Файл: Математический анализ.pdf

Теорема 6.4.3. Пусть члены функционального ряда (6.3.1) определены и непре- рывно дифференцируемы на отрезке [a, b].
Пусть также выполнены условия:
1) ряд (6.3.1) сходится в некоторой точке x
0
∈ [a, b];
2) ряд
∞
P
n=1
u
′
n
(x), составленный из производных членов ряда (6.3.1), сходится рав- номерно на отрезке [a, b].
Тогда справедливы следующие утверждения:
1) ряд (6.3.1) равномерно сходится на отрезке [a, b];
2) производная суммы этого ряда S(x) существует и вычисляется по формуле
S
′
(x) =
∞
X
n=1
u
′
n
(x),
т.е. ряд (6.3.1) можно почленно дифференцировать.
Доказательство. Обозначим сумму ряда
∞
P
n=1
u
′
n
(x) через ϕ(x). Для этого ряда выполнены все условия предыдущей теоремы, и поэтому его можно почленно инте- грировать (x, x
0
∈ [a, b]):
x
Z
x
0
ϕ(t) dt =
∞
X
n=1
x
Z
x
0
u
′
n
(t) dt =
∞
X
n=1
[u n
(x) − u n
(x
0
)] ,
(6.4.2)
причем последний ряд сходится равномерно. Обозначим его члены w n
(x) = u n
(x) −
u n
(x o
). Тогда ряд (6.3.1) можно записать в виде
∞
X
n=1
w n
(x) + u n
(x
0
)

=
∞
X
n=1
w n
(x) +
∞
X
n=1
u n
(x
0
),
т.е. представить его как сумму двух равномерно сходящихся рядов на отрезке [a, b]
(ряд
∞
P
n=1
u n
(x
0
) числовой и сходится равномерно на любом множестве, так как его члены не зависят от x) и, значит, доказать первое утверждение теоремы.
Обозначая сумму ряда (6.3.1) через S(x), перепишем равенство (6.4.2) в виде x
Z
x
0
ϕ(t) dt = S(x) − S(x
0
).
Дифференцируя его по x, получим требуемый результат:
ϕ(x) = S
′
(x) или S
′
(x) =
∞
X
n=1
u
′
n
(x).
2
Теорема о дифференцируемости предельной функции функциональной последо- вательности может быть сформулирована и доказана аналогичным образом.
6.5. Степенные ряды. Радиус и интервал сходимости
Дадим следующее определение.
– 180 –

Определение 6.5.1. Функциональный ряд вида a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ · · · + a n
x n
+ . . . ,
(6.5.1)
где a k
, k = 0, 1, 2, . . . — вещественные числа, а x — вещественная переменная, на- зывается степенным рядом.
Теорема 6.5.1 (первая теорема Абеля). Если ряд (6.5.1) сходится в точке x
0 6=
0, то он сходится абсолютно на интервале (−|x
0
|, |x
0
|) и сходится равномерно на любом промежутке
−q 6 x 6 q,
где q удовлетворяет неравенству 0 < q < |x
0
| (рис. 6.5.1).
Доказательство. Из сходимости ряда (6.5.1) в точке x
0
следует, что его общий член в этой точке (a n
x n
0
) стремится к 0 при n → ∞, значит, существует такое число
M , что
|a n
x n
0
| 6 M для всех n ∈ N.
Воспользуемся теперь признаком Вейерштрасса равномерной сходимости ряда.
Оценим для этого общий член ряда (6.5.1) для x ∈ [−q, q].
|a n
x n
| = |a n
x n
0
|
x x
0
n
6
M
q x
0
n
,
−q 6 x 6 q.
O
−q q
|x
0
|
−|x
0
|
x
Рис 6.5.1. Интервал сходимости степенного ряда
Ряд с общим членом M
q x
0
n сходится (это сумма геометрической прогрессии со знаменателем q
x
0
< 1), следовательно, ряд (6.5.1) сходится абсолютно и равномерно для x ∈ [−q, q].
2
Замечание 6.5.1. В силу произвольности величины q (q < |x
0
|) ряд (6.5.1) схо- дится для −|x
0
| < x < |x
0
|. Но в этом открытом интервале сходимость не всегда равномерная.
Теорема 6.5.2. Для каждого степенного ряда (6.5.1) существует такое неот- рицательное число R (или R = +∞ ), что:
1) если R 6= 0, R 6= +∞, то ряд (6.5.1) абсолютно сходится для x из интервала
(−R, R) и расходится при |x| > R;
2) если R = +∞, то ряд сходится для любого x;
3) если R = 0, то ряд сходится только в одной точке x = 0.
Доказательство. Пусть E — множество точек, в которых ряд (6.5.1) сходится.
Это множество не пустое, так как при x = 0 ряд сходится.
Введем величину R с помощью формулы
R = sup x∈E
|x|.
Ясно, что R > 0 или R = +∞.
Докажем утверждение 1). Пусть x
0
∈ (−R, R). Покажем, что в точке x
0
ряд
(6.5.1) сходится. Зафиксируем значение ¯x, что |x
0
| < |¯x| < R), для которого ряд
(6.5.1) сходится. Это возможно сделать на основании определения числа R как точной
– 181 –

верхней границы. Тогда, по первой теореме Абеля, ряд (6.5.1) сходится в точке x
0
Если же точка x
0
такова, что |x
0
| > R, то расходимость ряда в этой точке немедленно следует из определения числа R.
Утверждение 2) доказывается методом от "противного" с использованием первой теоремы Абеля, и наконец утверждение 3) очевидно.
2
Определение 6.5.2. Число R называется радиусом сходимости ряда (6.5.1).
Определение 6.5.3. Промежуток (−R, R) называется интервалом сходимо- сти ряда (6.5.1) (R > 0).
Заметим, что при x = R и x = −R степенной ряд (6.5.1) может как сходиться,
так и расходиться.
6.6. Свойства суммы степенного ряда
6.6.1. Формула Коши-Адамара. Для вычисления радиуса сходимости R су- ществует формула Коши-Адамара. Она будет получена в следующей теореме.
Теорема 6.6.1 (Коши-Адамар). Радиус сходимости ряда (6.5.1) есть число, об- ратное величине
A = lim n→∞
n p
|a n
|,
при A 6= 0,
A 6= ∞, т.е. R = 1/A. Если A = 0, то R = ∞, и если A = ∞, то R = 0.
Доказательство. Докажем два неравенства R · A 6 1 и R · A > 1. Начнем с первого. Пусть R > 0. Зададим число R
1
, такое, что 0 < R
1
< R. Тогда при x = R
1
ряд (6.5.1) сходится, и поэтому существует число M, такое, что a
n
R
n
1 6 M для всех n = 0, 1, 2, . . .
или
R
1
n p
|a n
| 6
n
√
M
для всех n = 0, 1, 2, . . . .
Теперь
R
1
· A = R
1
lim n→∞
n p
|a n
| = lim n→∞
R
1
n p
|a n
| 6 lim n→∞
n
√
M = lim n→∞
n
√
M = 1,
т.е. R
1
· A 6 1. В силу произвольности R
1
(0 < R
1
< R) можно написать
R · A 6 1.
Это неравенство верно и при R = 0.
Докажем далее, что R ·A > 1. Пусть R < +∞ и R
1
> R. Тогда в точке x = R
1
ряд
(6.5.1) расходится и тем более расходится ряд
∞
P
n=1
|a n
|R
n
1
. Следовательно, по признаку
Коши сходимости числового ряда (теорема 5.3.1 )
lim n→∞
n p
|a n
|R
n
1
>
1
или
R
1
lim n→∞
n p
|a n
| = R
1
· A > 1,
откуда получаем неравенство
R · A > 1,
которое верно и при R = +∞.
Окончательно имеем, что R · A = 1 или R = 1/A.
2
– 182 –

Теорема 6.6.2. Степенной ряд сходится абсолютно и равномерно в промежут- ке [−r, r], где 0 < r < R.
Доказательство. Легко следует из определения числа R и первой теоремы Абеля.
2 6.6.2. Вторая теорема Абеля.
Теорема 6.6.3. Степенной ряд сходится равномерно в промежутке [0, R], если он сходится при x = R.
Доказательство. Проверим условия признака Абеля равномерной сходимости.
Запишем для этого исследуемый ряд в виде
∞
X
n=1
a n
R
n
·
x
R

n
Тогда ряд с общим членом a n
R
n
(в признаке Абеля он играет роль функции a
n
(x)) сходится равномерно на промежутке [0, R] (он сходится равномерно на любом промежутке, так как не зависит от x).
Последовательность b n
(x) =
x
R

n монотонна и равномерно ограничена для x ∈
[0, R].
2
Исследуем сначала вопрос непрерывности суммы степенного ряда в интервале сходимости и на его концах.
Теорема 6.6.4. Если R > 0, то сумма степенного ряда есть функция, непре- рывная в промежутке (−R, R).
Доказательство. Пусть x
0
— произвольная точка из промежутка (−R, R). Дока- жем непрерывность суммы ряда (6.5.1) в этой точке.
В силу свойства плотности множества вещественных чисел существует число r >
0, такое, что
|x
0
| < r < R.
Степенной ряд по теореме 6.6.2 сходится равномерно в промежутке [−r, r], следова- тельно, сумма ряда есть функция, непрерывная в этом промежутке (см. теорему 6.3.4
§ 6.3), в том числе и в точке x
0
∈ [−r, r].
2
Теорема 6.6.5 (вторая теорема Абеля). Если степенной ряд сходится при x =
R, то его сумма непрерывна и в точке x = R, т.е. для x ∈ (−R, R].
Доказательство. По теореме 6.6.3 степенной ряд сходится равномерно в про- межутке [0, R]. Так как члены ряда a n
x n
непрерывны в этом промежутке, то по теореме 6.3.4 сумма ряда непрерывна для x ∈ [0, R], т.е. и в точке x = R.
2 6.6.3. Интегрируемость и дифференцируемость сумм степенных рядов.
Исследуем теперь вопрос интегрируемости и дифференцируемости суммы степенного ряда.
Теорема 6.6.6. Степенной ряд (6.5.1) можно почленно интегрировать в про- межутке [0, x], |x| < R, так, что x
Z
0
S(t) dt = a
0
x +
a
1 2
x
2
+ · · · +
a n−1
n x
n
+ . . . .
– 183 –

Если ряд (6.5.1) сходится и при x = R, то интегрирование возможно на проме- жутке [0, R].
Доказательство. Ряд (6.5.1) равномерно сходится в промежутке [0, x], |x| < R
(см. теорему 6.6.2). Следовательно, его можно почленно интегрировать в этом про- межутке по теореме 6.4.2.
2
Теорема 6.6.7. Степенной ряд (6.5.1) можно почленно дифференцировать внутри его промежутка сходимости, так, что
S
′
(x) = a
1
+ 2a
2
x + 3a
3
x
2
+ · · · + na n
x n−1
+ . . . ,
x ∈ (−R, R).
(6.6.1)
Это равенство справедливо и при x = R, если ряд (6.6.1) сходится в этой точке.
Доказательство. Обозначим радиус сходимости ряда (6.6.1) через R
′
. Радиус сходимости ряда (6.5.1) по-прежнему обозначаем буквой R. Покажем, что
R
′
>
R.
Для этого возьмем любую точку x, |x| < R, и покажем, что ряд (6.6.1) в этой точке сходится. Пусть еще число r таково, что |x| < r < R. Тогда общий член ряда (6.6.1)
по абсолютной величине можно оценить следующим образом:
n|a n
||x|
n−1
= n|a n
| · r n
·
x r
n−1
·
1
r
6
M n r
·
x r
n−1
,
так как |a n
|r n
6
M для всех n ∈ N.
Ряд с общим членом
M n r
x r
n−1
сходится по признаку Даламбера q =
x r
< 1, а,
следовательно, по признаку сравнения сходится абсолютно и ряд (6.6.1) в точке x.
Это означает, что R
′
>
R.
Покажем, что выполняется и неравенство
R
′
6
R.
Тем самым будет доказано, что R
′
= R.
Пусть точка x такова, что
|x| < R
′
Легко видеть, что ряд (6.5.1) также сходится в этой точке. Действительно, спра- ведливо очевидное неравенство
|a n
||x|
n
6
n|a n
||x|
n
= |x|(n|a n
||x|
n−1
),
из которого сразу и следует по признаку сравнения необходимый результат: ведь ряд с общим членом |x| · (n|a n
||x|
n−1
) сходится.
По теореме 6.6.2 ряд (6.6.1) сходится равномерно в отрезке [−r, r], 0 < r < R.
Следовательно, выполнены все условия теоремы 6.4.3 и равенство (6.6.1) выполня- ется для x ∈ [−r, r]. В силу произвольности числа r (0 < r < R) равенство (6.6.1)
выполняется для x ∈ (−R, R). Если ряд сходится в точке x = R, то, рассуждая ана- логично (применяя только теорему 6.4.2), можно доказать равенство (6.6.1) и для точки x = R.
2
Следствие 6.6.1. Степенной ряд вида (6.5.1) имеет на своем интервале схо- димости производные любого порядка.
– 184 –

Замечание 6.6.1. Рассматриваются степенные ряды более общего вида a
0
+ a
1
(x − x
0
) + a
2
(x − x
0
)
2
+ · · · + a n
(x − x
0
)
n
+ . . . .
(6.6.2)
Такой ряд не отличается принципиально от степенного ряда в форме (6.5.1): про- стой заменой переменной y = x − x
0
его можно свести к уже изученному типу.
Все свойства сумм рядов вида (6.5.1) справедливы для рядов вида (6.6.2).
Интервал сходимости для ряда (6.6.2) будет иметь вид
(x
0
− R, x
0
+ R).
6.7. Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора
В математическом анализе и его приложениях большую роль играет теория пред- ставления некоторой функции f(x) в виде суммы степенного ряда S(x).
Определение 6.7.1. Будем говорить, что функция f(x) на интервале (−R, R)
может быть разложена в степенной ряд, если существует степенной ряд, сходя- щийся к f (x) на указанном интервале.
Справедливы следующие утверждения.
Теорема 6.7.1. Для того чтобы функция f(x) могла быть разложена в степен- ной ряд на интервале (−R, R), необходимо, чтобы эта функция имела производные любого порядка для x ∈ (−R, R).
Доказательство вытекает из следствия 6.6.1.
2
Теорема 6.7.2. Если функция f(x) может быть разложена в степенной ряд на интервале (−R, R), то это разложение единственно.
Доказательство. Действительно, коэффициенты степенного ряда a n
, n = 0, 1,
2, . . . , для функции f (x) вычисляются по формулам a
n
=
f
(n)
(0)
n!
,
n = 0, 1, 2, . . . .
(6.7.1)
Достаточно записать равенство f
(n)
(x) = n!a n
+ a n+1
(n + 1)!x + . . .
и положить в нем x = 0.
2
Определение 6.7.2. Степенной ряд, коэффициенты которого определяются формулами (6.7.1), называется рядом Маклорена функции f (x).
При разложении в степенной ряд вида (6.6.2) коэффициенты a n
, n = 0, 1, 2, . . .
вычисляются по формуле a
n
=
f
(n)
(x
0
)
n!
,
n = 0, 1, 2, . . . ,
(6.7.2)
и ряд в этом случае называется рядом Тейлора функции f(x).
Из определения 6.7.2 и теоремы 6.7.2 немедленно следует теорема.
2
Теорема 6.7.3. Если функция f(x) может быть разложена в степенной ряд на интервале (−R, R), то этот ряд является ее рядом Маклорена и коэффициенты ряда определяются по формуле (6.7.1) (или Тейлора, если разложение происходит на промежутке (x
0
−R, x
0
+ R), а коэффициенты вычисляются по формуле (6.7.2)).
– 185 –

Сформулируем и докажем последнюю теорему в этой серии.
Теорема 6.7.4. Для того чтобы функция f(x) могла быть разложена в ряд
Тейлора на интервале (−R, R) (или на интервале (x
0
− R, x
0
+ R)), необходимо и достаточно, чтобы остаточный член в формуле Маклорена (соответственно, в формуле Тейлора) стремился к 0 на указанном интервале.
Доказательство. Запишем формулу Тейлора для функции f (x) при x
0
= 0 (см.
§2.8, формула 2.8.2):
f (x) = f (0) +
f
′
(0)
1!
+
f
′′
(0)
2!
x
2
+ · · · +
f
(n)
(0)
n!
x n
+ r n
(x),
x ∈ (−R, R)
или f (x) = S
n
(x) + r n
(x),
x ∈ (x
0
− R, x
0
+ R),
(6.7.3)
где S
n
(x) — частичная сумма ряда Маклорена. Из формулы (6.7.3) и следует утвер- ждение теоремы 6.7.4.
2
Приведем пять стандартных разложений, которые постоянно используются в ана- лизе и получаются очевидным образом из соответствующих разложений по формуле
Тейлора.
1. Функция e x
:
e x
= 1 + x +
x
2 2!
+ · · · +
x n
n!
+ . . . ,
x ∈ R.
2. Функция sin x:
sin x = x −
x
3 3!
+ · · · + (−1)
n+1
x
2n+1
(2n + 1)!
+ . . . ,
x ∈ R.
3. Функция cos x:
cos x = 1 −
x
2 2!
+ · · · + (−1)
n+1
x
2n
(2n)!
+ . . . ,
x ∈ R.
4. Функция (1 + x)
α
, α — произвольное вещественное число:
(1 + x)
α
= 1 + αx +
α(α − 1)
2!
x
2
+ · · · +
α(α − 1) · · · (α − n + 1)
n!
x n
+ . . . ,
x ∈ (−1, 1). Данный ряд называется биномиальным рядом.

Из условия теоремы все производные ограничены на (−h, h), т.е. |f
(n)
(x)| 6 M. Вы- ражение
|x|
n+1
(n + 1)!
→ 0 при n → ∞ для любого x ∈ (−h, h).
Так что r n
(x) → 0 при n → ∞.
2 6.8. Функции комплексного переменного
6.8.1. Сходимость на комплексной плоскости и ряды с комплексными членами. Более естественно степенные ряды нужно рассматривать на комплексной плоскости C. Чтобы об этом точно говорить необходимо ввести некоторые определе- ния и обозначения. Мы будем придерживаться определений и свойств комплексных чисел из § 11.1 Дополнения.
Поскольку понятие модуля комплексного числа определено и модуль обладает свойствами модуля вещественного числа, то определение сходимости последователь- ности комплексных чисел дается также как для вещественных чисел.
Определение 6.8.1. Для любого положительного числа ε ε-окрестностью ком- плексного числа z
0
называется открытый круг вида {z ∈ C : |z − z
0
| < ε}.
Определение 6.8.2. Последовательность комплексных чисел {z n
} сходится к числу z
0
∈ C, если |z − z
0
| → 0 при n → ∞.
Если представить z n
= x n
+ iy n
, а z
0
= x
0
+ iy
0
, то из неравенств
|x n
− x
0
| 6 |z n
− z
0
|, |y n
− y
0
| 6 |z n
− z
0
|, |z n
− z
0
| 6 |x n
− x
0
| + |y n
− y
0
|
следует, что последовательность комплексных чисел сходится к числу z
0
тогда и только тогда, когда последовательность их действительных частей сходится к дей- ствительной части z
0
, а последовательность мнимых частей сходится к мнимой ча- сти числа z
0
. Поэтому свойства сходящихся последовательностей из §§ 1.7, 1.8, 1.9
полностью переносятся на последовательности комплексных чисел, за исключени- ем предельного перехода в неравенствах, поскольку в области комплексные чисел отсутствует понятие порядка.
Приведем, например, формулировку критерия Коши.
Определение 6.8.3. Последовательность комплексных чисел {z n
} называется фундаментальной или последовательность Коши, если выполнено условие: для лю- бого ε > 0 существует такой номер N ∈ N, что для всех m, n > N справедливо неравенство |z n
− z m
| < ε.
Теорема 6.8.1 (критерий Коши). Последовательность комплексных чисел схо- дится тогда и только тогда, когда она фундаментальна.
Для доказательства достаточно применить обычный критерий Коши для после- довательностей действительных и мнимых частей рассматриваемой последователь- ности.
2
Рассмотрим ряд из комплексных чисел вида z
1
+ z
2
+ . . . + z n
+ . . .
(6.8.1)
Определение 6.8.4. Суммой ряда (6.8.1) называется предел последовательно- сти его частичных сумм S
n
= z
1
+. . .+z n
при n → ∞. В этом случае ряд называется сходящимся, в противном случпе — расходящимся.
Критерий Кошм можно для рядов сформулировать так
– 187 –