ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.06.2021
Просмотров: 2496
Скачиваний: 1
Дифференциал сложной функции
1. Пусть z=f(x,y), где х и у –независимые переменные, тогда
2.
Пусть z=f(x,y), где х и у –зависимые переменные т.е x=x(u,v)
y=y(u,v). Тогда z=f(x(u,v),y(u,v))=F(u,v) – сложная функция, где u,v –
независимые переменные.
По 1-му случаю
Где х и у –промежуточные переменные.
Практическая часть:
1. Найти полные дифференциалы функций:
1).
x
y
x
xy
y
x
z
y
e
z
y
x
e
z
,
1
ln
,
2
2).
2
2
2
ln
y
x
x
z
;
y
x
z
3
2
sin
3
;
4
3
2
3
y
x
z
;
3).
y
x
y
x
z
2
3
cos
2
;
xy
z
2
arcsin
3
;
3
2
3
2
ln
3
y
x
x
z
;
4).
x
y
xy
z
arcsin
2
;
3
2
3
cos
y
x
y
x
z
;
xy
x
x
z
2
3
ln
2
;
2
2
arcsin
3
y
x
z
.
2. Дана функция z=f(x,y) и точка М
0
(х
0
,у
0
). С помощью дифференциала
вычислить приближенное значение функции в данной точке. Оценить
относительную погрешность вычисления.
z=x
2
+y
2
-2х+2у, M
0
(1,08;1,94).
Решение
Найдем частные производные и дифференциал в любой точке
dv
dy
y
z
dv
dx
x
z
dv
dz
dy
y
z
dx
x
z
dz
v
v
z
du
u
z
dz
d
du
dy
y
z
du
dx
x
z
du
dz
dy
y
z
dx
x
z
dv
dy
du
du
dy
y
z
dv
dx
du
du
dx
x
z
dv
dy
y
z
dv
dx
x
z
u
du
dy
y
z
du
dx
x
z
dz
dv)
(
dv)
(
)dv
(
)d
(
dy
)
2
y
2
(
dx
)
2
x
2
(
dz
2
y
2
y
z
;
2
x
2
x
z
Вычислим его в точке М(1,2) при приращениях
dx=
x=1,08-1=0,08; dy=
y=1,94-2=-0,06.
dz=0·0,08+6·(-0,06)=-0,36.
Найдем z(M)=z(1,2)=1+4-2+4=7.
Тогда
.
64
,
6
36
,
0
7
dz
)
M
(
z
)
M
(
z
z
0
Вычислим точное значение функции z в точке М
0
z=1,08
2
+1,94
2
-2
1,08+2
1,94=6,65.
Найдем относительную погрешность
%
15
,
0
%
100
65
,
6
|
64
,
6
65
,
6
|
%
100
z
z
z
Ответ: Приближенное значение
.
64
,
6
z
Относительная погрешность
%.
15
,
0
3. Дана функция z=f(x,y) и точка М
0
(х
0
,у
0
). С помощью дифференциала
вычислить приближенное знчение функции в данной точке. Оценить
относительную погрешность вычисления.
z=2xy+3y
2
-5x, M
0
(3,04;3,95).
Решение
Найдем частные производные и дифференциал в любой точке
dy
)
y
6
x
2
(
dx
)
5
y
2
(
dz
y
6
x
2
y
z
5
y
2
x
z
Вычислим его в точке М(3,4) при приращениях
dx=
x=3,04-3=0,04; dy=
y=3,95-4=-0,05.
dz=(2·4-5)·0,04+(2·3+6·4)·(-0,05)=-1,38.
Найдем z(M)=2·3
4+3·4
2
-5
3=57.
Тогда
.
62
,
55
38
,
1
57
dz
)
M
(
z
)
M
(
z
z
0
Вычислим точное значение функции z в точке М
0
z=2·3,04
3,95+3·3,95
2
-5
3,04=55,624.
Найдем относительную погрешность
%
007
,
0
%
100
624
,
55
62
,
55
624
,
55
%
100
z
z
z
Ответ: Приближенное значение
.
62
,
55
z
Относительная погрешность
%.
007
,
0
Задания для самосоятельного решения:
1. Найти полный дифференциал функции
z=
3
sin(2x+3y)
;
z=(2x-y)cos(3x+2y); z=
4
3
)
2
3
(
y
x
2. Дана функция z=f(x,y) и точка М
0
(х
0
,у
0
). С помощью дифференциала
вычислить приближенное знчение функции в данной точке. Оценить
относительную погрешность вычисления.
z=x
2
+y
2
-4x+2y, M
0
(2,98;2,05).
Наибольшее и наименьшее значение функции двух переменных
1. Экстремум функции дух переменных. Критерий Сильвестра.
2. Наибольшее и наименьшее значении функции двух
переменных на области.
Теоретическая часть:
Экстремум функции дух переменных. Критерий Сильвестра
Определение:
Если в некоторой окрестности
0
0
0
0
,
;
,
y
y
x
x
точки М
0
(х
0
,
У
0
)
выполняется неравенство
))
,
(
)
,
(
)(
,
(
)
,
(
0
0
0
0
y
x
f
y
x
f
y
x
f
y
x
f
,
то говорят, что функция z=f(x,y)имеет
максимум (минимум)
в точке М
0
Теорема:
(необходимые условия экстремума). Если дифференцируемая
функция z=f(x,y) имеет экстремум в точке М
0
,то обе частные производные
функции f(х,у) в этой точке равны нулю.
Замечание 1.
Необходимые условия экстремума могут быть
сформулированы в следующем виде: если в точкеМ
0
(х
0
,у
0
)функция z=f(х,у)
имеет экстремум, то полный дифференциал функции f(х,у), вычисленный в
точке М
0
, равен нулю.
Замечание.
Точки, в которых обе частные производные функции z=f(x,у)
обращаются в 0, называются (так же, как и в случае функций одной
переменной)
стационарными точками.
Однако дифференцируемая функция может и не иметь экстремума в
стационарной точке (так же, как и в случае функций одной переменной).
Иначе говоря, необходимые условия экстремума не являются условиями, до-
статочными для наличия экстремума у функции в точке М
0
.
Условия, достаточные для наличия экстремума у дифференцируемой
функции двух переменных в стационарной точке, формулируются
следующим образом (
Критерий Сильвестра
).
Если в стационарной точке М
0
(х
0
;у
0
) выполняется неравенство
0
)
,
(
)
,
(
)
,
(
2
0
0
0
0
0
0
2
2
y
x
f
y
x
f
y
x
f
xy
y
x
, (78)
то функция z=f(х,у) имеет в М
0
экстремум: минимум в случае,
когда
0
)
,
(
0
0
2
y
x
f
x
, и максимум, когда
0
)
,
(
0
0
2
y
x
f
x
.
Наибольшее и наименьшее значении функции двух
переменных на области
Пусть в некоторой ограниченной замкнутой области (D) задана
дифференцируемая функция z=f(х,у)и требуется найти наибольшее и
наименьшее значение этой функции в области (D)
.
Очевидно, что наибольшее или наименьшее значение функции во
внутренних точках области могут достигаться только в точках экстремума.
Поэтому нужно найти все точки, подозрительные на экстремум внутри
области, и, не занимаясь вопросом о том, есть ли в этих точках экстремумы и
если есть, то какие, вычислить значения функции во всех найденных
стационарных точках. Но функция может принимать наибольшее или
наименьшее значение и на границе области (D). Поэтому надо еще отдельно
искать наибольшее и наименьшее значения функции на границе области.
При этом можно использовать уравнения границы области для уменьшения
числа независимых переменных у функции и свести дело к исследованию
функции одной переменной. Сравнивая все полученные таким образом
значения функции, выбираем из них самое большое и самое маленькое.
Практическая часть:
1.Найти наименьшее и наибольшее значения функции z=f(x,y) в замкнутой
области D, заданной системой неравенств. Сделать чертеж.
z=x
2
+y
2
-9xy+27, 0
x
3, 0
y
3.
Решение
Сделаем чертеж
1
0
1
2
3
4
1
1
2
3
4
Найдем стационарные точки функции, лежащие внутри области D.
0
y
0
x
0
x
9
y
2
0
y
9
x
2
0
y
z
0
x
z
Точка O(0;0) принадлежит границе области D.
Исследуем значения функции на границе области.
1)
Отрезок OA. Его уравнение х=0, 0
у
3. Подставим х=0 в функцию
z=у
2
+27. z
=2y=0. y=0. Найдем значения функции при у=0, у=3.
z
1
=z(0)=z(O)=27.
z
2
=z(3)=z(A)=36.
2)
Отрезок AВ. Его уравнение у=3, 0
х
3
z=х
2
-27х+36. z
=2х-27=0,х=27/2
[0,3]. Найдем значения в точке х=3
(при х=0 получится точка А, в которой значение посчитано).
z
3
=z(3)=z(B)=9-81+36=-36.
3)
Отрезок BС. Его уравнение х=3, 0
у
3. Подставим х=3 в функцию
z=у
2
-27y+36. z
=2y-27=0,y=27/2
[0,3].Найдем значение функции при
у=0.
O
B
A
D
x
y
C
z
4
=z(0)=z(C)=36
4)
Отрезок OC. Его уравнение у=0, 0
х
3
z=х
2
+27. z
=2х=0,х=0.Значения в точках О и С посчитаны.
Среди найденных значений выберем наименьшее и наибольшее
Ответ:
z
наим
=z(3,3)=-36.
z
наиб
=z(0,3)=z(3,0)=36.
2. Найти наименьшее и наибольшее значения функции z=f(x,y) в замкнутой
области D, заданной системой неравенств. Сделать чертеж.
z=x
2
+2y
2
+1, x
0, y
0,x+y
1.
Решение
Сделаем чертеж
0
0.5
1
0.5
1
Найдем стационарные точки функции, лежащие внутри области D.
0
y
0
x
0
y
4
0
x
2
0
y
z
0
x
z
Внутри области стационарных точек нет (найденная точка лежит на
границе).
Исследуем значения функции на границе области.
5)
Отрезок OВ. Его уравнение у=0, 0
х
1. Подставим у=0 в функцию
z=x
2
+1. z
=2x=0,x=0. Найдем значения функции при х=0,x=1.
z
1
=z(0)=z(O)=1.
z
2
=z(1)=z(B)=2.
6)
. Отрезок OA. Его уравнение x=0, 0
y
1. Подставим x=0 в функцию
z=2y
2
+1. z
=4y=0,y=0. Найдем значения функции при y=1 (при у=0
получается точка О, в которой значение уже посчитано).
z
3
=z(1)=z(A)=3.
7)
Отрезок АВ. Его уравнение х+у=1 или y=1-x, 0
х
1. Подставим
z=x
2
+2(1-x)
2
+1=3x
2
-4x+3, z
=6x-4=0, x=2/3. Вычислим z при этом
значении х (при х=0 и х=1 получатся точки А и В).
z
4
=z(2/3)=3
4/9-4
2/3+3=5/3
Среди найденных значений выберем наименьшее и наибольшее
O
A
B
D