Файл: Экономикоматематические методы и модели.pdf

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 30.10.2023

Просмотров: 362

Скачиваний: 11

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

75 некоторые треугольники и используя простейшие тригонометрические соот- ношения:
( ) откуда
( )
Приравняем к нулю производную:
( )
Выразим q
*
:

( )
. (4.14)
Выражение (4.14) используется для определения оптимального размера партии с модели с постепенным пополнением запаса.
Оптимальное значение «точки заказа» S
*
в этом случае, как и для одно- продуктовой статической модели, находится из соотношения (4.13). «Точка заказа» в данном случае представляет собой уровень запаса, при котором следует начать пуско-наладочные работы.
4.6.4 Модель с постепенным пополнением запасов,
допускающая дефицит
В однопродуктовой статической модели (пп. 4.6.1) пополнение запасов происходит мгновенно и дефицит не допускается. В пп. 4.6.2 рассмотрен случай, когда допускается дефицит, в пп. 4.6.3 - ситуация, когда пополнение запасов происходит постепенно. Теперь рассмотрим более общий случай: дефицит допускается и запасы пополняются постепенно.
График движения запасов в такой системе представлен на рис. 4.13.
Не производя вывод формул для оптимальных параметров такой модели, запишем итоговые выражения.
Оптимальный размер партии q
*
будет равен:




. (4.15)
Электронный архив УГЛТУ

76
Рис. 4.13. Движение запасов в модели с постепенным пополнением, допускающей дефицит
«Точка заказа» (критический уровень запаса, при достижении которого следует начать пусконаладочные работы):


(
⁄ )
(4.16)
Оптимальная продолжительность цикла l*:




. (4.17)
При данных значениях параметров достигается минимум суммарных за- трат в единицу времени. Его можно рассчитать по формуле:




. (4.18)
Номера формул и характеристики для расчета оптимальных параметров мо- делей в рассмотренных случаях представлены в табл. 4.1.
Таблица 4.1
Характеристики моделей и формулы управления запасами
Подраздел
Характеристики модели
Используемые фор- мулы
Интенсивность спроса
Пополнение запасов
Дефицит
4.6.1 постоянная мгновенное отсутствует
(4.10), (4.11)
4.6.2 постоянная мгновенное допускается
(4.11), (4.12)
4.6.3 постоянная постепенное отсутствует
(4.13), (4.11)
4.6.4 постоянная постепенное допускается
(4.14) - (4.17)
Электронный архив УГЛТУ

77
4.7. Вероятностные модели
управления запасами
Модели управления запасами, рассмотренные выше, предполагали, что потребность в хранимых изделиях известна и постоянна (вторая графа табл.
4.1). На практике в большинстве случаев потребность является переменной величиной. В связи с этим необходимо иметь и поддерживать так называе- мый резервный (буферный) запас, обеспечивая определенный уровень защи- ты от дефицита изделий. Резервный запас - это величина запаса, постоянно поддерживаемая дополнительно к ожидаемой потребности.
В случае нормального распределения колебаний спроса будет среднее значение отклонений. Если, например, среднемесячная потребность состав- ляет 100 изделий, и предполагается, что в следующем месяце она останется такой же, а запас составляет 120 единиц, то 20 единиц и будут резервным за- пасом.
Известно несколько подходов к установлению величины запаса, обеспе- чивающего защиту от колебаний спроса. Один из них основывается на опре- делении ожидаемого количества изделий, которых может не хватить. Напри- мер, можно поставить задачу так: установить такой уровень запаса, чтобы можно было удовлетворить не менее чем 95 % заказов на данную продук- цию, т.е. дефицит изделий будет существовать лишь в течение 5 % всего времени. Таким образом, мы подошли к определению понятия «уровень об- служивания».
Уровень обслуживания – доля (процент) от общей величины спроса, ко- торую можно реально получить из наличного запаса. Если, например, годо- вая потребность в некотором изделии составляет 1000 шт., то 95 %-ный уро- вень обслуживания означает, что 950 шт. изделий можно получить из запаса, а 50 шт. не хватит.
Концепция уровня обслуживания основана на статистической характе- ристике, известной как Ожидаемое z или E(z). E(z) – это ожидаемое количе- ство изделий, которых будет не хватать на протяжении каждого интервала времени выполнения заказа. Концепция предполагает, что потребность в хранимой продукции является нормально распределенной случайной вели- чиной.
Чтобы определить уровень обслуживания, необходимо знать, сколько изделий не хватит. Предположим, что среднемесячная потребность в каком- либо изделии составляет 100 шт. (λ = 100), а среднеквадратическое отклоне- ние - 10 шт. ( = 10). Если в начале месяца в запасе имеется 110 ед., сколько изделий нам может не хватить?
Электронный архив УГЛТУ


78
Для ответа на этот вопрос придется вычислить сумму произведений:
E(z) = 1∙P(λ =111) + 2∙P(λ =112) + 3∙P(λ =113) + ..., где P(λ =111) - вероятность того, что потребуется 111 шт., т.е. не хватит од- ного изделия;
P(λ =112) - вероятность того, что потребуется 112 шт., т.е. не хватит двух изделий;
P(λ =113) - вероятность того, что потребуется 113 шт., т.е. не хватит трех изделий и т.д.
Такое суммирование даст нам количество изделий, которых может не хватить, если запас в начале месяца составляет 110 шт.
Решение такой задачи - достаточно трудоемкий процесс. Однако в настоящее время значения E(z) табулированы. Соответствующая статистиче- ская таблица (так называемая таблица Брауна, Прил. А) показывает зависи- мость ожидаемого дефицита изделий (E(z)) от резервного запаса, выраженно- го в стандартных отклонениях спроса (z). При этом табличные значения при- ведены к стандартному отклонению спроса, равному единице.
Далее рассмотрим обсуждаемый подход применительно к каждой из двух основных стратегий управления запасами.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   18

4.7.1 Модель с фиксированным размером заказа
При использовании такой стратегии уровень запаса отслеживается непрерывно. Опасность исчерпания запаса возникает здесь только в течение времени выполнения заказа (заготовительного периода). В течение периода
(рис. 4.14) возможны колебания спроса.
Величина резервного запаса в этом случае зависит от требуемого уров- ня обслуживания. Объем партии заказа q вычисляется обычным способом.
Затем устанавливается «точка заказа», которая учитывает ожидаемую по- требность в течение заготовительного периода, плюс резервный запас, опре- деляемый требуемым уровнем обслуживания.
Таким образом, важнейшее различие между моделью, в которой потреб- ность известна, и моделью, где потребность является случайной величиной, заключается в определении «точки очередного заказа». Объем заказа в обоих случаях одинаков. При этом элемент неопределенности учитывается в ре- зервном запасе.
«Точка заказа» вычисляется следующим образом:
̅ ̅
, (4.19)
где
̅- средняя интенсивность спроса;
̅ - средняя продолжительность заготовительного периода;
Электронный архив УГЛТУ

79
z - число стандартных отклонений спроса в резервном запасе для заданно- го уровня обслуживания;
- стандартное отклонение спроса в течение заготовительного периода.
Рис. 4.14. Диапазон отклонений потребности в модели с фиксированным размером заказа
В формуле (4.19) слагаемое
̅ ̅ TNR определяет ожидаемый спрос в течение заготовительного периода, а слагаемое представляет собой ве- личину резервного запаса. Остановимся на определении величин z и
Значение определяется в зависимости от условий задачи. Будем рас- сматривать три случая.
Если изменяется только спрос, а продолжительность заготовительного периода – величина постоянная, то:

, (4.20) где
- стандартное отклонение спроса в единицу времени.
Если изменяется только заготовительный период, а спрос остается по- стоянным, то:
, (4.21) где
- стандартное отклонение продолжительности заготовительного пери- ода.
Наконец, если изменяются и спрос, и заготовительный период, то:
√ ̅
̅
(4.22)
Перейдем к определению z. Для этого вычисляется E(z) - дефицит изде- лий, который удовлетворяет заданному уровню обслуживания, а затем по таблице Брауна находится соответствующее значение z.
Электронный архив УГЛТУ


80
Для вычисления E(z) используется формула:
( )
( )
, (4.23) где p - требуемый уровень обслуживания, в долях единицы; соответственно,
(l - p) - неудовлетворенная часть потребности;
q - экономичный размер заказа (вычисляется обычным образом);
E(z) - ожидаемый дефицит изделий в каждом цикле заказа, выраженный в стандартных отклонениях спроса.
4.7.2 Модель с фиксированной периодичностью заказа
Модель с фиксированной периодичностью предполагает, что размеры заказов различны для разных циклов. Таким образом, размер запаса регули- руется за счет изменения объема партии. Возобновление же заказа определя- ется временем. Следовательно, модель с фиксированной периодичностью должна иметь защиту от исчерпания запасов (резервный запас) не только на время исполнения заказа, но и на весь последующий цикла заказа (рис. 4.15).
Рис. 4.15. Вероятностная модель с фиксированной периодичностью заказа
Таким образом, модель с фиксированной периодичностью больше нуж- дается в резервном запасе, чем модель с фиксированным размером партии.
Рассмотрим ситуацию с переменным спросом и постоянной продолжи- тельностью заготовительного периода. Ситуация наиболее частая с точки зрения практики, а также наиболее простая для изучения.
Электронный архив УГЛТУ

81
Объем заказа в такой модели будет определяться по следующей схеме:
Объем за-
каза
=
Ожидаемый спрос в
течение цикла заказа
и заготовительного
периода
+
Резервный за-
пас
-
Наличный
запас в момент
подачи заявки.
Соотношение, представленное на схеме, запишем в виде формулы:
̅( )
, (4.24) где q - размер очередного заказа;

- средняя интенсивность спроса;
l - промежуток времени между подачей заявок;
- продолжительность заготовительного периода;
z - число стандартных отклонений спроса в резервном запасе для задан- ного уровня обслуживания;
- стандартное отклонение спроса в течение цикла заказа и заготови- тельного периода;
Z – текущий уровень запаса.
При этом:
√ , (4.25) где
- стандартное отклонение спроса в единицу времени.
Величину z можно получить из таблицы Брауна по E(z), которое для данного случая определяется по формуле:
( )
̅ ( )
. (4.26)
4.8. Специальные модели управления запасами
4.8.1. Модель, учитывающая количественные скидки
Модели управления запасами, рассмотренные нами ранее, несмотря на существенные отличия, все же имели общую особенность - стоимость изде- лий была постоянной при любом объеме заказа.
Модель, которую мы рассмотрим в данном подразделе, описывает поря- док определения оптимальной величины заказа для случая, когда цена еди- ницы изделия меняется в зависимости от объема заказа.
Электронный архив УГЛТУ


82
Количественные скидки – снижение закупочной цены при покупке более крупных партий товара.
Скидки предоставляются с тем, чтобы убедить потребителей покупать как можно больше.
Рассмотрим следующий пример.
Компания, занимающаяся производством медицинских препаратов, вы- пустила прайс-лист на хирургические бинты. Соответствующие данные представлены в табл. 4.2.
Таблица 4.2
Прайс-лист на хирургические бинты
Объем партии, коробки
Цена за коробку, $ от 1 до 44 от 45 до 69 70 и выше
2,00 1,70 1,40
Итак, в данном случае, затраты собственно на покупку продукции долж- ны включаться в целевую функцию модели.
Общие расходы складываются из трех составляющих:
( )
( )
( ) . (4.27)
Напомним, что в данном случае c
1
- закупочная цена единицы товара.
В однопродуктовой статической модели (пп. 4.6.1) при определении q
*
закупочная цена не учитывалась, поскольку она не оказывала влияния на ве- личину оптимального объема партии.
Когда условия предполагают наличие количественных скидок, для каж- дой закупочной цены имеется отдельная U-образная кривая зависимости об- щих расходов (рис. 4.16). Кривые функциональной зависимости располага- ются на разных уровнях - меньшая закупочная цена поднимает кривую об- щих расходов на меньший уровень, большая - на больший уровень.
Однако ни одна кривая зависимости не относится ко всем возможным значениям объема партии; каждая кривая относится только к части диапазона значений. Реальный показатель общих расходов сначала находится на кривой с максимальной закупочной ценой, а затем опускается вниз, последовательно, кривая за кривой, в точках изменения цены. Точка изменения цены - это ми- нимальный объем партии, необходимый для получения скидки. В примере с бинтами - это 45 и 70 коробок. В результате получается кривая общих расхо- дов - ступенчатая в точках изменения цены. На рис. 4.16 такая кривая выделе- на жирной линией.
Электронный архив УГЛТУ

83
Рис. 4.16. Кривые общих затрат в модели количественных скидок
Как видно из рис. 4.16, каждая кривая имеет свою точку минимума, од- нако, не все точки реально применимы. Например, минимум для кривой
$1,40 находится в точке, соответствующей объему партии 55 коробок. Но прайс-лист из таблицы 4.2 показывает, что закупочная цена для заказа объе- мом 55 коробок будет $1,70 за коробку. Реальная же кривая общих расходов изображена в виде ступенчатой линии.
Цель модели количественных скидок – определение такого объема зака- за, который даст минимальный общий расход из всего набора кривых.
Существуют два основных варианта модели количественных скидок.
Для них процедура поиска точки q* несколько отличается.
Особенность первого варианта - стоимость хранения (b) постоянна и не зависит от закупочной цены. В этом случае для всех кривых точка минимума будет единой (рис. 4.17).
Кривые общих расходов отличаются лишь тем, что более низкие заку- почные цены отражены на более низкой кривой общих расходов.
Рис.4.17. Первый вариант модели количественных скидок.
Кривые общих затрат
Электронный архив УГЛТУ