Файл: Математический анализ.pdf

и что ступенчатые функции абсолютно интегрируемы на множестве (−∞, ∞):
∞
Z
−∞
|ϕ(x)| dx =
b
Z
a
|ϕ(x)| dx =
n
X
i=1
x i
Z
x i−1
|c i
| dx =
n
X
i=1
|c i
|∆x i
,
∆x i
= x i
− x i−1
Для одноступенчатой функции теорема Римана справедлива:
lim
ν→∞
∞
Z
−∞
ϕ(x) sin νx dx = lim
ν→∞
x i
Z
x i−1
sin νx dx =
= lim
ν→∞
cos νx i−1
− cos νx i
ν
= 0.
Справедлива она и для ступенчатой функции, которая является линейной комбина- цией одноступенчатых.
2
Прежде чем проверить теорему для произвольной абсолютно интегрируемой функции, необходимо доказать лемму.
Лемма 6.10.1. Для любой функции f(x), абсолютно интегрируемой на множе- стве [a, w) (конечном или бесконечном), существует последовательность ступен- чатых функций {ϕ
n
(x)}, такая, что lim n→∞
w
Z
a f(x) − ϕ
n
(x)
dx = 0.
(6.10.2)
Доказательство леммы. Пусть функция f (x) абсолютно интегрируема на мно- жестве [a, w). Пусть ε > 0 зафиксировано. Согласно определению несобственного интеграла выполняется условие
∃b a < b < w
⇒
w
Z
b f(x)
dx <
ε
2
,
(6.10.3)
причем на отрезке [a, b] функция f(x) интегрируема в обычном смысле.
Тогда, если s
T
(f ) есть нижняя сумма Дарбу функции f (x) на отрезке [a, b], соот- ветствующая разбиению T с диаметром |T |, то lim
|T |→0
s
T
(f ) =
b
Z
a f (x) dx.
Это означает, что существует такое разбиение T
0
отрезка [a, b], что
0 6
b
Z
a
(f (x) dx − s
T
0
(f )) dx <
ε
2
(6.10.4)
Нижнюю сумму Дарбу s
T
0
(f ) =
n
P
i=1
m i
∆x i
можно понимать как интеграл на от- резке [a, b] от ступенчатой функции ϕ(x), которая определяется равенствами
ϕ(x) =
(
m i
, если x ∈ [x i−1
, x i
), i = 1, 2, . . . n,
0,
если x /
∈ [a, b).
– 196 –

Неравенство (6.10.4) теперь можно переписать в виде
0 6
b
Z
a f (x) dx −
b
Z
a
ϕ(x) dx <
ε
2
или
0 6
b
Z
a f (x) − ϕ(x)

dx =
b
Z
a f(x) − ϕ(x)
dx <
ε
2
(f (x) > ϕ(x),
x ∈ [a, b])
и теперь окончательно записать уже для промежутка [a, w)
w
Z
a f(x) − ϕ(x)
dx =
b
Z
a f(x) − ϕ(x)
dx +
w
Z
b f(x) − ϕ(x)
dx <
<
ε
2
+
w
Z
b f(x)
dx < ε
(здесь использовано неравенство из условия (6.10.3) и тот факт, что ϕ(x) = 0 для x /
∈ [a, b)).
Если брать в качестве ε числа
1
n
, n = 1, 2, . . . , то по доказанному выше можно найти ступенчатые функции ϕ
n
(x), n = 1, 2, . . . , такие, что w
Z
a f(x) − ϕ
n
(x)
dx <
1
n
,
что и доказывает лемму.
2
Докажем теперь теорему Римана для произвольной абсолютно интегрируемой на множестве [a, w) функции f(x). Зафиксируем снова ε > 0 и по лемме 6.10.1 подберем ступенчатую функцию ϕ(x), такую, что w
Z
a f(x) − ϕ(x)
dx <
ε
2
Для ϕ(x) теорема Римана уже доказана, и поэтому для выбранного ε > 0
∃ν
ε
∀ν > ν
ε
⇒
w
Z
a
ϕ(x) sin νx dx
<
ε
2
Пусть теперь ν > ν
ε
. Тогда w
Z
a f (x) sin νx dx
=
w
Z
a f (x) − ϕ(x) + ϕ(x)

sin νx dx
6 6
w
Z
a f (x) − ϕ(x)

sin νx dx
+
w
Z
a
ϕ(x) sin νx dx
6
– 197 –

6
w
Z
a f(x) − ϕ(x)
sin νx dx +
ε
2 6
w
Z
a f(x) − ϕ(x)
dx +
ε
2
< ε.
2
Теорему Римана иногда называют теоремой об осцилляции.
6.11. Ядра Дирихле и Фейера
6.11.1. Ядро Дирихле и его свойства. Построим для абсолютно интегриру- емой на отрезке [−π, π] функции f(x) ее ряд Фурье f (x) ∼
a
0 2
+
∞
X
k=1
a k
cos kx + b k
sin kx и рассмотрим конечные суммы
S
n
(x, f ) =
a
0 2
+
n
X
k=1
a k
cos kx + b k
sin kx,
(6.11.1)
которые играют роль частичных сумм функционального ряда. Преобразуем формулу
(6.11.1), используя выражения (6.9.4) для коэффициентов a k
, b k
:
S
n
(x, f ) =
1 2π
π
Z
−π
f (t) dt +
n
X
k=1 1
π
π
Z
−π
f (t)(cos kt cos kx + sin kt sin kx) dt =
=
1 2π
π
Z
−π
f (t)
"
1 + 2
n
X
k=1
cos k(t − x)
#
dt.
Если обозначить через D
n
(u) функцию
1 + 2
n
X
k=1
cos ku,
n = 1, 2, . . . ,
(6.11.2)
то
S
n
(x, f ) =
1 2π
π
Z
−π
D
n
(t − x) f(t) dt.
(6.11.3)
Определение 6.11.1. Выражение (6.11.3) для S
n
(x, f ) называется интегралом
Дирихле, а функция D
n
(u) — ядром Дирихле.
Ядро Дирихле обладает простыми, но важными для дальнейшего свойствами,
которые будут сформулированы в следующей лемме.
Лемма 6.11.1. Ядро Дирихле D
n
(u) является функцией:
1) четной;
2) непрерывной для u ∈ (−∞, +∞);
3) периодической с периодом 2π,
для которой выполняются равенства а)
1
π
π
Z
0
D
n
(u) du = 1;
б) D
n
(u) =
sin
2n+1 2
u sin u
2
,
u 6= 0.
– 198 –

Доказательство. Четность, непрерывность и периодичность функции D
n
(u) сле- дует непосредственно из ее определения по формуле (6.11.2). Интегрирование D
n
(u)
на промежутке [0, π] дает равенство
π
Z
0 1 + 2
n
X
k=1
cos ku

du = π,
что и доказывает формулу а). Докажем равенство б):
D
n
(u) = 1 + 2
n
X
k=1
cos ku =
1
sin u
2
sin u
2
+
n
X
k=1 2 sin u
2
cos ku
!
=
=
1
sin u
2
"
sin u
2
+
n
X
k=1

sin
2k + 1 2
u − sin
2k − 1 2
u
#
=
=
sin
2n+1 2
u sin u
2
,
u 6= 0.
Заметим, что D
n
(0) = 2n + 1 и lim u→0
sin
2n+1 2
u sin u
2
= 2n + 1.
2 6.11.2. Ядро Фейера и его свойства. Пусть функция f(x) абсолютно инте- грируема на отрезке [−π, π], причем f(−π) = f(π). Будем считать, что эта функ- ция периодически, с периодом 2π, продолжена на всю числовую ось. Пусть S
n
(x, f ),
n = 0, 1, 2, . . . , частичные суммы Фурье функции f (x) и введем в рассмотрение ве- личины
σ
n
(x, f ) =
S
0
(x, f ) + S
1
(x, f ) + · · · + S
n
(x, f )
n + 1
,
n = 0, 1, 2, . . . .
(6.11.4)
Определение 6.11.2. Суммы σ
n
(x, f ), n = 0, 1, 2, . . . , называются суммами
Фейера n-го порядка.
Аналогично, используя ядра Дирихле D
n
(x), n = 0, 1, 2, . . . , введем величины
Φ
n
(x) =
D
0
(x) + D
1
(x) + · · · + D
n
(x)
n + 1
,
n = 0, 1, 2, . . . .
(6.11.5)
Определение 6.11.3. Выражения Φ
n
(x), n = 0, 1, 2, . . . , называются ядрами
Фейера n-го порядка функции f (x).
Ядра Фейера обладают свойствами, которые будут описаны следующей леммой
(по аналогии с леммой 6.11.1).
Лемма 6.11.2. Ядро Фейера Φ
n
(x), n = 0, 1, 2, . . . является функцией:
1) четной;
2) непрерывной для x ∈ (−∞, +∞);
3) периодической, с периодом 2π,
для которой выполняются равенства:
a)
1 2π
π
Z
−π
Φ
n
(x) dx = 1;
– 199 –

б) Φ
n
(x) =
1
n + 1
sin
2
n + 1 2
x sin
2 x
2
,
x 6= 0;
в) lim n→∞
max
δ6|x|6π
Φ
n
(x) = 0,
где число δ произвольно , 0 < δ < π.
Доказательство. Четность, непрерывность, периодичность функции Φ
n
(x), n =
0, 1, 2, . . . и равенство а) следуют из соответствующих свойств функции D
n
(x), n =
0, 1, 2, . . . .
Докажем равенство б).
(n + 1)Φ
n
(x) =
n
X
k=0
D
n
(x) =
n
X
k=0
sin
2k+1 2
x sin x
2
=
=
n
X
k=0 2 sin x
2
sin
2k+1 2
x
2 sin
2 x
2
=
n
X
k=0
cos kx − cos(k + 1)x
2 sin
2 x
2
=
=
1 − cos(n + 1)x
2 sin
2 x
2
=
sin
2 n+1 2
x sin
2 x
2
,
причем Φ
n
(0) = n + 1.
И, наконец, для доказательства равенства в) зафиксируем δ, 0 < δ < π, и запишем следующие соотношения:
M (δ) = max
δ6|x|6π
Φ
n
(x) =
1
n + 1
max
δ6|x|6π
sin
2 n+1 2
x sin
2 x
2 6
1
(n + 1) sin
2 δ
2
,
из которых и следует равенство в).
2 6.12. Принцип локализации
Теорема 6.12.1 (принцип локализации). Пусть функция f(x) определена, абсо- лютно интегрируема на отрезке [−π, π] и периодически продолжена с промежутка
[−π, π] на всю числовую ось. Тогда для любого δ > 0 интегралы
−δ+x
Z
−π+x
D
n
(t − x) f(t) dt → 0,
π+x
Z
δ+x
D
n
(t − x) f(t) dt → 0 при n → ∞.
Таким образом существование и величина предела сумм Фурье S
n
(x, f ) в точке x при n → ∞ зависит только от значений функции f(x) на отрезке [x − δ, x + δ].
Доказательство. Продолжим периодически функцию f (x) с промежутка [−π, π]
на всю числовую ось и обозначим полученную функцию также f(x) (продолженная функция может отличаться от заданной f(x) в точке x = π, если f(−π) 6= f(π), но на величине коэффициентов Фурье это возможное отличие никак не скажется).
Преобразуем выражение S
n
(x, f ) из формулы (6.11.3), сделав замену переменной интегрирования u = t − x и пользуясь периодичностью функций D
n
(u) и f (x + u):
S
n
(x, f ) =
1 2π
π−x
Z
−π−x
D
n
(u)f (x + u) du =
1 2π
π
Z
−π
D
n
(u)f (x + u) du.
Далее,
S
n
(x, f ) =
1 2π
0
Z
−π
D
n
(u)f (x + u) du +
1 2π
π
Z
0
D
n
(u)f (x + u) du =
– 200 –

=
1 2π
π
Z
0
D
n
(t)f (x − t) dt +
1 2π
π
Z
0
D
n
(t)f (x + t) dt
(здесь в первом интеграле сделана замена u = −t, а во втором u = t). Теперь
S
n
(x, f ) =
1
π
π
Z
0
D
n
(t)
f (x + t) + f (x − t)
2
dt.
(6.12.1)
Выберем число δ произвольно из промежутка (0, π). Тогда можно записать:
S
n
(x, f ) =
1
π
δ
Z
0
D
n
(t)
f (x + t) + f (x − t)
2
dt+
+
1
π
π
Z
δ
D
n
(t)
f (x + t) + f (x − t)
2
dt.
Подставим во второй интеграл последнего равенства выражение для D
n
(u) из лем- мы 6.11.1 (формула б)
1
π
π
Z
δ
f (x + t) + f (x − t)
2 sin t
2
sin(2n + 1)
t
2
dt и отметим, что функция f (x + t) + f (x − t)
sin t
2
абсолютно интегрируема на промежутке [δ, π]. Следовательно, этот интеграл при n →
∞ по теореме 6.10.1 стремится к нулю, т.е. предел суммы Фурье S
n
(x, f ) определяется только пределом интеграла
1
π
δ
Z
0
D
n
(t)
f (x + t) + f (x − t)
2
dt при n → ∞.
2
Замечание 6.12.1. Из теоремы 6.12.1 следует, что суммы Фурье S
n
(x, f
1
) и
S
n
(x, f
2
) двух различных функций f
1
(x) и f
2
(x) сходятся или расходятся одновре- менно в точке x, если эти функции совпадают в сколь угодно малой δ-окрестности точки x. При этом коэффициенты ряда Фурье для f
1
(x) и f
2
(x) могут быть совер- шенно различными: ведь при их вычислении используются значения функций из промежутка [−π, π], где они различны.
6.13. Сходимость ряда Фурье в точке
6.13.1. Признак Дини. Приведем два признака сходимости ряда Фурье в точ- ке. Отметим сразу, что для сходимости необходимо накладывать некоторые огра- ничения на поведение функций в отрезке [−π, π], более жесткие, чем абсолютная интегрируемость. Даже непрерывные на [−π, π] функции могут иметь расходящийся ряд Фурье в точке x ∈ [−π, π].
Пусть далее функция f(x) кусочно–непрерывна на отрезке [−π, π] (т.е. f(x) может иметь лишь конечное число точек разыва первого рода) и пусть x
0
∈ [−π, π].
– 201 –

Обозначим через S
0
число, такое, что
S
0
=



f (x
0
),
если x
0
— точка непрерывности f(x),
f (x
0
+ 0) + f (x
0
− 0)
2
, если x
0
— точка разрыва f(x),
и введем в рассмотрение функцию g(t) = f (x
0
+ t) + f (x
0
− t) − 2S
0
Теорема 6.13.1 (признак Дини). Ряд Фурье функции f(x) сходится к числу S
0
в точке x
0
, если при некотором δ > 0 существует интеграл
δ
Z
0
|g(t)|
t dt.
Доказательство. Покажем, что в условиях теоремы lim n→∞
S
n
(x
0
, f ) = S
0
Для оценки разности S
n
(x
0
, f ) − S
0
воспользуемся формулой (6.12.1) и леммой 6.11.1
(равенство а):
S
n
(x
0
, f ) − S
0
=
1
π
π
Z
0
D
n
(t)
f (x
0
+ t) + f (x
0
− t)
2
dt − S
0
·
1
π
π
Z
0
D
n
(t) dt =
=
1
π
π
Z
0
D
n
(t)
f (x
0
+ t) + f (x
0
− t) − 2S
0 2
dt =
1
π
π
Z
0
D
n
(t)
g(t)
2
dt =
=
1
π
π
Z
0
sin
2n+1 2
sin t
2
g(t)
2
dt =
1
π
π
Z
0
g(t) · t/2
t · sin t
2
sin

n +
1 2

t dt.
Функция g(t)
t
·
t/2
sin t
2
в последнем интеграле абсолютно интегрируема на множестве (0, π], следовательно,
по теореме 6.10.1 этот интеграл стремится к 0 при n → ∞, что и доказывает теорему.
2 6.13.2. Признак Липшица. Рассмотрим еще одни признак сходимости ряда
Фурье.
Теорема 6.13.2 (признак Липшица). Ряд Фурье функции f(x) сходится в точке x
0
к значению f (x
0
), если:
1) f (x) непрерывна в точке x
0
;
2) существуют числа L > 0 и α > 0, такие, что для малых |t| выполняется неравенство f(x
0
+ t) − f(x
0
)
6 Lt
α
(6.13.1)
– 202 –

Доказательство. Проверим справедливость признака Дини в условиях теоре- мы 6.13.2. Оценим интеграл
δ
Z
0
|g(t)|
t dt =
δ
Z
0
f(x
0
+ t) + f (x
0
− t) − 2f(x
0
)
t dt 6 6
δ
Z
0
f(x
0
+ t) − f(x
0
)
t dt +
δ
Z
0
f(x
0
− t) − f(x
0
)
t dt.
Но два последних интеграла сходятся. Например,
δ
Z
0
f(x
0
+ t) − f(x
0
)
t dt 6
δ
Z
0
L
t
1−α
dt,
где 1 − α < 1, что и определяет сходимость, а значит, и выполнение признака Дини.
2
Следствие 6.13.1. Ряд Фурье дифференцируемой в точке x
0
функции f (x) схо- дится в этой точке к значению f (x
0
).
Это следует из того, что для дифференцируемой в точке x
0
функции выполняется равенство f (x
0
± t) − f(x
0
) = A(±t) + o(t), t → 0,
из которого и вытекает условие (6.13.1). Действительно,
f(x
0
± t) − f(x
0
)
6 |A|t + |o(t)| =

|A| +
|o(t)|
t

· t 6 L · t,
где t — достаточно малое неотрицательное число; L — некоторая константа
0 6 |A| +
|o(t)|
t
6
L

Неравенство (6.13.1) называется условием Липшица (или условием Гельдера) для функции f(x) в точке x
0 6.14. Суммирование рядов Фурье методом Чезаро
6.14.1. Суммирование рядов методом Чезаро. Пусть дан числовой ряд u
1
+ u
2
+ · · · + u n
+ . . .
(6.14.1)
и пусть {S
n
} — последовательность его частичных сумм (S
n
= u
1
+ u
2
+ · · · + u n
).
Рассмотрим также последовательность {σ
n
},
σ
n
=
S
1
+ S
2
+ · · · + S
n n
,
n = 1, 2, . . . .
(6.14.2)
Определение 6.14.1. Говорят, что ряд (6.14.1) суммируется методом средних арифметических (методом Чезаро) к числу σ, если выполняется равенство lim n→∞

Таким образом, новое определение суммы ряда содержит обычное определение как частный случай. Метод суммирования, обладающий таким свойством, называ- ется регулярным.
Однако существуют ряды, которые расходятся в обычном смысле, но суммиру- ются методом Чезаро.
Пример 6.14.1. Исследовать на суммируемость методом Чезаро ряд
1 − 1 + 1 − 1 + · · · + (−1)
n+1
+ . . . .
(6.14.4)
Решение. Этот ряд расходится в обычном смысле, так как суммы S
n
,
n =
1, 2, . . . ,
S
n
=
(
1, если n — нечетное,
0, если n — четное,
не стремятся ни к какому пределу.
Но последовательность {σ
n
},
σ
n
=





1 2
, если n — четное,
k
2k − 1
, если n — нечетное, n = 2k − 1
сходится к числу σ =
1 2
при n → ∞ и ряд (6.14.4) суммируется методом Чезаро.
6.14.2. Теорема Фейера. Из формулы
S
n
(x, f ) =
1 2π
π
Z
−π
D
n
(u)f (x + u) du сразу следует равенство (см. § 6.11)
σ
n
(x, f ) =
1 2π
π
Z
−π
Φ
n
(u)f (x + u) du,
n = 0, 1, 2, . . . ,
(6.14.5)
с использованием которого легко доказать следующую теорему.
Теорема 6.14.2 (Фейер). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [−π, π] и f (−π) = f(π), то lim n→∞
σ
n
(x, f ) = f (x),
причем сходимость последовательности {σ
n
(x, f )} к f(x) равномерная на отрезке
[−π, π].
Доказательство. Зафиксируем ε > 0 и оценим модуль разности f (x) − σ
n
(x, f ).
Заметим, что если функцию f(x) периодически продолжить на всю числовую ось, то она будет всюду непрерывна, так как выполнено условие f(−π) = f(π). Будем далее предполагать, что f(x) периодически продолжена. Тогда f(x) − σ
n
(x, f )
=
1 2π
π
Z
−π
f (x)Φ
n
(u) du −
1 2π
π
Z
−π
Φ
n
(u)f (x + u) du
=
– 204 –

=
1 2π
π
Z
−π
Φ
n
(u) [f (x) − f(x + u)] du
6 1
2π
π
Z
−π
Φ
n
(u)
f(x) − f(x + u)
du =
=
1 2π
−δ
Z
−π
Φ
n
(u)
f(x) − f(x + u)
du +
1 2π
δ
Z
−δ
Φ
n
(u)
f(x) − f(x + u)
du+
+
1 2π
π
Z
δ
Φ
n
(u)
f(x) − f(x + u)
du.
При записи последних соотношений использованы равенство а) из леммы 6.11.2,
формула (6.14.5), неотрицательность функции Φ
n
(u), наконец число δ выбрано про- извольно, 0 < δ < π.
Зафиксируем теперь δ = δ
0
так, чтобы второй интеграл в последнем равенстве стал меньше
ε
3
. Возможность такой оценки следует из цепочки неравенств:
1 2π
δ
Z
−δ
Φ
n
(u)
f(x) − f(x + u)
du 6 sup
−δ6u6δ
f(x) − f(x + u)
·
1 2π
δ
Z
−δ
Φ
n
(u) du 6 6
sup
−δ6u6δ
f(x) − f(x + u)
·
1 2π
π
Z
−π
Φ
n
(u) du =
= sup
−δ6u6δ
f(x) − f(x + u)
В силу непрерывности функции f(x) в точке x существует δ
0
, такое, что sup
−δ
0 6
u6δ
0
f(x) − f(x + u)
<
ε
3
Далее, легко видеть, что интегралы на промежутках [−π, −δ
0
] и [δ
0
, π] также можно оценить сверху величиной
ε
3
, выбрав для этого достаточно большое n. Пусть для любого x ∈ R выполняется неравенство f(x)
6 M, тогда
1 2π
π
Z
δ
0
Φ
n
(u)
f(x) − f(x + u)
du 6 1
2π
max
δ
0 6
u6π
Φ
n
(u)
π
Z
δ
0
f(x) − f(x + u)
du 6 6
2M
2π
· max
δ
0 6
u6π
Φ
n
(u) · (π − δ
0
) <
ε
3
, если n > N
(так как max
δ
0 6
u6π
Φ
n
(u) → 0 при n → ∞).
Интеграл на промежутке [−π, −δ
0
] оценивается аналогично. Следовательно, если n > N ,
f(x) − σ
n
(x, f )
< ε для x ∈ [−π, π],
что и доказывает теорему.
2
– 205 –