ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.06.2021
Просмотров: 2484
Скачиваний: 1
у=х
2
-2
1,5х+1,5
2
-1,5
2
+5,
или
у=(х-1,5)
2
+2,75;
у-2,75=(х-1,5)
2
.
Следовательно, вершина параболы лежит в точке (1,5; 2,75)
3
2
1
0
1
2
3
1
2
3
4
5
6
2. Составить уравнения касательной и нормали к гиперболе
1
8
y
9
x
2
2
,
проведенной в точке М(-9;-8).
Решение
Уравнение касательной к кривой y=f(x) в точке M(x
0
;y
0
) имеет вид
y-y
0
=f
(x
0
)
(x-x
0
).
Уравнение касательной к кривой y=f(x) в точке M(x
0
;y
0
) имеет вид
y-y
0
=
)
x
(
'
f
1
0
(x-x
0
).
Найдем
f
(x
0
),
используя
производную
неявной
функции.
Дифференцируем равенство для функции по х.
.
y
9
x
8
)
x
(
'
f
'
y
,
9
x
8
'
y
y
,
0
8
'
y
y
2
9
x
2
Подставляя координаты точки
М, получим
.
1
)
8
(
9
)
9
(
8
)
9
(
'
f
)
x
(
'
f
0
Следовательно
у+8=1
(х+9), или у=х+1–уравнение касательной;
у+8=-1
(х+9), или у=-х-17–уравнение нормали.
Сделаем чертеж, учитывая, что полуоси гиперболы а=3,
.
8
,
2
8
b
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
Ответ: у=х+1–уравнение касательной;
х
у
М
М
х
у
у=-х-17–уравнение нормали.
3. Найти производные данных функций в произвольной точке:
а)
x
x
y
5
sin
1
cos
1
2
Воспользуемся правилами и формулами нахождения производной:
- производная частного 2-х функций
2
)
(
v
v
u
v
u
v
u
- производная сложной функции
)
(
))
(
(
)
))
(
(
(
x
u
x
u
f
x
u
f
-формулами
1
)
(
sin
)
(cos
cos
)
(sin
n
n
x
n
x
x
x
x
x
2
2
2
2
2
2
5
sin
1
5
cos
5
cos
1
5
sin
1
sin
cos
2
5
sin
1
5
sin
1
cos
1
5
sin
1
cos
1
)
5
sin
1
cos
1
(
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
б)
x
arctg
x
x
y
3
2
arcsin
Воспользуемся правилами и формулам нахождения производной:
- производная сложной функции
)
(
))
(
(
)
))
(
(
(
x
u
x
u
f
x
u
f
- производная суммы 2-х функций
v
u
v
u
- производная произведения 2-х функций
v
u
v
u
v
u
- формулами
2
2
1
1
1
1
arcsin
x
arctgx
x
x
2
2
9
1
3
4
1
2
2
arcsin
3
2
arcsin
2
arcsin
3
2
arcsin
x
x
x
x
x
arctg
x
x
x
x
x
arctg
x
x
в)
x
tg
x
y
x
2
5
3
2
sin
Воспользуемся правилами и формулам нахождения производной:
- производная сложной функции
)
(
))
(
(
)
))
(
(
(
x
u
x
u
f
x
u
f
-производная суммы 2-х функций
v
u
v
u
- производная произведения 2-х функций
v
u
v
u
v
u
- формулами
a
а
а
х
x
ln
)
(
;
x
tgx
2
cos
1
;
x
x
cos
sin
;
1
x
x
x
x
x
x
tg
x
x
tg
x
у
x
x
2
cos
2
3
2
2
cos
2
5
ln
5
2
5
2
3
3
2
2
sin
3
2
sin
;
Решите самостоятельно:
а)
5
4
2
cos
3
x
e
x
х
у
б)
x
e
x
x
y
cos
arcsin
в)
3
2
4
ln
2
x
x
y
г)
4
2
x
arctg
y
д)
1
2
5
sin
3
4
x
x
x
y
е)
3
5
3
2
x
x
y
Задания для самосоятельного решения:
1. Составить уравнения касательной и нормали к
астроиде
t
sin
2
y
;
t
cos
2
x
3
3
, проведенной в точке, для которой t=
/4.
2) Найти производную функции
а)
2
2
5
2
5
1
х
х
у
б)
)
1
(
ln
4
2
4
x
x
y
в)
x
tg
x
y
x
3
3
2
Дифференцирование сложной, обратной,
показательно-степенной функции
1.Дифференцирование сложной функции.
2. Дифференцирование обратной функции.
2. Логарифмическая производная.
Теоретическая часть:
Пусть переменная
у
есть функция от переменной
u(y=f(u)),
а переменная
u
в свою очередь есть функция от независимой переменной
х: u=z(x)
. Тогда
у
называется функцией от функции или сложной функцией
y=f(z(x)).
Производная сложной функции
y=f(z(x))
находится по правилу:
'
'
'
x
z
z
f
y
.
1)
1
/
k
k
x
k
x
2)
x
x
2
1
/
3)
x
x
1
ln
/
4)
a
a
a
x
x
ln
/
5)
x
x
e
e
/
6)
x
x
cos
sin
/
7)
x
x
sin
cos
/
8)
x
tgx
2
/
cos
1
9)
x
ctgx
2
/
sin
1
10)
2
/
1
1
arcsin
x
x
11)
2
/
1
1
arccos
x
x
12)
2
/
1
1
x
arctgx
13)
2
/
1
1
x
arcctgx
14)
a
x
x
a
ln
1
log
/
Практическая часть:
1. Найти производные
dx
dy
функций, заданных в явном виде.
а)
.
x
2
x
3
x
7
x
2
y
5
2
3
Предварительно
запишем
функцию
в
виде,
удобном
для
дифференцирования
у=2x
3/2
-7x
-1
+3x
2
-2x
-5
, тогда у
=3x
1/2
+7x
-2
+6х+10x
-6
=
=
.
x
10
х
6
x
7
x
3
6
2
.
Ответ:
.
x
10
х
6
x
7
x
3
'
у
6
2
б) у=e
-x
tg(7x
6
).
y
=( e
-x
)
tg(7x
6
)+ e
-x
( tg(7x
6
))
=
=
)'
x
7
(
)
x
7
(
cos
1
e
)
x
7
(
tg
)'
x
(
e
6
6
2
x
6
x
.
)
x
7
(
cos
e
x
42
)
x
7
(
tg
e
6
2
x
5
6
x
Ответ:
.
)
x
7
(
cos
e
x
42
)
x
7
(
tg
e
'
y
6
2
x
5
6
x
в) y=arctg
2
(5x)
ln(x-4).
y
=(arctg
2
(5x))
ln(x-4)+ arctg
2
(5x)
( ln(x-4))
=
=2arctg(5x)
( arctg(5x))
ln(x-4)+arctg
2
(5x)
4
х
1
(x-4)
=
4
x
)
x
5
(
arctg
)
4
x
ln(
)'
x
5
(
)
x
5
(
1
1
)
x
5
(
arctg
2
2
2
.
4
x
)
x
5
(
arctg
x
25
1
)
4
x
ln(
)
x
5
(
arctg
10
2
2
Ответ:
.
4
x
)
x
5
(
arctg
x
25
1
)
4
x
ln(
)
x
5
(
arctg
10
'
y
2
2
г)
x
tg
x
cos
x
tgx
)
4
x
(
5
3
x
tg
)'
tgx
(
x
tgx
)'
x
(
)
4
x
(
5
3
'
y
.
tgx
x
)
4
x
(
tgx
x
)
4
x
(
y
2
2
5
/
2
2
1
5
3
5
3
5
3
.
x
sin
x
x
cos
x
sin
)
4
x
(
5
3
x
cos
x
tg
x
x
cos
tgx
)
4
x
(
5
3
2
5
2
2
2
2
5
2
Ответ:
.
x
sin
x
x
cos
x
sin
)
4
x
(
5
3
'
y
2
5
2
д)
)).
e
x
(
(cos
sin
y
x
3
2
3
))'
e
x
(
(sin(cos
))
e
x
(
(cos
sin
3
'
y
x
3
2
x
3
2
2
)'
e
x
(
))
e
x
sin(
(
)
e
x
cos(
))
e
x
(
cos(cos
))
e
x
(
(cos
sin
6
))'
e
x
(cos(
)
e
x
cos(
2
))
e
x
(
cos(cos
))
e
x
(
(cos
sin
3
))'
e
x
(
(cos
))
e
x
(
cos(cos
))
e
x
(
(cos
sin
3
x
3
x
3
x
3
x
3
2
x
3
2
2
x
3
x
3
x
3
2
x
3
2
2
x
3
2
x
3
2
x
3
2
2
).
3
xe
e
(
)
e
x
sin(
)
e
x
cos(
))
e
x
(
cos(cos
))
e
x
(
(cos
sin
6
x
3
x
3
x
3
x
3
x
3
2
x
3
2
2
Ответ:
).
1
x
3
(
e
)
e
x
sin(
)
e
x
cos(
))
e
x
(
cos(cos
))
e
x
(
(cos
sin
6
'
y
x
3
x
3
x
3
x
3
2
x
3
2
2
Применим метод логарифмического дифференцирования.
Прологарифмируем обе части.
lny=cosx
ln(tgx).
Продифференцируем обе части по х