Файл: Курс лекций Часть i автор Старокожева Е. И. Валуйки 2008.doc
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2023
Просмотров: 408
Скачиваний: 6
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
;
— задачи на вычисление.
По функциональному назначению:
— задачи с дидактическими функциями;
— задачи с познавательными функциями;
— задачи с развивающими функциями.
По величине проблемности:
— стандартные (известны все компоненты задачи);
— обучающие (неизвестен один из четырех компонентов задачи);
— поисковые (неизвестны два из четырех компонентов задачи);
— проблемные (неизвестны три из четырех компонентов задачи).
В соответствии с тем, какие компоненты задачи (А — условие, В — заключение, К— решение, С — базис решения задачи) неизвестны решающему, сформировалась следующая типология:
1-й тип — известны все компоненты (АСКВ);
2-й тип — неизвестен один компонент:
а) ...СКВ; б) А...КВ; в) АС...В; г) АСК...;
3-й тип — неизвестны два компонента:
а) А......В; б) ...СК... и т.д.;
4-й тип — неизвестны три компонента:
а).........В; б) А.........; в) ...С......; г)......К....
По методам решения:
— задачи на геометрические преобразования;
— задачи на векторы и др.
По числу объектов в условии задачи и связей между ними:
— простые;
— сложные.
По компонентам учебной деятельности:
— организационно-действенные;
— стимулирующие;
— контрольно-оценочные.
Кроме того, различают задачи: стандартные и нестандартные; теоретические и практические; устные и письменные; одношаговые, дву-шаговые и др.; устные, полуустные, письменные и т.д.
ВИДЫ ЗАДАЧ И ИХ ФУНКЦИИ
По своему функциональному назначению задачи как средство обучения могут быть направлены или на формирование знаний, умений и навыков учащихся (обучающие задачи), или на осуществление контроля со стороны учителя или учащихся уровня сформированности знаний, умений и навыков (контролирующие задачи).
Обучающие задачи, прежде всего, связаны с формированием элементов теоретических знаний и связанных с ними умений.
В системе задач, направленных на усвоение нового понятия и его определения, выделяют задачи:
— на раскрытие практической значимости понятия или его значимости для дальнейшего продвижения в изучении математики;
— на актуализацию знаний и умений, необходимых при формировании понятия;
— на выделение существенных признаков понятия;
— на распознавание понятия;
— на усвоение текста определения понятия;
— на использование математической символики;
— на установление свойств понятия;
— на применение понятия;
— на усвоение математических понятий;
— на овладение математической символикой.
ОСНОВНЫЕ КОМПОНЕНТЫ ЗАДАЧИ
В задаче выделяют основные компоненты:
1. Условие — начальное состояние;
2. Базис решения — теоретическое обоснование решения;
3. Решение — преобразование условия задачи для нахождения требуемого заключением искомого;
4. Заключение — конечное состояние.
Математическими считаются все задачи, в которых переход от начального состояния (1) к конечному (4) осуществляется математическими средствами, т.е. математическим характером компонентов: обоснование (2) и решение (3).
Если все компоненты задачи (условие, обоснование, решение, заключение) — математические объекты, то задача называется чисто математической; если математическими являются только компоненты решение и базис решения, то задача называется прикладной математической задачей.
На основе рассмотренной модели общего понятия задачи и ее основных компонентов строят дидактически направленную модель типологических особенностей задачи, зависящих от того, на каком этапе обучения эта задача предъявлена учащимся, какими знаниями и опытом обладают школьники в момент ее предъявления, в какой форме сформулирована задача и т.д.
Проблемный характер задачной системы определяется тем, какие из основных компонентов задачи неизвестны.
Стандартной называется задача, в которой четко определено уело вне, известны способ решения и его обоснование, а также даны упражнения на воспроизведение известного. Задача называется обучающей, если в ней неизвестен или плохо определен один из основных компонентов. Если неизвестны два компонента, задача называется поисковой, а если три — проблемной.
В литературе встречается следующая классификация задач: на вычисление, на доказательство, на построение, на исследование, однако такое деление не может быть инструментом в обучении школьников решению задач, потому что задачи этих видов не отличаются друг от друга уровнем сложности, характером деятельности человека по их решению. Например, в задачах на вычисление и построение приходится много доказывать, а в задачах на построение и доказательство приходится много исследовать и т.д., поэтому такая классификация задач ничего не дает.
Кроме того, задачи делят на правильные, с противоречивыми данными, с лишними данными, теоретические и практические, стандартные и нестандартные и т.д.
Интересна классификация задач, учитывающая характер связей между элементами задачи, соотношение между воспроизводящей и творческой деятельностью учеников:
— алгоритмические задачи;
— полуалгоритмические задачи;
— эвристические задачи.
Алгоритмические задачи — задачи, которые решаются с помощью непосредственного применения определения, теоремы, т.е. для решения которых имеется алгоритм. Например, задача на нахождение гипотенузы в прямоугольном треугольнике по известным катетам по формуле Пифагора. Применение алгоритма быстро и легко приводит к желаемому результату.
Полуалгоритмические задачи — задачи, правила, решения которых носят обобщенный характер и не могут быть полностью сведены к объединению элементарных актов. Связи между элементами этих задач легко обнаруживаются учениками. Полуалгоритмические задачи в качестве подзадач содержат алгоритмические задачи. Например, известны стороны треугольника и высота, опущенная на основание. Необходимо найти периметр треугольника.
Решая полуалгоритмические задачи, ученик учится «сворачивать» знания, фиксируя их в сознании крупными блоками. При этом он начинает применять усвоенные алгоритмы в разных ситуациях.
Эвристические задачи — задачи, для решения которых необходимо выявить некоторые скрытые связи между элементами условия и требования или найти способ решения, причем этот способ не является очевидной конкретизацией некоторого обобщенного правила, известного ученику, или сделать и то и другое. Например, известны стороны треугольника. Нужно найти расстояние от середины высоты, проведенной к меньшей стороне, до большей стороны треугольника.
При решении эвристических задач ученик должен использовать эвристические приемы и методы.
ЭТАПЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
Решение задачи осуществляется в несколько этапов.
1. Ознакомление с содержанием задачи.
— Осознание условия и требования задачи, усвоение и разработка элементов условия (или элементов цели).
— Поиск необходимой информации в сложной системе памяти.
— Соотнесение условия и заключения задачи с имеющимися знаниями и опытом и т.д.
2. Поиск решения — выдвижение плана решения задачи.
— Целенаправленные пробы различных сочетаний из данных и искомых.
— Попытки подвести задачу под известный тип.
— Выбор наиболее приемлемого в данных условиях метода решения (из известных).
— Выбор стратегии решения, поиск плана решения и его корректировка на основе предварительной апробации, соотнесения с условием задачи и интуитивными соображениями, фиксирование определенного плана решения задачи и т.д.
3. Процесс решения — реализация плана решения.
— Проводится практическая реализация плана решения во всех его деталях с одновременной корректировкой через соотнесение с условием и выбранным базисом, выбор способа оформления решения, запись результата и т.д.
4. Проверка решения задачи.
— Фиксация конечного результата решения.
— Критический анализ результата, поиск путей рационализации решения, исследование особых и частных случаев, выявление существенного (потенциально полезного), систематизация новых знаний и опыта и т.д.
Сюжетной называют такую задачу, в которой данные и связь между ними включены в фабулу. Содержание сюжетной задачи чаще всего представляет собой некоторую ситуацию, более или менее близкую к жизни. Эти задачи важны, главным образом, для усвоения учащимися математических отношений, для овладения эффективным методом познания - моделированием, для развития способностей и интереса учащихся к математике. Таковыми являются, например, текстовые задачи на составление уравнения. При решении текстовой задачи с помощью составления уравнения необходимо придерживаться следующей последовательности действий:
1. Вычленить условие и требование задачи.
2.Установить зависимость между данными и искомыми.
3. Выявить способ составления уравнения и т.д. Учебными действиями, посредством которых решается учебная задача, являются:
— преобразование условий предметной задачи с целью выявления в ней основного отношения;
— моделирование выделенного отношения в предметной, графической или буквенной форме;
— преобразование модели отношения для изучения его свойств;
— построение системы частных задач, решаемых общим способом. Решение задач в 5 — 6 классах осуществляется, в основном, тремя способами:
— арифметическим, при котором все логические операции при решении задачи проводятся над конкретными числами и основой рассуждения является знание смысла арифметических действий;
— алгебраическим, при котором составляется уравнение (система уравнений), его решение основано на свойствах уравнений;
— комбинированным, который включает как арифметический, так и алгебраический способы решения.
ОРГАНИЗАЦИЯ ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Задачи на уроках математики решаются, в основном, фронтальным образом. Фронтальное решение задач — решение одной и той же задачи всеми учениками класса в одно и то же время. Организация фронтального решения задач может быть различной.
Устное решение задач наиболее распространено в среднем звене общеобразовательной школы, несколько реже в старших классах. Это, прежде всего, выполняемые устно упражнения в вычислениях и тождественных преобразованиях и задачи-вопросы, истинность ответов на которые подтверждается устными доказательствами. Такое решение задач может проходить в форме «пятиминутки» устных упражнений. При организации устных фронтальных упражнений следует использовать таблички, компьютер, интерактивную доску и другие средства представления учащимся устной задачи, что значительно экономит время и оживляет урок математики.
Письменное решение задач с записью на классной доске самим учителем или учащимися на уроках применяют:
— при решении первых после показа учителем задач по ознакомлению с новыми понятиями и методами;
— при решении задач, самостоятельно с которыми могут справиться не все ученики класса;
— при рассмотрении различных вариантов решения одной и той же задачи - для сравнения и выбора лучшего решения;
— при разборе ошибок, допущенных несколькими учениками класса при самостоятельном решении задач и т.д.
Письменное самостоятельное решение задач — наиболее эффективная форма организации решения математических задач, при которой ученики обучаются творчески думать, самостоятельно разбираться в различных вопросах теории и приложений математики. Письменное самостоятельное решение задач значительно повышает учебную активность учащихся, возбуждает их интерес к решению задач, стимулирует творческую инициативу. Формы организации самостоятельного решения задач могут быть различными.
Комментирование решения математических задач: все ученики самостоятельно решают одну и ту же задачу, а один из них последовательно поясняет (комментирует) решение. Ученик-комментатор объясняет, на каком основании он выполняет то или иное преобразование, проводит то или иное рассуждение, построение. При этом каждый шаг должен быть оправдан ссылкой на известные математические предложения.
ИНДИВИДУАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
Учитель должен выяснить подготовку, возможности и способности к изучению математики каждого ученика и в соответствии с этим организовать решение математических задач.
— задачи на вычисление.
По функциональному назначению:
— задачи с дидактическими функциями;
— задачи с познавательными функциями;
— задачи с развивающими функциями.
По величине проблемности:
— стандартные (известны все компоненты задачи);
— обучающие (неизвестен один из четырех компонентов задачи);
— поисковые (неизвестны два из четырех компонентов задачи);
— проблемные (неизвестны три из четырех компонентов задачи).
В соответствии с тем, какие компоненты задачи (А — условие, В — заключение, К— решение, С — базис решения задачи) неизвестны решающему, сформировалась следующая типология:
1-й тип — известны все компоненты (АСКВ);
2-й тип — неизвестен один компонент:
а) ...СКВ; б) А...КВ; в) АС...В; г) АСК...;
3-й тип — неизвестны два компонента:
а) А......В; б) ...СК... и т.д.;
4-й тип — неизвестны три компонента:
а).........В; б) А.........; в) ...С......; г)......К....
По методам решения:
— задачи на геометрические преобразования;
— задачи на векторы и др.
По числу объектов в условии задачи и связей между ними:
— простые;
— сложные.
По компонентам учебной деятельности:
— организационно-действенные;
— стимулирующие;
— контрольно-оценочные.
Кроме того, различают задачи: стандартные и нестандартные; теоретические и практические; устные и письменные; одношаговые, дву-шаговые и др.; устные, полуустные, письменные и т.д.
ВИДЫ ЗАДАЧ И ИХ ФУНКЦИИ
По своему функциональному назначению задачи как средство обучения могут быть направлены или на формирование знаний, умений и навыков учащихся (обучающие задачи), или на осуществление контроля со стороны учителя или учащихся уровня сформированности знаний, умений и навыков (контролирующие задачи).
Обучающие задачи, прежде всего, связаны с формированием элементов теоретических знаний и связанных с ними умений.
В системе задач, направленных на усвоение нового понятия и его определения, выделяют задачи:
— на раскрытие практической значимости понятия или его значимости для дальнейшего продвижения в изучении математики;
— на актуализацию знаний и умений, необходимых при формировании понятия;
— на выделение существенных признаков понятия;
— на распознавание понятия;
— на усвоение текста определения понятия;
— на использование математической символики;
— на установление свойств понятия;
— на применение понятия;
— на усвоение математических понятий;
— на овладение математической символикой.
ОСНОВНЫЕ КОМПОНЕНТЫ ЗАДАЧИ
В задаче выделяют основные компоненты:
1. Условие — начальное состояние;
2. Базис решения — теоретическое обоснование решения;
3. Решение — преобразование условия задачи для нахождения требуемого заключением искомого;
4. Заключение — конечное состояние.
Математическими считаются все задачи, в которых переход от начального состояния (1) к конечному (4) осуществляется математическими средствами, т.е. математическим характером компонентов: обоснование (2) и решение (3).
Если все компоненты задачи (условие, обоснование, решение, заключение) — математические объекты, то задача называется чисто математической; если математическими являются только компоненты решение и базис решения, то задача называется прикладной математической задачей.
На основе рассмотренной модели общего понятия задачи и ее основных компонентов строят дидактически направленную модель типологических особенностей задачи, зависящих от того, на каком этапе обучения эта задача предъявлена учащимся, какими знаниями и опытом обладают школьники в момент ее предъявления, в какой форме сформулирована задача и т.д.
Проблемный характер задачной системы определяется тем, какие из основных компонентов задачи неизвестны.
Стандартной называется задача, в которой четко определено уело вне, известны способ решения и его обоснование, а также даны упражнения на воспроизведение известного. Задача называется обучающей, если в ней неизвестен или плохо определен один из основных компонентов. Если неизвестны два компонента, задача называется поисковой, а если три — проблемной.
В литературе встречается следующая классификация задач: на вычисление, на доказательство, на построение, на исследование, однако такое деление не может быть инструментом в обучении школьников решению задач, потому что задачи этих видов не отличаются друг от друга уровнем сложности, характером деятельности человека по их решению. Например, в задачах на вычисление и построение приходится много доказывать, а в задачах на построение и доказательство приходится много исследовать и т.д., поэтому такая классификация задач ничего не дает.
Кроме того, задачи делят на правильные, с противоречивыми данными, с лишними данными, теоретические и практические, стандартные и нестандартные и т.д.
Интересна классификация задач, учитывающая характер связей между элементами задачи, соотношение между воспроизводящей и творческой деятельностью учеников:
— алгоритмические задачи;
— полуалгоритмические задачи;
— эвристические задачи.
Алгоритмические задачи — задачи, которые решаются с помощью непосредственного применения определения, теоремы, т.е. для решения которых имеется алгоритм. Например, задача на нахождение гипотенузы в прямоугольном треугольнике по известным катетам по формуле Пифагора. Применение алгоритма быстро и легко приводит к желаемому результату.
Полуалгоритмические задачи — задачи, правила, решения которых носят обобщенный характер и не могут быть полностью сведены к объединению элементарных актов. Связи между элементами этих задач легко обнаруживаются учениками. Полуалгоритмические задачи в качестве подзадач содержат алгоритмические задачи. Например, известны стороны треугольника и высота, опущенная на основание. Необходимо найти периметр треугольника.
Решая полуалгоритмические задачи, ученик учится «сворачивать» знания, фиксируя их в сознании крупными блоками. При этом он начинает применять усвоенные алгоритмы в разных ситуациях.
Эвристические задачи — задачи, для решения которых необходимо выявить некоторые скрытые связи между элементами условия и требования или найти способ решения, причем этот способ не является очевидной конкретизацией некоторого обобщенного правила, известного ученику, или сделать и то и другое. Например, известны стороны треугольника. Нужно найти расстояние от середины высоты, проведенной к меньшей стороне, до большей стороны треугольника.
При решении эвристических задач ученик должен использовать эвристические приемы и методы.
ЭТАПЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
Решение задачи осуществляется в несколько этапов.
1. Ознакомление с содержанием задачи.
— Осознание условия и требования задачи, усвоение и разработка элементов условия (или элементов цели).
— Поиск необходимой информации в сложной системе памяти.
— Соотнесение условия и заключения задачи с имеющимися знаниями и опытом и т.д.
2. Поиск решения — выдвижение плана решения задачи.
— Целенаправленные пробы различных сочетаний из данных и искомых.
— Попытки подвести задачу под известный тип.
— Выбор наиболее приемлемого в данных условиях метода решения (из известных).
— Выбор стратегии решения, поиск плана решения и его корректировка на основе предварительной апробации, соотнесения с условием задачи и интуитивными соображениями, фиксирование определенного плана решения задачи и т.д.
3. Процесс решения — реализация плана решения.
— Проводится практическая реализация плана решения во всех его деталях с одновременной корректировкой через соотнесение с условием и выбранным базисом, выбор способа оформления решения, запись результата и т.д.
4. Проверка решения задачи.
— Фиксация конечного результата решения.
— Критический анализ результата, поиск путей рационализации решения, исследование особых и частных случаев, выявление существенного (потенциально полезного), систематизация новых знаний и опыта и т.д.
Сюжетной называют такую задачу, в которой данные и связь между ними включены в фабулу. Содержание сюжетной задачи чаще всего представляет собой некоторую ситуацию, более или менее близкую к жизни. Эти задачи важны, главным образом, для усвоения учащимися математических отношений, для овладения эффективным методом познания - моделированием, для развития способностей и интереса учащихся к математике. Таковыми являются, например, текстовые задачи на составление уравнения. При решении текстовой задачи с помощью составления уравнения необходимо придерживаться следующей последовательности действий:
1. Вычленить условие и требование задачи.
2.Установить зависимость между данными и искомыми.
3. Выявить способ составления уравнения и т.д. Учебными действиями, посредством которых решается учебная задача, являются:
— преобразование условий предметной задачи с целью выявления в ней основного отношения;
— моделирование выделенного отношения в предметной, графической или буквенной форме;
— преобразование модели отношения для изучения его свойств;
— построение системы частных задач, решаемых общим способом. Решение задач в 5 — 6 классах осуществляется, в основном, тремя способами:
— арифметическим, при котором все логические операции при решении задачи проводятся над конкретными числами и основой рассуждения является знание смысла арифметических действий;
— алгебраическим, при котором составляется уравнение (система уравнений), его решение основано на свойствах уравнений;
— комбинированным, который включает как арифметический, так и алгебраический способы решения.
ОРГАНИЗАЦИЯ ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Задачи на уроках математики решаются, в основном, фронтальным образом. Фронтальное решение задач — решение одной и той же задачи всеми учениками класса в одно и то же время. Организация фронтального решения задач может быть различной.
Устное решение задач наиболее распространено в среднем звене общеобразовательной школы, несколько реже в старших классах. Это, прежде всего, выполняемые устно упражнения в вычислениях и тождественных преобразованиях и задачи-вопросы, истинность ответов на которые подтверждается устными доказательствами. Такое решение задач может проходить в форме «пятиминутки» устных упражнений. При организации устных фронтальных упражнений следует использовать таблички, компьютер, интерактивную доску и другие средства представления учащимся устной задачи, что значительно экономит время и оживляет урок математики.
Письменное решение задач с записью на классной доске самим учителем или учащимися на уроках применяют:
— при решении первых после показа учителем задач по ознакомлению с новыми понятиями и методами;
— при решении задач, самостоятельно с которыми могут справиться не все ученики класса;
— при рассмотрении различных вариантов решения одной и той же задачи - для сравнения и выбора лучшего решения;
— при разборе ошибок, допущенных несколькими учениками класса при самостоятельном решении задач и т.д.
Письменное самостоятельное решение задач — наиболее эффективная форма организации решения математических задач, при которой ученики обучаются творчески думать, самостоятельно разбираться в различных вопросах теории и приложений математики. Письменное самостоятельное решение задач значительно повышает учебную активность учащихся, возбуждает их интерес к решению задач, стимулирует творческую инициативу. Формы организации самостоятельного решения задач могут быть различными.
Комментирование решения математических задач: все ученики самостоятельно решают одну и ту же задачу, а один из них последовательно поясняет (комментирует) решение. Ученик-комментатор объясняет, на каком основании он выполняет то или иное преобразование, проводит то или иное рассуждение, построение. При этом каждый шаг должен быть оправдан ссылкой на известные математические предложения.
ИНДИВИДУАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
Учитель должен выяснить подготовку, возможности и способности к изучению математики каждого ученика и в соответствии с этим организовать решение математических задач.