Файл: Экономикоматематические методы и модели.pdf

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 30.10.2023

Просмотров: 352

Скачиваний: 11

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
8.2. Модель совершенной конкуренции
Модель совершенной конкуренции (СК) предполагает, наличие на рынке большого числа фирм, производящих данную продукцию и потребляющих одинаковые факторы производства. Это означает, что ни один из участников рынка не может за счет выбранной им стратегии повлиять ни на цену едини- цы выпуска, ни на цены факторов производства, следовательно, модель СК предполагает, что цена единицы выпуска и цена факторов производства яв- ляются постоянными величинами. Задача производителя может рассматри- ваться как в условиях краткосрочного периода, так и в условиях долгосроч- ного периода [22].
Краткосрочный период предполагает, что период производства продук- ции является недостаточно длительным для того, чтобы фирма могла полно- стью задействовать все ресурсы производства продукции, и, следовательно, фирма ограничена в потреблении того или иного фактора производства.
Кроме того, в этом периоде следует учитывать постоянные издержки произ- водства.
Долгосрочный период предполагает, что производство осуществляется в течение достаточно длительного промежутка времени, что позволяет фирме не быть ограниченной в объемах потребления того или иного фактора произ-
Электронный архив УГЛТУ

151 водства. При этом, в долгосрочном периоде отсутствуют фиксированные из- держки, связанные с началом производства продукции.
8.3. Решение задачи производителя
в долгосрочном периоде
Пусть p- цена единицы продукции, выпускаемой фирмой, и w
j
- цена единицы затрат j-го фактора производства, так что w = (w
1
, w
2
,…, w
n
)
T
- век- тор цен факторов производства, X = (x
1
, x
2
,…, x
n
)
T
– издержки производства данного выпуска. Предполагается, что цель фирмы заключается в максими- зации прибыли путём выбора объема выпуска продукции, а также выбора объема потребления производственных ресурсов. При этом цены факторов производства и выпускаемой продукции предполагаются равными const.
Математически задачу производителя в долгосрочном периоде можно записать следующим образом:
{
( )
(
)
(8.13) где R = pq – выручка от реализации произведенной продукции

(8.14)
В качестве ограничения выступает существующая технология производ- ства продукции (производственная функция).
Решение задачи производителя осуществляется в два этапа: минимиза- ция издержек производства; максимизация прибыли производителя.
1. Минимизация издержек производства.
На данном этапе необходимо определить, с какими минимальными из- держками фирма может осуществить заданный объем выпуска продукции q.
Минимизация издержек осуществляется за счет выбора объемов потребления факторов производства. Задача минимизации издержек может быть записана следующим образом:
{

(
)
(8.15)
Данная задача представляет собой задачу нелинейного программирова- ния. Для решения этой задачи составим функцию Лагранжа:
(
) ∑
(
) ) (8.16)
Электронный архив УГЛТУ


152 и найдем ее точки минимума. Точки, в которых функция Лагранжа достигает своего минимума, находятся среди стационарных точек, удовлетворяющих условиям:
{
̅̅̅̅̅̅
(8.17)
В итоге получим:
{
(
)
{
(
) {
(
)
( )
( )
(8.18)
Отсюда получаем условия первого порядка минимизации издержек про- изводства: в точке, где издержки производства минимальны, отношение
предельных продуктов любых двух факторов производства должно совпа-
дать с отношением цен этих факторов:
{
̅̅̅̅̅̅
(
)
(8.19)
Решением данной системы уравнений являются функции спроса на фак- торы производства и зависит от цен факторов производства и заданного объ- ема выпуска продукции:
{
(
)
(
)
(
)
(8.20)
Из свойств производственной функции следует, что данные соотноше- ния определяют точку, в которой функция Лагранжа достигает своего мини- мума, т.е. данные соотношения являются решениями задачи минимизации издержек фирмы и функции спроса позволяют определить объемы потребле- ния факторов производства в зависимости от их цен и объема выпуска про- дукции.
Функция издержек в этом случае равна совокупной стоимости потребля- емых факторов производства:
(
) ∑

(
). (8.21)
Электронный архив УГЛТУ

153
И она показывает минимальные издержки, с которыми производитель может осуществить заданный объем выпуска продукции q.
Введем понятия средних и предельных издержек.
Средними издержками производства AC («averagecost») называют из- держки приходящиеся, в среднем, на выпуск одной единицы продукции при общем объеме выпуска q:
( )
(
) (8.22)
Предельными издержками производства называют издержки, приходя- щиеся на выпуск каждой дополнительной единицы продукции при общем объеме выпуска q:
( )
(
) (8.23)
2. Максимизация прибыли производителя
На втором этапе, зная с какими минимальными издержками, можно осуществить выпуск заданного объема продукции, производитель выбирает такой объем выпуска q, который бы обеспечивал ему максимальную при- быль.
Задача максимизации прибыли имеет следующий вид:
( ) (
)
(8.24)
Точкой максимума прибыли будет стационарная точка функции П(q), которая определяется из условия:
( ) (
) (8.25)
Отсюда мы получаем, что максимум прибыли производителя обеспечи- вает такой объем выпуска продукции , при котором цена единицы выпуска совпадает с предельными издержками данного объема выпуска:
(
) (8.26)
Данное уравнение называют решением производителя в условиях совер-
шенной конкуренции.
Пример. Предположим, что для производства продукции используются два фактора и производственная функция имеет вид:
(
)
,
w
1
, w
2
– цены факторов производства, р – цена единицы выпуска.
1. Минимизация издержек. Условия первого порядка – вместо х
1
и х
2
,
МР
1
и МР
2
. Тогда, предельные продукты факторов производства МР
1
= х
2
,
МР
2
= х
1 и условия минимума издержек производства приобретают следую- щий вид:
Электронный архив УГЛТУ


154
{
{


Отсюда получаем, что функция издержек:
(
)

2. Максимизация прибыли. Предельные издержки производства:
.
(
)
(
) √
Отсюда определяем оптимальный объем выпуска:
(
)√
Р
2
= w
1
w
2
/q =>q* = w
1
w
2
/p
2
.
8.4. Решение задачи производителя
в краткосрочном периоде
Напомним, что в краткосрочном периоде у производителя могут воз- никнуть ограничения в объеме потребления того или иного фактора произ- водства. Кроме того, при решении задачи производителя в краткосрочном периоде следует учитывать фиксированные издержки, связанные с организа- цией производства.
В силу изложенного, задача фирмы в условиях краткосрочного периода будет выглядеть следующим образом:
{
( )
(
)
(
)
(
)
Здесь неравенства
(
)
̅̅̅̅ представляют собой огра- ничения на объемы потребления факторов производства. Точно так же, как и в долгосрочном периоде, решение задачи фирмы разбивается на два этапа:
(8.27)
Электронный архив УГЛТУ

155 1) нахождение функции издержек (решение задачи минимизации издер- жек);
2) нахождение объема выпуска, максимизирующего прибыль произво- дителя.
Следует отметить, что в условиях краткосрочного периода производи- тель несет большие издержки, чем в долгосрочном периоде (при одинаковых ценах выпуска и факторов производства).
8.5. Изокванты и изокосты
По аналогии с решением задачи потребительского выбора представим геометрическую интерпретацию решения задачи производителя. С этой це- лью введем понятия изокванты и изокосты.
Изоквантой уровня q
*
для производственной функции q = f(x
1
,…, x
m
) называется множество всех векторов затрат факторов производства x
= (x
1
,…, x
m
)
T
, использование которых приводит к выпуску q
*
единиц про- дукции
{ (
)
| (
) } (8.28)
Предположим, что в производстве продукции задействовано два факто- ра: х
1
, х
2
- количество единиц первого и второго, соответственно товара.
Тогда изокванты рассмотренных нами производственных функций вы- глядят следующим образом.
1. Линейная производственная функция.
Вспомним, что в этом случае производственная функция имеет вид:
(
)
(8.29)
Следовательно, уравнение изокванты:
(8.30)
Таким образом, в случае линейной производственной функции изокван- ты представляют собой прямые линии с отрицательным коэффициентом наклона к положительному направлению оси абсцисс
(см. рис. 7.1).
2. Производственная функция Кобба-Дугласа.
Вспомним, что функция полезности Кобба-Дугласа имеет вид:
(
)
Отсюда получаем уравнение изокванты:
(
)

(8.31)
Электронный архив УГЛТУ


156
Эти изокванты представляют собой семейство гипербол, расположенных в первой координатной четверти прямоугольной системы координат (см. рис.
7.2).
3. Производственная функция Леонтьева.
В этом случае функция полезности имеет вид:
(
) {
} (8.32)
Отсюда получаем, что уравнения изоквант, графический вид которых представлен ранее на рис.7.3:
{
(8.33)
Изокостой уровня C
*
называется множество всех векторов затрат фак- торов производства x = (x
1
,…,x
m
)
T
, стоимость которых равна C
*
(обеспечива- ется одинаковый уровень издержек производства)
{ (
)
| ∑
} (8.34)
Предположим, что в производстве продукции задействовано два факто- ра:
х
1
- количество единиц первого товара,
х
2
- количество единиц второго товара.
Тогда уравнение семейства изокост и изокосты имеют следующий вид:
. (8.35)
Изокосты представляют собой параллельные прямые, расположенные в
1-й четверти и имеющие отрицательный наклон к положительному направ- лению оси абсцисс (представлены ранее на рис.7.3).
8.6. Графическая интерпретация
решения задачи фирмы
Предположим, что в производстве продукции задействовано два факто- ра: х
1
- количество единиц первого товара, х
2
- количество единиц второго то- вара.
Тогда производственная функция имеет следующий вид: q = f(x
1
, x
2
).
Рассмотрим уравнение изокванты уровня
q*:
(
)
Продифференцируем по переменной x
1 обе части равенства. Используя правило дифференцирования неявной функции получаем:
Электронный архив УГЛТУ

157
(
)
(
)
(8.36)
|
(
)
(
)

Величина TRS
12
называется технологической нормой замещения факто- ров производства. Она показывает, в какой пропорции один фактор может быть заменен другим без изменения объема выпуска
Рассмотрим уравнение изокосты
C
*
:
Рассмотрим x
2 как неявную функцию от переменной x
1
. Продифферен- цируем по переменной x
1
обе части равенства. Получаем:
|
(8.37)
|
Вспомним, что условия первого порядка для решения задачи минимиза- ции издержек фирмы имеют следующий вид:
{
(
)
(8.38)
Таким образом получим:
|
|
(8.39)
Это означает, что в точке, соответствующей минимальной стоимости за- трат для производства заданного объема выпуска, наклон касательной к изокванте соответствующего уровня совпадает с наклоном изокосты, т.е. этой точкой является точка касания изокванты и изокосты.
Чем северо-восточней на координатной плоскости находится изокванта, тем большему объему выпуска она соответствует. Поскольку изокванты и изокосты заполняют собой все пространство затрат, то соединив их точки ка- сания, мы получаем непрерывную линию. Данную линию называют долго-
срочной линией развития производства (рис. 8.2).
Электронный архив УГЛТУ


158
Рис. 8.2.Долгосрочная линия развития производства
Эта линия показывает, каким образом должно изменяться соотношение потребления факторов производства для увеличения выпуска продукции ми- нимальными издержками.
Электронный архив УГЛТУ

159
9. МОДЕЛИ КОНКУРЕНЦИИ
9.1. Сущность и виды рыночной монополии
и конкуренции
Монополия (греч. «monos» — один, «poleo» — продаю) — крупный соб- ственник, который захватывает подавляющую часть рыночного пространства в целях своего обогащения.
В экономической литературе дается следующая классификация видов монополий.
1. С учетом степени охвата экономики выделяются такие виды монопо- листических организаций: а) в масштабе определенной отрасли — чистая монополия; в этом случае действует один продавец, доступ на рынок для возможных конкурентов за- крыт, продавец имеет полный контроль над количеством товаров, предназна- ченных для продажи, и их ценой. б) в масштабе национального хозяйства образуется абсолютная монопо- лия. Она находится в руках государства или его хозяйственных органов
(например, государственная монополия внешней торговли и т.п.).
Монопсония (чистая и абсолютная) — один покупатель ресурсов, то- варов.
2. В зависимости от характера и причин возникновения различают сле- дующие виды монополий. а) естественная монополия: ею обладают собственники и хозяйствен- ные организации, имеющие в своем распоряжении редкие и свободно не вос- производимые элементы производства (например, редкие металлы, особые земельные участки под виноградники); сюда также относятся целые отрасли инфраструктуры, имеющие особо важное и стратегическое значение для все- го общества (железнодорожный транспорт, военно-промышленный комплекс и т.п.); существование естественных монополий оправдывается тем, что они дают огромный экономический выигрыш от больших масштабов производ- ства; здесь создают товары с меньшими затратами по сравнению с расходами ресурсов, которые были бы на множестве аналогичных фирм.
б) легальные монополии образуются на законном основании; к ним мож- но причислить такие формы монополистических организаций:
- патентная система: под патентом подразумевается свидетельство, вы- данное правительством страны гражданину на право исключительного поль- зования сделанным, изобретением. Патентом также именуется документ, да- ющий право на занятие промыслом, торговлей;
Электронный архив УГЛТУ