ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.06.2021
Просмотров: 2499
Скачиваний: 1
2)
(ВО): рассуждая аналогично, находим
3)
(OA):
.
4)
Окончательно:
2
. Вычислить криволинейный интеграл
Где L – окружность х
2
+у
2
=ах (а>0).
Введем
полярные
координаты
.
Тогда,
поскольку
х
2
+у
2
=r
2
,
уравнение
окружности
примет
вид
а дифферинциал дуги
При этом
Следовательно,
3.
Вычислить криволинейный интеграл первого рода от функции с
тремя переменными
Где
L
–
дуга
кривой,
заданной
параметрически
.
Перейдем в подынтегральном выражении к переменной t. Имеем для
подынтегральной функции:
Теперь выразим через
t
дифферинциал
dl
:
Таким образом:
4.
Показать, что интеграл
Не зависит от пути интегрирования, соединяющего точки (0,0) и
(10,10), и вычислить его.
Проверим условие Грина. Положим
Тогда
И значит, данный интеграл действительно не зависит от пути
интегрирования. Для вычисления данного интеграла в качестве пути
интегрирования возьмем простейший, т.е. отрезок, соединяющий точки О
(0,0) и В (10,10). Отрезок ОВ можно задать так:
При этом
dy=dx, и интеграл легко сводится к определенному интегралу:
5
. Проверить, является ли выражение
Полным дифферинциалом некоторой функции U(x,y) и если да, то
найти эту функцию.
Обозначим
Тогда
Таим образом, условие Грина
имеет место при
Следовательно, данное выражение есть
полный дифферинциал некоторой функции
U(x,y)
, которая может быть найдена как
криволинейный интеграл
Где
(x
0
,y
0
) –
произвольная фиксированная точка плоскости
Оху
, не
лежащаяна оси
Ох
(так как
). П оложим
(x
0
,y
0
)=(0,1)
, а в качестве пути
интегрирования выберем путь
L=ABC
, изображенный на рис. 47. Тогда
сокращенно можно написать:
Имеем:
1)
(АВ):
2)
(BC):
х
– фиксировано, следовательно,
dx=0,
откуда
3)
Таким образом,
Проверка показывает, что действительно,
Задания для самосоятельного решения:
1
. Вычислить
2.
Вычислить
3.
Вычислить
4.
Проверить, что данный криволинейный интеграл не зависит от пути
интегрирования и вычислить его:
5.
Найти функции по данным полным дифферинциалам:
,
Положительные числовые ряды, признаки их сходимости
1. Числовые ряды, общий член ряда.
2. Положительные числовые ряды, достаточные признаки
сходимости положительных рядов.
Теоретическая часть:
1. Числовые ряды. Основные понятия
Определение:
пусть имеем {а
n
}- действительные числа
∞
Тогда выражение вида а
1
+а
2
+а
3
+….а
n
+…. – числовой ряд ∑ а
n
n=1
а
1
, а
2
, а
3
,…., а
n,
…. – члены ряда; а
n
- общий член ряда.
S
1
= a
1
; S
2
= a
1
+a
2
; S
3
= a
1
+a
2
+a
3
; S
n
= a
1
+a
2
+....+a
n
= S
n-1
+ а
n .
Каждый ряд порождает последовательность частичных сумм.
Определение:
S = limS
n
(конечный или бесконечный ) называется
суммой ряда.
Определение:
если S (-∞;+∞) , то ∑ а
n
- сходящийся; в противном
случае расходящийся.
Свойства сходящихся числовых рядов
Определение:
ряд, членами которого являются члены ряда (*)
а
1
+а
2
+а
3
+…+a
n
+ ... a
n+k
...+... , начиная с (n+1), взятые в том же порядке, что и
в (*), называются n-ным остатком ряда (*). Обозначается R
n
.
∞
Теорема 1: ∑
a
n
– сходится =>R
n
– сходится, Ұ n.
n=1
∞
Теорема 2:
R
n
– сходящийся =>∑a
n
– cходится
n=1
∞ ∞
Теорема 3:
∑a
n
- сходится и ∑b
n
–сходится тогда:
∞
n=1 n=1
∑( αa
n
+ βb
n
) –сходится
n=1
∞
Теорема 4:
∑a
n
- сходится => lim R
n
= 0.
n=1
Теорема 5:
∑a
n
- сходится => lim (S
n
– S
n-1
) = 0 <=> lim a
n
= 0.
Ряды с положительными членами
Рассмотрим достаточные признаки сходимости положительных рядов:
Теорема 1:
∑a
n
: а
n
≥0 и ∑b
n
: b
n
≥0; все a
n
≤ b
n
=> имеем: если
1). ∑b
n
- сходится => ∑а
n
- сходится.
2). ∑а
n
- расходится => ∑b
n
- расходится.
Теорема 2:
Предельная теорема сравнений.
∑а
n
и а
n
≥0
И lim(a
n
/b
n
) = k =>
∑b
n
и b
n
≥0;
=>k (0;+∞) и ∑а
n
- сходится => ∑b
n
- сходится
k (0;+∞) и ∑b
n
- paсходится ∑а
n
- paсходится
То есть если k (0;+∞), то оба ряда ведут себя одинаково.
Таблица сходящихся и расходящихся положительных рядов.
Сходящиеся ряды
Расходящиеся ряды