Файл: Казанский государственный университет.pdf

искомому результату). Процесс сходимости искомых показателей экономического процесса к истинным значениям в итеративном режиме понимается как целенаправленный человеко-машинный диалог с возможными изменениями исходных данных и, возможно, отдельных элементов модели. Таким образом происходит уточнение самой модели экономического объекта с помощью имитации его функционирования.
Экономика – сложная иерархическая динамическая система. В зависи- мости от цели исследования экономику представляют в различных разрезах.
Такое разбиение удобно для исследования общественных отношений, складывающихся в процессе производства. Так, на верхнем уровне иерархии экономику рассматривают как систему общественного производства, распределения, обмена и потребления.
Рассмотрим взаимосвязи между показателями верхнего уровня экономической иерархии (рис.2.6.9). Одним из подходов к решению данной проблемы является построение так называемой макроэкономической модели.
Макроэкономические модели – это модели, изучающие свойства и тен-
денции изменения взаимосвязанных агрегированных макроэкономических
показателей, таких, как валовой и конечный продукты, трудовые ресурсы,
производственные фонды, капитальные вложения, потребление и т. д.
Однопродуктовая динамическая макроэкономическая модель.
В общем случае производство может быть охарактеризовано взаимодействием и взаимосвязями ряда основных факторов:
( , ,
)
Y
F K L M
=
, где
Y
–валовой внутренний продукт;
K
–
основные производственные фонды;
L
– трудовые ресурсы (работники);
M
– материалы (включая сюда и сырье, и энергию, и компоненты продукции).
Положим, что экономика, как замкнутое единое неструктурированное целое, производит один универсальный продукт, который может как потребляться, так и инвестироваться. Кроме того, положим, что материалов, сырья, энергии достаточно, и они не вносят каких-либо ограничений. Тогда в модели можно рассматривать пять макроэкономических показателей:
Y
–
валовой внутренний продукт (ВВП);
I
– валовые инвестиции;
C – фонд потребления;
K
–
основные производственные фонды (ОПФ);
81

L
–
число работников в производственной сфере.
Первые три переменные (
Y
,
I
, ) являются показателями типа потока (их значения накапливаются в течение года), переменные
C
K
,
L
– мгновенные переменные (их значения могут быть измерены, вообще говоря, в любой момент непрерывного времени).
Определим производственную функцию от ресурсов – основных произ- водственных фондов и числа работников в виде
( , )
Y
F K L
=
Эта функция, как правило, определяется по наблюдениям за экономическим объектом. Так, например, мультипликативная производственная функция экономики США, рассчитанная по данным за 1980 -1995 гг., имеет вид:
, где , измеряются в млрд. долл., a
– в млн. чел.
0.404 0.803 2.248
Y
K
L
=
Y K
L
Пусть ВВП
, произведенный в результате производственной деятельности, идет на производственное потребление
Y
P
и выделяется в качестве конечного продукта (конечного ВВП)
, т.е.
k
Y
k
Y
P Y
= +
Распределение конечного ВВП на валовые инвестиции
I
и потребление опишем уравнением
C
k
Y
I
= + C
t
Использование основных производственных фондов (ОПФ) представим в виде рекуррентного соотношения для определения ОПФ будущего года по значениям ОПФ и инвестиций текущего года
1 1
(1
)
t
t
K
K
I
µ
−
−
= −
+
В этом уравнении
µ
– коэффициент выбытия (износа) ОПФ в расчете на год. Данный коэффициент предполагается постоянным. Из уравнения видно, что инвестиции, сделанные в текущем году, материализуются в фонды в будущем году.
В предположении, что годовые темпы прироста числа работников постоянны, численность работников опишем рекуррентным соотношением
1
(1
)
t
t
L
L
ν
−
= +
, определяющим число работников в будущем году на основании числа занятых в текущем году
(
const
ν
=
– темп прироста числа работников).
Положим, что валовые капитальные вложения (инвестиции) (
I
) делятся на амортизационные отчисления
Am и чистые капитальные вложения
c
I
, идущие на расширение производственных фондов
c
I
Am I
=
+
Капитальные вложения составляют материальную основу наращивания и перевооружения производства. За счет капитальных вложений осуществляется ввод в действие основных производственных фондов.
Предположим, что валовые инвестиции полностью расходуются на прирост основных производственных фондов в том же году и на амортизационные отчисления:
82

t
t
I
q K
Am
∆
=
+
, (2.4.14) где
1
t
t
t
K
K
K
−
∆
=
−
– прирост основных производственных фондов в году t;
– параметр модели;
q
t
Am
K
µ
=
– амортизационные отчисления;
µ
– коэффициент амортизации;
t
K
– основные производственные фонды в году t.
Рис. 2.6.9 Обобщенная структурная схема экономической системы
Таким образом, в предположении дискретности времени получили совокупность уравнений
1 1
1
( , ),
,
,
(1
)
,
(1
)
,
0, 1, 2,...,
t
t
t
k
t
t
t
k
t
t
t
t
t
ct
t
t
t
t
t
t
t
t
Y
F K L
Y
P Y
Y
I
C
I
Am
I
или
I
q K
Am
K
K
I
L
L
t
µ
ν
−
−
−
=
= +
= +
=
+
= ∆ +
= −
+
= +
=
T
(где
– базовый год;
– конечный год изучаемого периода;
0
t
=
t T
=
0
K ,
0
I ,
0
L
–
заданные величины), которая представляет собой модель однопродуктовой экономики (модифицированная модель Солоу с дискретным временем).
Модель Солоу с непрерывным временем. Предположим теперь, что время, измеряемое вначале с дискретностью в один год, будет измеряться с дискретностью
t
∆
(например, полугодие, квартал, месяц, декада, день). При дискретности в один день время можно считать практически непрерывным.
При дискретности модель Солоу будет выглядеть следующим образом:
t
∆
83

(
)
(
)
( , ),
,
,
,
,
,
, 2 ,...,
,
,
t
t
t
k
t
t
t
k
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
Y
F K L
Y
P Y
Y
I
C
I t q K
K
Am t
K
K
K
I
t
T
L
L
L
t
t
t
t
n t
n
t
µ
ν
−∆
−∆
−∆
−∆
−∆
−∆
=
= +
= +
∆ =
−
+
∆
−
= −
+
∆
−
=
∆
=∆
∆
∆
=
∆
где ,
t
Y
t
I ,
– соответственно ВВП, инвестиции и потребление за год, начи- нающийся в момент
t
,
t
C
t
t
K
t
µ
−∆
∆ – выбытие фондов за время (
,
t
t t
− ∆ );
t
t
I
t
−∆
∆ – инвестиции за время (
,
t
t t
− ∆ );
t
t
L
t
ν
−∆
∆ – прирост числа занятых за время (
,
t
t t
− ∆ ).
При переходе к пределу при
0
t
∆ →
уравненияпринимают следующую форму (уравнения модели Солоу с непрерывным временем):
[ ]
0 0
( , ),
,
,
,
,
(0)
,
,
(0)
,
0,
t
t
t
k
k
t
t
t
t
t
t
t
Y
F K L
Y
P Y
Y
I
C
I
qK
Am
d
K
K I
K
K
dt
d
L
L
L
L
t
T
dt
µ
ν
=
= +
= +
=
+
= −
+
=
=
=
∈
Следует отметить, что модель Солоу в дискретной форме и модель
Солоу в непрерывной форме
,
несомненно, являются разными моделями и расчеты по ним приводят к разным, однако достаточно близким, результатам.
Таким образом, экономические динамические системы могут быть представлены в форме конечно-разностных уравнений (дискретное время) и в форме дифференциальных уравнений (непрерывное время). В общем случае, между математическими методами дифференциальных и конечно-разностных уравнений нет существенного различия: при решении дифференциальных уравнений их приближенно заменяют на конечно-разностное и, напротив, любое конечно-разностное уравнение можно приближенно заменить дифференциальным.
В модели Солоу экономика представляет собой неструктурированное целое и производит один агрегированный продукт, который может как
84

потребляться, так и инвестироваться. Данное утверждение можно интерпретировать как представление экономики в виде одного динамического элемента. При более детальном знакомстве с моделью очевидно, что экономика в форме модели Солоу состоит из четырех элементов, объединенных в контуры обратными связями (рис.2.6.9). Кроме того, экономика нелинейна, поскольку связь между выпуском и затратами ресурсов задается в виде нелинейной производственной функции.
Таким образом, даже агрегированное модельное представление экономики позволяет сделать вывод о том, что она является сложной
динамической системой.
В некоторых случаях используют упрощенные варианты однопродуктовой динамической модели.
Так, можно положить, что все капитальные вложения идут на ввод в действие новых основных производственных фондов и при этом основные фонды не изнашиваются. Считая, что прирост выпуска продукции пропорционален капитальным вложениям, т.е.
1
t
t
t
Y
Y Y
−
∆ = −
t
t
I
Y
η
= ∆
, можно получить модель вида
t
t
t
Y
aY
Y
C
t
η
=
+ ∆ +
, которая носит название однопродуктовой открытой динамической модели
Леонтьева
1
.
В непрерывном варианте однопродуктовая динамическая макромодель
Леонтьева имеет вид
dY
Y aY
C
dt
η
=
+
+ .
С математической точки зрения эта модель представляет собой линейное неоднородное дифференциальное уравнение.
В другом варианте можно положить, что непроизводственное потребление идет полностью на восстановление рабочей силы L(t).
Тогда, введя норму потребления
γ
(t), получим
( )
C t
( )
( ) ( )
C t
t L t
γ
=
Далее, если считать, что затраты труда пропорциональны выпуску продукции, то L( t ) b( t )Y( t )
=
, где b(t) – норма трудоемкости.
С учетом последних соотношений, можно получить «замкнутую по потреблению» модель расширенного воспроизводства
(замкнутая
1
Леонтьев – известный американский экономист, лауреат Нобелевской премии по экономике.
85

однопродуктовая модель Леонтьева):
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
dY t
Y a t Y t
t b t Y t
dt
η
γ
=
+
+
. (2.4.16)
Последнее уравнение является однородным дифференциальным уравнением вида
0
dY( t )
p( t )Y( t )
dt
−
= , где
1
( )
( ) (
( )
( )
a t
t b t
p t
t
)
γ
η
−
−
=
Тогда развитие экономики определяется решением этого уравнения:
0 0
( )
exp(
( ) )
t
Y t
Y
p t dt
=
−
∫
Можно рассмотреть случай, когда непроизводственное потребление
является известной функцией времени.
В этом случае закон развития экономики можно определить из модели
(2.4.16), которая с математической точки зрения является неоднородным дифференциальным уравнением вида
1
( ) ( )
( )
dY
p t Y t
f t
dt
+
=
, где
1 1 a( t )
C( t )
p ( t )
,
f ( t )
( t )
( t )
η
η
−
= −
= −
с решением
1 1
0 0
0
( ) exp(
( ) )(
( )exp(
( ) )
)
t
t
t
Y t
p t dt
f t
p t dt dt Y
=
−
+
∫
∫
∫
0
Таким образом, можно сделать следующий вывод.
Построение математических моделей управления производством на каждом уровне иерархии связано с использованием агрегированной
(укрупненной) информации: чем выше уровень иерархии, тем большая степень агрегирования данных. И соответственно должны существовать относительно простые методы, алгоритмы разукрупнения информации при переходе к более низким уровням управления.

дифференциального уравнения линейным уравнением с помощью разложения в окрестности рабочих точек нелинейной аналитической функции в степенной ряд Тейлора по степеням малых отклонений аргумента
(переменной) и отбрасывания нелинейных членов этого разложения и составляет первый метод A.M. Ляпунова
1
Линеаризацию уравнений производят при помощи формулы Тейлора, которая позволяет разложить нелинейную функцию нескольких переменных по степеням малых приращений этих переменных, взятых в окрестности их значений, соответствующих установившемуся режиму. Формула содержит остаточный член, исследование которого позволяет оценить величину ошибки, получающейся в том случае, когда ограничиваются первыми членами разложения. Формула Тейлора, например, для трех переменных х, у и z имеет вид
0 0
0 0
0 0
1 1
1
i
n
n
i
F
F
F
F( x, y,z ) F( x
x, y
y,z
z ) F( x , y ,z )
x
y
z
x
y
z
F
F
F
x
y
z
R
i!
x
y
z
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
+
=
∂
∂
∂
=
+
+
+
=
+
+
+
∂
∂
∂
⎧
⎫
∂
∂
∂
+
+
+
⎨
⎬
∂
∂
∂
⎩
⎭
∑
+
+
где
0 0
0 0
0 0
;
;
;
;
;
x x
x y
y
y z z
z x
const y
const z
const
=
+ ∆
=
+ ∆
=
+ ∆
=
=
=
;
1
n
R
+
– остаточный член.
Показатели степени, в которую возводятся выражения, стоящие в скобках, имеют символический смысл. Они указывают на необходимость выполнения при раскрытии скобок операций, которые можно пояснить на следующем примере для второй степени:
z
x
z
y
F
z
x
z
x
F
y
x
y
x
F
z
z
F
y
y
F
x
x
F
z
z
F
y
y
F
x
x
F
∆
∆
∂
∂
∂
+
∆
∆
∂
∂
∂
+
∆
∆
∂
∂
∂
+
∆
∂
∂
+
∆
∂
∂
+
∆
∂
∂
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∆
∂
∂
+
∆
∂
∂
+
∆
∂
∂
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
Частные производные вычисляются в точке с координатами
0 0
,
,
0
x y z
и поэтому являются постоянными.
При линеаризации нелинейных уравнений обычно ограничиваются лишь членами первого порядка малости, пренебрегая остаточным членом, т. е. полагают, что
1
А.М. Ляпунов (1857 – 1918) – великий русский математик, автор теории устойчивости дифференциальных уравнений и многого другого, самый цитируемый в настоящее время на Западе русский ученый.
87