ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 30.10.2023
Просмотров: 356
Скачиваний: 11
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
4.4. Целевые функции моделей
управления запасами
За критерий оптимальности стратегии принимается минимум суммар- ных расходов, связанных с образованием и хранением запасов, и убытков, возникающих при наличии перебоев в обеспечении потребителей. При этом в расчет берутся лишь те расходы, которые зависят от размера партий поставок и величины запаса.
В качестве целевой функции в моделях управления запасами, как прави- ло, принимают минимум суммы следующих видов затрат:
1) связанные с возникновением перебоев в снабжении (потери от дефи- цита); через a обозначим величину потерь от дефицита единицы продукции;
2) связанные с хранением запаса; обозначим b затраты на хранение еди- ницы продукции в единицу времени;
3) связанные с организацией поставок; пусть c - затраты на одну партию;
Вв наиболее простом случае:
( )
(4.1)
где q – количество заказанной продукции,
c
0
– издержки, не зависящие от объема заказа и связанные с самим фак- том его произведения;
c
1
– закупочная цена единицы продукции.
Электронный архив УГЛТУ
66
Наличие в издержках c(q) величины c
0
, отличной от нуля, приводит к ограничению количества заказов и, собственно, к необходимости иметь склад.
Попробуем проанализировать зависимость величины затрат каждого ви- да от уровня запасов на складе. Из рис. 4.6 видно, что с ростом уровня запаса затраты первого вида снижаются, что естественно, поскольку при этом сни- жается риск исчерпания запасов.
Рис. 4.6. Зависимость величины затрат от среднего уровня запаса
Затраты на хранение (2) возрастают (линейно или нелинейно), а затраты на организацию поставок (3) уменьшаются, так как высокий уровень запасов позволяет делать заказы реже.
Заметим, что кривая суммарных затрат (пунктирная линия) имеет явную точку минимума. Это позволяет сделать вывод о том, что должен существо- вать такой уровень запаса Z
*
, при котором суммарные издержки достигают минимального значения V
min
Поскольку запас с течением времени изменяется, заявки на его пополне- ние также подаются периодически, при исследовании систем хранения запа- сов обычно минимизируют средние издержки функционирования системы в единицу времени. Такие издержки могут быть представлены следующим об- разом:
(∫ ( ( ))
( )
( ))
(4.2) где τ – рассматриваемый период времени;
n(τ) – полное число поставок за период [0, τ];
d(τ) – общий объем заказанной продукции за период [0, τ].
Электронный архив УГЛТУ
67
Функция f (Z) в частном случае подсчитывается по формуле:
( ) {
(4.3)
Отрицательное значение Z соответствует ситуации, когда имеет место неудовлетворенный спрос на продукт.
4.5. Типы моделей управления запасами
Несмотря на то, что любая модель управления запасами призвана отве- чать на два основных вопроса (когда и сколько), имеется значительное число моделей, для построения которых используется разнообразный математиче- ский аппарат.
Такая ситуация объясняется различием исходных условий. Главным ос- нованием для классификации моделей управления запасами является харак- тер спроса на хранимую продукцию (напомним, что с точки зрения более общей градации сейчас мы рассматриваем лишь случаи с независимым спро- сом).
Итак, в зависимости от характера спроса модели управления запасами могут быть детерминированными и вероятностными.
В свою очередь детерминированный спрос может быть статическим, ко- гда интенсивность потребления не изменяется во времени, или динамиче- ским, когда достоверный спрос с течением времени может изменяться.
Вероятностный спрос может быть стационарным, когда плотность веро- ятности спроса не изменяется во времени, и нестационарным, где функция плотности вероятности меняется в зависимости от времени. Приведенную классификацию поясняет рис. 4.7.
Рис. 4.7. Типы моделей управления запасами в зависимости
Электронный архив УГЛТУ
68 от характера спроса
Наиболее простым является случай детерминированного статического спроса на продукцию. Однако такой вид потребления на практике встречает- ся достаточно редко. Наиболее сложные модели - модели нестационарного типа.
Кроме характера спроса на продукцию при построении моделей управ- ления запасами приходится учитывать множество других факторов, напри- мер:
● сроки выполнения заказов: продолжительность заготовительного пе- риода может быть постоянной либо являться случайной величиной;
● процесс пополнения запаса может быть мгновенным либо распреде- ленным во времени;
● наличие ограничений по оборотным средствам, складской площади т.п.
4.6. Простейшие модели управления запасами
4.6.1. Однопродуктовая статическая модель
Модель управления запасами простейшего типа характеризуется тремя свойствами: постоянным во времени спросом; мгновенным пополнением за- паса; отсутствием дефицита.
В этом случае модель с фиксированным размером заказа и модель с фиксированной периодичностью ведут себя совершенно одинаково, посколь- ку интенсивность спроса и продолжительность заготовительного периода не изменяются.
На практике такой модели могут соответствовать следующие ситуации: использование осветительных ламп в здании; использование крупной фир- мой канцелярских товаров (бумаги, блокнотов, карандашей и т.д.), потребле- ние основных продуктов питания.
График движения запаса на складе для подобной ситуации представлен на рис. 4.8, на котором обозначены:
q – размер партии;
Z
ср
= q/2 – средний уровень запаса;
λ – тангенс соответствующего угла, интенсивность спроса (количество продукции, потребляемой в единицу времени);
S – «точка заказа»;
– продолжительность заготовительного периода;
l – продолжительность цикла заказа (планируемого периода).
Электронный архив УГЛТУ
69
Рис. 4.8. Движение запаса в однопродуктовой статической модели
Для такой модели размер запаса в определенный момент времени может быть рассчитан по формуле:
( ) ( ) ( ) (4.4) где W(t) - суммарное поступление продукта за период [0,t].
Величина суммарных поступлений определяется из соотношения:
( ) ( ) (4.5) где n(t) - полное число поставок за период [0, t].
При этом l = q / λ, т.е. уровень запаса достигнет нуля, спустя q / λ еди- ниц времени после получения заказа размером q.
Полное число поставок:
( ) [
] [
] (4.6) где […] - целая часть числа.
Из соотношений (4.4), (4.5) и (4.6) получим:
( ) ( ) [
] (4.7)
Уравнение (4.7) полностью описывает рассматриваемую систему хране- ния запаса. Оптимизация заключается в выборе наиболее экономичного раз- мера партии q. Утверждение иллюстрирует рис. 4.9.
Чем меньше q, тем чаще нужно размещать новые заказы. Однако при этом средний уровень запаса будет уменьшаться.
С другой стороны, с увеличением q уровень запаса повышается, но зака- зы размещаются реже.
Так как затраты зависят от частоты заказов и объема хранимого запаса, то величина q должна определяться из условия обеспечения сбалансирован- ности между двумя видами затрат.
Электронный архив УГЛТУ
70
Рис. 4.9. Экономический смысл оптимального размера партии
Итак, с
0
, как и прежде, – затраты на оформление заказа, имеющие место всякий раз при его размещении; b – затраты на хранение единицы продукции в единицу времени; с
1
– закупочная цена единицы продукта; d(t) – общий объем потребленной продукции за период [0, t].
Выразим суммарные затраты V (t) за период времени [0, t] и зададимся целью отыскать минимум этих затрат:
( )
( )
( ) (4.8)
Используя соотношения (4.6) и (4.7) и переходя к затратам в единицу вре- мени (для этого разделим предыдущее выражение на t), получим:
(4.9)
Заметим, что требованием о целой части в выражении (4.6) нам при- шлось пренебречь, чтобы получить дифференцируемую функцию.
Далее найдем производную функции по q и приравняем ее нулю: откуда найдем q*:
√
(4.10)
Заметим, что вторая производная в точке q* строго положительна, что говорит о том, что найден именно минимум функции.
Соотношение (4.10) принято называть формулой экономичного размера заказа Уилсона. Формула Уилсона занимает центральное место во всей тео- рии управления запасами.
Таким образом, оптимальная стратегия модели предусматривает заказ q* единиц продукта через каждые l*=q*/ λ единиц времени.
Электронный архив УГЛТУ
71
Стратегия размещения заказов в приведенной модели должна опреде- лять также «точку заказа». Можно показать, что «точка заказа» для данного случая определяется как:
. (11)
При использовании формул (4.9) и (4.10) необходимо контролировать, чтобы интенсивность спроса λ и стоимость хранения b были отнесены к од- ному и тому же промежутку времени, например, к году, месяцу или дню.
В отношении оптимального объема партии q* необходимо сделать сле- дующее замечание.
Стоимость хранения и стоимость заказа, а также предполагаемый спрос,
- все это по своей сути ориентировочные показатели, их невозможно точно рассчитать. Иногда стоимость хранения не рассчитывается, а просто устанав- ливается, исходя из каких-то разумных соображений. Соответственно, эко- номичный объем заказа нужно считать приблизительным, а не точным пока- зателем. Возникает вопрос: в какой степени приемлем такой «приблизитель- ный» объем партии с точки зрения минимальных расходов (рис. 4.10)?
Рис. 4.10. Зона оптимального размера партии
Ответ состоит в том, что кривая издержек в районе точки q
*
относитель- но пологая, особенно справа от данной точки (см. рис. 4.10). Следовательно, показатель экономичного объема партии можно считать достаточно устойчи- вым.
4.6.2. Однопродуктовая статическая модель,
допускающая дефицит
В рассмотренной выше простейшей модели дефицит продукции не до- пускается. В общем случае, когда потери от дефицита сопоставимы с расхо- дами по содержанию запасов, дефицит допустим.
Электронный архив УГЛТУ
72
График движения запаса для такой ситуации приведен на рис. 4.11, где обозначает количество продукции, потребляемой в течение заготови- тельного периода.
Рис.4.11. Движение запаса в однопродуктовой статической модели, допускающей дефицит
Не производя подробного вывода формул, заметим следующее.
В случае, когда вид минимизируемой функции определяется посред- ством соотношений (4.1) - (4.3), оптимальные значения параметров q
*
и S
*
имеют следующий вид:
√
√
, (4.12)
√
( )
(4.13)
Нетрудно заметить, что при больших издержках от неудовлетворенного спроса, т.е. при недопустимости дефицита (a → ∞), q* и S*в формулах (4.12) и (4.13) стремятся к соответствующим значениям в формулах (4.10) и (4.11).
4.6.3. Модель с постепенным пополнением запасов
Простейшая однопродуктовая статическая модель, рассмотренная в пп.
4.6.1, обладала тремя свойствами: достоверно известным спросом, мгновен- ным пополнением запаса, отсутствием дефицита.
Что происходит с оптимальными параметрами модели при допущении дефицита, выяснили, рассмотрев материалы пп. 4.6.2. А что же будет проис- ходить с параметрами модели в случае, когда процесс пополнения запаса распределен во времени? Исследуем эту ситуацию.
Электронный архив УГЛТУ
73
В некоторых случаях, например, когда предприятие одновременно явля- ется производителем и потребителем изделий, запасы пополняются посте- пенно, а не мгновенно. То есть, в данном случае одна часть производствен- ной системы выполняет функцию поставщика для другой части этой систе- мы, выступающей в роли потребителя.
Если темпы производства и потребления одинаковы, то запасы созда- ваться вообще не будут, поскольку весь объем выпуска сразу же использует- ся. В этом случае вопрос об объеме партии не рассматривается. Чаще бывает, что темп производства превышает темп потребления.
График движения запасов в такой системе будет иметь вид, соответ- ствующий графику, представленному на рис. 4.12.
Рис. 4.12. Движение запасов в модели с постепенным пополнением
Приведем обозначения необходимых для дальнейшего анализа величин:
q – объем производимой партии, шт.;
λ – интенсивность потребления, шт./ед. времени;
ρ – темп производства, шт./ед. времени; соответственно, (ρ – λ) - темп прироста запасов (шт./ед. времени), на графике - тангенс соответствующего угла;
Z
max
– максимальный уровень запасов; b – расходы на хранение единицы продукции в единицу времени, ед. стоимости;
c
0
– затраты на пуско-наладочные работы, ед. стоимости;
– продолжительность пусконаладочных работ, иначе - время упрежде- ния заказа, ед. времени.
Из графика видно, что изделия производятся в течение только части цикла, потому что темп производства выше темпа потребления; потребление же происходит на протяжении всего цикла. Во время производственной ста-
Электронный архив УГЛТУ
74 дии цикла создаются запасы. Их уровень равен разнице между уровнем про- изводства и уровнем потребления. Пока продолжается производство, уровень запасов будет повышаться. Когда производство прекращается, уровень запа- сов начинает снижаться. Следовательно, уровень запасов будет максималь- ным в момент завершения производственной стадии. Когда наличный запас будет исчерпан, производство возобновляется, и весь цикл повторяется вновь.
Когда компания сама производит изделия, то у нее нет расходов на заказ как таковых. Однако для каждой производственной партии существуют рас- ходы на подготовку - это стоимость подготовки оборудования к данному производственному процессу: наладка, замена инструмента и т.п. По иному такие расходы называются затратами на пусконаладочные работы. Стои- мость подготовки в данном случае аналогична стоимости заказа, поскольку она не зависит от размера партии. Аналогично и использование этих величин при расчетах.
Перейдем к определению оптимальных параметров рассматриваемой модели. Для этого используем прием, уже примененный нами в пп. 4.6.1: со- ставим выражение, показывающее зависимость затрат V от параметров моде- ли, отыщем производную и приравняем ее нулю.
На этот раз включим в общие расходы всего два вида издержек: затраты на проведение пусконаладочных работ и затраты на хранение продукции.
Расходы, пропорциональные объему партии (компонент, включающий вели- чину c
1
), в функцию включать не будем. Во-первых, как показано выше, это слагаемое никак не влияет на итоговые выражения для оптимальных пара- метров, во-вторых, в условиях, когда предприятие одновременно является и производителем, и потребителем продукции, такие затраты по сути не связа- ны с функционированием системы хранения запасов.
Итак, суммарные затраты V(t) за период времени [0, t]:
( )
( )
Используя соотношение (4.6), переходим к затратам в единицу времени
(для этого разделим предыдущее выражение на t), получим:
Выразим Z
max
через q (объем производственной партии). Это легко сде- лать, используя график движения запаса (рис. 4.12), а именно, рассматривая
Электронный архив УГЛТУ
управления запасами
За критерий оптимальности стратегии принимается минимум суммар- ных расходов, связанных с образованием и хранением запасов, и убытков, возникающих при наличии перебоев в обеспечении потребителей. При этом в расчет берутся лишь те расходы, которые зависят от размера партий поставок и величины запаса.
В качестве целевой функции в моделях управления запасами, как прави- ло, принимают минимум суммы следующих видов затрат:
1) связанные с возникновением перебоев в снабжении (потери от дефи- цита); через a обозначим величину потерь от дефицита единицы продукции;
2) связанные с хранением запаса; обозначим b затраты на хранение еди- ницы продукции в единицу времени;
3) связанные с организацией поставок; пусть c - затраты на одну партию;
Вв наиболее простом случае:
( )
(4.1)
где q – количество заказанной продукции,
c
0
– издержки, не зависящие от объема заказа и связанные с самим фак- том его произведения;
c
1
– закупочная цена единицы продукции.
Электронный архив УГЛТУ
66
Наличие в издержках c(q) величины c
0
, отличной от нуля, приводит к ограничению количества заказов и, собственно, к необходимости иметь склад.
Попробуем проанализировать зависимость величины затрат каждого ви- да от уровня запасов на складе. Из рис. 4.6 видно, что с ростом уровня запаса затраты первого вида снижаются, что естественно, поскольку при этом сни- жается риск исчерпания запасов.
Рис. 4.6. Зависимость величины затрат от среднего уровня запаса
Затраты на хранение (2) возрастают (линейно или нелинейно), а затраты на организацию поставок (3) уменьшаются, так как высокий уровень запасов позволяет делать заказы реже.
Заметим, что кривая суммарных затрат (пунктирная линия) имеет явную точку минимума. Это позволяет сделать вывод о том, что должен существо- вать такой уровень запаса Z
*
, при котором суммарные издержки достигают минимального значения V
min
Поскольку запас с течением времени изменяется, заявки на его пополне- ние также подаются периодически, при исследовании систем хранения запа- сов обычно минимизируют средние издержки функционирования системы в единицу времени. Такие издержки могут быть представлены следующим об- разом:
(∫ ( ( ))
( )
( ))
(4.2) где τ – рассматриваемый период времени;
n(τ) – полное число поставок за период [0, τ];
d(τ) – общий объем заказанной продукции за период [0, τ].
Электронный архив УГЛТУ
67
Функция f (Z) в частном случае подсчитывается по формуле:
( ) {
(4.3)
Отрицательное значение Z соответствует ситуации, когда имеет место неудовлетворенный спрос на продукт.
4.5. Типы моделей управления запасами
Несмотря на то, что любая модель управления запасами призвана отве- чать на два основных вопроса (когда и сколько), имеется значительное число моделей, для построения которых используется разнообразный математиче- ский аппарат.
Такая ситуация объясняется различием исходных условий. Главным ос- нованием для классификации моделей управления запасами является харак- тер спроса на хранимую продукцию (напомним, что с точки зрения более общей градации сейчас мы рассматриваем лишь случаи с независимым спро- сом).
Итак, в зависимости от характера спроса модели управления запасами могут быть детерминированными и вероятностными.
В свою очередь детерминированный спрос может быть статическим, ко- гда интенсивность потребления не изменяется во времени, или динамиче- ским, когда достоверный спрос с течением времени может изменяться.
Вероятностный спрос может быть стационарным, когда плотность веро- ятности спроса не изменяется во времени, и нестационарным, где функция плотности вероятности меняется в зависимости от времени. Приведенную классификацию поясняет рис. 4.7.
Рис. 4.7. Типы моделей управления запасами в зависимости
Электронный архив УГЛТУ
68 от характера спроса
Наиболее простым является случай детерминированного статического спроса на продукцию. Однако такой вид потребления на практике встречает- ся достаточно редко. Наиболее сложные модели - модели нестационарного типа.
Кроме характера спроса на продукцию при построении моделей управ- ления запасами приходится учитывать множество других факторов, напри- мер:
● сроки выполнения заказов: продолжительность заготовительного пе- риода может быть постоянной либо являться случайной величиной;
● процесс пополнения запаса может быть мгновенным либо распреде- ленным во времени;
● наличие ограничений по оборотным средствам, складской площади т.п.
4.6. Простейшие модели управления запасами
4.6.1. Однопродуктовая статическая модель
Модель управления запасами простейшего типа характеризуется тремя свойствами: постоянным во времени спросом; мгновенным пополнением за- паса; отсутствием дефицита.
В этом случае модель с фиксированным размером заказа и модель с фиксированной периодичностью ведут себя совершенно одинаково, посколь- ку интенсивность спроса и продолжительность заготовительного периода не изменяются.
На практике такой модели могут соответствовать следующие ситуации: использование осветительных ламп в здании; использование крупной фир- мой канцелярских товаров (бумаги, блокнотов, карандашей и т.д.), потребле- ние основных продуктов питания.
График движения запаса на складе для подобной ситуации представлен на рис. 4.8, на котором обозначены:
q – размер партии;
Z
ср
= q/2 – средний уровень запаса;
λ – тангенс соответствующего угла, интенсивность спроса (количество продукции, потребляемой в единицу времени);
S – «точка заказа»;
– продолжительность заготовительного периода;
l – продолжительность цикла заказа (планируемого периода).
Электронный архив УГЛТУ
69
Рис. 4.8. Движение запаса в однопродуктовой статической модели
Для такой модели размер запаса в определенный момент времени может быть рассчитан по формуле:
( ) ( ) ( ) (4.4) где W(t) - суммарное поступление продукта за период [0,t].
Величина суммарных поступлений определяется из соотношения:
( ) ( ) (4.5) где n(t) - полное число поставок за период [0, t].
При этом l = q / λ, т.е. уровень запаса достигнет нуля, спустя q / λ еди- ниц времени после получения заказа размером q.
Полное число поставок:
( ) [
] [
] (4.6) где […] - целая часть числа.
Из соотношений (4.4), (4.5) и (4.6) получим:
( ) ( ) [
] (4.7)
Уравнение (4.7) полностью описывает рассматриваемую систему хране- ния запаса. Оптимизация заключается в выборе наиболее экономичного раз- мера партии q. Утверждение иллюстрирует рис. 4.9.
Чем меньше q, тем чаще нужно размещать новые заказы. Однако при этом средний уровень запаса будет уменьшаться.
С другой стороны, с увеличением q уровень запаса повышается, но зака- зы размещаются реже.
Так как затраты зависят от частоты заказов и объема хранимого запаса, то величина q должна определяться из условия обеспечения сбалансирован- ности между двумя видами затрат.
Электронный архив УГЛТУ
70
Рис. 4.9. Экономический смысл оптимального размера партии
Итак, с
0
, как и прежде, – затраты на оформление заказа, имеющие место всякий раз при его размещении; b – затраты на хранение единицы продукции в единицу времени; с
1
– закупочная цена единицы продукта; d(t) – общий объем потребленной продукции за период [0, t].
Выразим суммарные затраты V (t) за период времени [0, t] и зададимся целью отыскать минимум этих затрат:
( )
( )
( ) (4.8)
Используя соотношения (4.6) и (4.7) и переходя к затратам в единицу вре- мени (для этого разделим предыдущее выражение на t), получим:
(4.9)
Заметим, что требованием о целой части в выражении (4.6) нам при- шлось пренебречь, чтобы получить дифференцируемую функцию.
Далее найдем производную функции по q и приравняем ее нулю: откуда найдем q*:
√
(4.10)
Заметим, что вторая производная в точке q* строго положительна, что говорит о том, что найден именно минимум функции.
Соотношение (4.10) принято называть формулой экономичного размера заказа Уилсона. Формула Уилсона занимает центральное место во всей тео- рии управления запасами.
Таким образом, оптимальная стратегия модели предусматривает заказ q* единиц продукта через каждые l*=q*/ λ единиц времени.
Электронный архив УГЛТУ
71
Стратегия размещения заказов в приведенной модели должна опреде- лять также «точку заказа». Можно показать, что «точка заказа» для данного случая определяется как:
. (11)
При использовании формул (4.9) и (4.10) необходимо контролировать, чтобы интенсивность спроса λ и стоимость хранения b были отнесены к од- ному и тому же промежутку времени, например, к году, месяцу или дню.
В отношении оптимального объема партии q* необходимо сделать сле- дующее замечание.
Стоимость хранения и стоимость заказа, а также предполагаемый спрос,
- все это по своей сути ориентировочные показатели, их невозможно точно рассчитать. Иногда стоимость хранения не рассчитывается, а просто устанав- ливается, исходя из каких-то разумных соображений. Соответственно, эко- номичный объем заказа нужно считать приблизительным, а не точным пока- зателем. Возникает вопрос: в какой степени приемлем такой «приблизитель- ный» объем партии с точки зрения минимальных расходов (рис. 4.10)?
Рис. 4.10. Зона оптимального размера партии
Ответ состоит в том, что кривая издержек в районе точки q
*
относитель- но пологая, особенно справа от данной точки (см. рис. 4.10). Следовательно, показатель экономичного объема партии можно считать достаточно устойчи- вым.
4.6.2. Однопродуктовая статическая модель,
допускающая дефицит
В рассмотренной выше простейшей модели дефицит продукции не до- пускается. В общем случае, когда потери от дефицита сопоставимы с расхо- дами по содержанию запасов, дефицит допустим.
Электронный архив УГЛТУ
72
График движения запаса для такой ситуации приведен на рис. 4.11, где обозначает количество продукции, потребляемой в течение заготови- тельного периода.
Рис.4.11. Движение запаса в однопродуктовой статической модели, допускающей дефицит
Не производя подробного вывода формул, заметим следующее.
В случае, когда вид минимизируемой функции определяется посред- ством соотношений (4.1) - (4.3), оптимальные значения параметров q
*
и S
*
имеют следующий вид:
√
√
, (4.12)
√
( )
(4.13)
Нетрудно заметить, что при больших издержках от неудовлетворенного спроса, т.е. при недопустимости дефицита (a → ∞), q* и S*в формулах (4.12) и (4.13) стремятся к соответствующим значениям в формулах (4.10) и (4.11).
4.6.3. Модель с постепенным пополнением запасов
Простейшая однопродуктовая статическая модель, рассмотренная в пп.
4.6.1, обладала тремя свойствами: достоверно известным спросом, мгновен- ным пополнением запаса, отсутствием дефицита.
Что происходит с оптимальными параметрами модели при допущении дефицита, выяснили, рассмотрев материалы пп. 4.6.2. А что же будет проис- ходить с параметрами модели в случае, когда процесс пополнения запаса распределен во времени? Исследуем эту ситуацию.
Электронный архив УГЛТУ
73
В некоторых случаях, например, когда предприятие одновременно явля- ется производителем и потребителем изделий, запасы пополняются посте- пенно, а не мгновенно. То есть, в данном случае одна часть производствен- ной системы выполняет функцию поставщика для другой части этой систе- мы, выступающей в роли потребителя.
Если темпы производства и потребления одинаковы, то запасы созда- ваться вообще не будут, поскольку весь объем выпуска сразу же использует- ся. В этом случае вопрос об объеме партии не рассматривается. Чаще бывает, что темп производства превышает темп потребления.
График движения запасов в такой системе будет иметь вид, соответ- ствующий графику, представленному на рис. 4.12.
Рис. 4.12. Движение запасов в модели с постепенным пополнением
Приведем обозначения необходимых для дальнейшего анализа величин:
q – объем производимой партии, шт.;
λ – интенсивность потребления, шт./ед. времени;
ρ – темп производства, шт./ед. времени; соответственно, (ρ – λ) - темп прироста запасов (шт./ед. времени), на графике - тангенс соответствующего угла;
Z
max
– максимальный уровень запасов; b – расходы на хранение единицы продукции в единицу времени, ед. стоимости;
c
0
– затраты на пуско-наладочные работы, ед. стоимости;
– продолжительность пусконаладочных работ, иначе - время упрежде- ния заказа, ед. времени.
Из графика видно, что изделия производятся в течение только части цикла, потому что темп производства выше темпа потребления; потребление же происходит на протяжении всего цикла. Во время производственной ста-
Электронный архив УГЛТУ
74 дии цикла создаются запасы. Их уровень равен разнице между уровнем про- изводства и уровнем потребления. Пока продолжается производство, уровень запасов будет повышаться. Когда производство прекращается, уровень запа- сов начинает снижаться. Следовательно, уровень запасов будет максималь- ным в момент завершения производственной стадии. Когда наличный запас будет исчерпан, производство возобновляется, и весь цикл повторяется вновь.
Когда компания сама производит изделия, то у нее нет расходов на заказ как таковых. Однако для каждой производственной партии существуют рас- ходы на подготовку - это стоимость подготовки оборудования к данному производственному процессу: наладка, замена инструмента и т.п. По иному такие расходы называются затратами на пусконаладочные работы. Стои- мость подготовки в данном случае аналогична стоимости заказа, поскольку она не зависит от размера партии. Аналогично и использование этих величин при расчетах.
Перейдем к определению оптимальных параметров рассматриваемой модели. Для этого используем прием, уже примененный нами в пп. 4.6.1: со- ставим выражение, показывающее зависимость затрат V от параметров моде- ли, отыщем производную и приравняем ее нулю.
На этот раз включим в общие расходы всего два вида издержек: затраты на проведение пусконаладочных работ и затраты на хранение продукции.
Расходы, пропорциональные объему партии (компонент, включающий вели- чину c
1
), в функцию включать не будем. Во-первых, как показано выше, это слагаемое никак не влияет на итоговые выражения для оптимальных пара- метров, во-вторых, в условиях, когда предприятие одновременно является и производителем, и потребителем продукции, такие затраты по сути не связа- ны с функционированием системы хранения запасов.
Итак, суммарные затраты V(t) за период времени [0, t]:
( )
( )
Используя соотношение (4.6), переходим к затратам в единицу времени
(для этого разделим предыдущее выражение на t), получим:
Выразим Z
max
через q (объем производственной партии). Это легко сде- лать, используя график движения запаса (рис. 4.12), а именно, рассматривая
Электронный архив УГЛТУ