Файл: Методические указания к выполнению контрольной работы 3 для студентов зф и идо.doc

, а = (310) эВ, поэтому тепловому возбуждению подвергается лишь незначительная доля (менее 1 ) общего числа электронов в валентной зоне металла, энергия которых отличается от не более чем на величину (рис. 5.4,б). Функция распределения при этом размывается, но незначительно. Следовательно, концентрация свободных электронов в металле практически не зависит от температуры и с хорошей точностью определяется выражением (5.3).

Заметим, что вероятность заполнения уровня при равна .

Задача. Концентрация свободных электронов в металле равна . Найдите среднее значение энергии свободных электронов при абсолютном нуле.

Дано:







Решение. Среднюю энергию найдем как отношение полной энергии свободных электронов в единице объема к концентрации свободных электронов

. (5.7)

При все энергетические уровни вплоть до заняты электронами. С учетом выражений (5.1), (5.2), (5.4) найдем
. (5.8)

Подставляя (5.8) в (5.7) и учитывая формулы (5.5), (5.6), находим

---

.

Проверяем единицу измерения

.

Вычислим

.
Результат показывает, что с точки зрения квантовой теории электронный газ в металле при абсолютном нуле имеет энергию, которая соответствует температуре, в ее классическом понимании по порядку величины равной,

.

4. Рассмотрим элементы теории электропроводности собственных и примесных полупроводников.

Выше говорилось, что полупроводники при температуре являются диэлектриками. Они имеют небольшую ширину запрещенной зоны, поэтому уже при температурах, близких к комнатной, вследствие теплового возбуждения происходит переход части электронов с «потолка» валентной зоны на «дно» зоны проводимости. При этом проводимость полупроводника обусловливается как этими электронами (электронная составляющая проводимости), так и появившимися в валентной зоне вакансиями – «дырками» (дырочная составляющая проводимости). Электроны, перешедшие в валентную зону и дырки, расположенные в валентной зоне, могут перемещаться под действием приложенного к полупроводнику внешнего электрического поля, то есть являются свободными носителями заряда. Процесс образования (генерации) электронно-дырочных пар при постоянной температуре полупроводника уравновешен обратным процессом рекомбинации свободных электронов и дырок. Описанный процесс, при котором концентрации электронов проводимости и дырок одинаковы , характерен для собственных полупроводников. Удельная электропроводность (величина, обратная удельному сопротивлению вещества ) для этих полупроводников определяется выражением

(5.9)

где

---

– подвижность электронов и дырок, которая характеризует среднюю дрейфовую скорость носителей тока под действием электрического поля единичной напряженности ( ).

Уровень энергии Ферми в собственных полупроводниках расположен вблизи середины запрещенной зоны (рис. 5.4,а).



Рис. 5.4. Расположение уровня энергии Ферми и примесных уровней

в полупроводниках при температуре Т = 0 К:

а – собственный; б – донорный; в - акцепторный
Электропроводность собственных полупроводников увеличивается с ростом температуры и зависит от ширины запрещенной зоны :

, (5.10)

где – постоянная Больцмана.

Электропроводность примесных полупроводников обусловлена наличием в них примесных атомов, валентность которых больше (донорная примесь), или меньше (акцепторная примесь), чем у собственных атомов. Введение в собственный полупроводник примеси приводит к появлению в запрещенной зоне собственного полупроводника примесных уровней энергии. Для донорных полупроводников примесный уровень расположен вблизи дна зоны проводимости, а для акцепторных – вблизи потолка валентной зоны (рис. 5.4, б, в). Поскольку энергия активации примесей и много меньше ширины запрещенной зоны, то уже при низких температурах (десятки кельвинов) в примесных полупроводниках появляются носители тока: электроны – в донорных, дырки – в акцепторных. При этом удельная электропроводность для полупроводников n – типа (донорного) и p – типа (акцепторного) определяется соответственно

и .

Тип носителей тока и их концентрацию можно определить экспериментально с помощью эффекта Холла по знаку и величине постоянной Холла

---

.

Для полупроводника n-типа, у которого основными носителями тока являются электроны,

;

для полупроводника р – типа, у которого основными носителями тока являются дырки,
;

для собственного (n = p)

,

где ; n, p – концентрация электронов и дырок соответственно; – коэффициент, зависящий от механизма рассеяния носителей тока. В случае рассеяния носителей тока на тепловых колебаниях кристаллической решетки полупроводника, что обычно наблюдается при температурах близких и выше комнатной, . Для металлов и вырожденных полупроводников =1.

Дополнительные носители тока в полупроводниках могут возникать за счет поглощения света (фотонов). При этом, кроме удельной электропроводности, обусловленной тепловым возбуждением, появляется проводимость, обусловленная внутренним фотоэффектом,
.

В случае собственного полупроводника фотопроводимость
,

где – число пар электрон – дырка, возникших при поглощении квантов
света.

Задача. Во сколько раз возрастет электропроводность образца кремния при нагревании его от температуры до температуры ? Ширина запрещенной зоны для кремния .

Дано: ,

,





– ?
Решение. Зависимость электропроводности собственных полупроводников от температуры определяется формулой
.

Вычисляя с помощью этой формулы отношение электропроводностей при заданных температурах, получаем
.
Ответ. Электропроводность увеличится в 2,2 раза.
Тема 7.

---

ЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ. РАДИОАКТИВНОСТЬ
Радиоактивностью называют самопроизвольное превращение одних атомных ядер в другие, сопровождаемое испусканием элементарных частиц.

Отдельные радиоактивные ядра претерпевают превращение независимо друг от друга. Поэтому можно считать, что количество ядер , распадающихся за очень короткий промежуток времени , пропорционально как числу имеющихся нераспавшихся ядер , так и этому промежутку времени
, (7.1)

где – характерная для каждого радиоактивного вещества константа, называемая постоянной распада. Из формулы (7.1), переходя к одной переменной – количеству ядер, оставшихся нераспавшимися к моменту времени , и интегрируя, получаем закон радиоактивного распада, верный для любых, а не только малых, промежутков времени
, (7.2)
где – количество ядер в первоначальный момент времени.

Время, за которое распадается половина первоначального количества ядер, называется периодом полураспада . Между этим временем и постоянной распада существует следующая связь:

. (7.3)

Активностью радиоактивного вещества называется величина, равная отношению числа распадов за малое время

---