ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.06.2021
Просмотров: 2488
Скачиваний: 1
2)
L – параболас осью симметрии Оу и проходящая через точки О и А;
3)
L – парабола, проходящаячерез О и А с осью симметрии Ох;
4)
L –ломанная ОВА;
5)
L – ломанная ОСА;
4.
Вычислить:
Где
линия
L
–
задана
уравнениями
5.
Даны функции
и точки
А(3,6), В(3,0), С(0,6). Вычислить криволинейный интеграл
Где:
1)
L – отрезок ОА;
2)
L – ломанная ОВА;
3)
L – ломанная ОСА;
4)
L – парабола, симметрическая
относительно оси Оу и проходящая
через точки О и А;
5)
Проверить выполнение условия Грина.
Отреок ОА может быть записан в виде
и
1)
Используем свойство аддитивности, вычисляя отдельно интеграл по
отрезкам ОВ и ВА. Тогда:
А)ОВ: здесь
откуда:
b) BA:
и
Таким образом:
2)
Этот интеграл вычислим аналогично предыдущемую
А) ОС:
т.е. dx=0),
откуда
Б) СА:
Окончательно
3)
Подставив координаты точки А(3;6) в равенство
найдем
уравнение данной параболы
. При этом
Имеем:
Т.е. условие Грина не выполняется. Этот факт, а также вычисления в
пунктах 1)-4) этой задачи показывают, что данный криволинейный интеграл
второго рода зависит от пути интегрирования.
Задания для самосоятельного решения:
1.
Вычислить:
2.
Вычислить:
Криволинейные интегралы первого рода.
Связь между различными интегралами
1. Криволинейный интеграл первого рода.
2. Формула Грина.
3. Интегрирование полного дифференциала.
Теоретическая часть:
Криволинейный интеграл первого рода.
Пусть К – некоторая кусочно-гладкая плоская кривая:
2
2
,
,
,
dy
dx
dS
t
t
y
y
t
x
x
- дифференциал дуги;
.
0
2
2
y
x
dS
dt
Если f(x,y) – непрерывна на К, то под её криволинейным интегралом
первого рода понимается интеграл вида:
K
dt
y
x
t
y
t
x
f
dS
y
x
f
.
,
,
2
2
Если кривая К задана y = y(x),
,
,
b
a
x
то
K
b
a
dx
x
y
x
y
x
f
dS
y
x
f
.
1
,
,
2
Допустим, что К имеет массу. Пусть ∆S – некоторая дуга кривой К,
содержащая точку М, а ∆m – масса этой дуги. Тогда отношение
S
m
-
средняя плотность ∆S, а
S
m
M
M
S
lim
- линейная плотность дуги в (∙)М.
Если μ = f(x,y) – рассматривать как линейную плотность дуги в
текущей точке М(х,у), то dm = μdS – есть масса элементарной дуги ∆S и
интеграл
m
K
dS
-масса линии – физический смысл криволинейного
интеграла I-го рода.
Свойства криволинейного интеграла I-го рода.
1)
K
K
2)
2
1
1
2
2
1
K
K
K
K
K
K
K
.
Формула Грина.
D
dy
y
x
Q
dx
y
x
P
dxdy
y
P
x
Q
;
;
,
P,Q – непрерывны вместе со своими частными производными.
Теорема:
Криволинейный интеграл по дуге АВ не зависит от пути
интегрирования
интеграл по любому замкнутому контуру, проходящему
через (∙) А и В был равен 0.
Теорема:
Пусть в области Д – односвязной заданы две функции P(x;y),
Q(x;y) – непрерывны
x
Q
y
P
- непрерывны в области D
следующие
три утверждения эквивалентны:
1)
Д
dy
y
x
Q
dx
y
x
P
,
0
;
;
2)
:
;
;
;
y
x
dF
dy
y
x
Q
dx
y
x
P
y
x
F
;
опред. в D:
dy
y
x
Q
dx
y
x
P
dF
;
;
3)
.
y
P
x
Q
Восстановление функции по её дифференциалу:
?
,
,
,
,
,
y
x
F
x
Q
y
P
y
x
dF
dy
y
x
Q
dx
y
x
P
y
x
B
y
x
A
Qdy
Pdx
y
x
F
,
,
0
0
.
,
Таблица
1. Криволинейный интеграл 1-го рода.
f(x,y)ds
2. Сведение К1. к определённому:
1)
)
(
x
f
y
b
x
a
a
b
dx
x
f
x
f
x
f
f(x,y)ds
)
(
1
))
(
,
(
2
2)
)
(
),
(
t
y
y
t
x
x
t
dt
y
t
x
t
y
t
x
f
f(x,y)ds
2
2
)
(
))
(
),
(
(
3. Криволинейный интеграл 2-го рода.
dy
y
x
Q
dx
y
x
P
l
)
,
(
)
,
(
4. Сведение К-2 к определённому:
1)
)
(
x
f
y
,
x
dx
x
f
x
f
x
Q
x
f
x
P
dy
y
x
Q
dx
y
x
P
l
)
(
))
(
,
(
))
(
,
(
)
,
(
)
,
(
2)
)
(
),
(
t
y
y
t
x
x
,
t
dx
t
y
t
y
t
x
Q
t
x
t
y
t
x
P
dy
y
x
Q
dx
y
x
P
)
(
))
(
),
(
(
)
(
))
(
),
(
(
)
,
(
)
,
(
5. Сведение К-2 к К-1:
ds
y
x
Sin
y
x
Q
y
x
Cos
y
x
P
dy
y
x
Q
dx
y
x
P
l
l
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
где
)
,
(
y
x
-
угол между направляющей касательной к
)
(
v
и
положительным направлением OX.
6. Формула Грина
dxdy
y
P
x
Q
dy
y
x
Q
dx
y
x
P
D
D
)
,
(
)
,
(
Практическая часть:
1. Вычислить криволинейный интеграл
Где L – контур треугольника АВО с вершинами А(1,0), В(0,1), О(0,0)
(рис. 43).
Поскольку
То остается вычислить криволинейный интеграл по каждому из
отрезков АВ, ВО и ОА:
1)
(АВ): так как уравнение прямой АВ
имеет вид
Отсюда, учитывая, что х
меняется от 0 до 1, получим: