Файл: Математический анализ.pdf

что вместе с равенством
F (t) =
t
Z
0
f (x) dx −
a
0 2
t дает требуемый результат.
2 6.17.3. Ряды Фурье в случае произвольного интервала. Пусть функция f (x) задана в промежутке [−l, l] и периодически продолжена на всю числовую ось с периодом 2l. Построим ряд Фурье функции f(x) для x ∈ [−l, l].
Произведем замену переменной x с помощью формулы y =
π
l x,
x ∈ [−l, l].
Тогда y ∈ [−π, π] и для функции f
y
π

= ¯
f (y) могут быть использованы все ранее полученные результаты для рядов Фурье. В частности,
a
0
=
1
π
π
Z
−π
¯
f (y) dy;
a n
=
1
π
π
Z
−π
¯
f (y) cos ny dy,
b n
=
1
π
π
Z
−π
¯
f (y) sin ny dy,
n = 1, 2, . . .
и
¯
f (y) ∼
a
0 2
+
∞
X
n=1
a n
cos ny + b n
sin ny.
Вернемся к переменной x во всех этих соотношениях:
a
0
=
1
l l
Z
−l f (x) dx,
a n
=
1
l l
Z
−l f (x) cos nπx l
dx,
b n
=
1
l l
Z
−l f (x) sin nπx l
dx,
n = 1, 2, . . .
f (x) ∼
a
0 2
+
∞
X
n=1
a n
cos nπx l
+ b n
sin nπx l
(6.17.4)
и тем самым получим форму записи ряда Фурье для функции, заданной в проме- жутке [−l, l].
Если x ∈ [a, b], то нетрудно, используя формулы (6.17.4), записать ряд Фурье функции f(x) и на множестве [a, b]. Периодически продолжим функцию f(x) на всю числовую ось с периодом 2l = b − a. Теперь воспользуемся формулами (6.17.4), где l =
b − a
2
. Интегралы при вычислении коэффициентов Фурье можно брать по про- межутку [a, b]. Замена отрезка [−l, l] на отрезок [a, b] не изменит интегралов, так как функция f(x) периодически продолжаема на всю ось с периодом 2l, функции cos nπx l
, sin nπx l
, n = 0, 1, 2, . . . также имеют период 2l.
– 215 –

(Известно, что l
Z
−l
ϕ(x) dx =
C+2l
Z
C
ϕ(x) dx,
где ϕ(x) — периодическая, с периодом 2l, функция; C — произвольное число.)
Ряд Фурье для четной функции записывается более компактно:
f (x) ∼
a
0 2
+
∞
X
n=1
a n
cos nπx l
,
где a
n
=
2
l l
Z
0
f (x) cos nπx l
dx,
n = 0, 1, 2, . . . ,
b n
= 0,
n = 1, 2, . . . ,
а для нечетной f (x) ∼
∞
X
n=1
b n
sin nπx l
,
где b
n
=
2
l l
Z
0
f (x) sin nπx l
dx,
a n
= 0,
n = 1, 2, . . . .
Объясняется такое упрощение свойствами интеграла от четной (или нечетной)
функции на промежутке, симметричном относительно начала координат. Например,
l
Z
−l g(x) dx = 0,
если g(x) — нечетная функция.
6.17.4. Комплексная запись ряда Фурье. Пусть для функции f(x), x ∈
[−π, π], записан ряд Фурье f (x) ∼
a
0 2
+
∞
X
n=1
a n
cos nx + b n
sin nx.
Формулы (6.8.5) (§ 6.8) приводят этот ряд к виду f (x) ∼
a
0 2
+
∞
X
n=1
a n
2
e inx
+ e
−inx

+
b n
2i e
inx
− e
−inx

=
=
a
0 2
+
∞
X
n=1 1
2
a n
− b n
i

e inx
+
1 2
a n
+ b n
i

e
−inx
Положим c
0
=
a
0 2
,
c n
=
1 2
(a n
− b n
i),
c
−n
=
1 2
(a n
+ b n
i),
c
−n
= ¯
c n
,
n = 1, 2, . . . .
Тогда f (x) ∼
∞
X
n=−∞
c n
e inx
(6.17.5)
– 216 –

Для коэффициентов ряда (6.17.5) легко получить единую форму:
c n
=
1 2
(a n
− b n
i) =
1 2π
π
Z
−π
f (x)[cos nx − i sin nx] dx =
=
1 2π
π
Z
−π
f (x)e
−inx dx.
Аналогично c
−n
=
1 2π
π
Z
−π
f (x)e inx dx.
Предполагается, что сходимость ряда (6.17.5) определяется с помощью частичных сумм
S
n
=
n
X
k=−n c
k e
ikx
– 217 –

Глава 7
Дифференциальное исчислении функций многих переменных
После изучения этой главе читатель должен ументь исследовать функции мно- гих переменных, находить экстремум функции, производные по направлению, про- изводные неявных функций, решать задачи на условный экстремум. Знать основные определения, формулы и теоремы дифференциального исчисления функций многих переменных: открытые, замкнутые и компактные множества и их свойства, теоре- мы о среднем, формулу Тейлора, необходимые и достаточные условия экстремума,
теорему о неявных функциях и системах неявных функций, теорему об обратном отображении, зависимость и независимость функций, метод множителей Лагранжа.
Владеть методами решения задач из данной главы.
7.1. Пространство R
n
7.1.1. Модуль вектора и расстояние между векторами. В дальнейшем бу- дем рассматривать одну из реализаций n-мерного евклидова пространства (§ 11.15),
а именно пространство R
n
Элементами этого пространства являются n–мерные вектора–строки x = (x
1
, x
2
, . . . , x n
).
Сложение векторов и умножение на действительное число определяются покомпо- нентно, т.е. если x и y = (y
1
, y
2
, . . . , y n
) — два вектора, то x + y = (x
1
+ y
1
, x
2
+ y
2
, . . . , x n
+ y n
),
а
λx = (λx
1
, λx
2
, . . . , λx n
)
для действительного числа λ.
Очевидно, что так введенные операции превращают R
n в n-мерное действитель- ное линейное пространство.
Скалярное произведение в R
n определяется так:
(x, y) = x · y = x
1
y
1
+ x
2
y
2
+ . . . + x n
y n
Аксиомы скалярного произведения выполняются, и, следовательно, R
n есть евкли- дово пространство.
С помощью скалярного произведения (см. § 11.15) в евклидовом пространстве можно ввести понятие длины (или модуля) вектора |x| следующим образом:
|x| =
p
(x, x).
Определим теперь расстояние между векторами.
Определение 7.1.1. Пусть x и y — векторы из R
n
, расстоянием между век- торами называется модуль разности этих векторов |x − y|.
218

Теорема 7.1.1. Расстояние обладает следующими свойствами:
1) |x − y| > 0 и |x − y| = 0 тогда и только тогда, когда x = y (неотрицатель- ность);
2) |x − y| = |y − x| (симметричность);
3) |x−y| 6 |x−z|+|z−y| для любых векторов x, y, z (неравенство треугольника).
Доказательство. Свойства 1) и 2) очевидны. Докажем свойство 3). Напомним неравенство Коши-Буняковского (теорема 11.15.4):
|(x, y)| 6 |x| · |y|.
Тогда
|x − y|
2
= |(x − z) + (z − y)|
2
= ((x − x) + (z − y), (x − x) + (z − y)) =
= (x − z, x − z) + 2(x − z, z − y) + (z − y, z − y) 6 |x − z|
2
+ 2|(x − z, z − y)| + |z − y|
2 6
6
|x − z|
2
+ 2|x − z| · |z − y| + |z − y|
2
= (|x − z| + |z − y|)
2
Откуда и следует неравенство треугольника.
2 7.1.2. Открытые и замкнутые множества. Функция расстояния позволяет определить понятие окрестности точки x ∈ R
n
Определение 7.1.2. Пусть x ∈ R
n и число ε > 0. Множество всех точек y ∈ R
n
, таких, что
|y − x| < ε,
называется открытым n-мерным шаром радиуса ε с центром в точке x или ε- окрестностью точки x и обозначается U
x
(ε).
В случае прямой R
1
окрестность — это интервал длины 2ε с центром в этой точке. В случае плоскости R
2
окрестность есть круг без граничных точек с центром в данной точке радиуса ε. В R
3
окрестность есть обычный шар с центром в x.
Кроме шаровых окрестностей, можно рассматривать прямоугольные окрестности точки x, т.е. множества векторов y, удовлетворяющих условиям
|y
1
− x
1
| < δ
1
, . . . , |y n
− x n
| < δ
n для некоторых положительных чисел δ
1
, δ
2
, . . . , δ
n
Лемма 7.1.1. Любая шаровая окрестность точки x содержится в некоторой прямоугольной окрестности и содержит некоторую прямоугольную окрестность точки x. Любая прямоугольная окрестность точки x содержится в некоторой ша- ровой окрестности и содержит некоторую шаровую окрестность точки x.
Эта лемма позволяет во многих случаях заменять шаровую окрестность на пря- моугольную и наоборот.
Пусть E — некоторое подмножество пространства R
n
Определение 7.1.3. Точка x ∈ E называется внутренней точкой E, если су- ществует окрестность этой точки U
x
(ε), целиком лежащая в E.
Шаровую окрестность в этом определении можно заменить на прямоугольную по лемме 7.1.1.
Определение 7.1.4. Множество точек E называется открытым, если оно со- стоит только из внутренних точек.
– 219 –

По определению также полагают, что пустое множество открыто.
Примером открытого множества служит все пространство R
n
Пример 7.1.1. Показать, что любая шаровая окрестность U
x
(ε) точки x и любая прямоугольная окрестность точки x являются открытыми множествами.
Решение. Действительно, рассмотрим точку y ∈ U
x
(ε), тогда |y − x| = δ < ε.
Поэтому шар U
y
(ε − δ) ⊂ U
x
(ε), поскольку для точек z ∈ U
y
(ε − δ) выполнены неравенства
|z − x| = |(z − y) + (y − x)| 6 |z − y| + |y − x| < (ε − δ) + δ = ε.
Открытые множества обладают следующими свойствами (доказательство этих свойств легко следует из определения):
1) объединение любого (конечного или бесконечного) числа открытых множеств есть множество открытое;
2) пересечение любого конечного числа открытых множеств также открыто.
Пересечение бесконечного числа открытых множеств может не быть открытым.
Пример 7.1.2. Показать, что пересечение всех шаровых окрестностей точки x состоит из одной точки x.
Решение. Это свойство очевидно, Данное множество не является открытым, по- скольку вообще не содержит внутренних точек.
Определение 7.1.5. Точка x называется предельной точкой множества E,
если в любой окрестности U
x
(ε) этой точки содержится хотя бы одна точка из
E, не совпадающая с x.
Сама предельная точка может и не принадлежать E.
Это определение можно было дать и так: x — предельная точка E, если любая окрестность точки x содержит бесконечное число элементов из E.
Вместо шаровых окрестностей в этих определениях можно брать прямоугольные окрестности.
Множество предельных точек для E часто обозначают через E
′
и называют про- изводным множеством.
Пример 7.1.3. Показать, что конечное множество E не имеет предельных точек,
т.е. E
′
= ∅.
Решение. Это свойство, очевидно, следует из определения предельной точки.
Определение 7.1.6. Множество E называется замкнутым, если оно содер- жит все свои предельные точки, т.е. E
′
⊂ E.
По определение, пустое множество замкнуто.
Конечное множество замкнуто.
Свойства замкнутых множеств (доказательство очевидно следует из определе- ния):
1) объединение конечного числа замкнутых множеств замкнуто;
2) пересечение любого числа (конечного или бесконечного) замкнутых множеств также замкнуто.
Теорема 7.1.2. Дополнение в R
n к открытому множеству — замкнуто, а до- полнение к замкнутому множеству открыто.
Доказательство. Пусть E — открытое множество. Пусть x
(0)
— предельная точка дополнения R
n
\ E. Если x
(0)
∈ E, то, поскольку E — открыто, существует окрест- ность U
x
(0)
(ε) этой точки полностью лежащая в E. Что противоречит определению предельной точки.
– 220 –

Пусть E — замкнуто, и точка x
(0)
∈ R
n
\E. Если точка x
(0)
не является внутренней,
то всякая ее окрестность U
x
(0)
(ε) пересекается с E. Так что x
(0)
— предельная точка
E, не принадлежащая E. Получили противоречие с замкнутостью E.
2
Определение 7.1.7. Точка x называется граничной точкой множества E, если любая окрестность точки x содержит как точки E, так и точки дополнения R
n
\
E. Множество граничных точек E называется границей E и обозначается ∂E.
Множество граничных точек любого множества замкнуто.
Определение 7.1.8. Областью в R
n называется открытое множество D, лю- бые две точки которого можно соединить ломаной, полностью лежащей в D.
7.1.3. Компактные множества.
Определение 7.1.9. Множество K называется компактным множеством или компактом, если из любого покрытия этого множества открытыми множе- ствами можно выбрать конечное подпокрытие.
Теорема 7.1.3 (принцип Бореля-Лебега). Для того чтобы множество K было компактным, необходимо и достаточно, чтобы оно было замкнутым и ограничен- ным.
Ограниченность множества означает, что оно содержится в некотором шаре до- статочно большого радиуса. Величина d = inf x,y∈K
|x − y| называется диаметром K.
Доказательство. Пусть K — компактно, а точка x
(0)
— предельная точка K и x
(0)
/
∈ K. Для любой точки x ∈ K рассмотрим окрестность U
x
(ε), не содержащую x
(0)
Эта система окрестностей образует открытое покрытие K. Их него можно выбрать конечное подпокрытие, скажем U
x
(1)
(ε
1
), . . ., U
x
(m)
(ε
m
).
Так как x
(0)
/
∈ U
x
(1)
(ε
1
) ∪ . . . ∪ U
x
(m)
(ε
m
), то окрестность U
x
(0)
(ε) также не пересе- кается с этим объединением, если 0 < ε < min{|x
(0)
− x
(1)
| − ε
1
, . . . , |x
(0)
− x
(m)
| − ε
m
}.
И таким образом U
x
(0)
(ε) не пересекается с K, что противоречит определению пре- дельной точки.
Также доказывается ограниченность K.
Пусть теперь K — замкнуто и ограничено. Рассмотрим открытое покрытие K,
т.е. систему открытых множеств U
α
, α ∈ A, таких что
S
α∈A
⊃ K. Предположим, что из данного покрытия нельзя выбрать конечного подпокрытия.
Дальше можно рассуждать как при доказательства принципа Бореля-Лебега из
§ 1.5. Так как E ограничено, то найдется прямоугольное множество
U = {x ∈ R
n
: a
1 6
x
1 6
b
1
, . . . , a n
6
x n
6
b n
}
достаточно больших размеров, что K ⊂ U. Деля каждый отрезок [a j

Так как диаметры K
j стремятся к нулю и все K
j содержат x
(0)
, то начиная с какого-то номера эти множества содержатся в U
x
(0)
, значит и в U
α
1
. Таким образом,
K
j покрываются одним множеством из системы U
α
, α ∈ A. Получили противоречие.
2
Теорема 7.1.4 (принцип Больцано-Вейерштрасса). Любое ограниченное беско- нечное множество в R
n имеет хотя бы одну предельную точку.
Доказательство вполне аналогично доказательсту такого-же принципа на число- вой прямой (§1.5).
Теорема 7.1.5 (принцип Кантора). Любое семейство компактных множеств,
вложенных друг в друга, имеет хотя бы одну общую точку. Другими словами, если семейство компактных множеств {K
i
}, i ∈ N, обладает свойством, что K
i
⊂ K
j при i > j, то пересечение этих множеств не пусто. Более того, если диаметры
K
i стремятся к нулю при i → ∞, то пересечение всех множеств K
i состоит из одной точки.
7.2. Предел функции в R
n
7.2.1. Предел последовательности. Начнем с определения предела последо- вательности элементов пространства R
n
Определение 7.2.1. Пусть каждому натуральному числу m ∈ N поставлена в соответствие некоторая точка x
(m)
∈ R
n
. Тогда говорят, что задана последова- тельность {x
(m)
}, m = 1, 2, . . . , точек пространства R
n
Определение 7.2.2. Точка a ∈ R
n называется пределом последовательности
{x
(m)
} при m → ∞, если числовая последовательность |x
(m)
− a| → 0 при m → ∞.
Записывают это так:
lim m→∞
x
(m)
= a.
Сама последовательность в этом случае называется сходящейся, в противном слу- чае — расходящейся.
Используя понятие окрестности, легко установить, что последовательность {x
(m)
}
сходится к точке a тогда и только тогда, когда для любого положительного числа ε
существует такой номер M, что для всех номеров m > M выполняется включение x
(m)
∈ U
a
(ε).
Шаровые окрестности здесь могут быть заменены прямоугольными окрестностя- ми.
Теорема 7.2.1. Для того чтобы последовательность x
(m)
= (x
(m)
1
, x
(m)
2
, . . . , x
(m)
n
)
сходилась к точке a = (a
1
, a
2
, . . . , a n
) ∈ R
n
, необходимо и достаточно, чтобы для каждого j = 1, 2, . . . , n выполнялись условия lim m→∞
x
(m)
j
= a j
Доказательство. Необходимость. Пользуясь неравенством |x
(m)
j
−a j
| 6 |x
(m)
−a|,
получим
|x
(m)
j
− a j
| 6 |x
(m)
− a| → 0 при m → ∞,
т.е. |x
(m)
j
− a j
| → 0 при m → ∞ для j = 1, . . . , n.
– 222 –