Файл: Казанский государственный университет.pdf

относительном движении по отношению к поступательно движущейся системе отсчета с началом в центре инерции:
2 2
*
1 2
2
k
i i
c
k
i
m v
mv
T
T
=
=
=
∑
+
, где
*2
*
1 2
k
i
i
k
i
m v
T
=
=
∑
,
*
i
i
v
v
v
= −
c
В частности, кинетическая энергия тела, которое движется поступательно со скоростью и одновременно вращается с угловой скоростью
v
ω вокруг оси, проходящей через центр инерции тела, равна
2 2
2 2
mv
J
T
ω
=
+
Потенциальной энергией называется энергия, зависящая только от взаимного расположения взаимодействующих материальных точек или тел.
Поэтому ее часто называют взаимной потенциальной энергией. Уменьшение потенциальной энергии тела при его мгновенном перемещении из одного положения в пространстве в другое измеряется той работой, которую совер- шают при этом действующие на него потенциальные силы:
1 2
V V
−
Закон сохранения механической энергии.
Элементарное изменение механической энергии системы материальных точек или тел равно элементарной работе всех сил , действующих на систему:
k
i
F
(
)
1 1
k
k
i
i
i
i
dW
A
F dr
δ
=
=
=
=
∑
∑
i
Если силы потенциальные, то полная производная по времени от механической энергии системы равна частной производной по времени от потенциальной энергии этой системы:
i
F
dW
V
dt
t
∂
=
∂
Система тел (материальных точек) называется консервативной, если все внешние силы, действующие на эти тела, являются стационарными и потенциальными, а все внутренние силы потенциальны. Потенциальная энер- гия консервативной системы не зависит явно от времени. Поэтому
0
dW
dt
= , W T V const
= + =
Механическая энергия консервативной системы сохраняется неизменной в процессе движения системы. Этот результат называется
законом сохранения механической энергии.
73

Аналогичные законы механики существуют и для вращательного движения.
Момент силы.
Моментом
i
M
силы относительно точки называется векторное произведение радиус-вектора , проведенного из точки в точку приложения силы, на вектор силы :
O
i
r
O
i
F
[ ]
i
i i
M
r F
=
Проекции
ix
M
,
iy
M и
iz
M
вектора
i
M
на оси прямоугольной декартовой системы координат с центром в точке связаны с проекциями на эти оси векторов и соотношениями:
O
i
r
i
F
ix
i iz
i iy
M
y F
z F
=
−
,
iy
i ix
i iz
M
z F
x F
=
−
,
iz
i iy
i ix
M
x F
y F
=
−
, где
i
x
, , – координаты точки приложения силы .
i
y
i
z
i
F
Моментом силы относительно оси называется скалярная величина, равная проекции на данную ось вектора момента силы относительно какой- либо точки той же оси.
Главным моментом
M
системы сил называется вектор, равный сумме векторов моментов всех сил системы относительно центра приведения
k
[ ]
1 1
k
k
i
i
i
i
i
M
M
r
=
=
=
=
∑
∑
F
Моментом инерции тела относительно оси называется величина, являющаяся мерой инертности тела во вращательном движении вокруг этой оси и равная сумме произведений масс всех частиц тела на квадраты их расстояний от той же оси. Моменты инерции тела относительно осей прямоугольной декартовой системы координат равны:
(
)
(
)
(
)
2 2
2 2
2 2
( )
( )
( )
x
m
V
V
J
y
z dm
y
z
dV
y
z
dxdydz
ρ
ρ
=
+
=
+
=
+
∫
∫
∫∫∫
,
(
)
(
)
(
)
2 2
2 2
2 2
( )
( )
( )
y
m
V
V
J
x
z dm
x
z
dV
x
z
dxdydz
ρ
ρ
=
+
=
+
=
+
∫
∫
∫∫∫
,
(
)
(
)
(
)
2 2
2 2
2 2
( )
( )
( )
z
m
V
V
J
x
y dm
x
y
dV
x
y
dxdydz
ρ
ρ
=
+
=
+
=
+
∫
∫
∫∫∫
, где ,
m
ρ , и – масса, плотность и объем тела, а
V
x
, ,и
y
z – координаты элементарной частицы тела, имеющей объем и массу
.
dV
dm
Момент инерции зависит только от формы тела и расположения масс в нем.
Для дискретной системы материальных точек
k
(
)
2 2
2
k
x
i
i
i
J
y
z
=
=
+
∑
i
m
i
m
,
,
(
)
2 2
2
k
y
i
i
i
J
x
z
=
=
+
∑
(
)
2 2
2
k
z
i
i
i
J
x
y
=
=
+
∑
i
m
74

Моментом количества движения (моментом импульса)
материальной точки относительно некоторой точки (полюса) называется вектор
i
L
, равный векторному произведению радиус-вектора точки, проведенного из полюса, на ее количество движения
:
i
r
i i
m v
[
]
i
i
i i
L
rm v
=
Моментом количества движения или кинетическим моментом системы материальных точек относительно полюса называется вектор
L
, равный геометрической сумме моментов количеств движения относительно того же полюса всех точек системы:
k
[
]
1
k
i
i
i
i
i
L
rm v
=
=
∑
Центр инерции С системы материальных точек обладает тем свойством, что моменты количества движения этой системы относительно С для абсолютного движения точек (
c
L
) и для их относительного движения ( ) по отношению к поступательно движущейся системе координат с началом в точке С одинаковы:
, т. е.
*
c
L
*
c
L
L
=
c
*
*
1 1
k
k
i
i i
i
i i
i
i
r m v
rm v
=
=
⎡
⎤
⎡
=
⎤
⎣
⎦
⎣
∑
∑
⎦
c
c
r
где и
– скорости абсолютного и относительного движений точки с массой положение которой относительно С определяется радиус- вектором
. Моменты количества движения системы относительно ее центра инерции (
i
v
*
i
i
v
v
v
= −
i
m
*
i
i
r
r
= −
c
L
) и неподвижного полюса (
L
) связаны соотношением
[ ]
[ ]
c
c c
L
L m r v
L
r K
c
= −
= −
, где
– масса системы, – абсолютная скорость центра инерции по отношению к полюсу, а
1
k
i
i
m
=
=
∑
m
c
v
K
– количество движения системы.
Основной закон динамики применительно к вращательному движению формулируется следующим образом: производная по времени от момента количества движения механической системы относительно неподвижной точки или центра инерции системы равна главному моменту относительно той же точки всех внешних сил, приложенных к системе:
dL
M
dt
=
, или, в проекциях на координатные оси неподвижной (инерциальной) системы отсчета:
75

x
x
dL
M
dt
=
,
y
y
dL
M
dt
=
,
z
z
dL
M
dt
=
Фундаментальный закон сохранения момента количества вращательного движения: если главный момент внешних сил относительно неподвижной точки или центра инерции механической системы тождественно равен нулю, то момент количества движения системы относительно этой точки с течением времени не изменяется:
0
dL
dt
= , L const
=
В замкнутой системе внешние силы отсутствуют. Поэтому момент количества движения
L
замкнутой системы относительно любой неподвижной точки, а также геометрическая сумма моментов количества движения всех частей системы по отношению к ее центру инерции не зависят от времени:
*
c
L
[
]
1 0
k
i
i i
i
dL
d
rm v
dt
dt
=
=
=
∑
,
[
]
1 0
k
c
i
i i
i
dL
d
rm v
dt
dt
=
=
=
∑
, где и – радиус-вектор и абсолютная скорость -й материальной точки системы по отношению к неподвижной инерциальной системе координат
i
r
i
v
i
(
)
, ,
x y z , а и
– радиус-вектор и относительная скорость той же точки по отношению к центру инерции системы.
*
i
i
r
r r
= −
c
c
*
i
i
v
v
v
= −
Для составления дифференциальных уравнений динамического процесса регулирования, помимо приведенных выше основных физических законов механики, продуктивно применение уравнений Лагранжа второго рода, составленных для обобщенных координат системы. Этот метод целесообразно использовать тогда, когда составление выражений кинетической и потенциальной энергии системы и диссипативной функции не представляет затруднений.
Согласно вариационному принципу Гамильтона, всякая динамическая система, находящаяся под влиянием консервативных сил, движется таким образом, что минимизируется среднее значение по времени разности между кинетической и потенциальной энергиями, т. е.
(
)
2 1
0
t
t
T V dt
δ
−
=
∫
, (2.6.1) где
– кинетическая энергия,
- потенциальная энергия,
( , )
i
i
T x x
( )
i
V x
i
x
–
76

обобщенные координаты динамической системы с k степенями свободы,
i
x
– скорости изменения обобщенных координат системы.
Если динамическая система обладает запасом кинетической энергии Т, то ее движение может быть описано системой дифференциальных уравнений
Лагранжа, которые могут быть получены из вариационного принципа
Гамильтона.
Введем в рассмотрение функцию Лагранжа
i
i
i
i
i
L L( x ,x ) T( x ,x ) V ( x )
=
=
−


. (2.6.2)
Тогда принцип Гамильтона (2.4.2) можно представить в виде
2 1
0
t
t
Ldt
δ
=
∫
. (2.6.3)
Учитывая выражение (2.4.3), запишем
i
i
i
i
i
L
L
i
L
x
x
x
x
δ
δ
δ
∂
∂
=
+
∂
∂
∑
∑


. (2.6.4)
Подставляя выражение (2.6.4) в формулу (2.6.3) и полагая
0
i
x
δ
=
при
1
t t
=
и
, найдем
2
t t
=
2 1
t
i
i
i
i
i
i
i
i
t
L
L
L
d
L
i
Ldt
x dt
x dt
...
x dt
x
x
x
dt
x
δ
δ
δ
⎡
⎤
∂
∂
∂
∂
⎛
⎞
=
+
=
=
−
⎜
⎟
⎢
⎥
∂
∂
∂
∂
⎝
⎠
⎣
⎦
∑
∑
∑
∫
∫
∫
∫



δ
. (2.6.5)
Так как число обобщенных координат
i
x
равно числу степеней свободы и так как
i
x
δ не зависят от времени, то уравнения (2.6.5) справедливы лишь в том случае, если выражения в скобках равны нулю, т. е.
0
i
i
d
L
L
dt
x
x
⎛
⎞
∂
∂
−
=
⎜
⎟
∂
∂
⎝
⎠

,
1 2
i
, , ..., k
=
. (2.6.6)
Уравнения вида (2.6.6) называются уравнениями Лагранжа.
Очень важно то, что уравнения Лагранжа не зависят от выбора координат. Эти уравнения сохраняют свой вид, т.е. остаются инвариантными при переходе от одной системы координат к другой.
Учитывая выражение (2.6.3), уравнения (2.6.6) можно переписать в следующем виде:
i
i
d
T
T
V
dt
x
x
x
⎛
⎞
∂
∂
∂
−
= −
⎜
⎟
∂
∂
∂
⎝
⎠

i
,
1 2
i
, , ..., k
=
. (2.6.7)
Уравнение (2.6.7) можно рассматривать как частный случай уравнений
77

Лагранжа второго рода:
i
i
i
d
T
T
Q
dt
x
x
⎛
⎞
∂
∂
−
=
⎜
⎟
∂
∂
⎝
⎠

,
1 2
i
, , ..., k
=
. (2.6.8) где – обобщенные силы. При использовании уравнения (2.6.8)
i
Q
i
i
V
Q
x
∂
= −
∂
Обобщенные силы, определяемые последним равенством и зависящие только от обобщенных координат
i
x
, называются силами, имеющими потенциал.
Однако практически во всех динамических системах действуют силы трения и имеет место рассеяние энергии. Диссипативные силы или силы вязкого трения
R
Q
, пропорциональные скорости, могут быть определены через функцию рассеяния энергии R
Ri
i
R
Q
x
∂
= −
∂ .
В общем случае, когда в системе действуют обобщенные силы
, имеющие потенциал V, обобщенные диссипативные силы
V
Q
R
Q
и внешние силы
( )
i
f t
, уравнения движения принимают вид
i
i
i
i
i
d
T
T
V
R
f ( t )
dt
x
x
x
x
⎛
⎞
∂
∂
∂
∂
−
= −
−
+
⎜
⎟
∂
∂
∂
∂
⎝
⎠

,
1 2
i
, , ..., k
=
. (2.6.9)
Кинетическая энергия Т представляет однородную квадратичную положительно определенную форму от обобщенных скоростей, в которой коэффициенты в общем случае являются функциями координат. Таким образом, можно записать выражение кинетической энергии в следующем виде
1 1
1 2
k
k
ij i
j
i
j
T
m
=
=
=
∑∑

x x
, где
ij
ji
m
m
=
Коэффициенты носят название коэффициентов инерции.
ij
m
Потенциальная энергия V в первом приближении представляет положительно определенную квадратичную форму относительно обобщенных координат:
1 1
1 2
k
k
ij i
j
i
j
V
k
=
=
=
∑∑
x x
, где
2
ij
i
j
V
k
x x
∂
=
∂ ∂
В данном случае все производные вычисляются в положении равновесия при и, таким образом, являются постоянными.
0
i
j
x
x
=
=
Функция рассеяния, или диссипативная функция R, является
78

положительно определенной квадратичной формой от обобщенных скоростей системы и имеет вид
1 1
1 2
k
k
ij i
j
i
j
R
s x x
=
=
=
∑∑

При
ij
ji
s
s
= производные функции рассеяния по скорости, взятые с обратным знаком, равны обобщенным диссипативным силам.
Функция рассеяния R характеризует собой скорость рассеяния энергии в системе. Работа сил сопротивления, пропорциональных скорости, в единицу времени численно равна функции рассеяния R, взятой с обратным знаком.
Уравнения Лагранжа (2.6.9) в общем случае приводят к системе нелинейных уравнений второго порядка вида
{
}
1 1
1 0
i
k
k
k
X t, x , x , x , ..., x ,x ,x
=


,
1 2
i
, , ..., k
=

2.6.3. Формирование математических моделей экономических
процессов и систем.
Рассмотрим наиболее существенные особенности экономических объектов как динамических систем.
Экономическая система,
охватывая параметры и характеристики производства, распределения, обмена и потребления материальных благ, является подсистемой социально-экономической суперсистемы, т. е. цели ее функционирования подчинены социальным целям и вытекают из них.
Следует, прежде всего, отметить, что существуют различные подходы к описанию и анализу экономических процессов и систем: среди них – два основных направления – традиционное (равновесное) и эволюционное.
Первый подход заключается в том, что переходные процессы в экономике заканчиваются установлением устойчивого равновесия, т.е. паузой между переходными процессами служит устойчивое равновесие. Во втором случае считается, что экономика постоянно находится в состоянии неравновесия, т.е. паузой служит очередной переходный процесс.
Любая экономическая система зависит от множества факторов и осуществляет совокупность функций, реализует множество целей. Это означает, что в процессе функционирования, например, предприятия, одновременно ставятся и реализуются цели:
•
достижение максимально возможной прибыли от выпуска продукции,
•
обеспечение высокого уровня сервиса,
•
снижение себестоимости,
•
обеспечение определенного уровня качества и рентабельности производимой продукции и др.
Некоторые из этих показателей по своей направленности могут быть противоречивыми: например, стремление обеспечить высокий уровень сервиса одновременно ведет и к суммарному росту себестоимости.
Экономические управленческие задачи плохо структурированы, т.е. не все элементы задачи и алгоритмы решения задачи известны, и поэтому не всегда модель может быть построена однозначным образом.
Один из характерных приемов в экономике при моделировании плохо структурированных задач заключается в итеративном режиме использования математических моделей (т.е. многократное выполнение определенной последовательности действий, в конечном итоге приближенно приводящее к
80