ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.06.2021
Просмотров: 2498
Скачиваний: 1
2. Даны функция z=f(x,y), точка А(х
0
,у
0
) и вектор
).
а
,
а
(
а
у
х
Найти:
1)gradz в точке А;
2)производную в точке А по направлению вектора
а
.
z=2x
2
+3xy+y
2
, A(2,1),
а
(3,-4).
Решение
1) Градиент функции найдем по формуле
.j
y
z
i
x
z
z
grad
Найдем частные производные
y
2
x
3
y
z
;
y
3
x
4
x
z
Вычислим их в точке А(2,1)
.
8
1
2
2
3
y
z
;
11
1
3
2
4
x
z
0
0
Таким образом
.
j
8
i
11
z
grad
1)
Производную в точке А по направлению вектора
а
найдем по
формуле
.
cos
cos
y
z
x
z
a
z
Найдем направляющие косинусы
5
4
16
9
4
a
a
a
cos
;
5
3
16
9
3
a
a
a
cos
2
y
2
x
y
2
y
2
x
x
Таким образом
.
5
1
5
4
8
5
3
11
a
z
Ответ:
.
j
8
i
11
z
grad
.
5
1
a
z
3. Даны функция z=f(x,y), точка А(х
0
,у
0
) и вектор
).
,
(
у
х
а
а
а
Найти:
1)gradz в точке А;
2)производную в точке А по направлению вектора
а
.
z=ln(5x
2
+3y
2
), A(1,1),
а
(3,2).
Решение
1) Градиент функции найдем по формуле
.j
y
z
i
x
z
z
grad
Найдем частные производные
2
2
2
2
y
3
x
5
y
6
y
z
;
y
3
x
5
x
10
x
z
Вычислим их в точке А(1,1)
.
4
3
8
6
y
z
;
4
5
8
10
x
z
0
0
Таким образом
.
j
4
3
i
4
5
z
grad
2)
Производную в точке А по направлению вектора
а
найдем по
формуле
.
cos
cos
y
z
x
z
a
z
Найдем направляющие косинусы
13
2
4
9
2
a
a
a
cos
;
13
3
4
9
3
a
a
a
cos
2
y
2
x
y
2
y
2
x
x
Таким образом
.
13
4
21
13
2
4
3
13
3
4
5
a
z
Ответ:
.j
4
3
i
4
5
z
grad
.
13
4
21
a
z
4. Даны функция z=f(x,y), точка М
0
(х
0
,у
0
) и вектор
.j
y
i
x
s
Найти
градиент функции и производную по направлению вектора
а
в точке М
0
.
z=-5x
2
+xy+2y
2
-x+4y+1; M
0
(2; 1);
j
i
s
.
Решение
1) Градиент функции найдем по формуле
.j
y
z
i
x
z
z
grad
Найдем частные производные
4
y
4
x
y
z
;
1
y
x
10
x
z
Вычислим их в точке М
0
(2,1)
.
10
4
4
2
y
z
;
20
1
1
20
x
z
0
0
Таким образом
.j
10
i
20
z
grad
Производную в точке А по направлению вектора
а
найдем по формуле
.
cos
y
z
cos
x
z
a
z
Найдем направляющие косинусы
2
1
1
1
1
a
a
a
cos
;
2
1
1
1
1
a
a
a
cos
2
y
2
x
y
2
2
2
y
2
x
x
Таким образом
.
2
5
2
10
2
1
10
2
1
20
a
z
Ответ:
.j
10
i
20
z
grad
Задания для самосоятельного решения:
1. Даны функция z=f(x,y), точка А(х
0
,у
0
) и вектор
).
а
,
а
(
а
у
х
Найти:
1)gradz в точке А;
2)производную в точке А по направлению вектора
а
.
z=3x
2
y
3
+5xy
2
, A(1,1),
а
(2,1).
2.Даны функция z=f(x,y), точка А(х
0
,у
0
) и вектор
).
а
,
а
(
а
у
х
Найти:
1)gradz в точке А;
2)производную в точке А по направлению вектора
а
.
z=3x
4
+2x
2
y
2
), A(-1,2),
а
(4,-3).
Неопределенный интеграл
1. Первообразная функции, неопределенный интеграл.
2. Свойства неопределенного интеграла, метод
непосредственного интегрирования.
3. Метод подстановки.
Теоретическая часть:
Первообразная функции, неопределенный интеграл
Определение:
Первообразной функцией
для данной функции f(x) на
данном промежутке называется такая функция F(x), производная которой
равна f(x) или дифференциал которой равен f(x)dx на рассматриваемом
промежутке.
Теорема:
Две различные первообразные одной и той же функции,
определенной в некотором промежутке, отличаются друг от друга в этом
промежутке на постоянное слагаемое.
Определение:
Общее выражение для всех первообразных данной
непрерывной функции f(x) называется неопределенным интегралом от
функции f(x) или от дифференциального выражения f(x)dx и обозначается
символом
f(x)dx .
При этом функция f(x) называется подынтегральной функцией, а
выражение f(x)dx называется подынтегральным выражением.
Основные свойства неопределенного интеграла
I. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному
выражению,
а
производная
неопределенного
интеграла
равна
подынтегральной функции.
II.
Неопределенный интеграл от дифференциала непрерывно
дифференцируемой функции равен самой этой функции с точностью до
постоянного слагаемого.
III. Отличный от нуля постоянный множитель можно выносить за знак
неопределенного интеграла, т.е. если постоянная А ≠ 0, то
dx
x
f
A
dx
x
Аf
)
(
)
(
.
IV. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного
числа непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме
неопределенных интегралов от этих функций, т.е. если, например, функция
f(x), g(x), h(x) непрерывны в интервале (a,b), то
dx
x
h
dx
x
g
dx
x
f
dx
x
h
x
g
x
f
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
при х
(a,b).
Зная формулы для производных основных элементарных
функций, можно составить таблицу неопределенных интегралов
(первообразных), которую мы дополним еще несколькими часто
встречающимися интегралами.
Таблица основных интегралов (ТОИ)
1.
dx
1
C
x
dx
2.
С
а
х
dx
х
а
а
1
1
, а
-1
С
х
х
dx
2
3.
ln
х
dx
|
x|+C
4.
С
a
а
dx
а
х
х
ln
С
e
dx
е
х
х
5.
C
x
xdx
sin
cos
(т.к. (sin+C)'=соsx)
6.
C
x
dx
cos
sin
С
а
ax
axdx
cos
sin
7.
C
tgx
х
dx
dx
х
соs
2
2
cos
1
8.
С
х
g
х
dx
dx
х
сt
sin
sin
1
2
2
9.
C
x
х
dx
arcsin
1
2
10.
C
x
х
dx
arcsin
1
2
11.
С
а
х
х
a
dx
arcsin
2
2
12.
R
а
С
а
х
х
а
х
dx
,
ln
2
2
13.
С
а
х
arctg
а
х
а
dx
1
2
2
14.
С
х
tg
x
dx
2
ln
sin
Методы непосредственного интегрирования и подстановки
Метод интегрирования с помощью этой таблицы и свойств
неопределенных
интегралов
обычно
называют
методом
«непосредственного» интегрирования.
Одним из самых сильных методов интегрирования является
метод
подстановки.
В его основе лежит легко проверяемая формула:
C
x
G
C
t
G
dt
t
g
x
x
g
))
(
(
)
(
)
(
(x)dx
dt
(x)
t
)
(
))
(
(
Эту формулу надо применять тогда, когда первообразная для g(t)
известна или легко находится.
Практическая часть:
1. Найдите неопределенные интегралы.
а)
3)dx
x
(2x
3
5
Решение:
.
C
x
3
x
4
3
3
x
C
x
3
1
3
1
x
1
5
x
2
dx
3
dx
x
dx
x
2
3)dx
x
(2x
3
4
6
1
3
1
1
5
3
1
5
3
5
Ответ:
.
C
x
3
4
x
x
3
3
x
3)dx
x
(2x
3
6
3
5
b)
dx
x
x
ln
6
Решение:
Применим замену переменной.