Файл: Экономикоматематические методы и модели.pdf

140 если
|
| , то говорят о эластичном спросе по отношению к цене данного товара (однопроцентное увеличение цены изменяет спрос на товар больше, чем на один процент); если
|
| , то говорят о совершенно эластичном спросе по отноше- нию к цене данного товара; если
|
| , то говорят о спросе с нулевой эластичностью по отноше- нию к цене данного товара (изменение цены никак не влияет на изменение спроса на данный товар).
Аналогично можно классифицировать изменение спроса на тот или иной товар по отношению к изменению дохода потребителя.
Эластичность спроса на i-й товар по отношению к цене j-го товара назы- вают перекрестной эластичностью спроса по цене:
(
⁄
)
. (7.49)
Возможны следующие варианты:
Если
, то говорят о том, что i-й и j-й являются взаимозаменяемы- ми (однопроцентное увеличение цены одного товара вызывает рост спроса на другой товар);
Если
, то говорят о том, что i-й и j-й являются взаимодополняе- мыми (однопроцентное увеличение цены одного товара вызывает снижение спроса на другой товар).
7.13. Кривые зависимости «доход-потребление»
и «цена-потребление»
Рассмотрим ситуацию, когда в распоряжении потребителя имеются два вида товара. Ранее мы показали, что в точке потребительского выбора проис- ходит касание линии кривой безразличия и бюджетной линии. Если мы бу- дем увеличивать доход потребителя, сохраняя неизменными цены товаров, то при этом бюджетная линия будет двигаться в северо-восточном направлении координатной плоскости параллельно самой себе. При этом новая бюджетная линия будет касаться новой кривой безразличия в точке, соответствующей новому решению задачи потребительского выбора.
Электронный архив УГЛТУ

141
Соединив все полученные точки потребительского выбора, мы получаем кривую линию зависимости «доход-потребление» (рис. 7.7).
Рис. 7.7. График кривой зависимости «доход-потребление»
Данная кривая зависимость показывает, каким образом будет изменять- ся соотношение потребления товаров с ростом дохода потребителя. Если, ис- пользуя эту кривую, мы выразим объем потребления второго товара в зави- симости от объема потребления первого товара, то получим уравнение кри- вой Энгеля х
2
*
= f (х
1
*
).
Если будем изменять цену первого товара, сохранив неизменным доход потребителя, то бюджетная линия будет поворачиваться вокруг точки
(
). При этом новая бюджетная линия будет касаться новой кривой без- различия в точке, соответствующей новому решению задачи потребительско- го выбора.
Соединив все полученные точки потребительского выбора, получим кривую зависимости «цена-потребление» (рис. 7.8).
Рис. 7.8. График кривой зависимости «цена-потребление»
Кривая «доход- потребления»
Кривая «доход- потребления»
Электронный архив УГЛТУ

142
Данная кривая показывает каким образом будет изменяться соотноше- ние потребления товаров с изменением цены первого товара. Аналогичным образом можно получить кривую «цена-потребление» для цены второго то- вара.
7.14. Уравнение Слуцкого
При изменении цены какого-либо товара происходит изменение спроса как на данный товар, так и на все остальные товары, входящие в потреби- тельский набор. Влияние изменения цены зависит от того, являются ли това- ры из потребительского набора взаимозаменяемыми или взаимодополняе- мыми. Если при повышении цен одного товара растет спрос на другой товар, то товары называются взаимозаменяемыми. Если при повышении цен одного товара падает спрос на другой товар, то товары называются взаимодополня- емыми.
На самом деле изменение спроса на товары зависит не только от того, являются ли данные товары взаимозаменяемыми или взаимодополняемыми, но и от изменения дохода потребителя, связанного с ростом цен.
Предположим, существует два вида товаров : х
1
и х
2
– их количество.
Предположим, что цена одного товара увеличилась:
̅̅̅
Тогда, чтобы выяснить, являются ли товары взаимозаменяемыми или нет, необходимо определить, как изменяется спрос на товар, если мы ком- пенсируем потребителю его потери, связанные с ростом цен.
Компенсация потерь потребителя означает, что необходимо передвинуть бюджетную линию таким образом, чтобы она касалась прежней кривой без- различия, т.е. в результате роста цен полезность набора для потребителя не должна измениться.
Из предыдущего решения задачи:
А – старый потребительский набор;
В – выбор потребителя при отсутствии компенсации;
С – выбор потребителя при компенсации его потерь.
(7.50)
- общее изменение спроса, связанное с ростом цен.
- эффект замены одного товара другим. Изменение спроса в результате взаимозаменяемости или взаимодополняемости товаров.
- эффект дохода (изменение спроса в связи с изменением дохода потре- бителя).
ОБЩИЙ ЭФФЕКТ = ЭФФЕКТ ЗАМЕНЫ + ЭФФЕКТ ДОХОДА .
CB
AC
AB


AB
AC
CB
Электронный архив УГЛТУ

143
Как количественно определить взаимозаменяемость или взаимодополня- емость благ? Для этого необходимо рассчитать эффект замены 1-го товара другим в условиях компенсации потерь потребителя. Сделать это позволяет
уравнение Слуцкого:
(
)
(
)
(7.51) где
– изменение спроса на j-ый товар, вызванное ростом цен на i-ый то- вар (общий эффект);
(
)
– изменение спроса в условиях компенсации потерь (эффект замены одного товара другим);
- эффект дохода – изменение спроса на j-ый товар, вызванное изменени- ем дохода потребителя.
Следовательно эффект замены:
(
)
(
) (
)
. (7.52)
Если с ростом цен товаров изменяется спрос на другой товар, то есть
(
) , то другой товар называется нормальным;
Если с повышением цен товара спрос на другой товар увеличивается,
(
) , то это товар Гиффена;
Если с повышением цены на товар возрастает спрос на данный товар
(
) , то товар называется ценным.
Если с ростом дохода спрос на товар снижается
(
) , то товар называется малоценным или низкого качества.
Если в условиях компенсации потерь потребителя с ростом цен i-го то- вара возрастает спрос на j-ый товар
(
)
, то товары взаимозаме- нямые.
Если с ростом цен i-го товара падает спрос на j-ый товар в условиях компенсации
(
)
, то товары взаимодополняемые.
Пример. Дана функция полезности U(x
1
,x
2
).
Тогда функция спроса Маршала будет выглядеть следующим образом:
Электронный архив УГЛТУ

144
{
(7.53)
Классифицируем эти товары, используя уравнение Слуцкого.
Предположим, что возрастает цена второго товара р
2
. Тогда общий эф- фект будет равен 0, т.е.
(
⁄
)
Определим эффект дохода:
(
) эффект замены; (7.54)
(
)
товары взаимозаменяемые; (7.55) товары высокого качества; (7.56) товары являются нормальными. (7.57)
Электронный архив УГЛТУ

145
8. МОДЕЛИ ПРОИЗВОДСТВА
8.1. Производство, пространство затрат,
производственная функция
Производством называют процесс взаимодействия экономических фак- торов (факторов производства), завершаемый выпуском какой-либо продук- ции. Современное общественное производство включает в себя не только ма- териальное производство, но также и нематериальную сферу — производство нематериальных благ и услуг (новые научные открытия, технические изобре- тения, народное образование, культура, искусство, здравоохранение, бытовое обслуживание, управление, финансирование и кредитование, спорт и др.).
Производство можно представить как систему «затраты-выпуск» (рис. 8.1), в которой выпуском является то, что фактически произведено фирмой (продук- ция), а затратами - то, что потребляется для осуществления выпуска – ресурсы
(капитал, труд, энергия, сырье и др.). Формально можно сказать, что производ- ство - это функция, которая определенному набору затрат и заданной техноло- гии производства ставит в соответствие определенный объем выпуска. Конеч- ной целью фирмы является получение наибольшей прибыли от реализации сво- ей продукции.
Рис. 8.1. Простейшая модель производства
Прибыль представляет собой разность выручки от реализации произве- денной продукции и издержек производства. Издержки представляют собой общий объем выплат за все виды затрат и (в общем случае) складываются из двух составляющих: постоянных издержек и переменных издержек.
Постоянные издержки представляют собой издержки, которые фирма несет независимо от объема выпуска (расходы на приобретение оборудова- ния, различные регистрационные сборы и т.д.), т.е. расходы, связанные с началом производства продукции.
Переменные издержки касаются использования имеющихся в распоря- жении фирмы факторов производства и изменяются в соответствии с объе- мом выпуска продукции.
Задача фирмы сводится к поиску такого сочетания между затратами факторов производства и выпуском продукции, который обеспечил бы ей
Электронный архив УГЛТУ

146 наибольшую прибыль. Двойственной к этой задаче является задача миними- зации издержек фирмы при сохранении заданного объема выпуска продук- ции. Таким образом, основными факторами, которые должны быть учтены при решении задачи фирмы являются: выпуск продукции, затраты факторов производства, цены выпуска, цены затрат факторов производства, существу- ющая технология производства продукции.
Будем предполагать, что фирма производит n различных видов продук- ции. Обозначим через q = (q
1
, q
2
,…, q
n
)
T
вектор выпуска, компонентами кото- рого являются выпуски каждого конкретного вида продукции. Предположим, что для осуществления выпуска используется m видов факторов производ- ства. Обозначим через X = (x
1
, x
2
,…, x
n
)
T
вектор затрат факторов производ- ства, компонентами которого являются объемы потребления каждого кон- кретного фактора.
Множество векторов выпуска продукции образуют так называемое про-
странство выпуска:
{
(
)
|
̅̅̅̅̅}
(8.1)
Множество векторов затрат факторов производства образуют так назы- ваемое пространство затрат:
{
(
)
|
̅̅̅̅̅̅} (8.2)
Технологическая связь между затратами факторов производства и объе- мом выпуска продукции описывается с помощью производственной функ- ции. Функция, q=f(x), которая каждому вектору затрат из пространства затрат ставит в соответствие максимальный выпуск, который может быть произве- ден при данных затратах факторов производства, называется производствен-
ной функцией фирмы.
В общем случае производственную функцию можно записать в неявной форме
F(x, q, A) = 0 ,где Aпредставляет собой технологическую матрицу разме- рами n
x
m.
Производственную функцию можно интерпретировать двояко.
Если в качестве независимых аргументов рассматриваются затраты, то производственную функцию называют функцией выпуска. Если в качестве независимых аргументов рассматриваются объемы выпуска, то производ- ственную функцию называют функцией затрат. В дальнейшем, для просто- ты выкладок будем предполагать, что фирма выпускает только один вид про- дукции.
С понятием производственной функции связано понятие предельного продукта. Предельным продуктом i-го фактора производства (MP
i
- «marginal
Электронный архив УГЛТУ

147 product») называют дополнительный объем выпуска продукции, который бу- дет получен при увеличении потребления каждой дополнительной единицы данного фактора производства.
(
) (
)
( )
(8.3)
Производственная функция обладает следующими свойствами:
1) с увеличением потребления какого-либо фактора производства вы- пуск продукции возрастает:
( )
( ) (8.4)
2) с увеличением объема потребления какого-либо фактора скорость вы- пуска продукции убывает:
( )
(8.5)
3) производственная функция является однородной функцией своих ар- гументов, т.е. если объем потребления всех факторов производства увели- чится в одинаковых пропорциях, то выпуск продукции не должен упасть:
( )
( ) (8.6) где β представляет собой степень однородности.
Рассмотрим основные виды производственных функций
1.
Линейная производственная функция:
( )
∑
(8.7)
Данное семейство производственных функций описывает ситуацию, ко- гда факторы производства являются полностью взаимозаменяемыми. Коэф- фициенты a
1
, a
2
,…, a
m
представляют собой пропорции, в которых один фак- тор может быть заменен другим.
2. Производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид:
(8.8)
Для выполнения всех требований к производственным функциям необ- ходимо выполнение условий:
(8.9)
Электронный архив УГЛТУ

148
Найдем средние и предельные производительности, эластичности, тех- нологическую норму замены для линейной функции Кобба-Дугласа.
Для линейной функции это будет выглядеть так:
Таким образом, коэффициенты а
1
и а
2 линейной производственной функции имеют смысл предельных производительностей и их можно вычис- лять по формулам:
⁄
⁄
(8.10)
Для производственной функции Кобба-Дугласа будет:
Таким образом, коэффициенты а
1
и а
2 производственной функции Коб- ба-Дугласа имеют смысл частных эластичностей и их можно вычислять по формулам:
Электронный архив УГЛТУ

149
⁄
⁄
⁄
⁄
(8.11)
Пример. Некоторое предприятие, расходуя для производства 65 единиц материальных затрат и 17 трудовых, выпускало 120 единиц продукции. В ре- зультате расширения и увеличения материальных затрат до 68 единиц вы- пуск возрос до 124 единицы, а при увеличении трудозатрат до 19 единиц вы- пуск вырос до 127 единиц. Составить линейную производственную функцию и функцию Кобба-Дугласа.
Решение. Записав для удобства исходные данные в виде вспомогатель- ной таблицы и применив формулы (8.10) и (8.11), рассчитываем параметры производственных функций.
Таблица 8.1
Исходные данные
Для линейной производственной функции находим параметры а
1
и а
2
используя формулу (8.10):
⁄
⁄
Получаем функцию в виде
. Для нахождения па- раметра b подставляем в уравнение исходные данные из 2-го столбца таб- лицы 8.1 и решаем уравнение относительно b, получаем:
В итоге получаем линейную производственную функцию:
Если производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид то для неё по формуле (8.11) находим коэффициенты уравнения:
х
1 65 68
-
х
2 17
-
19
у
120 124 127
Электронный архив УГЛТУ

150
( )
⁄
( )
⁄
( )
⁄
( )
⁄
Получаем уравнение:
. Для нахождения параметра b
подставляем в уравнение исходные данные из второго столбца табл. 8.1 и по- лучим
. Далее решая уравнение относительно параметра
b, получаем b = 3,05. В результате, получается производственная функция вида:.
3. Производственная функция «затраты-выпуск» (функция Леонтьева):
( ) {
} (8.12)
Эта функция задает пропорции, в которых осуществляется потребление затрат факторов производства для осуществления выпуска одной единицы продукции. Величины a
1
,a
2
,…,a
m
представляют собой пропорции объемов по- требления соответствующих факторов производства.