ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 30.10.2023
Просмотров: 359
Скачиваний: 11
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Алгоритм 7 (алгоритм Форда-Фалкерсона). Применение алгоритма проиллюстрируем примером сети, приведенной на рис. 6.3, в которой про- пускные способности всех дуг равны единице.
Шаг 0. Берем произвольный поток (например, поток x
01
= x
12
= x
25
= 1).
Помечаем начальную вершину индексом «0».
Обозначим Z – множество помеченных вершин.
Общий шаг. Первое действие. Помечаем вершину j индексом + i, если, во-первых, существует дуга (i; j), и, во-вторых, i
Z, j не Z, x
ij
< C
ij
.
Электронный архив УГЛТУ
113
Если в результате этого типа пометок мы пометили выход, то поток можно увеличить хотя бы на единицу (если c
ij
– целые числа). Двигаясь об- ратно, можно найти путь, поток по которому можно увеличить. Однако, как видно из примера, этого недостаточно для нахождения максимального пото- ка.
Рис. 6.3. Поиск максимального потока
Второе действие. Помечаем вершину i индексом -j, если, во-первых, существует дуга (j; i), и, во-вторых, j
Z, i не
Z, x
ij
> 0 (легко видеть, что пометки первого типа увеличивают поток по дуге, а пометки второго типа – уменьшают).
Если в результате этого типа пометок мы пометили выход, то поток можно увеличить. Двигаясь обратно, можно найти цепь, в которой каждая вершина помечена номером предыдущей (знак пометки не важен).
Рассмотрим цепь μ = (0; 3; 2; 1; 4; 5), приведенную на рис. 6.3. Полу- ченные в результате второго действия потоки обозначены жирным шриф- том.
Критерий остановки алгоритма следующий [12]: если, применяя помет- ки обоих типов, вершину n пометить не удалось, то полученный поток имеет максимальную величину.
Поток минимальной стоимости. Предположим, что задана сеть с про- пускными способностями дуг c
ij
. Пусть так же для каждой дуги (i; j) заданы число s
ij
, интерпретируемое как затраты (например, затраты на перевозку единицы груза из вершины i в вершину j). Задача поиска потока минималь- ной стоимости заключается в нахождении для заданной величины j суммар- ного потока ее распределения по дугам, минимизирующего сумму затрат.
Общие методы решения задачи о потоке минимальной стоимости рассматри- ваются в работах, указанных в библиографическом списке к данному посо- бию [14, 18].
Частным случаем задачи о потоке минимальной стоимости является
транспортная задача, в которой имеется двудольный граф (двудольным
Электронный архив УГЛТУ
114 называется граф, множество вершин которого может быть разбито на два не- пересекающихся подмножества, причем ребра (дуги) графа соединяют вер- шины только из разных подмножеств), представленный на рис. 6.4 вершины сети разбиты на две группы – m поставщиков и n потребителей.
Граф является двудольным тогда и только тогда, когда он не содержит циклов нечетной длины, или когда в нем все простые циклы имеют четную длину (теорема Кенига).
Для поставщиков заданы имеющиеся у них количества единиц товара
(груза и т.д.) a
i
, i = 1,…, m, для потребителей – требуемые им количества единиц товара b
i
, i = 1,…, n. Также известны затраты s
ij
перевозки единицы товара от i-го поставщика j-му потребителю. Пусть задача является замкну- той, тогда:
∑
∑
. (6.10)
Суммарное предложение равно суммарному спросу (вводя фиктивного поставщика или фиктивного потребителя, любую незамкнутую задачу можно свести к замкнутой). Требуется определить потоки товаров от потребителей к поставщикам, минимизирующие суммарные затраты.
Рис. 6.4. Транспортная задача
Формально транспортную задачу можно записать в виде:
∑
∑
{
}
(6.11)
∑
̅̅̅̅̅̅
(6.12)
∑
̅̅̅̅̅
(6.13)
Электронный архив УГЛТУ
115
Добавляя к двудольному графу вход «0» и выход «z» и соединяя вход и выход с остальными вершинами дугами с потоком x
0i
= a
i
, i = 1,…, m, x
jz
= b
j
,
j = 1,…, n, получаем задачу о потоке минимальной стоимости. Алгоритмы решения транспортной и двойственной к ней задач описаны в [13].
Частным случаем транспортной задачи является задача о назначении, заключающаяся в следующем: имеются n человек (работников), которые мо- гут выполнять различные работы (занимать различные должности), число ра- бот равно числу работников (введя фиктивные должности и/или фиктивные работы, всегда можно незамкнутую задачу привести к рассматриваемой за- мкнутой форме). Известны затраты s
i
на назначение i-го работника на j-ю должность (например, минимальная зарплата, за которую он согласится ра- ботать на этой должности). Требуется найти назначение работников на должности (каждого работника на одну и только одну должность), миними- зирующее суммарные затраты (если s
ij
интерпретируется как эффективность от работы i-го работника на j-ой должности, то оптимальное назначение должно максимизировать суммарную эффективность). Формально задачу о назначении можно записать в виде :
∑
∑
{
{ }
}
; (6.14)
∑
̅̅̅̅̅
(6.15)
∑
̅̅̅̅̅
(6.16)
Рассмотрим один из методов решения задачи о назначении на следую- щем примере. Пусть имеются n = 3 работника и столько же работ. Матрица затрат имеет вид:
|
|
Алгоритм 8
Шаг 0. Назначаем каждого человека на самую дешевую для него ра- боту (назначение выделено на рис. 6.5 тонкими дугами), т. е. положим:
(6.17)
Если при этом назначение является допустимым (т. е. все работы вы- полняются), то решение получено. Если имеется «дисбаланс», т. е. не все ра- боты выполняются (
∑
), то переходим к следующему шагу.
Шаг k. Введем два подмножества множества дуг:
P
1
= {(i; j) | x
ij
= 1}, P
2
= {(i; j) | x
ij
= 0}.
Электронный архив УГЛТУ
116
Примем множество вершин-работ, на которых назначено несколько ра- ботников за вход сети, множество вершин-работ, которые не выполняются – за выход сети. Изменим направления дуг из множества P
1
на обратные и примем их длины равными -s
ij
, длины дуг из множества P
2
примем равными
s
ij
. Найдем путь μ
k
минимальной длины в полученной сети (потенциалы вер- шин, вычисляемые при нахождении кратчайшего пути в рассматриваемом примере, приведены в квадратных скобках).
Рис. 6.5. Задача о назначении
В результате в рассматриваемом примере за один шаг получим опти- мальное назначение, отличающееся от найденного на нулевом шаге тем, что первому работнику назначается третья работа (см. дугу, обозначенную двой- ными линиями на рис. 6.5).
На каждом шаге число «дисбалансов» уменьшается на единицу. Следо- вательно, число шагов алгоритма не превышает числа «дисбалансов», кото- рое конечно.
Аналогичным способом можно решить любую транспортную задачу
(искать кратчайший путь из множества вершин, в которые доставили товара больше, чем требуется, во множество вершин, где товара не хватает).
Решение общего случая задачи о потоке минимальной стоимости осно- вывается на рассмотрении двойственной задачи.
(6.18)
Электронный архив УГЛТУ
117
6.4. Задачи календарно-сетевого планирования и
управления
Рассмотрим проект, состоящий из набора операций (работ). Технологи- ческая зависимость между операциями задается в виде сети (сетевого графи-
ка). При этом дуги сети соответствуют операциям, а вершины – событиям
(моментам окончания одной или нескольких операций). Для каждой опера- ции (i; j) задана ее продолжительность t
ij
. Методы описания и исследования сетевых графиков изучаются в теории календарно-сетевого планирования и управления (КСПУ) [12, 19, 20].
Задача определения продолжительности проекта (управление време- нем). Легко видеть, что продолжительность проекта определяется путем мак- симальной длины, называемым критическим путем. Методы поиска пути максимальной длины описаны выше. Критический путь в сети на рис. 6.6 выделен двойными дугами и равен 16.
Рис. 6.6. Поиск критического пути
Операции, принадлежащие критическому пути, называются критиче-
скими. Остальные (некритические) операции имеют резерв времени, характе- ризуемый максимальной задержкой операции, при которой продолжитель- ность проекта не изменяется. Критические операции имеют нулевой резерв.
Приведем соответствующие формулы.
Алгоритм 9. Предположим, что выполнение комплекса операций (про- екта) начинается в нулевой момент времени. Обозначим Q
0
– множество со- бытий, не требующих выполнения ни одной из операций, т. е. входы сети; Q
i
– множество событий, непосредственно предшествующих событию i, т. е. множество вершин j сети, для которых существует дуга (j; i).
Положим:
(
) (6.19)
Величина – t
i
называется ранним моментом (временем) свершения i- го события и характеризует время, раньше которого это событие произойти не может. Длина критического пути
Электронный архив УГЛТУ
118
T =
(6.20)
Определяется ранним временем свершения конечного события, то есть события, заключающегося в завершении всех операций.
Поздним моментом
свершения события называется максимальное время его наступления, не изменяющее продолжительности проекта. Обозна- чим R
i
– множество событий, непосредственно следующих за событием i, то есть множество вершин j сети, для которых существует дуга (i; j). Вычис- лим для каждой вершины-события i длину l
i
максимального пути от этой вершины до выхода сети – события, заключающегося в завершении всего комплекса операций:
(
)
(6.21)
Положим
̅̅̅̅̅. Тогда для завершения проекта за время T необходимо и достаточно, чтобы событие i произошло не позднее момента
̅̅̅̅̅.
Полным резервом Δt
i
события i называется разность между его поздним и ранним моментами свершения, т. е.
̅̅̅̅̅ (6.22)
Очевидно, полный резерв критических событий (событий, принадлежа- щих критическому пути) равен нулю.
Задачи распределения ресурса на сетях удобно рассматривать, изобра- жая операции вершинами сети, а зависимости – дугами (представления «опе- рации-дуги, события-вершины» и «зависимости-дуги, операции-вершины» эквивалентны.
Пунктиром могут быть обозначены ресурсные зависимости – когда для выполнения одних и тех же операций должны быть использованы одни и те же ресурсы. Примером могут являться сети, изображенные на рис. 6.6 и 6.7.
Полным резервом операции (i; j) называется величина Δ
ij
=
где
– поздний срок начала (окончания) операции, а
– ранний срок начала (окон- чания) операции.
Рис. 6.7. Представление «операции-вершины» для сети рис. 6.6
Электронный архив УГЛТУ
119
Для определения оптимального распределения ресурса необходимо найти критические пути для каждого из вариантов распределения ресурса и сравнить длины этих путей (в сети, приведенной на рис. 6.7, существует об- щий для операций «0-1» и «0-2» ресурс; потенциалы вершин, соответствую- щие различным способам использования этого ресурса – сначала выполняет- ся операция «0-1», затем «0-2» и наоборот, приведены на рис. 6.7 соответ- ственно в квадратных скобках и без скобок).
Универсальных эффективных точных методов решения задач распреде- ления ресурсов на сетях не существует. В качестве частного случая, для ко- торого существует простой алгоритм, приведем следующий пример.
В сети, изображенной на рис. 6.8, для трех операций известны поздние времена окончания τ
i
. Требуется определить очередность выполнения этих трех операций при условии, что все они выполняются одной единицей ресур- са и поэтому не могут определяться одновременно.
Рис. 6.8. Вариант распределения ресурса
Легко показать, что в рассматриваемом примере оптимально выполнять первой операцию с минимальным τ
i
Если для выполнения проекта выделено ограниченное количество ре- сурса, то возникает задача наилучшего его использования.
Обозначим w
i
– объем i-ой операции, f
i
(v
i
) – скорость ее выполнения в зависимости от количества ресурса v
i
. Предположим, что f
i
(
) – непрерывная справа неубывающая функция, причем f
i
(0) = 0. Если v
i
(t) – количество ре- сурса на i-ой операции в момент времени t, то момент t
i ее окончания опреде- ляется как минимальное время, удовлетворяющее уравнению:
∫
(
( ))
(6.23)
Если количество ресурса, используемое при выполнении некоторой опе- рации, не изменяется во времени, то говорят, что она выполняется с посто-
янной интенсивностью. Тогда продолжительность операции определяется выражением
t
i
(v
i
) = w
i
/ f
i
(v
i
). (6.24)
Электронный архив УГЛТУ
120
В настоящее время общих алгоритмов поиска распределения ограничен- ных ресурсов между операциями, минимизирующего время завершения про- екта, не существует. Поэтому рассмотрим несколько частных случаев.
Пусть все операции независимы и выполняются ресурсом одного вида, количество которого равно R, а f
i
(v
i
) – непрерывные строго монотонные во- гнутые функции. Тогда существует оптимальное решение, в котором каждая операция выполняется с постоянной интенсивностью и все операции закан- чиваются одновременно в момент времени T, определяемый как минималь- ное время, удовлетворяющее следующему неравенству:
∑
(
)
(6.25) где
( ) - функция, обратная функции f
i
(
), i = 1,…, n [9, 17].
Эвристические алгоритмы определения оптимального распределения ре- сурса для ряда случаев «невогнутых» функций интенсивности рассматрива- ются в работе [21].
Электронный архив УГЛТУ
121
7. МОДЕЛИ ПОТРЕБИТЕЛЬСКОГО ВЫБОРА
Основная задача математической микроэкономики заключается в по- строении математических моделей поведения агентов экономической дея- тельности.
Агент - субъект экономической деятельности, выступающий с единой позицией и имеющий единую систему предпочтений (лицо, группа лиц, фирма, домохозяйство).
Основным инструментом моделирования систем микроэкономики явля- ется теоретико-игровой подход. Предполагается, что агент строит свое пове- дение таким образом, чтобы в любой ситуации максимизировать свой выиг- рыш (полезность).
Теория потребительского выбора изучает поведение потребителя на рынке. Потребитель характеризуется своими предпочтениями и доходом, ко- торый он готов потратить на приобретение товаров, а рынок – наборами то- варов (потребительскими наборами) и ценами единиц товаров. При этом по- требитель может выбирать материальные услуги, различные виды товаров присутствующие на рынке.
7.1. Пространство товаров.
Предпочтения потребителя
Предположим, что в распоряжении потребителя имеются n различных видов товаров. Обозначим через x
i
– количество i-го товара, который приоб- ретает потребитель, при i = 1,…, n. Результатом выбора потребителя является приобретаемый им набор товаров (потребительский набор), представляющий собой вектор X= (x
1
, x
2
,…, x
n
)
T
, где x
i
– количество i-го товара, который при- обретает потребитель, при i = 1,…, n. При этом предполагается, что товары обладают свойством безграничной делимости, т.е. потребителю доступно любое неотрицательное количество любого вида товара.
Множество всех возможных потребительских наборов, доступных по- требителю образуют так называемое пространство товаров.
Пространство товаров представляет собой множество всех возможных потребительских наборов: C = {(x
1
, x
2
,…, x
n
)
T
, i= 1,…, n}.
Предполагается, что потребитель может выбирать между различными наборами товаров. Это означает, что на пространстве товаров задана система предпочтений потребителя.
Рассмотрим два набора товаров х и у: X = (x
1
, x
2
,…, x
n
)
T
; У = (у
1
, у
2
,…, у
n
)
T
.
Электронный архив УГЛТУ
122
Введем следующие обозначения:
x > y обозначает, что набор x для потребителя более предпочтителен, чем набор y.
x y обозначает, что наборы x и y для потребителя являются эквива- лентными (равноценными).
Считаем, что система предпочтений потребителя является стандартной, т.е. эта система предпочтений удовлетворяет трем основным аксиомам:
1) аксиоме полноты: любые два потребительских набора потребитель может сравнить и сказать, что он либо предпочитает один набор другому, либо для него эти наборы являются равноценными.
. (7.1)
2) аксиоме рефлексивности: для потребителя любой потребительский набор не хуже себя самого x > x (не хуже).
3) аксиоме транзитивности: для любых потребительских наборов x, y,
z из пространства товаров x > y и y > z всегда будет следовать, что x > z,
x > y, y > z,
x > z.
Кроме того, стандартные предпочтения потребителя могут обладать свойствами непрерывности, свойством не насыщаемости и выпуклости.
Свойство непрерывности предполагает, что бесконечно малое измене- ние количества товара того или иного вида в потребительском наборе не из- меняет оценку данного набора потребителем.
Свойство ненасыщаемости предполагает, что увеличение количества того или иного вида товара в потребительском наборе приводит лишь к улучшению оценки данного набора потребителем.
Свойство выпуклости предполагает, что если потребитель предпочитает набор х набору у т.е., x > y, то смесь этих наборов будет предпочтительней набора у:
( ) . (7.2)
1 ... 8 9 10 11 12 13 14 15 ... 18
Алгоритм 7 (алгоритм Форда-Фалкерсона). Применение алгоритма проиллюстрируем примером сети, приведенной на рис. 6.3, в которой про- пускные способности всех дуг равны единице.
Шаг 0. Берем произвольный поток (например, поток x
01
= x
12
= x
25
= 1).
Помечаем начальную вершину индексом «0».
Обозначим Z – множество помеченных вершин.
Общий шаг. Первое действие. Помечаем вершину j индексом + i, если, во-первых, существует дуга (i; j), и, во-вторых, i
Z, j не Z, x
ij
< C
ij
.
Электронный архив УГЛТУ
113
Если в результате этого типа пометок мы пометили выход, то поток можно увеличить хотя бы на единицу (если c
ij
– целые числа). Двигаясь об- ратно, можно найти путь, поток по которому можно увеличить. Однако, как видно из примера, этого недостаточно для нахождения максимального пото- ка.
Рис. 6.3. Поиск максимального потока
Второе действие. Помечаем вершину i индексом -j, если, во-первых, существует дуга (j; i), и, во-вторых, j
Z, i не
Z, x
ij
> 0 (легко видеть, что пометки первого типа увеличивают поток по дуге, а пометки второго типа – уменьшают).
Если в результате этого типа пометок мы пометили выход, то поток можно увеличить. Двигаясь обратно, можно найти цепь, в которой каждая вершина помечена номером предыдущей (знак пометки не важен).
Рассмотрим цепь μ = (0; 3; 2; 1; 4; 5), приведенную на рис. 6.3. Полу- ченные в результате второго действия потоки обозначены жирным шриф- том.
Критерий остановки алгоритма следующий [12]: если, применяя помет- ки обоих типов, вершину n пометить не удалось, то полученный поток имеет максимальную величину.
Поток минимальной стоимости. Предположим, что задана сеть с про- пускными способностями дуг c
ij
. Пусть так же для каждой дуги (i; j) заданы число s
ij
, интерпретируемое как затраты (например, затраты на перевозку единицы груза из вершины i в вершину j). Задача поиска потока минималь- ной стоимости заключается в нахождении для заданной величины j суммар- ного потока ее распределения по дугам, минимизирующего сумму затрат.
Общие методы решения задачи о потоке минимальной стоимости рассматри- ваются в работах, указанных в библиографическом списке к данному посо- бию [14, 18].
Частным случаем задачи о потоке минимальной стоимости является
транспортная задача, в которой имеется двудольный граф (двудольным
Электронный архив УГЛТУ
114 называется граф, множество вершин которого может быть разбито на два не- пересекающихся подмножества, причем ребра (дуги) графа соединяют вер- шины только из разных подмножеств), представленный на рис. 6.4 вершины сети разбиты на две группы – m поставщиков и n потребителей.
Граф является двудольным тогда и только тогда, когда он не содержит циклов нечетной длины, или когда в нем все простые циклы имеют четную длину (теорема Кенига).
Для поставщиков заданы имеющиеся у них количества единиц товара
(груза и т.д.) a
i
, i = 1,…, m, для потребителей – требуемые им количества единиц товара b
i
, i = 1,…, n. Также известны затраты s
ij
перевозки единицы товара от i-го поставщика j-му потребителю. Пусть задача является замкну- той, тогда:
∑
∑
. (6.10)
Суммарное предложение равно суммарному спросу (вводя фиктивного поставщика или фиктивного потребителя, любую незамкнутую задачу можно свести к замкнутой). Требуется определить потоки товаров от потребителей к поставщикам, минимизирующие суммарные затраты.
Рис. 6.4. Транспортная задача
Формально транспортную задачу можно записать в виде:
∑
∑
{
}
(6.11)
∑
̅̅̅̅̅̅
(6.12)
∑
̅̅̅̅̅
(6.13)
Электронный архив УГЛТУ
115
Добавляя к двудольному графу вход «0» и выход «z» и соединяя вход и выход с остальными вершинами дугами с потоком x
0i
= a
i
, i = 1,…, m, x
jz
= b
j
,
j = 1,…, n, получаем задачу о потоке минимальной стоимости. Алгоритмы решения транспортной и двойственной к ней задач описаны в [13].
Частным случаем транспортной задачи является задача о назначении, заключающаяся в следующем: имеются n человек (работников), которые мо- гут выполнять различные работы (занимать различные должности), число ра- бот равно числу работников (введя фиктивные должности и/или фиктивные работы, всегда можно незамкнутую задачу привести к рассматриваемой за- мкнутой форме). Известны затраты s
i
на назначение i-го работника на j-ю должность (например, минимальная зарплата, за которую он согласится ра- ботать на этой должности). Требуется найти назначение работников на должности (каждого работника на одну и только одну должность), миними- зирующее суммарные затраты (если s
ij
интерпретируется как эффективность от работы i-го работника на j-ой должности, то оптимальное назначение должно максимизировать суммарную эффективность). Формально задачу о назначении можно записать в виде :
∑
∑
{
{ }
}
; (6.14)
∑
̅̅̅̅̅
(6.15)
∑
̅̅̅̅̅
(6.16)
Рассмотрим один из методов решения задачи о назначении на следую- щем примере. Пусть имеются n = 3 работника и столько же работ. Матрица затрат имеет вид:
|
|
Алгоритм 8
Шаг 0. Назначаем каждого человека на самую дешевую для него ра- боту (назначение выделено на рис. 6.5 тонкими дугами), т. е. положим:
(6.17)
Если при этом назначение является допустимым (т. е. все работы вы- полняются), то решение получено. Если имеется «дисбаланс», т. е. не все ра- боты выполняются (
∑
), то переходим к следующему шагу.
Шаг k. Введем два подмножества множества дуг:
P
1
= {(i; j) | x
ij
= 1}, P
2
= {(i; j) | x
ij
= 0}.
Электронный архив УГЛТУ
116
Примем множество вершин-работ, на которых назначено несколько ра- ботников за вход сети, множество вершин-работ, которые не выполняются – за выход сети. Изменим направления дуг из множества P
1
на обратные и примем их длины равными -s
ij
, длины дуг из множества P
2
примем равными
s
ij
. Найдем путь μ
k
минимальной длины в полученной сети (потенциалы вер- шин, вычисляемые при нахождении кратчайшего пути в рассматриваемом примере, приведены в квадратных скобках).
Рис. 6.5. Задача о назначении
В результате в рассматриваемом примере за один шаг получим опти- мальное назначение, отличающееся от найденного на нулевом шаге тем, что первому работнику назначается третья работа (см. дугу, обозначенную двой- ными линиями на рис. 6.5).
На каждом шаге число «дисбалансов» уменьшается на единицу. Следо- вательно, число шагов алгоритма не превышает числа «дисбалансов», кото- рое конечно.
Аналогичным способом можно решить любую транспортную задачу
(искать кратчайший путь из множества вершин, в которые доставили товара больше, чем требуется, во множество вершин, где товара не хватает).
Решение общего случая задачи о потоке минимальной стоимости осно- вывается на рассмотрении двойственной задачи.
(6.18)
Электронный архив УГЛТУ
117
6.4. Задачи календарно-сетевого планирования и
управления
Рассмотрим проект, состоящий из набора операций (работ). Технологи- ческая зависимость между операциями задается в виде сети (сетевого графи-
ка). При этом дуги сети соответствуют операциям, а вершины – событиям
(моментам окончания одной или нескольких операций). Для каждой опера- ции (i; j) задана ее продолжительность t
ij
. Методы описания и исследования сетевых графиков изучаются в теории календарно-сетевого планирования и управления (КСПУ) [12, 19, 20].
Задача определения продолжительности проекта (управление време- нем). Легко видеть, что продолжительность проекта определяется путем мак- симальной длины, называемым критическим путем. Методы поиска пути максимальной длины описаны выше. Критический путь в сети на рис. 6.6 выделен двойными дугами и равен 16.
Рис. 6.6. Поиск критического пути
Операции, принадлежащие критическому пути, называются критиче-
скими. Остальные (некритические) операции имеют резерв времени, характе- ризуемый максимальной задержкой операции, при которой продолжитель- ность проекта не изменяется. Критические операции имеют нулевой резерв.
Приведем соответствующие формулы.
Алгоритм 9. Предположим, что выполнение комплекса операций (про- екта) начинается в нулевой момент времени. Обозначим Q
0
– множество со- бытий, не требующих выполнения ни одной из операций, т. е. входы сети; Q
i
– множество событий, непосредственно предшествующих событию i, т. е. множество вершин j сети, для которых существует дуга (j; i).
Положим:
(
) (6.19)
Величина – t
i
называется ранним моментом (временем) свершения i- го события и характеризует время, раньше которого это событие произойти не может. Длина критического пути
Электронный архив УГЛТУ
118
T =
(6.20)
Определяется ранним временем свершения конечного события, то есть события, заключающегося в завершении всех операций.
Поздним моментом
свершения события называется максимальное время его наступления, не изменяющее продолжительности проекта. Обозна- чим R
i
– множество событий, непосредственно следующих за событием i, то есть множество вершин j сети, для которых существует дуга (i; j). Вычис- лим для каждой вершины-события i длину l
i
максимального пути от этой вершины до выхода сети – события, заключающегося в завершении всего комплекса операций:
(
)
(6.21)
Положим
̅̅̅̅̅. Тогда для завершения проекта за время T необходимо и достаточно, чтобы событие i произошло не позднее момента
̅̅̅̅̅.
Полным резервом Δt
i
события i называется разность между его поздним и ранним моментами свершения, т. е.
̅̅̅̅̅ (6.22)
Очевидно, полный резерв критических событий (событий, принадлежа- щих критическому пути) равен нулю.
Задачи распределения ресурса на сетях удобно рассматривать, изобра- жая операции вершинами сети, а зависимости – дугами (представления «опе- рации-дуги, события-вершины» и «зависимости-дуги, операции-вершины» эквивалентны.
Пунктиром могут быть обозначены ресурсные зависимости – когда для выполнения одних и тех же операций должны быть использованы одни и те же ресурсы. Примером могут являться сети, изображенные на рис. 6.6 и 6.7.
Полным резервом операции (i; j) называется величина Δ
ij
=
где
– поздний срок начала (окончания) операции, а
– ранний срок начала (окон- чания) операции.
Рис. 6.7. Представление «операции-вершины» для сети рис. 6.6
Электронный архив УГЛТУ
119
Для определения оптимального распределения ресурса необходимо найти критические пути для каждого из вариантов распределения ресурса и сравнить длины этих путей (в сети, приведенной на рис. 6.7, существует об- щий для операций «0-1» и «0-2» ресурс; потенциалы вершин, соответствую- щие различным способам использования этого ресурса – сначала выполняет- ся операция «0-1», затем «0-2» и наоборот, приведены на рис. 6.7 соответ- ственно в квадратных скобках и без скобок).
Универсальных эффективных точных методов решения задач распреде- ления ресурсов на сетях не существует. В качестве частного случая, для ко- торого существует простой алгоритм, приведем следующий пример.
В сети, изображенной на рис. 6.8, для трех операций известны поздние времена окончания τ
i
. Требуется определить очередность выполнения этих трех операций при условии, что все они выполняются одной единицей ресур- са и поэтому не могут определяться одновременно.
Рис. 6.8. Вариант распределения ресурса
Легко показать, что в рассматриваемом примере оптимально выполнять первой операцию с минимальным τ
i
Если для выполнения проекта выделено ограниченное количество ре- сурса, то возникает задача наилучшего его использования.
Обозначим w
i
– объем i-ой операции, f
i
(v
i
) – скорость ее выполнения в зависимости от количества ресурса v
i
. Предположим, что f
i
(
) – непрерывная справа неубывающая функция, причем f
i
(0) = 0. Если v
i
(t) – количество ре- сурса на i-ой операции в момент времени t, то момент t
i ее окончания опреде- ляется как минимальное время, удовлетворяющее уравнению:
∫
(
( ))
(6.23)
Если количество ресурса, используемое при выполнении некоторой опе- рации, не изменяется во времени, то говорят, что она выполняется с посто-
янной интенсивностью. Тогда продолжительность операции определяется выражением
t
i
(v
i
) = w
i
/ f
i
(v
i
). (6.24)
Электронный архив УГЛТУ
120
В настоящее время общих алгоритмов поиска распределения ограничен- ных ресурсов между операциями, минимизирующего время завершения про- екта, не существует. Поэтому рассмотрим несколько частных случаев.
Пусть все операции независимы и выполняются ресурсом одного вида, количество которого равно R, а f
i
(v
i
) – непрерывные строго монотонные во- гнутые функции. Тогда существует оптимальное решение, в котором каждая операция выполняется с постоянной интенсивностью и все операции закан- чиваются одновременно в момент времени T, определяемый как минималь- ное время, удовлетворяющее следующему неравенству:
∑
(
)
(6.25) где
( ) - функция, обратная функции f
i
(
), i = 1,…, n [9, 17].
Эвристические алгоритмы определения оптимального распределения ре- сурса для ряда случаев «невогнутых» функций интенсивности рассматрива- ются в работе [21].
Электронный архив УГЛТУ
121
7. МОДЕЛИ ПОТРЕБИТЕЛЬСКОГО ВЫБОРА
Основная задача математической микроэкономики заключается в по- строении математических моделей поведения агентов экономической дея- тельности.
Агент - субъект экономической деятельности, выступающий с единой позицией и имеющий единую систему предпочтений (лицо, группа лиц, фирма, домохозяйство).
Основным инструментом моделирования систем микроэкономики явля- ется теоретико-игровой подход. Предполагается, что агент строит свое пове- дение таким образом, чтобы в любой ситуации максимизировать свой выиг- рыш (полезность).
Теория потребительского выбора изучает поведение потребителя на рынке. Потребитель характеризуется своими предпочтениями и доходом, ко- торый он готов потратить на приобретение товаров, а рынок – наборами то- варов (потребительскими наборами) и ценами единиц товаров. При этом по- требитель может выбирать материальные услуги, различные виды товаров присутствующие на рынке.
7.1. Пространство товаров.
Предпочтения потребителя
Предположим, что в распоряжении потребителя имеются n различных видов товаров. Обозначим через x
i
– количество i-го товара, который приоб- ретает потребитель, при i = 1,…, n. Результатом выбора потребителя является приобретаемый им набор товаров (потребительский набор), представляющий собой вектор X= (x
1
, x
2
,…, x
n
)
T
, где x
i
– количество i-го товара, который при- обретает потребитель, при i = 1,…, n. При этом предполагается, что товары обладают свойством безграничной делимости, т.е. потребителю доступно любое неотрицательное количество любого вида товара.
Множество всех возможных потребительских наборов, доступных по- требителю образуют так называемое пространство товаров.
Пространство товаров представляет собой множество всех возможных потребительских наборов: C = {(x
1
, x
2
,…, x
n
)
T
, i= 1,…, n}.
Предполагается, что потребитель может выбирать между различными наборами товаров. Это означает, что на пространстве товаров задана система предпочтений потребителя.
Рассмотрим два набора товаров х и у: X = (x
1
, x
2
,…, x
n
)
T
; У = (у
1
, у
2
,…, у
n
)
T
.
Электронный архив УГЛТУ
122
Введем следующие обозначения:
x > y обозначает, что набор x для потребителя более предпочтителен, чем набор y.
x y обозначает, что наборы x и y для потребителя являются эквива- лентными (равноценными).
Считаем, что система предпочтений потребителя является стандартной, т.е. эта система предпочтений удовлетворяет трем основным аксиомам:
1) аксиоме полноты: любые два потребительских набора потребитель может сравнить и сказать, что он либо предпочитает один набор другому, либо для него эти наборы являются равноценными.
. (7.1)
2) аксиоме рефлексивности: для потребителя любой потребительский набор не хуже себя самого x > x (не хуже).
3) аксиоме транзитивности: для любых потребительских наборов x, y,
z из пространства товаров x > y и y > z всегда будет следовать, что x > z,
x > y, y > z,
x > z.
Кроме того, стандартные предпочтения потребителя могут обладать свойствами непрерывности, свойством не насыщаемости и выпуклости.
Свойство непрерывности предполагает, что бесконечно малое измене- ние количества товара того или иного вида в потребительском наборе не из- меняет оценку данного набора потребителем.
Свойство ненасыщаемости предполагает, что увеличение количества того или иного вида товара в потребительском наборе приводит лишь к улучшению оценки данного набора потребителем.
Свойство выпуклости предполагает, что если потребитель предпочитает набор х набору у т.е., x > y, то смесь этих наборов будет предпочтительней набора у:
( ) . (7.2)
1 ... 8 9 10 11 12 13 14 15 ... 18
113
Если в результате этого типа пометок мы пометили выход, то поток можно увеличить хотя бы на единицу (если c
ij
– целые числа). Двигаясь об- ратно, можно найти путь, поток по которому можно увеличить. Однако, как видно из примера, этого недостаточно для нахождения максимального пото- ка.
Рис. 6.3. Поиск максимального потока
Второе действие. Помечаем вершину i индексом -j, если, во-первых, существует дуга (j; i), и, во-вторых, j
Z, i не
Z, x
ij
> 0 (легко видеть, что пометки первого типа увеличивают поток по дуге, а пометки второго типа – уменьшают).
Если в результате этого типа пометок мы пометили выход, то поток можно увеличить. Двигаясь обратно, можно найти цепь, в которой каждая вершина помечена номером предыдущей (знак пометки не важен).
Рассмотрим цепь μ = (0; 3; 2; 1; 4; 5), приведенную на рис. 6.3. Полу- ченные в результате второго действия потоки обозначены жирным шриф- том.
Критерий остановки алгоритма следующий [12]: если, применяя помет- ки обоих типов, вершину n пометить не удалось, то полученный поток имеет максимальную величину.
Поток минимальной стоимости. Предположим, что задана сеть с про- пускными способностями дуг c
ij
. Пусть так же для каждой дуги (i; j) заданы число s
ij
, интерпретируемое как затраты (например, затраты на перевозку единицы груза из вершины i в вершину j). Задача поиска потока минималь- ной стоимости заключается в нахождении для заданной величины j суммар- ного потока ее распределения по дугам, минимизирующего сумму затрат.
Общие методы решения задачи о потоке минимальной стоимости рассматри- ваются в работах, указанных в библиографическом списке к данному посо- бию [14, 18].
Частным случаем задачи о потоке минимальной стоимости является
транспортная задача, в которой имеется двудольный граф (двудольным
Электронный архив УГЛТУ
114 называется граф, множество вершин которого может быть разбито на два не- пересекающихся подмножества, причем ребра (дуги) графа соединяют вер- шины только из разных подмножеств), представленный на рис. 6.4 вершины сети разбиты на две группы – m поставщиков и n потребителей.
Граф является двудольным тогда и только тогда, когда он не содержит циклов нечетной длины, или когда в нем все простые циклы имеют четную длину (теорема Кенига).
Для поставщиков заданы имеющиеся у них количества единиц товара
(груза и т.д.) a
i
, i = 1,…, m, для потребителей – требуемые им количества единиц товара b
i
, i = 1,…, n. Также известны затраты s
ij
перевозки единицы товара от i-го поставщика j-му потребителю. Пусть задача является замкну- той, тогда:
∑
∑
. (6.10)
Суммарное предложение равно суммарному спросу (вводя фиктивного поставщика или фиктивного потребителя, любую незамкнутую задачу можно свести к замкнутой). Требуется определить потоки товаров от потребителей к поставщикам, минимизирующие суммарные затраты.
Рис. 6.4. Транспортная задача
Формально транспортную задачу можно записать в виде:
∑
∑
{
}
(6.11)
∑
̅̅̅̅̅̅
(6.12)
∑
̅̅̅̅̅
(6.13)
Электронный архив УГЛТУ
115
Добавляя к двудольному графу вход «0» и выход «z» и соединяя вход и выход с остальными вершинами дугами с потоком x
0i
= a
i
, i = 1,…, m, x
jz
= b
j
,
j = 1,…, n, получаем задачу о потоке минимальной стоимости. Алгоритмы решения транспортной и двойственной к ней задач описаны в [13].
Частным случаем транспортной задачи является задача о назначении, заключающаяся в следующем: имеются n человек (работников), которые мо- гут выполнять различные работы (занимать различные должности), число ра- бот равно числу работников (введя фиктивные должности и/или фиктивные работы, всегда можно незамкнутую задачу привести к рассматриваемой за- мкнутой форме). Известны затраты s
i
на назначение i-го работника на j-ю должность (например, минимальная зарплата, за которую он согласится ра- ботать на этой должности). Требуется найти назначение работников на должности (каждого работника на одну и только одну должность), миними- зирующее суммарные затраты (если s
ij
интерпретируется как эффективность от работы i-го работника на j-ой должности, то оптимальное назначение должно максимизировать суммарную эффективность). Формально задачу о назначении можно записать в виде :
∑
∑
{
{ }
}
; (6.14)
∑
̅̅̅̅̅
(6.15)
∑
̅̅̅̅̅
(6.16)
Рассмотрим один из методов решения задачи о назначении на следую- щем примере. Пусть имеются n = 3 работника и столько же работ. Матрица затрат имеет вид:
|
|
Алгоритм 8
Шаг 0. Назначаем каждого человека на самую дешевую для него ра- боту (назначение выделено на рис. 6.5 тонкими дугами), т. е. положим:
(6.17)
Если при этом назначение является допустимым (т. е. все работы вы- полняются), то решение получено. Если имеется «дисбаланс», т. е. не все ра- боты выполняются (
∑
), то переходим к следующему шагу.
Шаг k. Введем два подмножества множества дуг:
P
1
= {(i; j) | x
ij
= 1}, P
2
= {(i; j) | x
ij
= 0}.
Электронный архив УГЛТУ
116
Примем множество вершин-работ, на которых назначено несколько ра- ботников за вход сети, множество вершин-работ, которые не выполняются – за выход сети. Изменим направления дуг из множества P
1
на обратные и примем их длины равными -s
ij
, длины дуг из множества P
2
примем равными
s
ij
. Найдем путь μ
k
минимальной длины в полученной сети (потенциалы вер- шин, вычисляемые при нахождении кратчайшего пути в рассматриваемом примере, приведены в квадратных скобках).
Рис. 6.5. Задача о назначении
В результате в рассматриваемом примере за один шаг получим опти- мальное назначение, отличающееся от найденного на нулевом шаге тем, что первому работнику назначается третья работа (см. дугу, обозначенную двой- ными линиями на рис. 6.5).
На каждом шаге число «дисбалансов» уменьшается на единицу. Следо- вательно, число шагов алгоритма не превышает числа «дисбалансов», кото- рое конечно.
Аналогичным способом можно решить любую транспортную задачу
(искать кратчайший путь из множества вершин, в которые доставили товара больше, чем требуется, во множество вершин, где товара не хватает).
Решение общего случая задачи о потоке минимальной стоимости осно- вывается на рассмотрении двойственной задачи.
(6.18)
Электронный архив УГЛТУ
117
6.4. Задачи календарно-сетевого планирования и
управления
Рассмотрим проект, состоящий из набора операций (работ). Технологи- ческая зависимость между операциями задается в виде сети (сетевого графи-
ка). При этом дуги сети соответствуют операциям, а вершины – событиям
(моментам окончания одной или нескольких операций). Для каждой опера- ции (i; j) задана ее продолжительность t
ij
. Методы описания и исследования сетевых графиков изучаются в теории календарно-сетевого планирования и управления (КСПУ) [12, 19, 20].
Задача определения продолжительности проекта (управление време- нем). Легко видеть, что продолжительность проекта определяется путем мак- симальной длины, называемым критическим путем. Методы поиска пути максимальной длины описаны выше. Критический путь в сети на рис. 6.6 выделен двойными дугами и равен 16.
Рис. 6.6. Поиск критического пути
Операции, принадлежащие критическому пути, называются критиче-
скими. Остальные (некритические) операции имеют резерв времени, характе- ризуемый максимальной задержкой операции, при которой продолжитель- ность проекта не изменяется. Критические операции имеют нулевой резерв.
Приведем соответствующие формулы.
Алгоритм 9. Предположим, что выполнение комплекса операций (про- екта) начинается в нулевой момент времени. Обозначим Q
0
– множество со- бытий, не требующих выполнения ни одной из операций, т. е. входы сети; Q
i
– множество событий, непосредственно предшествующих событию i, т. е. множество вершин j сети, для которых существует дуга (j; i).
Положим:
(
) (6.19)
Величина – t
i
называется ранним моментом (временем) свершения i- го события и характеризует время, раньше которого это событие произойти не может. Длина критического пути
Электронный архив УГЛТУ
118
T =
(6.20)
Определяется ранним временем свершения конечного события, то есть события, заключающегося в завершении всех операций.
Поздним моментом
свершения события называется максимальное время его наступления, не изменяющее продолжительности проекта. Обозна- чим R
i
– множество событий, непосредственно следующих за событием i, то есть множество вершин j сети, для которых существует дуга (i; j). Вычис- лим для каждой вершины-события i длину l
i
максимального пути от этой вершины до выхода сети – события, заключающегося в завершении всего комплекса операций:
(
)
(6.21)
Положим
̅̅̅̅̅. Тогда для завершения проекта за время T необходимо и достаточно, чтобы событие i произошло не позднее момента
̅̅̅̅̅.
Полным резервом Δt
i
события i называется разность между его поздним и ранним моментами свершения, т. е.
̅̅̅̅̅ (6.22)
Очевидно, полный резерв критических событий (событий, принадлежа- щих критическому пути) равен нулю.
Задачи распределения ресурса на сетях удобно рассматривать, изобра- жая операции вершинами сети, а зависимости – дугами (представления «опе- рации-дуги, события-вершины» и «зависимости-дуги, операции-вершины» эквивалентны.
Пунктиром могут быть обозначены ресурсные зависимости – когда для выполнения одних и тех же операций должны быть использованы одни и те же ресурсы. Примером могут являться сети, изображенные на рис. 6.6 и 6.7.
Полным резервом операции (i; j) называется величина Δ
ij
=
где
– поздний срок начала (окончания) операции, а
– ранний срок начала (окон- чания) операции.
Рис. 6.7. Представление «операции-вершины» для сети рис. 6.6
Электронный архив УГЛТУ
119
Для определения оптимального распределения ресурса необходимо найти критические пути для каждого из вариантов распределения ресурса и сравнить длины этих путей (в сети, приведенной на рис. 6.7, существует об- щий для операций «0-1» и «0-2» ресурс; потенциалы вершин, соответствую- щие различным способам использования этого ресурса – сначала выполняет- ся операция «0-1», затем «0-2» и наоборот, приведены на рис. 6.7 соответ- ственно в квадратных скобках и без скобок).
Универсальных эффективных точных методов решения задач распреде- ления ресурсов на сетях не существует. В качестве частного случая, для ко- торого существует простой алгоритм, приведем следующий пример.
В сети, изображенной на рис. 6.8, для трех операций известны поздние времена окончания τ
i
. Требуется определить очередность выполнения этих трех операций при условии, что все они выполняются одной единицей ресур- са и поэтому не могут определяться одновременно.
Рис. 6.8. Вариант распределения ресурса
Легко показать, что в рассматриваемом примере оптимально выполнять первой операцию с минимальным τ
i
Если для выполнения проекта выделено ограниченное количество ре- сурса, то возникает задача наилучшего его использования.
Обозначим w
i
– объем i-ой операции, f
i
(v
i
) – скорость ее выполнения в зависимости от количества ресурса v
i
. Предположим, что f
i
(
) – непрерывная справа неубывающая функция, причем f
i
(0) = 0. Если v
i
(t) – количество ре- сурса на i-ой операции в момент времени t, то момент t
i ее окончания опреде- ляется как минимальное время, удовлетворяющее уравнению:
∫
(
( ))
(6.23)
Если количество ресурса, используемое при выполнении некоторой опе- рации, не изменяется во времени, то говорят, что она выполняется с посто-
янной интенсивностью. Тогда продолжительность операции определяется выражением
t
i
(v
i
) = w
i
/ f
i
(v
i
). (6.24)
Электронный архив УГЛТУ
120
В настоящее время общих алгоритмов поиска распределения ограничен- ных ресурсов между операциями, минимизирующего время завершения про- екта, не существует. Поэтому рассмотрим несколько частных случаев.
Пусть все операции независимы и выполняются ресурсом одного вида, количество которого равно R, а f
i
(v
i
) – непрерывные строго монотонные во- гнутые функции. Тогда существует оптимальное решение, в котором каждая операция выполняется с постоянной интенсивностью и все операции закан- чиваются одновременно в момент времени T, определяемый как минималь- ное время, удовлетворяющее следующему неравенству:
∑
(
)
(6.25) где
( ) - функция, обратная функции f
i
(
), i = 1,…, n [9, 17].
Эвристические алгоритмы определения оптимального распределения ре- сурса для ряда случаев «невогнутых» функций интенсивности рассматрива- ются в работе [21].
Электронный архив УГЛТУ
121
7. МОДЕЛИ ПОТРЕБИТЕЛЬСКОГО ВЫБОРА
Основная задача математической микроэкономики заключается в по- строении математических моделей поведения агентов экономической дея- тельности.
Агент - субъект экономической деятельности, выступающий с единой позицией и имеющий единую систему предпочтений (лицо, группа лиц, фирма, домохозяйство).
Основным инструментом моделирования систем микроэкономики явля- ется теоретико-игровой подход. Предполагается, что агент строит свое пове- дение таким образом, чтобы в любой ситуации максимизировать свой выиг- рыш (полезность).
Теория потребительского выбора изучает поведение потребителя на рынке. Потребитель характеризуется своими предпочтениями и доходом, ко- торый он готов потратить на приобретение товаров, а рынок – наборами то- варов (потребительскими наборами) и ценами единиц товаров. При этом по- требитель может выбирать материальные услуги, различные виды товаров присутствующие на рынке.
7.1. Пространство товаров.
Предпочтения потребителя
Предположим, что в распоряжении потребителя имеются n различных видов товаров. Обозначим через x
i
– количество i-го товара, который приоб- ретает потребитель, при i = 1,…, n. Результатом выбора потребителя является приобретаемый им набор товаров (потребительский набор), представляющий собой вектор X= (x
1
, x
2
,…, x
n
)
T
, где x
i
– количество i-го товара, который при- обретает потребитель, при i = 1,…, n. При этом предполагается, что товары обладают свойством безграничной делимости, т.е. потребителю доступно любое неотрицательное количество любого вида товара.
Множество всех возможных потребительских наборов, доступных по- требителю образуют так называемое пространство товаров.
Пространство товаров представляет собой множество всех возможных потребительских наборов: C = {(x
1
, x
2
,…, x
n
)
T
, i= 1,…, n}.
Предполагается, что потребитель может выбирать между различными наборами товаров. Это означает, что на пространстве товаров задана система предпочтений потребителя.
Рассмотрим два набора товаров х и у: X = (x
1
, x
2
,…, x
n
)
T
; У = (у
1
, у
2
,…, у
n
)
T
.
Электронный архив УГЛТУ
122
Введем следующие обозначения:
x > y обозначает, что набор x для потребителя более предпочтителен, чем набор y.
x y обозначает, что наборы x и y для потребителя являются эквива- лентными (равноценными).
Считаем, что система предпочтений потребителя является стандартной, т.е. эта система предпочтений удовлетворяет трем основным аксиомам:
1) аксиоме полноты: любые два потребительских набора потребитель может сравнить и сказать, что он либо предпочитает один набор другому, либо для него эти наборы являются равноценными.
. (7.1)
2) аксиоме рефлексивности: для потребителя любой потребительский набор не хуже себя самого x > x (не хуже).
3) аксиоме транзитивности: для любых потребительских наборов x, y,
z из пространства товаров x > y и y > z всегда будет следовать, что x > z,
x > y, y > z,
x > z.
Кроме того, стандартные предпочтения потребителя могут обладать свойствами непрерывности, свойством не насыщаемости и выпуклости.
Свойство непрерывности предполагает, что бесконечно малое измене- ние количества товара того или иного вида в потребительском наборе не из- меняет оценку данного набора потребителем.
Свойство ненасыщаемости предполагает, что увеличение количества того или иного вида товара в потребительском наборе приводит лишь к улучшению оценки данного набора потребителем.
Свойство выпуклости предполагает, что если потребитель предпочитает набор х набору у т.е., x > y, то смесь этих наборов будет предпочтительней набора у:
( ) . (7.2)
1 ... 8 9 10 11 12 13 14 15 ... 18
7.2. Функция полезности потребителя
Припишем каждому потребительскому набору X = (x
1
, x
2
,…, x
n
)
T
, при- надлежащему пространству товаров, некоторую количественную оценку данного набора со стороны потребителя U(x) = U(x
1
, x
2
,…x
n
). Таким образом на пространстве товаров мы зададим функцию полезности потребителя.
y
x
y
x
y
x
Электронный архив УГЛТУ
123
Функцией полезности потребителя называют функцию U(x) = U (x
1
, x
2
,…x
n
,)
которая удовлетворяет следующим условиям:
1. Для любых двух наборов товаров X и Y, таких, что X > Y выполняется
,
. (7.3)
2. Для любых двух наборов товаров X и Y, таких, что X Y выполняется
,
. (7.4)
Значение, которое принимает функция полезности на конкретном набо- ре товаров, называют полезностью данного набора.
Всегда ли на пространстве товаров можно задать функцию полезности?
Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.
Теорема Дебре: для стандартных предпочтений потребителя всегда
можно построить функцию полезности.
С понятием функции полезности связано понятие предельной полезно- сти какого-либо вида товара.
Предельной полезностью i-го вида товара (MU
i
– «marginal utility») называют дополнительную полезность, которую получит потребитель от по- требления каждой дополнительной единицы i-го вида товара
(7.5)
Свойства функции полезности
1. C увеличением объема потребления, какого-либо вида товара значе- ние функции полезности потребителя возрастает:
(7.6)
2. C увеличением потребления какого-либо товара предельная полез- ность данного вида товара убывает (закон Госсена):
. (7.7)
3. Если с увеличение потребления i-го вида товара увеличивается по- требление j-го вида товара, то MU i-го вида товара увеличивается:
( )
(7.8)
)
(
)
(
y
u
x
u
)
(
)
(
;
,
y
u
x
u
y
x
y
x
)
(
)
(
y
u
x
u
)
(
)
(
;
,
y
u
x
u
y
x
y
x
i
i
n
n
i
i
x
i
x
x
U
x
x
x
U
x
x
x
x
U
MU
i
)
(
)
,...,
(
)
,...
,...,
(
lim
1 1
0 0
)
(
2 2
i
i
i
x
x
U
MU
x
Электронный архив УГЛТУ
124
Замечание: данное свойство имеет место лишь в том случае, когда i-й и
j-й товары являются взаимозаменяемыми.
7.3. Основные виды функций полезности
1. Линейная функция полезности (ФП).
Данная ФП описывает товары, являющиеся совершенными товарозаме- нителями, и выглядит следующим образом:
( )
∑
. (7.9)
Линейная ФП описывает ситуацию, когда определенное количество единиц одного вида товаров может быть компенсировано потреблением до- полнительных единиц любого другого товара без изменения полезности дан- ного набора товаров для потребителя. Коэффициенты a
1
,…, a
n
представляют собой пропорции, в которых один товар может быть заменен другим.
Пример: рассмотрим пространство товаров, включающее в себя два вида товара:
x
1
– количество карандашей синего цвета,
x
2
– количество карандашей красного цвета.
Очевидно, что эти товары являются полностью взаимозаменяемыми.
Функция полезности потребителя u(x) = 2x
1
+ 3x
2
показывает, что в наборе товаров каждые 2 единицы синих карандашей могут быть заменены 3 едини- цами красных (и наоборот) без изменения полезности набора для данного по- требителя.
2. ФП Леонтьева:
Эта ФП соответствует ситуации, когда все товары являются взаимодо- полняемыми
( ) {
} (7.10)
Данная ситуация означает, что для потребителя важно приобретение то- варов в какой-либо определенной пропорции. Коэффициенты a
1
,…,a
n
пред- ставляют собой пропорции, согласно которым потребитель осуществляет потребление товаров.
Пример: рассмотрим пространство товаров, включающее в себя два вида товара:
x
1
- количество левых ботинок.
x
2
- количество правых ботинок.
Очевидно, что полезность набора товара для потребителя будет изме- няться лишь в том случае, когда количество левых ботинок будет соответ-
Электронный архив УГЛТУ
125 ствовать количеству правых. Функция полезности потребителя в данном слу- чае имеет вид: u(x)= min {x
1
, x
2
}.
3. Неоклассическая ФП (ФП Кобба-Дугласа):
( )
, (7.11)
∑
̅̅̅̅̅
;
где А – представляет собой масштабирующий множитель.
Неоклассическая ФП описывает предпочтения потребителя, обладаю- щие свойством выпуклости, т.е. ситуацию, когда потребителю важно иметь в своем наборе какое-либо количество единиц каждого вида товара, при этом уменьшение потребления какого-либо товара может быть скомпенсировано за счет увеличения потребления других товаров. Здесь величины a
1
,…, a
n
представляют весовые коэффициенты, описывающие предпочтения потреби- теля между различными видами товаров, т.е. чем больше веса приписано то- му или иному виду товаров, тем больше потребитель склонен к приобрете- нию данного товара.
Пример: рассмотрим пространство товаров, включающее в себя два вида товара:
х
1
- количество минут мобильной связи,
х
2
- количество мегабайт потребляемого трафика сети Интернет.
Очевидно, что потребителю необходимо как наличие мобильной связи, так и наличие доступа в Интернет. ФП потребителя u(x)= x
1
1/2
x
2
1/2 в данном случае соответствует ситуации, когда эти товары одинаково важны для по- требителя.
7.4. Кривые зависимости безразличия
Множество наборов товаров, обеспечивающих потребителю заданный уровень полезности (являющихся одинаково полезными для потребителя) называют кривой безразличия.
Пусть на пространстве товаров задана ФП U(x) и U* - выбранный по- требителем уровень полезности, тогда кривой безразличия уровня U* назы- вают множество наборов товаров:
{ (
)
| ( )
} (7.12)
Свойства кривых безразличия:
Для простоты будем предполагать, что в распоряжении потребителя имеются два вида товара:
Электронный архив УГЛТУ
126
х
1
- количество единиц первого товара, х
2
- количество единиц второго товара.
Функция полезности потребителя u(x) = u(х
1
, х
2
).
Рассмотрим основные свойства кривых безразличия.
1. Кривые безразличия, соответствующие различным уровням полезно- сти, не пересекаются и не имеют общих точек. Это утверждение непосред- ственно следует из определения кривой безразличия.
2. В случае, когда предпочтения потребителя обладают свойством нена- сыщаемости, тогда чем дальше на северо-восток на координатной плоскости располагается кривая безразличия, тем более высокому уровню полезности она соответствует.
3. Кривая безразличия представляет собой график убывающей функции.
4. В случае стандартных предпочтений потребителя, кривая безразличия представляет собой график выпуклой вниз функции.
Вспомним, что функция y = f(x) называется выпуклой вниз, если для любых значений аргумента х
1
и х
2 имеет место следующее соотношение:
f(aх
1
+(1-a) х
2
) ≤ af(х
1
)+(1-a) f(х
2
).
(7.13)
Достаточным условием выпуклости функции вниз является то, что
( )
(7.14)
7.5. Основные виды кривых безразличия
1. Совершенные товарозаменители.
В этом случае функция полезности имеет вид: u(х
1
,х
2
) = a
1
х
1
+ a
2
х
2
.
Следовательно, уравнение кривой безразличия: u
*
= a
1
х
1
+ a
2
х
2
.
(7.15)
Таким образом, в случае совершенных товарозаменителей кривые без- различия представляют собой прямые параллельные линии с отрицательным коэффициентом наклона к положительному направлению оси абсцисс (рис.
7.1).
Рис. 7.1. Линии безразличия (изокосты)
Электронный архив УГЛТУ
127 2. Выпуклые предпочтения потребителя
Вспомним, что данные предпочтения описываются ФП Кобба-Дугласа:
( )
(7.16)
Отсюда получаем уравнение кривой безразличия: Aх
1
a1
х
2
a2
= u*; A ≥ 0;
a
1
, a
2
≥ 0; a
1
+ a
2
= 1,
(
)
⁄
(7.17)
Кривые безразличия представляют собой семейство гипербол, располо- женных в первой координатной четверти (рис. 7.2).
3. Взаимодополняемые товары.
В этом случае функция полезности имеет вид:
(
) {
} (7.18)
Рис. 7.2. Кривые безразличия (изокванты) в виде семейства гипербол
Вспомним определение функции:
{ }
{ } {
(7.19)
Отсюда получаем, что уравнения кривых безразличия имеют следующий вид:
{
(7.20)
Графически семейство кривых безразличия можно представить следую- щим образом (рис. 7.3).
Электронный архив УГЛТУ
128
Рис. 7.3. Кривые безразличия (семейство изоквант)
7.6. Задача потребительского выбора
Предположим, что у потребителя имеется некий доход размером I, кото- рый он собирается потратить на приобретение набора товаров.
Через р
1
,…р
n
обозначим цены единиц соответствующих видов товаров,
P = (p
1
, p
2
,…, p
n
)
T
– вектор цен товаров. В этом случае стоимость набора то- варов х = (x
1
,…, x
n
)
T
, приобретаемого потребителем, будет равна:
. (7.21)
Каждому потребителю доступны лишь те наборы товаров, чья стоимость не превышает дохода потребителя, т.е. ∑
. Множество наборов то- варов, удовлетворяющих данному условию образуют бюджетное множество потребителя. Бюджетным множеством потребителя называется множество наборов товаров:
{ (
)
|
} (7.22) где I – доход потребителя.
Те наборы товаров, чья стоимость в точности соответствует доходу по- требителя, образуют бюджетную линию. Бюджетной линией потребителя называется множество наборов товаров
{ (
)
|
} (7.23) где I – доход потребителя.
В качестве примера рассмотрим случай, когда в распоряжении потреби- теля имеются два вида товара. Введем следующие обозначения:
х
1
– количество единиц первого товара,
х
2
– количество единиц второго товара,
I – доход потребителя;
n
i
T
i
i
x
p
x
p
1
Электронный архив УГЛТУ
129
р
1
– цена 1-го товара;
р
2
– цена 2-го товара;
х = (x
1
,x
2
)
T
– потребительский набор,
P = (p
1
, p
2
)
T
– вектор цен.
В этом случае, бюджетная линия будет представлять собой прямую, удовлетворяющую уравнению или
Бюджетным множеством потребителя будет часть первой четверти ко- ординатной плоскости (х
1
, х
2
), которая лежит ниже бюджетной линии (см. рис.7.4):
Рис. 7.4. График бюджетной линии
При этом задача потребительского выбора формулируется так: cреди
множества наборов товаров, доступных потребителю, потребитель стре-
мится выбрать тот, который обеспечит ему наибольший уровень полезно-
сти.
Математическая формулировка задачи потребительского выбора имеет следующий вид:
{
(
)
∑
(7.24)
Электронный архив УГЛТУ
130
7.7. Свойства решения задачи
потребительского выбора
Из аксиом предпочтений потребителя и свойств функции полезности следует, что решение задачи потребительского выбора должно обладать свойствами описанными ниже:
1. Решение задачи потребительского выбора не должно изменяться при
любом монотонном преобразовании функции полезности потребителя. К монотонным преобразованиям относятся: умножение ФП потребителя на по- ложительное число, логарифмирование по основанию больше единицы, воз- ведение в положительную степень.
U(x) > U(y) => f(U(x)) > f(U(y)); U(x) = U(y) => f(U(x)) = f(U(y)). (7.25)
2. Решение задачи потребительского выбора не должно изменяться при
увеличении в одинаковой пропорции всех цен товаров и дохода потребителя, поскольку цены товаров и размер дохода не входят в максимизируемую функцию полезности, а лишь в бюджетное ограничение, которое в этом слу- чае сохраняет прежний вид (рис. 7.5).
Рис. 7.5. Графическое решение задачи потребительского выбора
3. Решение задачи потребительского выбора всегда находится на гра-
нице бюджетной линии. Предположим, что точка потребительского выбора располагается внутри бюджетного множества. Значит потребитель израсхо- довал не весь свой доход и у него есть средства, которые он может потратить на приобретение дополнительных единиц товаров, тем самым, увеличив по- лезность приобретаемого набора. Приобретение дополнительных единиц то-
Электронный архив УГЛТУ
131 го или иного товара без уменьшения количества единиц других товаров в наборе соответствует перемещению кривой безразличия в северо-восточном направлении координатной плоскости. Поэтому точкой выбора потребителя всегда будет служить точка касания кривой безразличия с бюджетной лини- ей. В условиях стандартных предпочтений потребителя это решение всегда существует и является единственным.
7.8. Аналитическое решение задачи
потребительского выбора
В новой формулировке задача потребительского выбора представляет собой задачу нелинейного программирования.
В силу выявленных свойств, которыми должно обладать решение задачи потребительского выбора, переформулируем задачу следующим образом:
(7.26) где s.t. – «subjectto» – с учетом ограничений.
Для решения данной задачи составим функцию Лагранжа и найдем ее точки максимума:
(
) (
) (∑
(7.27)
где λ = MU
i
/ p
i
.
Точки, в которых функция Лагранжа достигает своего максимума, нахо- дятся среди стационарных точек, удовлетворяющих условиям:
{
( )
̅̅̅̅̅
∑
{
̅̅̅̅̅̅
∑
{
̅̅̅̅̅̅
∑
(7.28)
n
i
i
i
x
x
n
x
p
t
s
x
x
u
n
1
,...,
1
max
)
,...,
(
1
Электронный архив УГЛТУ
132
Последнее выражение в (7.28) является условием первого порядка реше- ния задачи потребительского выбора.
Из свойств функции полезности следует, что условия первого порядка определяют точку максимума функции Лагранжа, и следовательно – решение задачи потребителя. Заметим, что в точке решения задачи потребителя отно- шение предельных полезностей любых двух товаров должно совпадать с от- ношением цен этих товаров.
Решение задачи потребительского выбора записывается в виде функций
спроса Маршалла:
{
(
)
(
)
(
)
(7.29)
Эти функции позволяют определить количество приобретаемого потре- бителем товара, в зависимости от цен товаров и дохода потребителя.
Предположим, что в распоряжении потребителя имеется два вида това- ров х
1
и х
2
. Тогда функция полезности потребителя имеет следующий вид: u
(х
1
, х
2
) = х
1
х
2 .
Задача потребительского выбора будет выглядеть следующим образом:
{
(
)
∑
(7.30)
Условия первого порядка приобретают следующий вид:
{
∑
{
(7.31)
В этом случае, предельные полезности товаров MU
1
= х
2
, MU
2
= х
1
и, сле- довательно, функции спроса Маршалла имеют вид:
{
(7.32)
Выясним экономический смысл множителя Лагранжа λ.
(7.26)
Электронный архив УГЛТУ
133
Для этого определим полный дифференциал функции полезности в окрестности точки потребительского выбора du(x
1
, x
2
,…, x
n
), т.е. приращение, которое получает функция при бесконечно малом изменении ее аргументов.
(
)
|
|
|
|
|
|
(
)
Следовательно, множитель Лагранжа представляет собой предельную полезность, которую получает потребитель от каждой дополнительной еди- ницы дохода:
(
)
. (7.33)
1 ... 10 11 12 13 14 15 16 17 18
7.2. Функция полезности потребителя
Припишем каждому потребительскому набору X = (x
1
, x
2
,…, x
n
)
T
, при- надлежащему пространству товаров, некоторую количественную оценку данного набора со стороны потребителя U(x) = U(x
1
, x
2
,…x
n
). Таким образом на пространстве товаров мы зададим функцию полезности потребителя.
y
x
y
x
y
x
Электронный архив УГЛТУ
123
Функцией полезности потребителя называют функцию U(x) = U (x
1
, x
2
,…x
n
,)
которая удовлетворяет следующим условиям:
1. Для любых двух наборов товаров X и Y, таких, что X > Y выполняется
,
. (7.3)
2. Для любых двух наборов товаров X и Y, таких, что X Y выполняется
,
. (7.4)
Значение, которое принимает функция полезности на конкретном набо- ре товаров, называют полезностью данного набора.
Всегда ли на пространстве товаров можно задать функцию полезности?
Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.
Теорема Дебре: для стандартных предпочтений потребителя всегда
можно построить функцию полезности.
С понятием функции полезности связано понятие предельной полезно- сти какого-либо вида товара.
Предельной полезностью i-го вида товара (MU
i
– «marginal utility») называют дополнительную полезность, которую получит потребитель от по- требления каждой дополнительной единицы i-го вида товара
(7.5)
Свойства функции полезности
1. C увеличением объема потребления, какого-либо вида товара значе- ние функции полезности потребителя возрастает:
(7.6)
2. C увеличением потребления какого-либо товара предельная полез- ность данного вида товара убывает (закон Госсена):
. (7.7)
3. Если с увеличение потребления i-го вида товара увеличивается по- требление j-го вида товара, то MU i-го вида товара увеличивается:
( )
(7.8)
)
(
)
(
y
u
x
u
)
(
)
(
;
,
y
u
x
u
y
x
y
x
)
(
)
(
y
u
x
u
)
(
)
(
;
,
y
u
x
u
y
x
y
x
i
i
n
n
i
i
x
i
x
x
U
x
x
x
U
x
x
x
x
U
MU
i
)
(
)
,...,
(
)
,...
,...,
(
lim
1 1
0 0
)
(
2 2
i
i
i
x
x
U
MU
x
Электронный архив УГЛТУ
124
Замечание: данное свойство имеет место лишь в том случае, когда i-й и
j-й товары являются взаимозаменяемыми.
7.3. Основные виды функций полезности
1. Линейная функция полезности (ФП).
Данная ФП описывает товары, являющиеся совершенными товарозаме- нителями, и выглядит следующим образом:
( )
∑
. (7.9)
Линейная ФП описывает ситуацию, когда определенное количество единиц одного вида товаров может быть компенсировано потреблением до- полнительных единиц любого другого товара без изменения полезности дан- ного набора товаров для потребителя. Коэффициенты a
1
,…, a
n
представляют собой пропорции, в которых один товар может быть заменен другим.
Пример: рассмотрим пространство товаров, включающее в себя два вида товара:
x
1
– количество карандашей синего цвета,
x
2
– количество карандашей красного цвета.
Очевидно, что эти товары являются полностью взаимозаменяемыми.
Функция полезности потребителя u(x) = 2x
1
+ 3x
2
показывает, что в наборе товаров каждые 2 единицы синих карандашей могут быть заменены 3 едини- цами красных (и наоборот) без изменения полезности набора для данного по- требителя.
2. ФП Леонтьева:
Эта ФП соответствует ситуации, когда все товары являются взаимодо- полняемыми
( ) {
} (7.10)
Данная ситуация означает, что для потребителя важно приобретение то- варов в какой-либо определенной пропорции. Коэффициенты a
1
,…,a
n
пред- ставляют собой пропорции, согласно которым потребитель осуществляет потребление товаров.
Пример: рассмотрим пространство товаров, включающее в себя два вида товара:
x
1
- количество левых ботинок.
x
2
- количество правых ботинок.
Очевидно, что полезность набора товара для потребителя будет изме- няться лишь в том случае, когда количество левых ботинок будет соответ-
Электронный архив УГЛТУ
125 ствовать количеству правых. Функция полезности потребителя в данном слу- чае имеет вид: u(x)= min {x
1
, x
2
}.
3. Неоклассическая ФП (ФП Кобба-Дугласа):
( )
, (7.11)
∑
̅̅̅̅̅
;
где А – представляет собой масштабирующий множитель.
Неоклассическая ФП описывает предпочтения потребителя, обладаю- щие свойством выпуклости, т.е. ситуацию, когда потребителю важно иметь в своем наборе какое-либо количество единиц каждого вида товара, при этом уменьшение потребления какого-либо товара может быть скомпенсировано за счет увеличения потребления других товаров. Здесь величины a
1
,…, a
n
представляют весовые коэффициенты, описывающие предпочтения потреби- теля между различными видами товаров, т.е. чем больше веса приписано то- му или иному виду товаров, тем больше потребитель склонен к приобрете- нию данного товара.
Пример: рассмотрим пространство товаров, включающее в себя два вида товара:
х
1
- количество минут мобильной связи,
х
2
- количество мегабайт потребляемого трафика сети Интернет.
Очевидно, что потребителю необходимо как наличие мобильной связи, так и наличие доступа в Интернет. ФП потребителя u(x)= x
1
1/2
x
2
1/2 в данном случае соответствует ситуации, когда эти товары одинаково важны для по- требителя.
7.4. Кривые зависимости безразличия
Множество наборов товаров, обеспечивающих потребителю заданный уровень полезности (являющихся одинаково полезными для потребителя) называют кривой безразличия.
Пусть на пространстве товаров задана ФП U(x) и U* - выбранный по- требителем уровень полезности, тогда кривой безразличия уровня U* назы- вают множество наборов товаров:
{ (
)
| ( )
} (7.12)
Свойства кривых безразличия:
Для простоты будем предполагать, что в распоряжении потребителя имеются два вида товара:
Электронный архив УГЛТУ
126
х
1
- количество единиц первого товара, х
2
- количество единиц второго товара.
Функция полезности потребителя u(x) = u(х
1
, х
2
).
Рассмотрим основные свойства кривых безразличия.
1. Кривые безразличия, соответствующие различным уровням полезно- сти, не пересекаются и не имеют общих точек. Это утверждение непосред- ственно следует из определения кривой безразличия.
2. В случае, когда предпочтения потребителя обладают свойством нена- сыщаемости, тогда чем дальше на северо-восток на координатной плоскости располагается кривая безразличия, тем более высокому уровню полезности она соответствует.
3. Кривая безразличия представляет собой график убывающей функции.
4. В случае стандартных предпочтений потребителя, кривая безразличия представляет собой график выпуклой вниз функции.
Вспомним, что функция y = f(x) называется выпуклой вниз, если для любых значений аргумента х
1
и х
2 имеет место следующее соотношение:
f(aх
1
+(1-a) х
2
) ≤ af(х
1
)+(1-a) f(х
2
).
(7.13)
Достаточным условием выпуклости функции вниз является то, что
( )
(7.14)
7.5. Основные виды кривых безразличия
1. Совершенные товарозаменители.
В этом случае функция полезности имеет вид: u(х
1
,х
2
) = a
1
х
1
+ a
2
х
2
.
Следовательно, уравнение кривой безразличия: u
*
= a
1
х
1
+ a
2
х
2
.
(7.15)
Таким образом, в случае совершенных товарозаменителей кривые без- различия представляют собой прямые параллельные линии с отрицательным коэффициентом наклона к положительному направлению оси абсцисс (рис.
7.1).
Рис. 7.1. Линии безразличия (изокосты)
Электронный архив УГЛТУ
127 2. Выпуклые предпочтения потребителя
Вспомним, что данные предпочтения описываются ФП Кобба-Дугласа:
( )
(7.16)
Отсюда получаем уравнение кривой безразличия: Aх
1
a1
х
2
a2
= u*; A ≥ 0;
a
1
, a
2
≥ 0; a
1
+ a
2
= 1,
(
)
⁄
(7.17)
Кривые безразличия представляют собой семейство гипербол, располо- женных в первой координатной четверти (рис. 7.2).
3. Взаимодополняемые товары.
В этом случае функция полезности имеет вид:
(
) {
} (7.18)
Рис. 7.2. Кривые безразличия (изокванты) в виде семейства гипербол
Вспомним определение функции:
{ }
{ } {
(7.19)
Отсюда получаем, что уравнения кривых безразличия имеют следующий вид:
{
(7.20)
Графически семейство кривых безразличия можно представить следую- щим образом (рис. 7.3).
Электронный архив УГЛТУ
128
Рис. 7.3. Кривые безразличия (семейство изоквант)
7.6. Задача потребительского выбора
Предположим, что у потребителя имеется некий доход размером I, кото- рый он собирается потратить на приобретение набора товаров.
Через р
1
,…р
n
обозначим цены единиц соответствующих видов товаров,
P = (p
1
, p
2
,…, p
n
)
T
– вектор цен товаров. В этом случае стоимость набора то- варов х = (x
1
,…, x
n
)
T
, приобретаемого потребителем, будет равна:
. (7.21)
Каждому потребителю доступны лишь те наборы товаров, чья стоимость не превышает дохода потребителя, т.е. ∑
. Множество наборов то- варов, удовлетворяющих данному условию образуют бюджетное множество потребителя. Бюджетным множеством потребителя называется множество наборов товаров:
{ (
)
|
} (7.22) где I – доход потребителя.
Те наборы товаров, чья стоимость в точности соответствует доходу по- требителя, образуют бюджетную линию. Бюджетной линией потребителя называется множество наборов товаров
{ (
)
|
} (7.23) где I – доход потребителя.
В качестве примера рассмотрим случай, когда в распоряжении потреби- теля имеются два вида товара. Введем следующие обозначения:
х
1
– количество единиц первого товара,
х
2
– количество единиц второго товара,
I – доход потребителя;
n
i
T
i
i
x
p
x
p
1
Электронный архив УГЛТУ
129
р
1
– цена 1-го товара;
р
2
– цена 2-го товара;
х = (x
1
,x
2
)
T
– потребительский набор,
P = (p
1
, p
2
)
T
– вектор цен.
В этом случае, бюджетная линия будет представлять собой прямую, удовлетворяющую уравнению или
Бюджетным множеством потребителя будет часть первой четверти ко- ординатной плоскости (х
1
, х
2
), которая лежит ниже бюджетной линии (см. рис.7.4):
Рис. 7.4. График бюджетной линии
При этом задача потребительского выбора формулируется так: cреди
множества наборов товаров, доступных потребителю, потребитель стре-
мится выбрать тот, который обеспечит ему наибольший уровень полезно-
сти.
Математическая формулировка задачи потребительского выбора имеет следующий вид:
{
(
)
∑
(7.24)
Электронный архив УГЛТУ
130
7.7. Свойства решения задачи
потребительского выбора
Из аксиом предпочтений потребителя и свойств функции полезности следует, что решение задачи потребительского выбора должно обладать свойствами описанными ниже:
1. Решение задачи потребительского выбора не должно изменяться при
любом монотонном преобразовании функции полезности потребителя. К монотонным преобразованиям относятся: умножение ФП потребителя на по- ложительное число, логарифмирование по основанию больше единицы, воз- ведение в положительную степень.
U(x) > U(y) => f(U(x)) > f(U(y)); U(x) = U(y) => f(U(x)) = f(U(y)). (7.25)
2. Решение задачи потребительского выбора не должно изменяться при
увеличении в одинаковой пропорции всех цен товаров и дохода потребителя, поскольку цены товаров и размер дохода не входят в максимизируемую функцию полезности, а лишь в бюджетное ограничение, которое в этом слу- чае сохраняет прежний вид (рис. 7.5).
Рис. 7.5. Графическое решение задачи потребительского выбора
3. Решение задачи потребительского выбора всегда находится на гра-
нице бюджетной линии. Предположим, что точка потребительского выбора располагается внутри бюджетного множества. Значит потребитель израсхо- довал не весь свой доход и у него есть средства, которые он может потратить на приобретение дополнительных единиц товаров, тем самым, увеличив по- лезность приобретаемого набора. Приобретение дополнительных единиц то-
Электронный архив УГЛТУ
131 го или иного товара без уменьшения количества единиц других товаров в наборе соответствует перемещению кривой безразличия в северо-восточном направлении координатной плоскости. Поэтому точкой выбора потребителя всегда будет служить точка касания кривой безразличия с бюджетной лини- ей. В условиях стандартных предпочтений потребителя это решение всегда существует и является единственным.
7.8. Аналитическое решение задачи
потребительского выбора
В новой формулировке задача потребительского выбора представляет собой задачу нелинейного программирования.
В силу выявленных свойств, которыми должно обладать решение задачи потребительского выбора, переформулируем задачу следующим образом:
(7.26) где s.t. – «subjectto» – с учетом ограничений.
Для решения данной задачи составим функцию Лагранжа и найдем ее точки максимума:
(
) (
) (∑
(7.27)
где λ = MU
i
/ p
i
.
Точки, в которых функция Лагранжа достигает своего максимума, нахо- дятся среди стационарных точек, удовлетворяющих условиям:
{
( )
̅̅̅̅̅
∑
{
̅̅̅̅̅̅
∑
{
̅̅̅̅̅̅
∑
(7.28)
n
i
i
i
x
x
n
x
p
t
s
x
x
u
n
1
,...,
1
max
)
,...,
(
1
Электронный архив УГЛТУ
132
Последнее выражение в (7.28) является условием первого порядка реше- ния задачи потребительского выбора.
Из свойств функции полезности следует, что условия первого порядка определяют точку максимума функции Лагранжа, и следовательно – решение задачи потребителя. Заметим, что в точке решения задачи потребителя отно- шение предельных полезностей любых двух товаров должно совпадать с от- ношением цен этих товаров.
Решение задачи потребительского выбора записывается в виде функций
спроса Маршалла:
{
(
)
(
)
(
)
(7.29)
Эти функции позволяют определить количество приобретаемого потре- бителем товара, в зависимости от цен товаров и дохода потребителя.
Предположим, что в распоряжении потребителя имеется два вида това- ров х
1
и х
2
. Тогда функция полезности потребителя имеет следующий вид: u
(х
1
, х
2
) = х
1
х
2 .
Задача потребительского выбора будет выглядеть следующим образом:
{
(
)
∑
(7.30)
Условия первого порядка приобретают следующий вид:
{
∑
{
(7.31)
В этом случае, предельные полезности товаров MU
1
= х
2
, MU
2
= х
1
и, сле- довательно, функции спроса Маршалла имеют вид:
{
(7.32)
Выясним экономический смысл множителя Лагранжа λ.
(7.26)
Электронный архив УГЛТУ
133
Для этого определим полный дифференциал функции полезности в окрестности точки потребительского выбора du(x
1
, x
2
,…, x
n
), т.е. приращение, которое получает функция при бесконечно малом изменении ее аргументов.
(
)
|
|
|
|
|
|
(
)
Следовательно, множитель Лагранжа представляет собой предельную полезность, которую получает потребитель от каждой дополнительной еди- ницы дохода:
(
)
. (7.33)
1 ... 10 11 12 13 14 15 16 17 18
7.9. Модель Стоуна
Ранее предполагалось, что потребитель свободен в выборе количества потребляемых единиц того или иного товара. Усложним нашу модель. Будем предполагать, что определенное количество единиц каждого вида товара необходимо потребителю в любом случае, и вопрос относительно их приоб- ретения не является предметом выбора. Оставшиеся средства потребитель использует для приобретения дополнительных единиц товаров в соответ- ствии со своими предпочтениями.
Обозначим через b
1
, b
2
, …, b
n
минимальные количества единиц соответ- ствующих видов товара, необходимые потребителю. При этом предполагает- ся, что минимальная потребительская корзина не превышает дохода потреби- теля, т.е. ∑
Считаем, что предпочтения потребителя относительно дополнительных единиц товаров описываются функцией полезности Кобба-Дугласа:
( ) (
)
(
)
(
)
∑
̅̅̅̅̅
(7.34)
Задача потребительского выбора принимает следующий вид:
Электронный архив УГЛТУ
134
{
( ) (
)
(
)
(
)
∑
∑
(7.35)
Задачу потребительского выбора в такой постановке называют моделью
Стоуна. Решим данную задачу. Так как предполагается, что минимальная потребительская корзина всегда меньше дохода потребителя, то модель Сто- уна можно переписать следующим образом:
{
( ) (
)
(
)
(
)
∑
(7.36)
Данная задача представляет собой задачу нелинейного программирова- ния. Составим функцию Лагранжа:
(
) (
)
(
)
(
)
(∑
)
(7.37)
Условия первого порядка принимают вид:
{
(
)
(
)
(
)
∑
̅̅̅̅̅
(7.38)
{
( )
∑
̅̅̅̅̅
{
( )
∑
̅̅̅̅̅
(7.39)
Просуммируем первые n уравнений. Получаем:
( ) ∑
∑
∑
( ) (
∑
)
(7.40) где a
i
– переходит в I.
Получаем чему равно λ, и, подставив полученное выражение в условия первого порядка, получаем следующие функции спроса Маршалла:
∑
)
(7.41)
Электронный архив УГЛТУ
135
Можно дать следующую интерпретацию полученному решению задачи потребительского выбора в условиях модели Стоуна: сначала приобретается минимально необходимое количество b
1
, b
2
, …, b
n
единиц соответствующего вида товара. После приобретения минимальной потребительской корзины рассчитывается оставшаяся сумма, которая распределяется между различны- ми видами товаров в соответствии с весовыми коэффициентами а
1
, а
2
,…, а
n
и определяется количество дополнительных единиц каждого вида товара, ко- торое необходимо приобрести потребителю.
7.10. Двойственная задача
потребительского выбора
Теперь предположим, что потребитель не стремится приобрести набор товаров, обеспечивающий ему максимальную полезность. Теперь потреби- тель выбрал уровень полезности u
*
, который должен обеспечить ему приоб- ретаемый набор товаров и среди одинаково полезных наборов он стремится приобрести как можно более дешевый.
В данной ситуации мы говорим о задаче потребительского выбора в двойственной постановке (двойственной задаче потребительского выбора).
Графически эту задачу можно проиллюстрировать следующим образом (рис.
7.6):
Рис. 7.6. Решение двойственной задачи потребительского выбора
На кривой безразличия, соответствующей выбранному потребителем уровню полезности u
*
, отыскивается набор товаров с минимальной стоимо- стью.
Математическая формулировка двойственной задачи потребительского выбора имеет следующий вид:
Электронный архив УГЛТУ
136
{
∑
(
)
;
(7.42)
Данная задача является задачей нелинейного программирования. Функ- ция Лагранжа имеет вид:
(
) ∑
( (
)
) (7.43)
где λ = MU
i
/ p
i
Запишем условия первого порядка для i =
̅̅̅̅̅ и преобразуем:
{
( )
(
)
{
(
)
{
(
)
После преобразований получаем условия первого порядка для решения двойственной задачи потребительского выбора, где λ – это постоянное число.
Из свойств функции полезности следует, что условия первого порядка определяют точку максимума функции Лагранжа и, следовательно, решение задачи потребителя в двойственной постановке.
Решение двойственной задачи потребительского выбора записывается в виде функций спроса Хикса:
{
(
)
(
)
(
)
(7.44)
Эти функции позволяют определить количество единиц каждого вида товара, приобретаемого потребителем в зависимости от цен товаров и вы- бранного потребителем уровня полезности.
Пример: Пусть функция полезности потребителя имеет следующий вид:
u(x
1
,x
2
)= x
1
x
2
Сформулируем и решим двойственную задачу потребительского выбора.
Пусть u
*
- выбранный потребителем уровень полезности, тогда двойственная задача будет иметь следующий вид:
В этом случае, предельные полезности товаров MU
1
= х
2
, MU
2
= х
1
.
Электронный архив УГЛТУ
137
Условия первого порядка приобретают следующий вид:
{
{
{
√
⁄
√
⁄
, (7.45) где последнее выражение соответствует функции спроса Хикса.
7.11. Эластичность функции
В ходе анализа различных экономических процессов очень часто ис- пользуется понятие эластичности функции, которое тесно связано с понятием производной функции.
Точно так же, как и производная функции, эластичность функции позво- ляет определить скорость роста функции в данной точке, но при этом значе- ние эластичности не зависит от выбора единиц измерения как функции, так и ее аргументов (что важно для решения экономических задач).
Эластичностью функции f(x) по аргументу х (обозначается
( )
) назы- вают предел отношения относительного приращения функции в данной точке к относительному приращению аргумента, когда относительное приращение аргумента стремится к нулю.
( )
⁄
( )
( )
( )
где M f = f
´
(x) - предельное значение функции в данной точке, A f = f(x)/x - среднее значение функции в данной точке.
Эластичность позволяет оценить на сколько процентов изменит свое значение функция при изменении значения аргумента на один процент.
Основные свойства эластичности функции:
1. Эластичность функции представляет собой безразмерную величину
(это непосредственно следует из определения).
2. Эластичности двух взаимно обратных функций представляют собой обратные величины. Функции f (x), φ(x) обратные, если f (φ(x))= x.
Доказательство:
Электронный архив УГЛТУ
138
⁄
⁄
⁄
3. Эластичность произведения двух функций равна сумме эластичностей этих функций. Доказательство: пусть имеются две функции f(x) и g(x). Тогда:
( ) ( )
( ( ) ( ))
( ) ( )
[
( ) ( ) ( )
( )]
( )
( )
( )
4. Эластичность частного двух функций равна разности эластичностей числителя и знаменателя. Доказательство: пусть имеются две функции f(x) и
g(x). Тогда:
( ) ( )
( ( ) ( ))
( ) ( )
[
( ) ( ) ( )
(
( )
)]
( )
( )
( )
5. Эластичность суммы двух функций вычисляется по формуле:
( ) ( )
( ( ) ( ))
( ) ( )
[
( )
( )]
( ) ( )
[ ( )
( )
( )
( )
( )
( )
]
( )
( )
( ) ( )
(7.46)
Пример: Определим эластичность функции
⁄ Из свойства 4 следует, что эластичность данной функции будет равна разности эластично- стей числителя и знаменателя. Обозначим f(x)=x
n
и g(x) = e
x
. Имеем:
(
)
(
)
,
В итоге, получаем:
Электронный архив УГЛТУ
139
7.12. Свойства функций спроса Маршалла
1. В силу свойств решения задачи потребительского выбора, что при пропорциональном увеличении всех цен товаров и дохода потребителя ре- шение ЗП не изменится, функции спроса Маршалла являются однородными функциями нулевой степени, т. е. имеет место:
{
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(7.47)
Для любого
, если в одинаковой пропорции увеличить все аргу- менты, то функция не изменится. Таким образом, мы можем сделать вывод, что объемы потребления товаров не зависят непосредственно от самих цен товаров и дохода потребителя, а зависят лишь от отношения цен и отноше- ния дохода к цене какого-либо товара, выбранного в качестве базового. По- лучается, что аргументами функции спроса Маршала являются относитель- ные цены и относительный доход. Выбирая цену первого товара р
1
в качестве единицы измерения, получаем следующее:
{
(
⁄
⁄
⁄ )
(
⁄
⁄
⁄ )
(
⁄
⁄
⁄ )
(7.48)
2. Используя понятие эластичности, выясним, как реагирует спрос на тот или иной товар в ответ на изменение цены того или иного товара и дохода потребителя: если
|
| , то говорят о том, что спрос на данный товар не эласти- чен по отношению к цене данного товара (однопроцентное увеличение цены изменяет спрос на товар меньше, чем на один процент); если
|
| , то говорят о спросе с единичной эластичностью по отно- шению к цене данного товара (однопроцентное увеличение цены изменяет спрос на товар на один процент);
Электронный архив УГЛТУ