Файл: Казанский государственный университет.pdf

( ) 0
w t
≡
при
, можно получить
0
t
<
{
}
0
(
)
( )
( )
j t
W j
F w t
w t e
dt
ω
ω
∞
−
=
=
∫
Следовательно, амплитудно-фазовая частотная характеристика системы является спектральной характеристикой импульсной переходной функции.
Справедлива также формула обратного преобразования Фурье
(
)
1
( )
(
)
0 2
j t
w t
W j
e d
t
ω
ω
ω
π
∞
−∞
=
>
∫
Принимая во внимание последние соотношения и свойство преобразования Фурье о масштабировании, можно указать еще одно соответствие между импульсной переходной функцией и амплитудно- фазовой частотной характеристикой
( )
w t
(
)
W j
ω
:
0
(
)
j t
t
aW aj
w
e
dt
a
ω
ω
∞
−
⎛ ⎞
=
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫
, где – положительная постоянная, не зависящая от
t
и
a
ω
Отсюда следует, что если функцию растягивать (сжимать) вдоль оси времени , то соответствующая АФЧХ системы будет сжиматься
(растягиваться) вдоль оси частот
( )
w t
t
ω
Реакцию системы на воздействие в виде единичной ступенчатой функции
, как указывалось выше, принято называть переходной
функцией системы
( )
y t
1( )
t
( )
h t
Спектральную характеристику переходной функции можно выразить следующим образом (учитывая, что
( ) 0
h t
≡
при
0
t
<
):
{
}
( ) {
}
F y( t )
W j
F u( t )
ω
=
,
{
}
( ) { }
1
F h( t )
W j
F ( t )
ω
=
,
{
}
( )
1
F h( t )
W j
( )
j
ω
πδ ω
ω
⎡
⎤
=
+
⎢
⎥
⎣
⎦
1
или
( )
0 1
j t
W j
( )
h( t )e
dt
j
ω
ω
πδ ω
ω
∞
−
⎡
⎤
+
=
⎢
⎥
⎣
⎦
∫
Переходная функция является временной характеристикой системы; она может быть определена с помощью обратного преобразования Фурье:
( )
( )
(
)
1 1
0 2
j t
h t
W j
( ) e d
t
j
ω
ω
πδ ω
ω
π
ω
∞
−∞
⎡
⎤
=
+
⎢
⎥
⎣
⎦
∫
>
1
Из-за дельта-функции в правой части равенства, переходная функция (так же как и единичная ступенчатая функция) преобразуема по Фурье лишь условно.
111

Из свойства преобразования Фурье известно, что умножению спектральной характеристики на
j
ω
соответствует операция дифференцирования во временной области, поэтому
[
]
1
( )
(
) 1
( )
2 1
(
)
( ) (
)
2 2
j t
j t
j t
d
h t
W j
j
e d
dt
j
W j
e d
W j
e d
ω
ω
ω
ω
π ωδ ω
ω
π
ω
ω
ωδ ω
ω
π
∞
−∞
∞
∞
−∞
−∞
=
+
=
=
+
∫
∫
∫
ω
Используя фильтрующее свойство дельта-функции, получим при
( )
W j
ω
≠ ∞ , что второе слагаемое равно нулю, следовательно
1
( )
(
)
2
j t
d
h t
W j
e d
dt
ω
ω
ω
π
∞
−∞
=
∫
Сравнивая полученное соотношение с соотношением для импульсной переходной функции, получим равенство
( )
( )
d
w t
h t
dt
=
, т.е. импульсная переходная функция является производной по времени от переходной функции.

Используя
L
-преобразование, можно каждой преобразуемой по Лапласу функции поставить в соответствие другую функцию
( )
F s комплексной переменной
s
. При этом функцию
( )
f t принято называть функцией-
оригиналом, или просто оригиналом, а функцию ( )
F s называется функцией-
изображением, или просто изображением. Преобразование Лапласа позволяет использовать ряд его весьма удобных для практики свойств.
Например, дифференцированию оригинала
( )
f t по переменной соответствует операция умножения изображения
t
( )
F s на комплексную переменную
s
, а интегрированию оригинала
( )
f t по переменной соответствует операция деления изображения
t
( )
F s на переменную . Таким образом, операции дифференцирования и интегрирования оригинала заменяются в пространстве изображений более простыми алгебраическими операциями умножения и деления на
p
s
. Это позволяет дифференциальное уравнение системы заменить в пространстве изображений на алгебраическое уравнение относительно изображений. Решив это алгебраическое уравнение относительно изображения ( )
F s , мы можем получить изображение решения исходного дифференциального уравнения. Для определения самого решения можно воспользоваться обратным преобразованием Лапласа
{
}
1 1
( )
( )
( )
,
0 2
c j
st
c j
f t
L
F s
F s e ds
t
j
π
+ ∞
−
− ∞
=
=
∫
>
, где
Re
c
s
=
Таким образом, метод решения дифференциального уравнения с помощью операционного исчисления сводится к схеме, представленной на рис. 3.4.1
Рис. 3.4.1. Обобщенная схема решения задач с помощью преобразования Лапласа
113

Следует отметить, что во многих случаях при нахождении решения ( )
f t можно избежать непосредственного вычисления интеграла обратного преобразования Лапласа, воспользовавшись таблицей соответствий
«оригинал – изображение» и свойствами преобразования Лапласа.
3.4.1. Преобразование Лапласа и его свойства
Как уже отмечалось, сущность преобразования Лапласа заключается в том, что некоторой функции f(t) действительной переменной t ставится в соответствие другая функция F(s) комплексной переменной s при условии, что существует (сходится) интегральное преобразование:
0
(3.4.2)
st
F( s ) L{ f ( t )}
f ( t )e dt
∞
−
=
=
∫
f(t) - называется функцией-оригиналом (или просто оригиналом).
F(s) - называется функцией-изображением (или просто изображением).
Для того, чтобы функция f(t) являлась оригиналом и имела функцию изображения, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
1. функция f(t) непрерывна для всех
, за исключением, возможно, конечного числа точек разрыва I рода,
0
≥
t
2. функция f(t)=0 для всех значений t<0,
3. функция f(t) имеет ограниченный порядок роста, т.е. можно указать такие постоянные числа и
0
>
М
0 0
≥
С
, для которых выполняется условие при t>0.
t
C
Me
t
f
0
)
(
<
Многие функции, встречающиеся при описании процессов в динамических системах, являются оригиналами. Например, оригиналами являются 1(t),
)
(
1
*
sin
t
t
A
ω
, t
n
1(t), и ряд других. Наличие в этих функциях множителя – единичной ступенчатой функции – обеспечивает выполнение второго условия. Физическая интерпретация этого заключается в том, что интересуются некоторым процессом, начиная с некоторого момента времени t
)
0
(
),
(
1
>
α
α
t
e
t
0
. Именно в момент времени t
0
предполагается начало некоторого воздействия на систему. Часто в линейных системах полагают t
0
=0.
Если хотя бы одно из условий 1-3 не выполняется, то функция f(t) не будет являться оригиналом. Таким образом, преобразования (3.4.2) являются преобразованиями Лапласа и условно обозначаются
f ( t )
F( s )
←⎯
⎯
i i
или f ( t ) F( s ).
Существует и обратное преобразование Лапласа, которое позволяет по известной функции – изображению определить соответствующую функцию оригинала:
{
}
∫
∞
+
∞
−
−
=
=
j
C
j
C
st
ds
e
s
F
j
s
F
L
t
f
)
(
2 1
)
(
)
(
1
π
114

Свойства преобразования Лапласа.
Приведём без доказательств краткую сводку свойств преобразования Лапласа. Подробное изложение этих свойств можно увидеть в специальной литературе [13, 15].
Здесь и далее будем полагать, что
, и т.д., а также выполнены все другие условия математического характера. Все приводимые здесь свойства можно доказать, используя преобразование (3.4.2) непосредственно.
1 1
f ( t )
F ( s )
←⎯
⎯
i i
2
f ( t )
F ( s )
←⎯
⎯
i i
2 1. Линейность преобразования
)
(
)
(
1 1
s
F
C
t
f
C
L
i
n
i
i
n
i
i
i
∑
∑
=
=
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
,
, где C
)
(
)
(
1 1
1
t
f
C
s
F
C
L
i
n
i
i
n
i
i
i
∑
∑
=
=
−
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
i
= const.
2. Дифференцирование и интегрирование оригинала
0
d
L
f ( t )
sF( s ) f (
)
dt
⎧
⎫ =
−
+
⎨
⎬
⎩
⎭
, где
)
(
lim
)
(
t
f
0
f
0
t
+
→
=
+
, обобщая –
1 0
n
n
n
i
n i
n
i
d
L
f ( t )
s F( s )
s f
(
)
dt
−
=
⎧
⎫
=
−
+
⎨
⎬
⎩
⎭
∑
, где
– некоторая постоянная величина.
)
(
0
f
-1
+
)
(
)
(
)
(
0
f
s
1
s
F
s
1
t
f
L
1
t
0
+
+
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
∫
и т.д.
3. Смещение в области оригиналов и в области изображений
{
}
as
L f ( t a )
e F( s )
−
−
=
,
{
}
at
L e f ( t )
F( s a )
=
−
4. Изменение масштаба
t
L f
aF( as )
a
⎧
⎫
⎛ ⎞ =
⎨
⎬
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎩
⎭
, а – вещественное положительное число.
5. Умножение в комплексной и действительной областях
1 2
1 2
0
t
L
f (t
)f (t
)d
F( s ) F ( s )
τ
τ τ
⎧
⎫
−
−
=
∗
⎨
⎬
⎩
⎭
∫
,
{
}
1 2
1 2
1 2
C j
C j
L f (t ) f (t )
F( s
)F ( )d
j
ω
ω ω
π
+ ∞
− ∞
⋅
=
−
∫
6. Дифференцирование и интегрирование изображения
{
}
d
L tf ( t )
F( s )
ds
= −
,
0 1
L
f ( t )
F( s )d
t
∞
⎧
⎫ =
⎨
⎬
⎩
⎭
∫
s .
7. Начальное и предельное значения оригинала
0
s
t
lim sF( s )
lim f ( t )
→∞
→+
=
,
0
s
t
lim sF( s )
lim f ( t )
→
→∞
=
8. Преобразование периодической функции-оригинала f(t)
{
}
1
Ts
F( s )
L f ( t ) : периодическая
e
−
= −
−
, где Т – период функции f(t),
– изображение f(t) (
в течение одного периода
).
F(s)
9. Производная по параметру
Пусть
– функция-оригинал, преобразуемая по Лапласу относительно
a)
f(t,
115

переменной t,
– её функция-изображение, a – параметр, не зависящий от t и s.
Справедливы следующие соотношения
a)
F(s,
0 0
t
a a
a a
L { lim f ( t,a )} lim F( s,a )
→
→
=
,
t
L {
f ( t,a )}
F( s,a )
a
a
∂
∂
=
∂
∂
,
0 0
a
a
t
a
a
L { f ( t,a )da }
F( s,a )da
=
∫
∫
Из этих формул следует, что соотношение не нарушится, если в левой и правой его частях выполнять операции предельного перехода, дифференцирования и интегрирования относительно параметра а.
f ( t,a )
F( s,a )
←⎯
⎯
i i
В заключение приведем краткую таблицу соответствий «оригинал – изображение», значительно более подробные таблицы можно найти в справочниках.
1 1( t )
s
←⎯
⎯
i i
,
1
t
e
s
α
α
−
←⎯
⎯
+
i i
,
1
n
n
n!
t
s
+
←⎯
⎯
i i
,
(
)
1
n
t
n
n!
t e
s
α
α
−
+
←⎯
⎯
+
i i
,
2
Sin t
s
2
ω
ω
ω
←⎯
⎯
+
i i
,
2
s
Cos t
s
ω
2
ω
←⎯
⎯
+
i i
,
(
)
2 2
t
e Sin t
s
α
ω
ω
α
ω
−
←⎯
⎯
+
+
i i
,
(
)
2 2
t
s
e Cos t
s
α
α
ω
α
ω
−
+
←⎯
⎯
+
+
i i
,
(
)
2 2
2 2
2
s
t Cos t
s
ω
ω
ω
−
←⎯
⎯
+
i i
,
1 1
as
( t a )
e
s
−
−
←⎯
⎯
i i
,
(
) (
)
2 1
1
as
t a
t a
e
s
−
−
− ←⎯
⎯
i i
Преобразование Лапласа с учетом его свойств и таблица элементарных операций позволяют свести довольно сложные решения дифференциальных уравнений к решению алгебраических уравнений в изображениях.
Пример. Требуется решить дифференциальное уравнение
( ) 5 ( ) 6 ( ) 1
y t
y t
y t
′′
′
+
+
= с начальными условиями
,
(0) 3
y
=
(0)
2
y′
= − .
Пусть
{ }
( )
( )
Y p
L y t
=
, тогда с учетом, что
{ }
1 1( )
L
t
p
= и свойств преобразования
Лапласа, получаем уравнение относительно изображения
:
( )
Y p
(
)
2 1
( )
(0)
(0) 5
( )
(0)
6 ( )
p Y p
py
y
pY p
y
Y p
p
′
−
−
+
−
+
= или
2 1
( ) 5
( ) 6 ( ) 3 13
p Y p
pY p
Y p
p
p
+
+
−
−
= или
(
)
2 1
5 6
( ) 3 13
p
p
Y p
p
p
+
+
=
+ + .
Далее найдем
(
)
2 2
3 13 1
( )
5 6
p
p
Y p
p p
p
+
+
=
+
+
Для нахождения оригинала далее можно применить формулу обратного преобразования Лапласа, которая приведет к вычислению вычетов.
116