Файл: Экономикоматематические методы и модели.pdf

84
Для первого варианта модели процедура оптимального объема партии состоит в следующем.
1. По формуле Уилсона (4.9) рассчитать q как единую точку минимума для всех кривых.
2. Поскольку диапазоны цен не перекрываются, только одна закупочная цена будет иметь рассчитанную точку q в своём реальном диапазоне. Если реальный q находится в наименьшем диапазоне цен, то это и будет опти- мальный объем заказа q
*
Если реальное q находится в другом диапазоне, то необходимо рассчитать общие затраты (по формуле (4.27)) для q и для всех точек изменения цены с меньшей закупочной стоимостью. Та точка, для которой расходы окажутся наименьшими, будет являться оптимальным размером партии q
*
Второй вариант модели. Здесь стоимость хранения определяется как про- цент от закупочной цены. В этом случае каждая кривая будет иметь свою точку минимума. По мере снижения закупочной цены каждая последующая точка минимума будет располагаться справа от предыдущей точки, находящейся на более высокой кривой. Ситуацию иллюстрирует рис. 4.18.
Процедура определения оптимального объема заказа
1. Начиная с наименьшей цены, по формуле Уилсона рассчитаем точку минимума для каждого диапазона цен, пока не отыщется реальное значение q
(т.е. пока полученное значение q не попадет в реальный диапазон объема партии для своей цены).
2. Если значение q реально для самой низкой цены, то оно и будет оп- тимальным объемом заказа q
*
3. Если реальное значение q не попадает в диапазон минимальной цены, то необходимо сравнить общие расходы (пользуясь формулой (4.27)) в точ- ках изменения цены для всех меньших цен и общие затраты наименьшего ре- ального q. Тогда объем партии, который даст минимальные общие расходы, и будет оптимальным значением q
*
Рис.4.18. Второй вариант модели количественных скидок.
Кривые общих затрат
Электронный архив УГЛТУ

85
4.8.2. Однопериодная модель
Такая модель применяется при заказе скоропортящихся продуктов и предметов с ограниченным сроком годности: свежие фрукты и овощи, живая рыба, цветы, газеты, журналы и др.
Для данной категории товаров характерной чертой является тот факт, что непроданные (или неиспользованные) товары не хранятся более одного периода. Если такая ситуация возникает, то происходит уценка продукции.
Например, вчерашний хлеб может продаваться по сниженным ценам, несве- жую рыбу списывают, старые журналы сдают в букинистические магазины или пункты приема макулатуры. Иногда возникают определенные расходы, связанные с избавлением от испорченных или просроченных товаров.
Анализ однопериодной модели сфокусирован на двух видах затрат: а) издержки, связанные с нехваткой запасов; б) издержки, связанные с излиш- ком запасов.
Издержки нехватки включают в себя потери от нереализованных про- даж. Эти издержки выражаются как нереализованная прибыль на единицу товара:
C
s
=
Выручка от реализации
единицы продукции
-
Закупочная цена
единицы продукции.
Издержки избыточных запасов образуются в случае, если часть товара осталась нереализованной к концу периода.
Издержки избытка – разность между закупочной ценой единицы товара и выручкой от экстренной реализации:
C
e
=
Закупочная цена
единицы продукции
-
Выручка от экстренной
реализации единицы товара
по окончании периода.
Если возникают дополнительные расходы, связанные с реализацией или избавлением от избыточных запасов, тогда выручка от экстренной реализа- ции становится величиной отрицательной и повышает издержки от избыточ- ных запасов.
Задача однопериодной модели – определить объем заказа, который обес- печит минимальные издержки, связанные с недостаточными или избыточны- ми запасами.
Будем рассматривать оба случая.
1. Спрос на хранимый товар близок к непрерывному распределению
(например, к нормальному или равномерному).
Электронный архив УГЛТУ

86 2. Спрос на хранимый товар близок к дискретному распределению.
Примеры непрерывного распределения спроса: спрос на бензин, дизель- ное топливо, газ. Напротив, спрос на автомобили, компьютеры и т.п. выража- ется определенными числами, и поэтому может быть описан дискретным распределением.
Непрерывный спрос на товар.
Определение оптимального уровня запаса базируется на понятии «веро- ятность не исчерпания запаса» (в некоторых источниках эта величина имену- ется уровнем обслуживания).
«Вероятность не исчерпания» - это вероятность того, что спрос не пре- высит уровень запаса.
В однопериодной модели оптимальным считается такой уровень запаса, при котором «вероятность не исчерпания» равна соотношению
(4.28) где P – «вероятность не исчерпания запаса»; C
s
– издержки, связанные с недостаточным запасом, на единицу продукции; C
e
– издержки, связанные с избыточным запасом, на единицу продукции.
Определение оптимального уровня запаса визуально проще всего пред- ставить для случая равномерного спроса. Выбор уровня запаса напоминает детские качели, где вместо людей на одном конце доски - издержки (C
e
) от избыточных запасов, на другом - издержки от недостатка (C
s
). Оптимальный уровень запаса уравновешивает оба вида издержек, как это показано на рис.
4.19.
Если фактический спрос превышает q
*
, то возникает нехватка, отсюда
C
s
- на правом конце распределения. Аналогично, если спрос меньше, чем q
*
, то возникает избыток, отсюда C
e
- на левой стороне распределения. Когда С
s
= С
e
, оптимальный уровень запаса находится ровно посередине между двумя концами распределения. Если же один показатель больше другого, то q
*
для
«поддержания равновесия» располагается ближе к большему показателю.
Рис. 4.19.«Вероятность неисчерпания» и оптимальный объем партии в однопериодной модели
Электронный архив УГЛТУ

87
Подход, применяемый при нормальном распределении спроса, аналоги- чен описанному. Для лучшего уяснения методики определения q
*
приведем пример.
Пример 4.1. Каждый день в бар поставляется свежее пиво. Спрос равно- мерно распределяется от 100 до 300 литров в день. Бар платит производителю за литр пива 20 руб., а продает – по 80 руб. за литр. Непроданное пиво не под- лежит реализации на следующий день, поскольку оно портится.
Найдите оптимальный уровень запасов.
Решение.
С
s
= 0,80 – 0,20 = 0,60;
С
e
= 0,20 – 0 = 0,20.
Подставляя полученные данные в формулу (4.28) получим Р = 0,75.
Таким образом, оптимальный уровень запасов должен обеспечивать
«вероятность неисчерпания» на уровне 75 %. Для равномерного спроса - это минимальный спрос плюс 75 % от разности между максимальным и мини- мальным спросом, т.е.:
q
*
= 100 + 0,75 (300 – 100) = 250 (литров).
Графическая иллюстрация приведенного решения представлена на рис.
4.20.
Рис. 4.20. Иллюстрация решения задачи о закупках пива
В общем случае для равномерного спроса может быть применена сле- дующая формула:
q
*
= λ
min
+ P∙(λ
max
– λ
min
). (4.29)
Ниже приведем еще один пример решения задачи. На этот раз спрос на хранимый продукт будет распределен нормально.
Пример 4.2. Магазин продает хлебный квас. Спрос на него приближен к нормальному со средним значением 200 литров в неделю и стандартным от- клонением 10 литров в неделю. C
s
= 60 руб. за литр, C
e
= 20 руб. за литр.
Найдите оптимальный уровень запасов кваса.
Решение
Электронный архив УГЛТУ

88
Это означает, что 75 % площади под кривой нормального распределения должны располагаться слева от точки q
*
(рис. 4.21).
Рис. 4.21. Иллюстрация решения задачи о закупках кваса
(нормальное распределение спроса)
Для нахождения q
*
можно использовать формулу:
̅ где

- средняя величина спроса;
- число стандартных отклонений спроса для заданного P;
- среднеквадратическое отклонение величины спроса.
Значения табулированы, их можно определить по соответствующей статистической таблице (Приложение Б). Кроме того, для разрешения подоб- ных вопросов можно использовать пакет программ «Microsoft Excel», а именно одну из его статистических функций – «НОРМОБР» или
«НОРМСТОБР».
Для решаемой нами задачи оптимальный уровень запасов кваса равен:
q
*
≈ 200 + 0,674∙10 ≈ 206,75 (литра).
Дискретный спрос на товар.
Теперь рассмотрим ситуацию, когда спрос на хранимый товар скорее является дискретным, чем непрерывным. При этом величина запаса, рассчи- танная на основе соотношения (4.28), обычно не совпадает с реально воз- можным уровнем запаса. В этом случае выбирается большее из двух бли- жайших значений. Схема действий иллюстрируется рис. 4.22.
Ниже приведем пример, поясняющий порядок определения оптимально- го объема партии.
Электронный архив УГЛТУ

89
Рис. 4.22. Схема нахождения оптимального объема партии в однопериодной модели с дискретным характером спроса
Пример 4.3. Спрос на цветы в небольшом цветочном магазине близок к распределению, представленному в табл. 4.3.
Таблица 4.3
Распределение величины спроса в задаче о цветах

90
5. НЕЛИНЕЙНОЕ И ДИНАМИЧЕСКОЕ
ПРОГРАММИРОВАНИЕ
5.1. Постановка и решение задачи нелинейного
программирования
Предположение о возможности описать зависимости между управляе- мыми переменными с помощью линейных функций далеко не всегда адек- ватно природе моделируемого объекта. Например, во многих экономических моделях цена товара считается независимой от количества произведенного продукта, однако в повседневной жизни мы постоянно сталкиваемся с тем, что она может зависеть от объема партии товара. Аналогичные замечания могут быть сделаны и по поводу технологических ограничений: расход опре- деленных видов сырья и ресурсов происходит не линейно, а скачкообразно (в зависимости от объема производства). Попытки учесть эти факторы приводят к формулировке более общих и сложных оптимизационных задач. Изучение методов их решения составляет предмет научной области, получившей названия нелинейного программирования (НЛП) [8].
Задачами нелинейного программирования (ЗНЛП) называются задачи математического программирования, в которых нелинейный и (или) целевая функция, и (или) ограничения в виде неравенств или равенств.
Источники нелинейности в задачах НЛП относятся в основном к одной из двух категорий [9]:
1) реально существующие и эмпирически наблюдаемые нелинейные со- отношения, например: непропорциональные зависимости между объемом производства и затратами; между количеством используемого в производстве компонента и некоторыми показателями качества готовой продукции; между затратами сырья и физическими параметрами (давление, температура и т.п.) соответствующего производственного процесса; между выручкой и объемом реализации и др.;
2) установленные (постулируемые) руководством правила поведения или задаваемые зависимости, например: формулы или правила расчета с по- требителями энергии или других видов услуг; эвристические правила опре- деления страховых уровней запаса продукции; гипотезы о характере вероят- ностного распределения рассматриваемых в модели случайных величин; раз- личного рода договорные условия взаимодействия между партнерами по бизнесу и др.
Электронный архив УГЛТУ

91
Задачи нелинейного программирования можно классифицировать в со- ответствии с видом функции F(x), функциями ограничений и размерностью вектора х (вектора решений).
В самом общем виде классификация представлена в табл. 5.1.
Общих способов решения, аналогичных симплекс-методу линейного программирования, для нелинейного программирования не существует.
В каждом конкретном случае способ выбирается в зависимости от вида функции F(x). Задачи нелинейного программирования на практике возника- ют довольно часто, когда, например, затраты растут непропорционально ко- личеству закупленных или произведённых товаров.
Таблица 5.1
Классификация задач НЛП
Вид F(x)
Вид функции ограничений
Число переменных
Название задачи
Нелинейная
Отсутствуют
1
Безусловная однопараметрическая оптимизация
Нелинейная
Отсутствуют
Более 1
Безусловная многопараметрическая оптимизация
Нелинейная или линейная
Нелинейные или линейные
Более 1
Условная нелинейная оптимизация
Многиезадачи нелинейного программирования могут быть приближены к задачам линейного программирования, и найдено близкое к оптимальному решению. Встречаются задачи квадратичного программирования, когда функция есть F(x) полином 2-ой степени относительно переменных, а огра- ничения линейны. В ряде случаев может быть применён метод штрафных функций, сводящей задачу поиска экстремума при наличии ограничений к аналогичной задаче при отсутствии ограничений, которая обычно решается проще.
Но в целомзадачи нелинейного программирования относятся к трудным вычислительным задачам. При их решении часто приходится прибегать к приближенным методам оптимизации. Мощным средством для решения задач нелинейного программирования являются численные методы. Они поз- воляют найти решение задачи с заданной степенью точности.
Общая формулировка нелинейных задач:
Найти переменные х
1
, х
2
, …, х
n
, удовлетворяющие системе уравнений
Ψ ( х
1
, х
2
, …, х
n
) = b
i
, i = 1, 2, …, m (5.1) и обращающие в максимум ( минимум ) целевую функцию
Электронный архив УГЛТУ

92
Z = f ( х
1
, х
2
, …, х
n
). (5.2)
Примером типичной и простой нелинейной задачи является следующая:
Данное предприятие для производства какого-то продукта расходует два средства в количестве х
1
и х
2
соответственно. Это факторы производства, например, машины и труд, два различных сырья и т.п., а величины х
1
и х
2
– затраты факторов производства. Факторы производства впредь будем считать взаимозаменяемыми. Если это «труд» и «машины», то можно применять та- кие методы производства, при которых величина затрат машин в сопоставле- нии с величиной затрат труда оказывается больше или меньше (производство более или менее трудоемкое).
Объем производства (выраженный в натуральных или стоимостных еди- ницах) является функцией затрат производства Z = f ( х
1
, х
2
). Эта зависи- мость называется производственной функцией. Издержки зависят от расхода обоих факторов (х
1
и х
2
) и от цен этих факторов (c
1
и c
2
). Совокупные издерж- ки выражаются формулой b = c
1
х
1
+ c
2
х
2
. Требуется при данных совокупных издержках определить такое количество факторов производства, которое максимизирует объем продукции Z.
Математическая модель этой задачи имеет вид: определить такие пере- менные х
1
и х
2
, удовлетворяющие условиям
c
1
х
1
+ c
2
х
2
= b (5.3)
х
1
≥ 0, х
2
≥ 0, (5.4) при которых функция
Z = f (х
1
, х
2
) (5.5)
достигает максимума. Как правило, функция (5.5) может иметь произволь- ный нелинейный вид.
Используя классические методы оптимизации, следует четко представ- лять себе различие между локальным экстремумом функции, глобальным и
условным экстремумом. Понятие условного экстремума вводится для случая, когда число переменных n ≥ 2. Будем полагать, что функция Z = f ( х
1
, х
2
, …,
х
n
) = f(X)дважды дифференцируема в точке Х
*
= (х
1
*
, х
2
*
, …, х
n
*
), (Х
*
D(f)) и в некоторой ее окрестности.
Если для всех точек Х этой окрестности f(X
*
) ≥ f (X) или f (X
*
) ≤ f(X), то говорят, что функцияf(X) имеет экстремум в X
*
(соответственно максимум или минимум).
Точка X
*
, в которой все частные производные функции Z = f (Х)равны
0, называется стационарной точкой.
Необходимое условие экстремума.
Если в точке X* функция Z = f(Х) имеет экстремум, то частные произ- водные функции в этой точке равны нулю:
Электронный архив УГЛТУ