Файл: Математический анализ.pdf

6.15. Теоремы Вейерштрасса о приближении
6.15.1. Приближение тригонометрическими многочленами.
Определение 6.15.1. Функции вида
A
0 2
+
n
X
k=1
A
k cos kx + B
k sin kx называются тригонометрическими многочленами (порядка n, если A
2
n
+ B
2
n
> 0).
Теорема 6.15.1 (Вейерштрасс). Если функция f непрерывна на отрезке [−π, π]
и f (−π) = f(π), то для любого числа ε > 0 существует такой тригонометрический многочлен T (x), что f(x) − T (x)
< ε
для x ∈ [−π, π].
Доказательство. Так как выполнены все условия теоремы 6.14.2 (§ 6.14), то в качестве T (x) можно взять σ
n
(x, f ) с достаточно большим номером n. Очевидно, что сумма Фейера σ
n
(x, f ) есть тригонометрический многочлен.
2 6.15.2. Приближение алгебраическими многочленами.
Теорема 6.15.2 (Вейерштрасс). Если функция f непрерывна на отрезке [a, b],
то для любого числа ε > 0 существует алгебраический многочлен P (x) (P (x) =
c
0
+ c
1
x + c
2
x
2
+ · · · + c l
x l
), такой, что f(x) − P (x)
< ε
для x ∈ [a, b].
Доказательство. Запишем линейное отображение отрезка [0, π] на отрезок [a, b]
x = a +
b − a
π
t,
t ∈ [0, π].
Произведем с помощью этого отображения замену переменной у функции f(x) и новую функцию от аргумента t обозначим f
∗
(t), т.е.
f
∗
(t) = f

a +
b − a
π
t

,
t ∈ [0, π].
Продолжим функцию f
∗
(t) четным образом на отрезок [−π, 0]. Тогда для таким об- разом построенной функции f
∗
(t), t ∈ [−π, π], выполнены все условия предыдущей теоремы, и поэтому для любого фиксированного числа ε > 0 существует тригоно- метрический многочлен T (t), такой, что f
∗
(t) − T (t)
<
ε
2
для t ∈ [−π, π].
В свою очередь T (t) можно представить суммой степенного ряда
T (t) =
∞
X
k=0
c k
t k
,
(6.15.1)
– 206 –

который сходится для t ∈ (−∞, +∞) и равномерно сходится на любом конечном промежутке (см. первую теорему Абеля 6.5.1, § 6.5). Следовательно, существует ал- гебраический многочлен P (t), такой, что
T (t) − P (t)
<
ε
2
(6.15.2)
для t ∈ [−π, π]. В качестве P (t) достаточно взять частичную сумму S
l
(x) степенного ряда (6.15.1) с номером l, обеспечивающим выполнение неравенства (6.15.2) для t ∈
[−π, π].
Теперь f
∗
(t) − P (t)
6
f
∗
(t) − T (t)
+
T (t) − P (t)
< ε.
Заменяя в последнем неравенстве переменную t через x, найдем, что f(x) − P

π
x − a b − a

< ε
для x ∈ [a, b]. Но P

π
x − a b − a

есть, очевидно, алгебраический многочлен от перемен- ной x, и теорема доказана.
2
Замечание 6.15.1. Пусть f(x) есть непрерывная на отрезке [a, b] функция и последовательность {ε
n
} такова, что ε
n
→ 0 при n → ∞. Тогда по теореме 6.15.2
для любого натурального числа n существует алгебраический многочлен P
n
(x), та- кой, что f(x) − P
n
(x)
< ε
n
,
n = 1, 2, . . . ,
x ∈ [a, b],
т.е. последовательность многочленов {P
n
(x)} равномерно сходится к функции f(x)
на отрезке [a, b] (отметим, что индекс n в обозначении многочлена P
n
(x) не связан со степенью многочлена, а указывает номер элемента функциональной последова- тельности).
Итак, мы получили фундаментальное для всего математического анализа утвер- ждение.
Теорема 6.15.3 (Вейерштрасс). Всякая непрерывная функция может быть представлена как предел равномерно сходящейся последовательности многочленов.
Верно и обратное утверждение.
Теорема 6.15.4. Предел равномерно сходящейся последовательности многочле- нов на отрезке [a, b] есть непрерывная функция на отрезке [a, b].
Это простое следствие теоремы 6.3.2 (лекция 6.3).
Таким образом, получено характеристическое свойство непрерывных функций,
и оказалось, что класс непрерывных функций "не далек" от класса алгебраических многочленов.
6.15.3. Полные системы функций. Доказанные теоремы Вейерштрасса мож- но сформулировать с более общей точки зрения, используя другую терминологию.
Определение 6.15.2. Пусть M есть некоторое множество функций {f(x)},
определенных на отрезке [a, b]. Система функций
ϕ
1
(x), ϕ
2
(x), . . . , ϕ
n
(x), . . .
– 207 –

называется полной для множества M в смысле равномерного приближения, если для любой функции f ∈ M и для любого числа ε > 0 существует конечное число функций ϕ
n
1
(x), ϕ
n
2
(x), . . . , ϕ
n k
(x) и такие числа λ
1
, λ
2
, . . . , λ
k
, что f(x) − λ
1
ϕ
n
1
(x) − λ
2
ϕ
n
2
(x) − · · · − λ
k
ϕ
n k
< ε
для любого x ∈ [a, b].
Запишем теперь новые формулировки теорем 6.15.1 и 6.15.2.
Теорема 6.15.5. Система тригонометрических функций
1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, . . .
полна в смысле равномерного приближения для множества непрерывных на отрезке
[−π, π] функций, принимающих на концах этого отрезка равные значения.
Теорема 6.15.6. Система функций
1, x, x
2
, . . . , x n
, . . .
полна в смысле равномерного приближения для множества всех непрерывных на любом отрезке функций.
Определение 6.15.3. Пусть функции f(x) и g(x) определены на отрезке [a, b].
Величина v
u u
u t
b
Z
a

f (x) − g(x)

2
dx называется средним квадратичным отклонением на отрезке [a, b] функции f (x) от функции g(x).
Определение 6.15.4. Система функций
ϕ
1
(x), ϕ
2
(x), . . . , ϕ
n
(x), . . .
называется полной в смысле среднеквадратичного приближения для некоторого множества R функций, определенных на отрезке [a, b], если для любой функции f (x) ∈ R и любого числа ε > 0 существует такая конечная линейная комбинация функций системы, что ее среднеквадратичное отклонение на [a, b] от функции f (x)
меньше ε.
Нетрудно доказать следующие теоремы (они получаются как простые следствия теорем 6.15.1 и 6.15.2).
Теорема 6.15.7. Система тригонометрических функций полна в смысле сред- неквадратичного приближения в множестве непрерывных на отрезке [−π, π] функ- ций, принимающих на концах этого отрезка равные значения.
Замечание 6.15.2. Слегка усложнив доказательство, можно отказаться в теореме 6.15.7 от условия f (−π) = f(π).
Замечание 6.15.3. Можно доказать, что система тригонометрических функ- ций полна в смысле среднеквадратичного приближения во множестве функций, ин- тегрируемых в квадрате на [−π, π].
– 208 –

Теорема 6.15.8. Система функций
1, x, x
2
, . . . , x n
, . . .
полна в смысле среднеквадратичного приближения во множестве непрерывных на отрезке [a, b] функций.
6.16. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля
6.16.1. Свойство минимальности коэффициентов Фурье. В этом парагра- фе рассматривается класс функций {f(x)}, квадрат которых интегрируем на [−π, π],
т.е.
π
Z
−π
f
2
(x) dx < ∞.
(6.16.1)
Этот класс включается в класс абсолютно интегрируемых на отрезке [−π, π]
функций, так как справедливо неравенство
|f| 6 1 + |f|
2

/2.
Из абсолютной интегрируемости f(x), вообще говоря, не следует интегрируемость f
2
(x).
Пример 6.16.1. Проверить эти свойства для функции f(x) = 1/√x, x ∈ (0, 1].
Решение. Нетрудно понять, что она интегрируема на (0, 1], но ее квадрат таковым не является.
Теорема 6.16.1. Пусть f(x) — функция с интегрируемым на [−π, π] квадратом и S
n
(x, f ) — сумма Фурье порядка n этой функции.
Тогда
π
Z
−π

f (x) − S
n
(x, f )

2
dx = min
{T
n
(x)}
π
Z
−π

f (x) − T
n
(x)

2
dx,
(6.16.2)
где T
n
(x) — тригонометрический многочлен степени не выше n.
Доказательство. Рассмотрим тригонометрический многочлен
T
n
(x) =
A
0 2
+
n
X
k=1
A
k cos kx + B
k sin kx
(6.16.3)
степени n. Непосредственно интегрируя T
n
(x) на промежутке [−π, π], получим
π
Z
−π
T
2
n
(x) dx = π
A
2 0
2
+
n
X
k=1
A
2
k
+ B
2
k

!
(6.16.4)
(при вычислении интеграла необходимо использовать лемму 6.9.1 из § 6.9).
Преобразуем далее интеграл
π
Z
−π

f (x) − T
n
(x)

2
dx,
(6.16.5)
применяя равенство (6.16.4) и снова лемму 6.9.1:
π
Z
−π

f (x) − T
n
(x)

2
dx =
π
Z
−π
f
2
(x) dx +
π
Z
−π
T
2
n
(x) dx − 2
π
Z
−π
f (x)T
n
(x) dx =
– 209 –

=
π
Z
−π
f
2
(x) dx + π
A
2 0
2
+
n
X
k=1
A
2
k
+ B
2
k

−
−2
hA
0 2
π
Z
−π
f (x) dx +
n
X
k=1
A
k
π
Z
−π
f (x) cos kx dx + B
k
π
Z
−π
f (x) sin kx dx i
=
=
π
Z
−π
f
2
(x) dx + π
A
2 0
2
+
n
X
k=1
A
2
k
+ B
2
k

− 2π
a
0
A
0 2
+
n
X
k=1
a k
A
k
+ b k
B
k

+
+π
ha
2 0
2
+
n
X
k=1
a
2
k
+ b
2
k i
− π
ha
2 0
2
+
n
X
k=1
a
2
k
+ b
2
k i
=
=
π
Z
−π
f
2
(x) dx + π
h(A
0
− a
0
)
2 2
+
n
X
k=1
(A
k
− a k
)
2
+ (B
k
− b k
)
2
i
−
−π
ha
2 0
2
+
n
X
k=1
a
2
k
+ b
2
k i
= M + N − P,
где
M =
π
Z
−π
f
2
(x) dx,
N = π
h(A
0
− a o
)
2 2
+
n
X
k=1
(A
k
− a k
)
2
+ (B
k
− b k
)
2
i
,
P = π
ha
2 0
2
+
n
X
k=1
a
2
k
+ b
2
k i
(M, N, P > 0).
(6.16.6)
Таким образом, интеграл (6.16.5) представлен в виде суммы трех слагаемых, при- чем только величина N зависит от выбора коэффициентов A
k
, B
k
. Если положить
A
k
= a k
и B
k
= b k
, k = 0, 1, . . . , n, то N = 0 и интеграл (6.16.5) принимает в этом случае T
n
(x) = S
n
(x, f )

минимальное значение.
2 6.16.2. Неравенство Бесселя.
Теорема 6.16.2 (неравенство Бесселя). Если a n
,
n = 0, 1, 2, . . . , n, и b n
, n = 1,
2, . . . , n, — коэффициенты Фурье функции f (x) с интегрируемым квадратом на промежутке [−π, π], то справедливо неравенство Бесселя a
2 0
2
+
∞
X
k=1
a
2
k
+ b
2
k

6 1
π
π
Z
−π
f
2
(x) dx.
(6.16.7)
Доказательство. Используем обозначения (6.16.6) из доказательства предыду- щей теоремы. Ясно, что
M + N − P > 0,
и если T
n
(x) = S
n
(x, f ), то
M > P
(N = 0)
или
π
Z
−π
f
2
(x) dx > π
ha
2 0
2
+
n
X
k=1
a
2
k
+ b
2
k
i
(6.16.8)
– 210 –

Переходя в последнем неравенстве к пределу при n → ∞, получим
π
Z
−π
f
2
(x) dx > π
ha
2 0
2
+
∞
X
k=1
a
2
k
+ b
2
k
i
Существование предела или, другими словами, сходимость числового ряда a
2 0
2
+
∞
X
k=1
a
2
k
+ b
2
k

следует из неравенства (6.16.8) (частичные суммы числового ряда с неотрицатель- ными членами ограничены сверху).
Следствие 6.16.1. lim n→∞
a n
= lim n→∞
b n
= 0 (уже известное свойство коэффициен- тов Фурье).
6.16.3. Равенство Парсеваля. Можно показать, что в формуле (6.16.7) на са- мом деле стоит знак равенства. Докажем это для более узкого класса функций, чем класс, который рассмотрен в теореме 6.16.2.
Теорема 6.16.3. Пусть функция f(x) непрерывна на [−π, π] и f(−π) = f(π),
тогда справедливо равенство Парсеваля
1
π
π
Z
−π
f
2
(x) dx =
a
2 0
2
+
∞
X
k=1
a
2
k
+ b
2
k

(6.16.9)
Доказательство. Из теоремы 6.15.7 следует, что для любого числа ε > 0 суще- ствует тригонометрический многочлен T
n
(x), такой, что
1
π
π
Z
−π
h f (x) − T
n
(x)
i
2
dx < ε.
(6.16.10)
Справедливы также неравенства
0 6 M − P =
π
Z
−π
h f (x) − S
n
(x, f )
i
2
dx 6
π
Z
−π
h f (x) − T
n
(x)
i
2
dx
(см. теорему 6.16.1) или, используя условие (6.16.10),
0 6 1
π
M − P

< ε,
т.е.
0 6 1
π
M − P

=
1
π
π
Z
−π
f
2
(x) dx −
ha
2 0
2
+
n
X
k=1
a
2
k
+ b
2
k i
< ε.
Тем более
0 6 1
π
π
Z
−π
f
2
(x) dx −
ha
2 0
2
+
∞
X
k=1
a
2
k
+ b
2
k i
< ε.
В силу произвольности числа ε из последнего неравенства и следует равенство
Парсеваля (6.16.9).
2
– 211 –

Следствие 6.16.2. В предположениях теоремы справедлива формула lim n→∞
π
Z
−π
h f (x) − S
n
(x, f )
i
2
dx = 0.
6.17. Почленное дифференцирование и интегрирование рядов Фурье
6.17.1. Дифференцирование рядов Фурье.
Определение 6.17.1. Функция f(x) называется кусочно-гладкой на отрезке
[a, b], если она и ее первая производная имеют не более чем конечное число точек разрыва первого рода на [a, b].
Теорема 6.17.1. Пусть функция f(x) непрерывна на [−π, π], f(−π) = f(π) и для нее записан ряд Фурье f (x) ∼
a
0 2
+
∞
X
n=1
a n
cos nx + b n
sin nx.
Если f (x) кусочно-гладкая на отрезке [−π, π], то f
′
(x) ∼
∞
X
n=1
−na n
sin nx + nb n
cos nx

,
т.е. ряд Фурье для производной получается из ряда Фурье самой функции почлен- ным дифференцированием (о сходимости ряда для f
′
(x) ничего не известно).
Доказательство. Из условий теоремы следует, что f
′
(x) непрерывна на проме- жутке [−π, π] за исключением конечного числа точек, в которых она имеет разрывы первого рода. Для такой функции f
′
(x) можно вычислить коэффициенты Фурье α
n
,
n = 0, 1, 2, . . . , β
n
, n = 1, 2, . . . :
α
0
=
1
π
π
Z
−π
f
′
(x) dx =
1
π
f (π) − f(−π)

= 0,
α

Доказательство. Применяя теорему 6.17.1 последовательно k раз, получим f
(k)
(x) ∼
∞
X
n=1
α
n cos nx + β
n sin nx,
где либо
α
n
= ±n k
a n
,
β
n
= ±n k
b n
,
n = 1, 2, . . . ,
(6.17.1)
либо
α
n
= ±n k
b n
,
β
n
= ±n k
a n
,
n = 1, 2, . . . .
(6.17.2)
Так как интеграл
π
R
−π
h f
(k)
(x)
i
2
dx существует, то из неравенства Бесселя (теоре- ма 6.16.2) следует сходимость ряда
∞
X
n=1
α
2
n
+ β
2
n
=
∞
X
n=1
ε
2
n
,
ε
n
=
p
α
2
n
+ β
2
n
,
n = 1, 2, . . .

Если выполняются условия (6.17.1), то
|a n
| 6
|α
n
|
n k
6
p
α
2
n
+ β
2
n n
k
=
ε
n n
k и
|b n
| 6
|β
n
|
n k
6
p
α
2
n
+ β
2
n n
k
=
ε
n n
k
,
n = 1, 2, . . .
Такие же оценки справедливы и в случае выполнения условий (6.17.2).
2
Лемма устанавливает порядок малости коэффициентов Фурье функции f(x) в зависимости от ее дифференциальных свойств

|a n
| = o
1
n k

,
|b n
| = o
1
n k

,
n → ∞

Сформулируем без доказательства теорему, которая определяет характер сходи- мости ряда Фурье к функции f(x) также в зависимости от ее дифференциальных свойств.
Теорема 6.17.2. Пусть функция f(x) имеет на отрезке [−π, π] непрерывные производные до порядка k − 1 включительно и кусочно непрерывную производную порядка k
(k > 1), причем f
(l)
(−π) = f
(l)
(π),
l = 0, 1, 2, . . . , k − 1.
Тогда ряд Фурье функции f (x) равномерно сходится к f (x) для x ∈ [−π, π], причем выполняется неравенство f(x) − S
n
(x, f )
6
η
n n
k−
1 2
lim n→∞
η
n
= 0

Доказательство теоремы базируется на использовании неравенств для коэффи- циентов Фурье из леммы 6.17.1.
– 213 –

6.17.2. Интегрирование рядов Фурье.
Теорема 6.17.3. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [−π, π] и f (x) ∼
a
0 2
+
∞
X
n=1
a n
cos nx + b n
sin nx.
Тогда t
Z
0
f (x) dx =
t
Z
0
a
0 2
dx +
∞
X
n=1
t
Z
0
a n
cos nx + b n
sin nx

dx =
=
a
0
t
2
+
∞
X
n=1
a n
n sin nt +
b n
n
(1 − cos nt),
причем последний ряд сходится к функции t
R
0
f (x) dx равномерно для t ∈ [−π, π].
Доказательство. Рассмотрим функцию (интеграл с переменным верхним преде- лом)
F (t) =
t
Z
0
h f (x) −
a
0 2
i dx.
Эта функция удовлетворяет всем условиям предыдущей теоремы при k = 1

F
′
(x) = f (x) − a
0
/2,
F (−π) = F (π) = 0

, поэтому ее ряд Фурье сходится рав- номерно для x ∈ [−π, π], так что
F (t) =
¯
a
0 2
+
∞
X
n=1
¯
a n
cos nt + ¯b n
sin nt.
(6.17.3)
Вычислим коэффициенты ¯a n
, n = 0, 1, 2, . . . , и ¯b n
, n = 1, 2, . . . :
¯
a n
=
1
π
π
Z
−π
F (t) cos nt dt =
=
1
π
F (t)
sin nt n
π
−π
−
1
πn
π
Z
−π
h f (t) −
a
0 2
i sin nt dt = −
b n
n
,
n = 1, 2, . . . .
Аналогично,
¯b n
=
a n
n
,
n = 1, 2, . . . .
Для вычисления ¯a
0
положим в равенстве (6.17.3) t = 0 0 =
¯
a
0 2
+
∞
X
n=1
¯
a n
Или
¯
a
0 2
= −
∞
X
n=1
¯
a n
=
∞
X
n=1
b n
n и, наконец,
F (t) =
∞
X
n=1
b n
n
+
∞
X
n=1

−
b n
n cos nt +
a n
n sin nt

=
∞
X
n=1
a n
n sin nt +
b n
n
(1 − cos nt),
– 214 –