Файл: Методические указания к выполнению контрольной работы 3 для студентов зф и идо.doc

.

Таким образом, при движении частицы-волны в ограниченной области пространства уравнение Шредингера имеет решение лишь для определенных (квантовых) значений полной энергии. Они называются собственными значениями, а соответствующие им –функции – собственными функциями:

.

Вероятность и плотность вероятности обнаружить частицу в бесконечно малой области одномерного пространства внутри ямы, следовательно, равны

, .

Г

Рис 3.2. Плотность веро-ятности нахождения

частицы в яме
рафики зависимости плотности вероятности от координаты для различных значений квантового числа показаны на рис. 3.2.

Задача. Собственные функции, описывающие состояние частицы, находящейся в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме, имеют вид . Используя условие нормировки, определите постоянную .

Рис. 3.2.

Плотность вероятности нахождения частицы в яме
Решение. Поскольку частица, согласно условию задачи, находится в некотором месте пространства, то вероятность обнаружить ее в диапазоне значений координаты равна единице

.

Область интегрирования можно ограничить диапазоном , так как вне этого диапазона -функция равна нулю

, .

Отсюда следует

;

---

; .

Ответ. .

Тема 4. ТЕПЛОВЫЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Молекулы, из которых состоят твердые тела, сильно связаны друг с другом и занимают положения, соответствующие минимуму энергии их взаимодействия. Основной формой движения этих частиц являются колебания около положения равновесия. Амплитуда колебаний составляет незначительную часть расстояния между молекулами ( 0,05 ).

Согласно классическим представлениям кристалл, состоящий из N атомов или молекул, которые рассматриваются как материальные точки, является системой с 3N колебательными степенями свободы. На каждую из них приходится в среднем энергия ( в виде кинетической и в виде потенциальной энергии), где – постоянная Больцмана, – абсолютная температура. Из этих представлений вытекает закон Дюлонга – Пти, который утверждает, что молярная теплоемкость всех кристаллов одинакова и равна , где – универсальная газовая постоянная. Этот закон, как показывает опыт, хорошо выполняется для многих химически простых тел в кристаллическом состоянии при высоких температурах. При понижении температуры теплоемкость убывает, стремясь к нулю при приближении абсолютной температуры кристалла к 0К. При этом вблизи нуля теплоемкость изменяется пропорционально .

С точки зрения квантовой механики атомы химически простого твердого тела при колебаниях с малой амплитудой являются гармоническими квантовыми осцилляторами. Энергия такого осциллятора может принимать только дискретный набор значений

---

, где квантовое число , причем изменение квантового числа на единицу приводит к изменению энергии осциллятора на одинаковую величину, равную . Величина соответствует наименьшей, так называемой нулевой энергии колебаний .

Теория теплоемкости кристаллических тел, учитывающая квантование колебательной энергии, была создана Эйнштейном и впоследствии усовершенствована Дебаем. Теория Эйнштейна дает лишь качественно верный ход зависимости теплоемкости от температуры вблизи 0К. Теория Дебая дает количественное соответствие опытным данным.

В отличие от Эйнштейна Дебай учел, что колебания атомов кристалла не являются независимыми. Смещение одного атома от положения равновесия приводит к смещению соседних с ним атомов. В результате в кристалле возникает бегущая волна. Дойдя до границ, волна отражается и начинает распространяться навстречу падающей волне. При сложении этих волн образуются стоячие волны. Из теории стоячих волн известно, что длина бегущих волн , за счет сложения которых образуются стоячие волны, может иметь только дискретный набор значений, которые связаны с размерами кристалла в направлении распространения волны формулой

,

где – номер гармоники.

Каждая стоячая волна, с точки зрения квантовой механики, представляет собой квантовый гармонический осциллятор и обычно называется модой. Энергия моды с частотой складывается из порций, равных . Эта порция (квант) энергии упругих колебаний среды называется фононом

---

. Важно отметить, что в среде, состоящей из дискретных атомов, расположенных на расстоянии , длина волны не может быть меньше чем . Это означает, что циклическая частота упругих звуковых колебаний, возбуждаемых при распространении волн по кристаллу, не может быть больше чем

, (4.1)

где – скорость звуковых волн в кристалле (в теории Дебая считается одинаковой для всех длин волн).

В упругой среде вдоль некоторого направления могут одновременно распространяться три разные независимые волны с одинаковыми циклическими частотами . Эти волны отличаются поляризацией: одна - продольная и две поперечные волны, поляризованные во взаимно перпендикулярных направлениях. Учитывая это, можно найти число различных мод, приходящихся на единицу объема кристалла, частоты которых лежат в диапазоне от до :

.

Максимальную частоту колебаний находят, приравнивая полное число фононов к числу степеней свободы в единице объема ( – число атомов в единице объема):
.

Отсюда

. (4.2)
Используя формулу (4.2), можно получить
.

Теперь можно вычислить внутреннюю энергию тепловых колебаний единицы объема кристалла

---

,

где средняя энергия колебаний квантового осциллятора (моды) , без учета нулевой энергии колебаний, как доказывается статистической физикой, равна

,

где – постоянная Больцмана.

Тогда удельная теплоемкость кристалла при постоянном объеме получается

.
Введем характеристическую температуру Дебая :

. (4.3)

Кроме того, введем переменную .

Тогда формула для удельной теплоемкости примет вид

.

При (область низких температур) верхний предел в последнем интеграле можно заменить на . Если, кроме того, учесть, что между удельной и молярной теплоемкостью существует связь

,

где – молярная масса, то для молярной теплоемкости кристалла при постоянном объеме можно получить

.

Для высоких температур , раскладывая экспоненту в ряд по малому параметру и ограничиваясь двумя членами ряда, для молярной теплоемкости получим закон Дюлонга-Пти:

.
Задача. Определите приближенно скорость звука в алмазе, зная, что дебаевская температура алмаза равна 1860К и расстояние между атомами

---