Файл: Математический анализ.pdf

Теорема 6.8.2 (критерий Коши сходимости ряда). Ряд (6.8.1) сходится тогда и только тогда, когда для любого ε > 0 существует N ∈ N, что для n > N и для любого p ∈ N выполнено неравенство
|z n+1
+ . . . + z n+p
| < ε.
Также как для ряда свещественными членами, выполняется необходимый при- знак сходимости.
Следствие 6.8.1. Если ряд (6.8.1) сходится, то z n
→ 0 при n → ∞.
Определим абсолютную сходимость ряда.
Определение 6.8.5. Ряд (6.8.1) сходится абсолютно, если сходится ряд из мо- дулей его членов, т.е. сходится ряд
|z
1
| + . . . + |z n
| + . . .
Из критерия Коши и неравенства |z n+1
+ . . . + z n+p
| 6 |z n+1
| + . . . + |z n+p
| получаем утверждение
Теорема 6.8.3. Если ряд (6.8.1) сходится абсолютно, то он сходится.
Признаки Коши, Даламбера, мажорантный признак Вейерштрасса остаются справедливыми для рядов с комплексными членами, поскольку они являются при- знаками абсолютной сходимости. Признаки Лейбница, Абеля, Дирихле нельзя сфор- мулировать для рядов с комплексными членами, поскольку в области комплексных чисел нет понятия монотонных последовательностей.
6.8.2. Степенные ряды с комплексными членами. Определим степенной ряд с комплексными членами следующим образом.
Определение 6.8.6. Ряд вида a
0
+ a
1
(z − z
0
) + a
2
(z − z
0
)
2
+ · · · + a n
(z − z
0
)
n
+ . . . .
(6.8.2)
называется степенным рядом на комплексной плоскости C. Здесь z — комплексная переменная, z
0
, a n
— комплексные числа.
Для этого случая используется вся теория, изложенная выше: определяется ра- диус сходимости, интервал сходимости превращается в круг сходимости |z − z
0
| < R
и т.д. Справедлива первая теорема Абеля в той же формулировке, за исключением понятия равномерной сходимости, которое мы здесь не даем.
Например, применяя признак Коши к ряду
|a
0
| + |a
1
| · |(z − z
0
)| + |a
2
| · |(z − z
0
)|
2
+ · · · + |a n
| · |(z − z
0
|)
n
+ . . . ,
получаем формулу Коши-Адамара.
Теорема 6.8.4 (формула Коши-Адамара). Для радиуса сходимости R ря- да (6.8.2) справедлива формула
1
R
= A = lim n→∞
n p
|a n
|,
при этом ряд (6.8.2) сходится абсолютно в круге {z : |z − z
0
| < R} и расходится при |z − z
0
| > R.
– 188 –

6.8.3. Формула Эйлера. Степенные ряды позволяют ввести в рассмотрение элементарные функции комплексного переменного e z
, cos z, sin z и т.д. Например, по определению полагают (z
0
= 0), что e
z
= 1 +
z
1!
+
z
2 2!
+ · · · +
z n
n!
+ . . . ,
z ∈ C.
Основанием для такого равенства является разложение функции e x
, x ∈ R, в ряд
Маклорена e
x
= 1 +
x
1!
+
x
2 2!
+ · · · +
x n
n!
+ . . . ,
x ∈ R,
а сходимость данного ряда следует из его абсолютной сходимости.
Аналогично определяются функции cos z, sin z, ch z, sh z:
cos z = 1 −
z
2 2!
+
z
4 4!
− · · · + (−1)
n z
2n
(2n)!
+ . . . ,
z ∈ C;
sin z = z −
z
3 3!
+
z
5 5!
− · · · + (−1)
n+1
z
2n+1
(2n + 1)!
+ . . . ,
z ∈ C;
ch z = 1 +
z
2 2!
+
z
4 4!
+ · · · +
z
2n
(2n)!
+ . . . ,
z ∈ C;
sh z = z +
z
3 3!
+
z
5 5!
+ · · · +
z
2n+1
(2n + 1)!
+ . . . ,
z ∈ C.
Из последних разложений легко получить равенства cos (ix) = ch x,
sin (ix) = i sh x,
которые объясняют употребление слов "косинус" и "синус" в названиях функций ch x, sh x.
Данные функции сохраняют многие свойства вещественных функций.
Упражнение 6.8.1. Показать, что e
z+w
= e z
· e w
,
sin
2
z + cos
2
z = 1,
sin(z + w) = sin z · cos w + cos z · sin w.
Для доказательства этих формул нужно перемножить ряды, стоящие в этих фор- мулах и применить формулу бинома Ньютона.
Одной из самых фундаментальных формул в математике является формула Эй- лера, связывающая между собой функции e z
, sin z и cos z в комплексной плоскости.
Теорема 6.8.5 (Эйлер). Справедлива формула e
iz
= cos z + i sin z.
(6.8.3)
Доказательство. Вычислим функцию e z
в точке iz:
e iz
= 1 +
iz
1!
+
(iz)
2 2!
+ · · · +
(iz)
n n!
+ · · · =
=

1 −
z
2 2!
+
z
4 4!
− · · · + (−1)
n z
2n
(2n)!

+
+i

z −
z
3 3!
+
z
5 5!
− · · · + (−1)
n+1
z
2n+1
(2n + 1)!
+ . . .

,
т.е.
e iz
= cos z + i sin z.
2
– 189 –

Заменив в равенстве (6.8.3) аргумент z на −z, получим e
−iz
= cos z − i sin z.
(6.8.4)
Из формул (6.8.3) и (6.8.4) легко вывести, что
(
cos z
=
1 2
(e iz
+ e
−iz
),
sin z
=
1 2i
(e iz
− e
−iz
),
или для действительной переменной x
(
cos x =
1 2
(e ix
+ e
−ix
),
sin x
=
1 2i
(e ix
− e
−ix
).
(6.8.5)
Следствие формулы Эйлера также является соотношение e
πi
= −1,
связывающее между собой алгебру (i), арифметику (1), геометрию (π) и математи- ческий анализ (e).
Также следствием формулы Эйлера является соотношение e
z+2πi
= e z
,
говорящее о том, что экспонента становится периодической функций с чисто мнимым периодом 2πi.
Формула Эйлера позволяет ввести показательную форму комплексного числа z = re iϕ
,
где r — модуль комплексного числа, а ϕ его аргумент.
Формула Муавра становится совсем простой и наглядной z
n
= r n
· e inϕ
6.8.4. Непрерывность и дифференцируемость в комплексной области.
Для того, чтобы говорить о свойствах суммы степенного ряда, нужно определить понятия непрерывности и дифференцируемости функций, заданных на множествах комплексной плоскости. Такие функции w = f(z) будут иметь множеством определе- ние — некоторые множества на плоскости C и их множество значений также лежит в C.
Определение 6.8.7. Пусть функция w = f(z) определена на множестве E ⊂ C.
Она называется непрерывной в точке z
0
∈ E, если для любого ε > 0 найдется такое
δ > 0, что для всех z ∈ E, |z − z
0
| < δ следует, что |f(z) − f(z
0
)| < ε.
В дальнейшем будем рассматривать такие множества E, что всякая точка z
0
∈ E
входит в E вместе с некоторой ε-окрестностью. Такие множества называют откры- тими.
Используя стандартное обозначение предела, определение непрерывности можно переписать так lim z→z
0
f (z) = f (z
0
).
Примерами непрерывных функций являются линейные функции, многочлены,
рациональные функции (кроме точек, в которых знаменатель обращается в 0). Сум- ма, разность, произведение, частное двух непрерывных функций являются также
– 190 –

непрерывными функциями. Сложная функция, составленная из непрерывных функ- ций — непрерывна. Доказательства этих свойств не отличаются от тех, которые да- ются для случая вещественных функций. Более сложным является утверждение.
Теорема 6.8.6. Если степенной ряд вида (6.8.2) сходится в некоторой окрест- ности точки z
0
, то его сумма f (z) непрерывна в точке z
0
и f (z
0
) = a
0
Доказательство. Рассмотрим разность f (z) − a
0
= a
1
(z − z
0
) + . . . + a n
(z − z
0
)
n
+ . . . = (z − z
0
)[a
1
+ . . . + a n
(z − z
0
)
n−1
+ . . .].
Ряд, стоящий в квадратных скобках также сходится в некоторой окрестностьи точки z
0
и является степенным рядом, тогда метод доказательства первой теоремы Абеля показывает, что в некоторой окрестности точки z
0
этот ряд представляет собой огра- ниченную по модулю функцию. Т.е.
|a
1
+ . . . + a n
(z − z
0
)
n−1
+ . . . | 6 M при |z − z
0
| 6 h для некоторых M > 0 и h > 0. Поэтому |f(z) − a
0
| 6 M|z − z
0
| при |z − z
0
| 6 h.
откуда и следует непрерывность f(z) в точке z
0 2
Определение 6.8.8. Производной функции w = f(z) в точке z
0
назовем вели- чину f
′
(z
0
) = lim z→z
0
f (z) − f(z
0
)
z − z
0
Также как в вещественном случае существование производной эквивалентно ра- венству f (z) − f(z
0
) = f
′
(z
0
)(z − z
0
) + o(z − z
0
) при z → z
0
Также как в вещественном случае справедливы правила нахождения произвол- ных (дифференцирования) арифметических операций и сложной функции.
Пример 6.8.1. Показать, что если P (z) = a n
z n
+ a n−1
z n−1
+ . . . + a
0
— многочлен степени n, то P
′
(z) = na n
z n−1
+ (n − 1)a n−1
z n−2
+ . . . + a
1
Решение. Доказательство следует из того, что lim z→z
0
z n
− z n
0
z − z
0
= lim z→z
0
(z − z
0
)(z n−1
+ z n−1
z
0
+ . . . + z n−1 0
)
z − z
0
= nz n−1 0
и правила дифференцирования суммы функций.
Теорема 6.8.7. Если степенной ряд вида (6.8.2) сходится в некоторой окрест- ности точки z
0
, то его сумма f (z) дифференцируема в точке z
0
и f
′
(z
0
) = a
1
Доказательство. Рассмотрим выражение f (z) − f(z
0
)
z − z
0
=
a
1
(z − z
0
) + . . . + a n
(z − z
0
)
n
+ . . .
z − z
0
= a
1
+ . . . + a n
(z − z
0
)
n−1
+ . . .
Ряд a
2
(z − z
0
) + . . . + a n
(z − z
0
)
n−1
+ . . . = (z − z
0
)[a
2
+ . . . + a n
(z − z
0
)
n−2
+ . . .].
Рассуждая как в предыдущей теореме, получаем, что ряд в квадратных скобках ограничен по модулю в некоторой окрестности точки z
0
. Поэтому все, написанное выше, выражение стремится к нулю при z → 0. Следовательно,
lim z→z
0
f (z) − f(z
0
)
z − z
0
= a
1 2
– 191 –

6.8.5. Аналитические функции. Применяя инндукцию, получаем из теоре- мы 6.8.7.
Следствие 6.8.2. Если степенной ряд вида (6.8.2) сходится в некоторой окрестности точки z
0
, то его сумма f (z) имеет в точке z
0
производные любого порядка и выполняются равенства a n
=
f
(n)
(z
0
)
n!
для всех n ∈ N.
Так что сходящийся степенной ряд (6.8.2) является рядом Тейлора для своей сум- мы.
Определение 6.8.9. Функция w = f(z) называется аналитической в точке z
0
,
если в некоторой окрестности точки z
0
ее можно представить в виде сходящегося степенного ряда вида (6.8.2).
Функции e z
, sin z, cos z, ch z, sh z являются аналитическими в точке 0. Более того,
если мы разложим эти функции в ряды Тейлора в любой точке z
0
, то как нетрудно убедится эти ряды Тейлора будут сходящимися. Поэтому данные функции — анали- тичны в любой точке комплексной плоскости C.
В теории функций комплексного переменного будет доказан замечательный факт,
резко отличающий эту теорию от теории вещественных функций. А именно, оказы- вается если функция f(z) имеет производную в каждой точке из некоторой окрестно- сти z
0
, то она аналитична в точке z
0
. Так что из существования одной производной в окрестности точки следует существование всех произволных. На этой удивительной ноте мы покидаем комплексную плоскость.
6.9. Ряд Фурье по тригонометрической системе функций
Определение 6.9.1. Ряд вида a
0 2
+
∞
X
n=1
a n
cos nx + b n
sin nx
(6.9.1)
называется тригонометрическим рядом, а числа a n
, b n
, n = 1, 2, . . . — его коэффи- циентами.
Частичные суммы ряда (6.9.1) есть линейные комбинации функций из системы
1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, . . . .
(6.9.2)
Определение 6.9.2. Система функций (6.9.2) называется тригонометриче- ской системой.
Лемма 6.9.1. Тригонометрическая система функций (6.9.1) имеет следующие свойства:
1. Интеграл по отрезку [−π, π] от произведения двух различных функций этой системы равен 0, т.е.
π
Z
−π
cos nx cos mx dx = 0,
π
Z
−π
sin nx sin mx dx = 0,
n 6= m,
π
Z
−π
sin nx cos mx dx = 0,
m, n = 1, 2, . . . ,
– 192 –

π
Z
−π
sin nx dx = 0,
π
Z
−π
cos nx dx = 0,
n = 1, 2, . . . .
2. Интеграл по отрезку [−π, π] от функций sin
2
nx, cos
2
nx, n = 1, 2 . . . , равен π,
т.е.
π
Z
−π
cos
2
nx dx =
π
Z
−π
sin
2
nx dx = π,
n = 1, 2, . . . ,
а
π
Z
−π
1 2
dx = 2π.
Доказательство. Докажем, например, что
π
Z
−π
sin nx sin mx dx = 0,
n 6= m.
Имеем
π
Z
−π
sin nx sin mx dx =
1 2
π
Z
−π
[cos(n − m)x − cos(n + m)x] dx =
=
sin(n − m)x
2(n − m)
π
−π
−
sin(n + m)x
2(n + m)
π
−π
= 0.
Остальные равенства доказываются аналогично.
2
Предположим теперь, что ряд (6.9.1) сходится на некотором множестве E, обо- значим его сумму f(x) и выясним вопрос о том, как связаны коэффициенты a n
, b n
,
n ∈ N, ряда (6.9.1) с функцией f(x).
Теорема 6.9.1. Пусть на промежутке [−π, π] ряд (6.9.1) сходится равномерно и f (x) — его сумма,
f (x) =
a
0 2
+
∞
X
n=1
a n
cos nx + b n
sin nx,
x ∈ [−π, π].
(6.9.3)
Тогда a
n
=
1
π
π
Z
−π
f (x) cos nx dx,
n = 0, 1, 2, . . . ,
b n
=
1
π
π
Z
−π
f (x) sin nx dx,
n = 1, 2, . . . .
(6.9.4)
Доказательство. Равенство (6.9.3) можно почленно интегрировать на промежут- ке [−π, π], так как выполнены все условия теоремы 6.4.2:
π
Z
−π
f (x) dx =
π
Z
−π
a
0 2
dx +
∞
X
n=1
a n
π
Z
−π
cos nx dx + b n
π
Z
−π
sin nx dx = πa
0
– 193 –

(по лемме 6.9.1 все интегралы под знаком суммы равны 0). Следовательно,
a
0
=
1
π
π
Z
−π
f (x) dx.
Для вычисления коэффициента a m
, m = 1, 2, . . . , умножим равенство (6.9.3) на cos mx:
f (x) cos mx =
a
0 2
cos mx +
∞
X
n=1
a n
cos nx cos mx + b n
sin nx cos mx, x ∈ [−π, π].
Ряд в последнем равенстве по-прежнему сходится равномерно для x ∈ [−π, π]
(для доказательства этого факта достаточно воспользоваться критерием Коши (тео- рема 6.2.1, § 6.2) для последовательности частичных сумм ряда (6.9.3)), и его можно почленно интегрировать на промежутке [−π, π]:
π
Z
−π
f (x) cos mx dx = a m
π
Z
−π
cos
2
mx dx = πa m
,
m = 1, 2, . . . .
(Здесь снова использована лемма 6.9.1.) Для коэффициента a m
, таким образом, по- лучаем формулу a
m
=
1
π
π
Z
−π
f (x) cos mx dx,
m = 1, 2, . . . .
Аналогично доказывается и равенство b
m
=
1
π
π
Z
−π
f (x) sin mx dx,
m = 1, 2, . . . .
2
Рассмотрим теперь класс функций {f(x)}, интеграл от которых сходится абсо- лютно на отрезке [−π, π] (возможно в несобственном смысле). Из сходимости инте- грала

Определение 6.9.3. Пусть функция f(x) абсолютно интегрируема на отрезке
[−π, π]. Тогда тригонометрический ряд (6.9.1), коэффициенты которого задаются формулами (6.9.4), называется рядом Фурье функции f (x) на промежутке [−π, π],
а числа a
0
, a n
, b n
, n ∈ N — коэффициентами Фурье этой функции.
Построим ряд Фурье для функции f(x). Будем обозначать это построение следу- ющим образом:
f (x) ∼
a
0 2
+
∞
X
n=1
a n
cos nx + b n
sin nx
(6.9.5)
(коэффициенты здесь вычислены по формулам (6.9.4)).
Писать знак равенства в соотношении (6.9.5) нельзя, так как не решен вопрос о сходимости ряда в этой записи. Тем более неизвестно, какова сумма записанного ряда и совпадает ли она для каких-то x с функцией f(x). Дальнейшие рассуждения будут направлены на то, чтобы ответить на эти вопросы (о сходимости ряда Фурье и о его сумме). Докажем сначала фундаментальную теорему, которая описывает, в частности, поведение коэффициентов Фурье при n → ∞.
6.10. Теорема Римана об осцилляции
Теорема 6.10.1 (Риман). Если функция f(x) абсолютно интегрируема на мно- жестве [a, w) (конечном или бесконечном), то lim
ν→∞
w
Z
a f (x) cos νx dx = lim
ν→∞
w
Z
a f (x) sin νx dx = 0.
(6.10.1)
Следствие 6.10.1. Коэффициенты Фурье абсолютно интегрируемой на отрезке
[−π, π] функции стремятся к 0 при n → ∞.
Доказательство теоремы проведем сначала для класса так называемых ступен- чатых функций.
Определение 6.10.1. Функция ϕ(x), определенная на всей числовой оси, назы- вается ступенчатой, если существует отрезок [a, b] и его разбиение P точками x i
i = 0, 1, . . . , n a = x
0
< x
1
< · · · < x n−1
< x n
= b такое, что функция ϕ(x) постоянна на каждом из промежутков [x i−1
, x i
),
i =
1, 2, . . . , n, и равна нулю вне [a, b), т.е. ϕ(x) = c i
, если x ∈ [x i−1
, x i
),
i = 1, 2, . . . , n.
Когда c i
принимает только одно значение, равное 1, функция ϕ(x) называется од- ноступенчатой.
Доказательство теоремы 6.10.1. Пусть функция ϕ(x) — ступенчатая и функции
ϕ
i
(x), i = 1, 2, . . . , n, — одноступенчатые, причем
ϕ
i
(x) =
(
1, если x ∈ [x i−1
, x i
)
0, если x /
∈ [x i−1
, x i
).
Легко видеть, что функция ϕ(x) есть линейная комбинация таких одноступенча- тых функций
ϕ(x) =
n
X
i=1
c i
ϕ
i
(x)
– 195 –