющими интервалами
множества
A
.
Покажем, что составляющие интервалы попарно не пересекаются. Пусть
даны два составляющих интервала
(
a, b
)
и
(
a
0
, b
0
)
, которые пересекаются, на-
пример, с условием
a < a
0
< b < b
0
. Тогда
a
0
∈
(
a, b
)
и, следовательно,
a
0
∈
A
,
так как
(
a, b
)
⊂
A
. Но
a
0
/
∈
A
, как конец составляющего интервала
(
a
0
, b
0
)
.
— 23 —
Полученное противоречие означает, что
(
a, b
)
∩
(
a
0
, b
0
) =
∅
.
Осталось заметить, что на прямой любое множество попарно непересека-
ющихся интервалов не более, чем счетно.
♥
Теорема 9.
Всякое непустое ограниченное замкнутое множество на пря-
мой получается из наименьшего отрезка, его содержащего, путем выбрасы-
вания конечного или счетного числа попарно непересекающихся интервалов.
Доказательство.
Пусть непустое множество
F
⊂
R
1
ограничено и за-
мкнуто. Пусть
[
α, β
]
– наименьший отрезок, содержащий это множество. За-
метим, что
α, β
∈
F
. Представим
F
в виде
F
= [
α, β
]
\
( [
α, β
]
∩
CF
) =
[
α, β
]
\
( (
α, β
)
∩
CF
)
. Множество
(
α, β
)
∩
CF
открыто, поэтому (теорема 8)
(
α, β
)
∩
CF
=
S
n
(
a
n
, b
n
)
, где интервалы
(
a
n
, b
n
)
попарно не пересекаются.
Следовательно,
F
= [
α, β
]
\
S
n
(
a
n
, b
n
)
.
♥
11. Некоторые теоремы о полных пространствах
Пусть
{
X, ρ
}
– метрическое пространство и
M
⊂
X
. Очевидно, что множе-
ство
M
с той же метрикой
ρ
также будет метрическим пространством
{
M, ρ
}
,
которое часто называют
подпространством
пространства
{
X, ρ
}
.
Теорема 10.
Пусть
{
X, ρ
}
– метрическое пространство и
M
⊂
X
. Для то-
го чтобы
{
M, ρ
}
было полным подпространством пространства
{
X, ρ
}
, необ-
ходимо, а в случае полноты пространства
{
X, ρ
}
и достаточно, чтобы мно-
жество
M
было замкнуто в
{
X, ρ
}
.
Доказательство.
Необходимость. Пусть пространство
{
M, ρ
}
полное. По-
кажем, что множество
M
замкнуто. Возьмем
x
∈
M
. Тогда существует (тео-
рема 2) последовательность
{
x
n
} ⊂
M
такая, что
x
n
→
x
при
n
→ ∞
. Схо-
дящаяся последовательность является фундаментальной в
{
X, ρ
}
, а значит
и в
{
M, ρ
}
. Но
{
M, ρ
}
– полное пространство, следовательно, последователь-
ность
{
x
n
}
сходится и в
{
M, ρ
}
. Итак, существует
y
∈
M
, что
ρ
(
x
n
, y
)
→
0
.
Кроме того,
ρ
(
x
n
, x
)
→
0
, поэтому
x
=
y
∈
M
. Таким образом, множество
M
замкнуто.
Достаточность. Пусть пространство
{
X, ρ
}
полное и множество
M
замкну-
то. Покажем, что
{
M, ρ
}
полное пространство. Возьмем фундаментальную
в
{
M, ρ
}
последовательность
{
x
n
} ⊂
M
. Так как метрика в пространстве
{
X, ρ
}
такая же, как и в
{
M, ρ
}
, то
{
x
n
}
фундаментальна и в полном про-
странстве
{
X, ρ
}
. Следовательно, существует
x
∈
X
такой, что
ρ
(
x
n
, x
)
→
0
при
n
→ ∞
. Тогда
x
∈
M
=
M
и последовательность
{
x
n
}
сходится в
{
M, ρ
}
.
Получили, что
{
M, ρ
}
полное пространство.
♥
Теорема 11.
Пусть
{
X, ρ
}
– полное метрическое пространство и в нем
— 24 —
задана последовательность
{
B
[
a
n
, r
n
]
}
замкнутых шаров таких, что
r
n
→
0
при
n
→ ∞
и
(
∀
n
∈
N
)[
B
[
a
n
+1
, r
n
+1
]
⊂
B
[
a
n
, r
n
] ]
. Тогда в
X
существует
единственная точка, принадлежащая всем этим шарам.
Доказательство.
Рассмотрим
{
a
n
}
– последовательность центров всех ша-
ров. Заметим, что
ρ
(
a
n
+
p
, a
n
)
≤
r
n
→
0
. Это означает, что последователь-
ность
{
a
n
}
фундаментальная, а значит является сходящейся. Следователь-
но,
(
∃
a
∈
X
)[
a
n
→
a
]
. Зафиксируем
n
∈
N
. Тогда последовательность
{
a
k
}
∞
k
=
n
⊂
B
[
a
n
, r
n
]
. Отсюда следует, что
a
∈
B
[
a
n
, r
n
] =
B
[
a
n
, r
n
]
. Так
как
n
было любое, получаем, что
a
принадлежит любому шару, то есть
a
∈
T
∞
n
=1
B
[
x
n
, r
n
]
.
Покажем, что такая точка
a
∈
X
единственная. Предположим, что суще-
ствует точка
a
0
6
=
a
и
a
0
∈
T
∞
n
=1
B
[
x
n
, r
n
]
. Обозначим
ρ
(
a, a
0
) =
λ >
0
. Далее
(
∃
m
∈
N
)[
r
m
< λ/
3]
. Заметим теперь, что
a, a
0
∈
B
[
a
m
, r
m
]
. Следовательно,
0
< λ
=
ρ
(
a, a
0
)
≤
ρ
(
a, a
m
) +
ρ
(
a
m
, a
0
)
≤
2
r
m
<
2
λ/
3
. Получили противоречие.
Значит, точка
a
единственная.
♥
•
Задача.
11.1. В множестве натуральных чисел
N
введем расстояние
ρ
(
n, m
) =
(
0
,
n
=
m
1 + (
n
+
m
)
−
1
,
n
6
=
m
.
а) Показать, что
N
– полное метрическое пространство.
б) Положим
B
n
=
{
m
∈
N
|
ρ
(
n, m
)
≤
1 + (2
n
)
−
1
}
.
Показать, что множе-
ство
{
B
n
}
есть последовательность замкнутых вложенных шаров с пустым
пересечением. Нет ли здесь противоречия с теоремой о вложенных шарах ?
Некоторые определения и понятия.
Пусть
{
X, ρ
}
– метрическое
пространство.
Множество
M
⊂
X
называется
совершенным
, если оно замкнуто и не
содержит изолированных точек. Другими словами – множество
M
замкнуто
и все точки его предельные.
•
Задача.
11.2. Доказать, что объединение двух совершенных множеств является со-
вершенным множеством, а пересечение двух совершенных множеств может
не быть совершенным.
Множество
M
⊂
X
называется
плотным
в множестве
B
⊂
X
, если его
замыкание
M
⊃
B
.
Множество
M
⊂
X
называется
всюду плотным
, если
M
=
X
.
— 25 —
Множество
M
⊂
X
называется
нигде не плотным
, если
(
∀
B
(
x, ε
)
⊂
X
) (
∃
B
(
y, δ
)
⊂
B
(
x, ε
)) [
B
(
y, δ
)
∩
M
=
∅
]
.
•
Задачи:
11.3. Пусть множество
A
в метрическом пространстве
X
нигде не плотно.
Доказать, что дополнение
CA
=
X
\
A
в
X
всюду плотно.
11.4. Верно ли, что дополнение к всюду плотному множеству является
нигде не плотным ?
11.5. Пусть множество
A
в метрическом пространстве нигде не плотно.
Доказать, что замыкание
A
также нигде не плотно.
11.6. Доказать, что дополнение к открытому всюду плотному множеству
является нигде не плотным.
Пусть множества
X
и
Y
такие, что
X
⊂
Y
и на
X
,
Y
задана общая мет-
рика
ρ
(
x, y
)
, то есть метрическое пространство
{
X, ρ
}
является подпростран-
ством метрического пространства
{
Y, ρ
}
. Пусть также пространство
{
X, ρ
}
не является полным. Тогда метрическое пространство
{
Y, ρ
}
называется
по-
полнением
пространства
{
X, ρ
}
, если пространство
{
Y, ρ
}
является полным
и множество
X
всюду плотно в
Y
.
Два метрических пространства
{
Y, ρ
Y
}
и
{
Z, ρ
Z
}
называются
изомет-
ричными
, если существует биективное отображение
f
:
Y
→
Z
такое, что
(
∀
x, y
∈
Y
) [
ρ
Y
(
x, y
) =
ρ
Z
(
f
(
x
)
, f
(
y
))]
. При этом само отображение
f
назы-
вается
изометрией
Y
на
Z
.
Примером изометричных пространств могут быть метрические простран-
ства
C
[
a, b
]
и
C
[0
,
1]
. В качестве изометрии
f
:
C
[
a, b
]
→
C
[0
,
1]
можно взять
отображение
f
(
x
) (
t
) =
x
(
a
(1
−
t
) +
bt
)
.
Теорема 12.
Всякое метрическое пространство
{
X, ρ
}
имеет пополнение
и это пополнение единственно с точностью до изометрии, оставляющей непо-
движными точки из
X
.
Доказательство
этой теоремы достаточно громоздко и его можно найти,
например, в [1 – 3].
§
12. Множества первой и второй категорий
Пусть
{
X, ρ
}
– метрическое пространство. Множество
M
⊂
X
называется
множеством
первой категории
, если его можно представить в виде объеди-
нения конечного или счетного числа нигде не плотных множеств, то есть
M
=
S
n
M
n
, где все множества
M
n
⊂
X
являются нигде не плотными. Без
ограничения общности можно считать, что число множеств
M
n
счетное, так
как всегда к объединению можно добавить пустые множества.