Файл: Казанский государственный университет.pdf

Таким образом, для данной электрической системы состояние и выходные сигналы системы описываются уравнениями:
(
)
(
)
1 2
1 2
( )
1 1
( )
( )
c
c
dU t
U t
U t
dt
R
R C
R
R C
= −
+
+
+
,
)
(
)
(
1
t
U
t
Y
c
=
,
2 1
( )
( )
( )
( )
c
c
dU t
Y t
U t
U t
R C
dt
=
−
−
2.6.2. Формирование уравнений модели механических систем.
Принцип Гамильтона и уравнения Лагранжа
Механическое движение состоит в изменении взаимного расположения тел и их частей в пространстве с течением времени – рассматриваются движения тел, происходящие со скоростями, много меньшими скорости света в вакууме. При этом вопросы внутреннего строения тела, природы процессов внутри тела не рассматриваются.
Формирование математических моделей механических систем заключается в составлении уравнений 1) описывающих механические движения точек механической системы, 2) связывающих силы, моменты и др. характеристики, приложенные к различным точкам механической системы.
При этом широко применяются основополагающие законы физики и механики, различного рода обобщения, приближения и абстракции.
В классической механике используются различные приближенные модели реальных тел: материальная точка, абсолютно твердое тело и др.
Материальная точка – тело, размеры и форма которой несущественны в рассматриваемой задаче.
Абсолютно твердое тело можно рассматривать как систему материальных точек, жестко связанных друг с другом.
Механической системой (или система материальных точек) называется мысленно выделенная совокупность материальных точек или тел, которые взаимодействуют как друг с другом, так и с телами, не включенными в состав этой системы.
Материальная точка, свободно движущаяся в пространстве, обладает тремя степенями свободы, соответствующими трем ее пространственным координатам. Число степеней свободы – число независимых координат,
64

полностью определяющих положение точки по отношению к системе координат.
Механическими связями (или просто связями) называются ограничения, налагаемые на движение в пространстве рассматриваемого тела в результате действия на него со стороны других тел.
Уравнениями связи называются соотношения между координатами точек тела и их производными по времени, обусловленные связями.
Движение материальной точки полностью задано, если указан однозначный закон изменения во времени его пространственных координат
, и (декартовых, полярных или каких-либо других):
1
q
2
q
3
q
1 1
( )
q
q t
=
,
2 2
( )
q
q t
=
,
3 3
( )
q
q t
=
Последняя совокупность уравнений выражает уравнение траектории в
параметрической форме. Решая их совместно и исключая из них параметр , можно найти связь между координатами точек пространства, через которые проходит траектория
t
1 2
3
( ,
,
) 0
F q q q
=
Поступательным движением называется движение абсолютно твердого тела, при котором любая прямая, жестко связанная с телом, перемещается параллельно самой себе. Все точки тела, движущегося поступательно, в каждый момент времени имеют одинаковые скорости и ускорения.
Вращательным движением
(вращением) называется движение абсолютно твердого тела, при котором две его точки
A
и остаются неподвижными; неподвижная прямая
B
AB
называется осью вращения.
Скорости поступательного и вращательного движений – векторные величины.
Если тело одновременно участвует в нескольких поступательных движениях со скоростями
, то результирующее движение является также поступательным со скоростью , равной векторной сумме скоростей
1 2
, ,...,
k
v v
v
v
1 2
k
v v
v
v
= +
+ +
Если тело одновременно участвует в поступательном движении со скоростью и во вращательном движении с угловой скоростью
0
v
ω , то результирующая скорость произвольной точки тела задается формулой
v
0
[
v v
r
]
ω
=
+
, где
r – радиус-вектор, проведенный в точку из какой-либо точки оси вращения.
65

Другие случаи сложных движений твердого тела описываются более сложными формулами, которые здесь не приводятся; следует обратиться к специальной литературе по теоретической механике.
Первый закон Ньютона. Всякая материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не выведет ее из этого состояния.
Этот закон называют законом инерции, а свойство материальных точек сохранять в случае отсутствия внешних воздействий на них состояние покоя или равномерного прямолинейного движения называют инертностью.
Всякое механическое движение относительно: его характер зависит от выбора системы отсчета. В одно и то же время, исследуемое тело по отношению к одной системе отсчета может покоиться, по отношению к другой системе – двигаться равномерно и прямолинейно, по отношению к третьей – двигаться с ускорением. Поэтому закон инерции справедлив не во всякой системе отсчета.
Инерциальными системами отсчета в классической механике называются системы, по отношению к которым выполняется закон инерции.
Для описания движений важнейшее значение имеют такие понятия как сила и масса.
Сила – векторная величина, являющаяся мерой механического воздействия на материальную точку или тело со стороны других тел.
Действие на материальную точку нескольких сил эквивалентно действию одной силы, называемой равнодействующей силой и равной векторной сумме этих сил:
1 2
,
,...,
k
F F
F
1 2
1
k
k
i
i
F
F
F
F
F
=
=
+
+ + =
∑
Массой называется скалярная величина, являющаяся мерой инертности тел в поступательном движении. Масса материальной точки равна отношению модулей векторов ее веса
m
P
и ускорения свободного падения :
g
P
m
g
=
Масса тела равна сумме масс всех материальных точек, входящих в состав этого тела.
66

Центром масс
(центром инерции) системы материальных точек называется точка
, радиус-вектор которой связан с массами и радиус-векторами всех
k точек систем соотношениями
( , , )
c
c
c
C x y z
c
r
i
m
i
r
1 1
k
i i
i
c
k
i
i
m r
r
m
=
=
=
∑
∑
или
1 1
k
i i
i
c
k
i
i
m x
x
m
=
=
=
∑
∑
,
1 1
k
i i
i
c
k
i
i
m y
y
m
=
=
=
∑
∑
,
1 1
k
i i
i
c
k
i
i
m z
z
m
=
=
=
∑
∑
Количеством движения
(импульсом) материальной точки называется вектор
i
K
, равный произведению массы точки на ее скорость :
i
m
i
v
i
i i
K
m v
=
Количество движения системы материальных точек есть вектор
k
K
, равный геометрической сумме количеств движения всех точек системы:
1 1
k
k
i
i
i
i
i
K
K
m
=
=
=
=
v
∑
∑
Второй закон Ньютона
. Первая производная по времени от количества движения (импульса) материальной точки равна действующей на нее силе:
(
)
i i
i i
i
d
d
K
m v
m a
F
dt
dt
=
=
= .
Последнее уравнение, определяющее связь между ускорением и силой
, называется дифференциальным уравнением движения точки. В проекциях на оси ортогональных систем координат это уравнение имеет вид:
i
a
i
F
i ix
i i
ix
m a
m x
F
=
=

;
i iy
i i
iy
m a
m y
F
=
=

;
i iz
i i
iz
m a
m z
F
=
=

Если на материальную точку действует одновременно несколько сил, то каждая сила сообщает точке ускорение, определяемое вторым законом
Ньютона. Результирующее ускорение точки можно определить или складывая векторы отдельных ускорений, или непосредственно по второму закону
Ньютона, подставляя в него результирующую силу
i
F
∑
Второй закон Ньютона часто называют основным законом динамики
поступательного движения.
Суть этого закона, по существу, является обобщением закона Ньютона: производная по времени от количества движения
K
материальной точки или системы материальных точек относительно неподвижной (инерциальной) системы отсчета равна главному вектору всех внешних сил, приложенных к системе:
F
67

dK
F
dt
= , или
c
ma
F
=
, где – ускорение центра инерции материальной системы, а – ее масса.
c
a
m
В случае поступательного движения твердого тела с абсолютной скоростью скорость центра инерции
v
c
v
v
=
. Поэтому при рассмотрении поступательного движения твердого тела это тело можно мысленно заменить материальной точкой, совпадающей с центром инерции тела, обладающей всей его массой и движущейся под действием главного вектора внешних сил, приложенных к телу.
В проекциях на оси неподвижной прямоугольной декартовой системы координат уравнения основного закона динамики поступательного движения системы имеют вид:
x
x
dK
F
dt
= ,
y
y
dK
F
dt
=
,
z
z
dK
F
dt
= или
,
,
cx
x
ma
F
=
cy
y
ma
F
=
cz
z
ma
F
=
В частных случаях поступательного движения твердого тела по инерции
(
):
,
0
F
=
mv const
=
0
a
=
При движении под действием постоянной силы:
( )
d
mv
F const
dt
= =
,
0
mv Ft mv
=
+
,
0
F
v
t
m
v
=
+ , где
– количество движения тела в начальный момент времени
.
0
mv
0
t
=
В соприкасающейся плоскости ускорение материальной точки и действующую на нее силу можно разложить на нормальные и тангенциальные составляющие
(
)
i
in
i
in
i
m a
a
F
F
τ
τ
+
=
+
, где
in
i in
F
m a
=
,
i
i
F
m a
i
τ
τ
=
Нормальная сила определяется формулой
2
i i
in
i in
i
m v
F
m a
r
=
=
и направлена к центру кривизны (
r – радиус кривизны) траектории материальной точки
(поэтому сила часто называется центростремительной силой).
В случае круговой траектории радиуса сила
i
r
2
in
i in
i
i i
F
m a
m
r
ω
=
=
, где
i
ω
– угловая скорость вращения точки.
Касательная сила определяется формулой
i
i i
i
F
m a
m v
i
τ
τ
τ
=
=

68

Третий закон Ньютона.
Действия двух материальных точек друг на друга численно равны и направлены в противоположные стороны:
ij
ji
F
F
= − , где
ij
F – сила, действующая на -ю точку со стороны -й точки, а
i
j
ji
F – сила, действующая
-ю точку со стороны -й точки. Эти силы приложены к разным точкам и могут взаимно уравновешиваться только в том случае, когда точки
i
и принадлежат одному и тому же абсолютно твердому телу.
j
i
j
Пример 2.6.2.
Рассмотрим элементарную механическую систему, состоящую из груза с массой m, подвешенного на пружинке с коэффициентом упругости k (рис.2.6.7.).
На груз воздействуют сила тяжести
, где – ускорение свободного падания, и сила натяжения пружины
, пропорциональное растяжению пружины
g
g
P
mg
=
пр
P
0
x :
0
пр
F
kx
=
В исходном состоянии эти силы уравновешивают друг друга
0
g
пр
P
F
+
=
или
пр
g
F
P
= −
, т.е. силы равны по абсолютной величине и противоположны по направлению.
Модель состояния покоя, когда силы, воздействующие на груз, уравновешивают друг друга, имеет вид
0 0
mg kx
+
= . отсюда
0
m
x
g
k
= −
Рис. 2.6.7.

обмену количествами движения между этими телами, но не может изменить движения системы как целого: при любом взаимодействии между телами, образующими замкнутую систему, скорость движения центра инерции этой системы не изменяется, т. е.
0
c
dv
dt
= , или
2 2
2 2
2 2
0
c
c
c
d x
d y
d z
dt
dt
dt
=
=
= , где
– скорость центра инерции, а
c
v
c
x
, и
– его декартовы координаты.
c
y
c
z
Если система тел не замкнута, но проекция главного вектора F всех внешних сил на какую-либо ось равна нулю, то проекция на эту ось вектора количества движения системы не зависит от времени. Например, при
1 0
k
i i
i
d
m x
dt
=
=
∑

,
1
k
i i
i
m x
const
=
=
∑

Дифференциальное уравнение поступательного движения абсолютно твердого тела, масса
m
которого зависит от времени, имеет вид:
( )
1
d
d
mv
F v
dt
dt
= +
m
, где
– главный вектор всех сил, действующих на тело, a – скорость изменяющейся массы до начала изменения.
F
1
v
Ускорение w тела переменной массы равно
(
1
)
p
a
F F
m
=
+
, где
(
)
1
p
dm
dm
F
v
v
u
dt
dt
=
−
=
– реактивная сила, равная произведению производной по времени от массы тела на относительную скорость присоединяющейся или отделяющейся массы.
1
u v
v
= −
При движении материальных систем большое значение имеет учет трения.
Различают два основных типа трения – внутреннее и внешнее.
Внутренним трением
или вязкостью называется явление возникновения касательных сил, препятствующих перемещению частей жидкости или газа по отношению друг к другу.
Внешним трением
называется взаимодействие между телами, возни- кающее в месте их соприкосновения и препятствующее их относительному перемещению. В зависимости от характера относительного движения тел различают: трение скольжения, возникающее при поступательном пе-
70

ремещении одного тела по поверхности другого, и трение качения,
возникающее тогда, когда одно тело катится по поверхности другого.
Внешнее трение, происходящее между движущимися телами, называется кинематическим. Внешнее трение между взаимно неподвижными телами называется трением покоя.Трение скольжения между телами, поверхности которых не подвергаются смазке, называется сухим трением, а трение между обильно и непрерывно смазываемыми телами – жидкостным
трением.
Движение механических систем и тел сопряжено с изменением энергетических характеристик.
Энергией
называется единая мера различных форм движения. Энергия – скалярная величина. Для количественной характеристики качественно различных форм движения вводятся соответствующие им виды энергии:
механическая
, внутренняя, электромагнитная, химическая, ядерная и др.
Закон сохранения и превращения энергии:
при любых процессах, происходящих в изолированной системе, ее полная энергия не изменяется.
Этот фундаментальный закон вытекает из однородности времени и является одним из важнейших законов природы. Он свидетельствует о том, что движение материи несотворимо и неуничтожимо: оно может лишь переходить из одних форм в другие.
Если система незамкнутая, то изменение ее энергии благодаря внешним воздействиям численно равно и противоположно по знаку алгебраической сумме изменений энергии всех внешних тел и полей, взаимодействующих с системой.
Возможны два качественно различных способа передачи движения и соответствующей ему энергии от одного макроскопического тела к другому – путем совершения работы и путем теплообмена.
Под процессом совершения работы понимается такой процесс взаимодействия какого-либо тела с другими телами, в результате которого изменяется механическое движение этого тела или его положение по отношению к остальным телам. Таковы, например, процессы соударения движущихся тел и их торможения вследствие явления трения, а также любые процессы перемещения тел под влиянием сил взаимодействия между ними.
Под процессом теплообмена понимается любой процесс обмена энергией между телами, осуществляющийся путем непосредственного
71

взаимодействия либо между молекулами и атомами этих тел, либо между молекулами и атомами одного тела и частицами
(фотонами) электромагнитного излучения, испускаемого другими телами (процесс лучистого теплообмена).
Изменения энергии тела в процессах совершения работы и теплообмена называются соответственно работой и теплотой или количеством тепла, сообщенного телу.
Работа.
Элементарная работа
A
δ
силы
, совершаемая при перемещении материальной точки под действием силы
, равна скалярному произведению векторов и
:
F
dr
F
F
dr
(
)
cos
A
F dr
F ds
F ds
τ
δ
α
=
=
=
, или, в декартовых координатах
x
y
z
A F dx F dy F dz
δ
=
+
+
, где – радиус- вектор точки,
r
x
, и
y
z – ее декартовы координаты,
x
F
,
y
F и
– проекции вектора силы на оси координат,
z
F
α – угол между векторами и ,
F
dr ds
dr
=
– элементарная длина пути точки вдоль траектории, cos
F
F
τ
α
=
– проекция силы на касательную к траектории.
F
Механическая энергия.
Механической энергией
называется энергия механического движения и взаимодействия тел. Она равна сумме кинетической
T
и потенциальной
V энергий W T
W
V
= + .
Кинетическая энергия
тела является мерой его механического движения и измеряется той работой, которую может совершить это тело при его торможении до полной остановки. Кинетическая энергия материальной точки равна половине произведения массы т точки на квадрат скорости ее движения:
v
2 2
mv
T
=
Кинетическая энергия тела равна сумме кинетических энергий всех материальных точек, входящих в его состав.
Если тело вращается вокруг неподвижной оси, то его кинетическая энергия равна половине произведения момента инерции тела
J
относительно оси вращения на квадрат угловой скорости
ω
:
2 2
J
T
ω
=
В самом общем случае кинетическая энергия системы материальных точек равна сумме кинетической энергии поступательного движения системы со скоростью ее центра инерции и кинетической энергии системы в ее
c
v
*
k
W
72