ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.06.2021
Просмотров: 2493
Скачиваний: 1
Ответ:
z
наим
=z(0,0)=1.
z
наиб
=z(0,1)=3.
3. Найти наименьшее и наибольшее значения функции z=f(x,y) в замкнутой
области D, заданной системой неравенств. Сделать чертеж.
z=3-2x
2
-xy-y
2
, x
1, y
0,y
x.
Решение
Сделаем чертеж
0
1
2
1
2
Найдем стационарные точки функции, лежащие внутри области D.
0
y
0
x
0
y
2
x
0
y
x
4
0
y
z
0
x
z
Внутри области стационарных точек нет (найденная точка лежит на
границе).
Исследуем значения функции на границе области.
8)
Отрезок OВ. Его уравнение у=0, 0
х
1. Подставим у=0 в функцию
z=3-2x
2
. z
=-4x=0,x=0. Найдем значения функции при х=0,x=1.
z
1
=z(0)=z(O)=3.
z
2
=z(1)=z(B)=1.
9)
. Отрезок AB. Его уравнение x=1, 0
y
1. Подставим x=1 в функцию
z=1-y-y
2
. z
=-1-2y=0,y=-½
[0,1]. Найдем значения функции при y=1
(при у=0 получается точка B, в которой значение уже посчитано).
z
3
=z(1)=z(A)=-1.
10)
Отрезок OА. Его уравнение у=x , 0
х
1. Подставим
z=3-2x
2
-x
2
-x
2
=3-4x
2
, z
=-8x=0, x=0.При х=0 и х=1 получатся точки О и
В, в которых значения посчитаны.
Среди найденных значений выберем наименьшее и наибольшее
Ответ:
z
наим
=z(1,1)=-1, z
наиб
=z(0,0)=3.
Задания для самосоятельного решения:
1. Найти наименьшее и наибольшее значения функции z=f(x,y) в замкнутой
области D, заданной системой неравенств. Сделать чертеж.
z=x
2
+3y
2
+x-y, x
1, y
-1,x+y
2.
O
A
B
D
x
y
2.Найти наименьшее и наибольшее значения функции z=f(x,y) в замкнутой
области D, заданной системой неравенств. Сделать чертеж.
z=x
2
+xy, -1
x
1,0
y
2.
Производная функции по направлению
1. Производная функции по направлению.
2. Градиент скалярного поля, его свойства.
Теоретическая часть:
Скалярное поле. Производная функции по направлению
Определение:
Пусть (D) – область в 3-мерном пр-ве. Говорят, что в
области (D) задано скалярное поле, если каждой точке М
(D) поставлено в
соответствие некоторое число U(M).
Таким образом, задать скалярное поле – это значит задать скалярную
функцию u=u(M), называемую функцией поля.
Если величина u=u(M) не зависит от времени t, то скалярное поле
называется
стационарным.
Мы будем рассматривать только стационарные
скалярные поля.
Примеры скалярных полей: поле температуры внутри нагретого тела,
поле плотности массы, поле распределения потенциала в электрическом
поле.
Если в пространстве ввести прямоугольную систему координат Оxyz,
то задание точки М будет равносильно заданию ее координат x,y,z и тогда
функция поля u(M) превращается в обычную функцию 3-х переменных
u(x,y,z).
Значение функции в точке называется потенциалом поля в этой (
).
Скалярное
поле
изображается
геометрически
с
помощью
эквипотенциальных поверхностей.
Определение:
Эквипотенциальной поверхностью (поверхностями
уровня) скалярного поля u=u(x,y,z) называется множество точек
пространства, в которых потенциал поля имеет постоянные значения, т.е
u(x,y,z)=c, где c=const.
Производная по направлению
Важной характеристикой скалярного поля является скорость изменения
функции поля при переходе от одной точке к другой.
Пусть задано скалярное поле в области D, т.е задана функция u=u(M) в
области (D). Возьмем (
)М
0
(D) и проведем из нее вектор Ī. Пусть (
)М лежит
на векторе Ī на расстоянии
от (
)М.
Определение:
Если существует конечный
)
(
)
(
lim
0
0
M
u
M
u
то он наз производной u(M) (или ф-ции u(M)) в точке М0 по
направлению вектора Ī
Кратко:
Производная по направлению есть скорость изменения ф-ции u(M) по
направлению Ī в точке М
0
.
Найдем формулу для вычисления производной по направлению.
Пусть в прямоугольной системе координат задана ф-ция u=u(x,y,z),
которая имеет непрерывные частные производные в (
)М
0
(x
0
,y
0
,z
0
),
рассмотрим (
)М(x
0
+
x,y
0
+
y,z
0
+
z), М
0
М=
и пусть вектор Ī образует с
осями координат углы
,
,
.
Тогда
x=
cos
y=
cos
z=
cos
В силу непрерывности частных
производных в (
)М
0
функция u(M) дифференцируема в (
)М
0
и ее
приращение в этой точке можно представить в виде:
заменив
x,
y,
z получим:
найдем:
l
M
u
)
(
0
0
или
0
,
0
,
0
при
0
,
,
где
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
2
3
2
1
3
2
1
0
0
0
0
z
y
x
z
y
x
z
y
x
z
z
M
u
y
y
M
u
x
x
M
u
M
u
M
u
u
)
(
)
(
lim
)
(
0
0
0
M
u
M
u
l
M
u
Градиент
Пусть задано скалярное поле u=u(M)=u(x,y,z).
Определение:
Градиентом скалярного поля u=u(M) в точке М
0
наз
вектор с координатами
Свойства градиента
Обозначим Ī
0
=(cosα;cosβ;cosγ) единичный вектор направления Ī.
Тогда:
1. Производная скалярного поля u(M) в точке М0 в данном направлении
Отсюда следует, что производная по направлению достигает
наибольшего значения, когда cos
=1, т.е
=0. Это наибольшее значение
равно |(gradu) М
0
|.
2 Таким образом, градиент |(gradu) М
0
| есть вектор, указывающий
направление наибольшего возрастания скалярного поля в данной точке и
имеющий модуль, равный скорости этого возрастания. В этом физический
смысл градиента.
0
0
)
cos
cos
cos
(
cos
)
(
cos
)
(
cos
)
(
3
2
1
0
0
0
при
z
M
u
y
M
u
x
M
u
u
cos
)
(
cos
)
(
cos
)
(
)
(
cos
)
(
cos
)
(
cos
)
(
)
cos
)
(
cos
)
(
cos
)
(
(
lim
)
(
)
(
lim
lim
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
z
M
u
y
M
u
x
M
u
l
M
u
z
M
u
y
M
u
x
M
u
z
M
u
y
M
u
x
M
u
M
u
M
u
u
k
z
M
u
j
y
M
u
i
x
M
u
M
u
grad
z
M
u
y
M
u
x
M
u
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
;
)
(
;
)
(
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
)
(
cos
|
|
*
|
)
(
|
)
*
)
(
(
cos
)
(
cos
)
(
cos
)
(
)
(
M
u
grad
Пр
l
M
u
grad
l
M
u
grad
z
M
u
y
M
u
x
M
u
l
M
u
2
2
2
0
0
)
(
)
(
)
(
|
)
(
|
)
)
(
(
z
u
y
u
x
u
M
u
grad
l
M
u
наиб
3. (gradu) М
0
направлен по нормали к эквипотенциальной поверхности,
проходящей через точку М
0
.
Практическая часть:
1. Даны функция z=f(x,y), точка А(х
0
,у
0
) и вектор
).
а
,
а
(
а
у
х
Найти:
1)gradz в точке А;
2)производную в точке А по направлению вектора
а
.
z=x
2
+xy+y
2
), A(1,1),
а
(2,-1).
Решение
1) Градиент функции найдем по формуле
.j
y
z
i
x
z
z
grad
Найдем частные производные
.
y
2
x
y
z
;
y
x
2
x
z
Вычислим их в точке А(1,1)
.
3
y
z
;
3
x
z
0
0
Таким образом
.j
3
i
3
z
grad
2)Производную в точке А по направлению вектора
а
найдем по
формуле
.
cos
y
z
cos
x
z
a
z
Найдем направляющие косинусы
.
5
1
1
4
1
a
a
a
cos
;
5
2
1
4
2
a
a
a
cos
2
y
2
x
y
2
y
2
x
x
Таким образом
.
5
5
3
5
3
5
1
3
5
2
3
a
z
Ответ:
.j
3
i
3
z
grad
.
5
5
3
a
z