Файл: Математический анализ.pdf

Обратно, пусть |x
(m)
j
− a j
| → 0 при m → ∞ для j = 1, . . . , n. Тогда из неравенства
|x
(m)
− a| 6
n
X
j=1
|x
(m)
j
− a j
|
получим |x
(m)
− a| → 0 при m → ∞.
2
Это утверждение показывает, что все основные свойства предела числовой после- довательности переносятся на случай предела последовательности точек простран- ства R
n
Свойства предела последовательности:
1) сходящаяся последовательность ограничена;
2) сходящаяся последовательность не может иметь двух различных пределов;
3) если lim m→∞
x
(m)
= a,
lim m→∞
y
(m)
= b,
то последовательности x
(m)
+ y
(m)
, (x
(m)
, y
(m)
) также сходятся и lim m→∞
x
(m)
+ y
(m)

= a + b,
lim m→∞
(x
(m)
, y
(m)
) = (a, b);
4) если последовательность x
(m)
сходится к a, а числовая последовательность λ
m
— к числу λ, то последовательность λ
m x
(m)
также сходится, причем lim m→∞
λ
m x
(m)
= λa.
Справедлив также критерий Коши.
Теорема 7.2.2. Для того, чтобы последовательность x
(m)
являлась сходящейся необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > существовал номер M > 0, что для всех номеров m, k > M выполнялось неравенство |x
(m)
− x
(k)
| < ε.
Если m k
— строго возрастающая последовательность натуральных чисел, то последовательность x
(m k
)
называется подпоследовательностью последовательности x
(m)
Определение 7.2.3. Точка a ∈ R
n называется частичным пределом последова- тельности x
(m)
, если найдется подпоследовательность этой последовательности,
сходящаяся к a.
Сходящаяся последовательность имеет только один частичный предел, равный пределу последовательности. Как следствие теоремы Больцано–Вейерштрасса для множеств можно сформулировать следующее утверждение.
Теорема 7.2.3 (принцип Больцано-Вейерштрасса для последовательностей).
Всякая ограниченная последовательность имеет хотя бы один частичный предел.
Понятие предельной точки множества также можно сформулировать на языке последовательностей. Точка a является предельной точкой множества E, если суще- ствует последовательность различных точек множества E, сходящаяся к a.
Понятие компактного множества также может быть дано на языке последова- тельностей.
Теорема 7.2.4. Множество K компактно тогда и только тогда, когда из каж- дой последовательности элементов множества K можно выбрать сходящуюся подпоследовательность к элементу из K.
– 223 –

7.2.2. Предел функции. Перейдем к рассмотрению предела функции.
Будем рассматривать, как правило, числовые функции, т.е. функции с областью определения, лежащей в R
n
, и с областью значений, лежащей в R.
Определение 7.2.4. Пусть функция f определена на множестве E и точка a есть предельная точка множества E. Говорят, что функция f имеет предел
A при x → a, если для любого ε > 0 существует число δ > 0, что как только
0 < |x − a| < δ, x ∈ E, то |f(x) − A| < ε. Записывают это так:
lim x→a f (x) = A.
Данное определение называется определением предела функции по Коши.
Аналогично дается понятие предела функции при |x| → ∞.
Определение 7.2.5. Пусть по-прежнему точка a есть предельная точка E, а функция f определена на E. Говорят, что функция f имеет пределом число A при x → a, если для любой последовательности точек x
(m)
множества E, сходящейся к a, числовая последовательность f (x
(m)
) сходится к A.
Это определение называют определением предела по Гейне.
Теорема 7.2.5. Определения предела функции по Коши и по Гейне эквивалент- ны.
Доказательство полностью повторяет доказательство данного утверждения на числовой прямой.
Теорема 7.2.6 (критерий Коши существования предела). Для того чтобы функ- ция f имела предел при x → a, необходимо и достаточно, чтобы для любого поло- жительного числа ε существовало положительное число δ, для которого как толь- ко 0 < |x − a| < δ, 0 < |y − a| < δ, x, y ∈ E, то |f(x) − f(y)| < ε.
Свойства предела функции такие же, как и предела последовательности.
Предел, который мы определили, еще называют кратным пределом, а в случае пространства R
2
— двойным пределом.
Можно также говорить о повторных пределах. Например, в R
2
это предел вида lim x→a lim y→b f (x, y).
Приведем одно утверждение о связи между двойным и повторным пределами.
Теорема 7.2.7. Пусть функция f(x, y) определена в некотором прямоугольнике
E, содержащем точку (x
0
, y
0
). Если существует двойной предел этой функции при
(x, y) → (x
0
, y
0
), равный A, и для каждого y ∈ (y
0
− δ, y
0
+ δ) существует предел lim x→x
0
f (x, y) = ϕ(y),
то существует повторный предел, равный A:
lim y→y
0
ϕ(y) = lim y→y
0
lim x→x
0
f (x, y) = A.
7.3. Непрерывность функций в R
n
Определение 7.3.1. Пусть функция f определена на множестве E и точка a ∈ E является предельной для E. Функция f называется непрерывной в точке a,
если lim x→a f (x) = f (a).
– 224 –

Если точка a ∈ E не является предельной для E (в этом случае она называ- ется изолированной), то обычно считают, что всякая функция, определенная на E,
непрерывна в этой точке.
Можно переформулировать данное определение на языке последовательностей и на языке ε–δ.
Определение 7.3.2. Функция f, определенная на E, называется непрерывной на множестве E, если она непрерывна в каждой точке множества E. Класс всех непрерывных на E функций обозначается через C(E).
Отметим ряд свойств непрерывных функций:
1) если функции f и g, определенные на E, непрерывны в точке a, то их сумма,
разность, произведение и частное (последнее, если g(a) 6= 0) также непрерывны в точке a;
2) пусть функция g, определенная на множестве E ⊂ R
n
, непрерывна в точке a ∈
E, а функции f
1
, f
2
, . . . , f n
, определенные на множестве F ⊂ R
k
, непрерывны в точке b ∈ F . Причем (f
1
(y), f
2
(y), . . . , f n
(y)) ∈ E, если y ∈ F , а f j
(b) = a j
, j = 1, 2, . . . , n.
Тогда сложная функций g(f
1
, f
2
, . . . , f n
) непрерывна в точке b ∈ F .
Как следствие этих свойств и непрерывности основных элементарных функций,
заданных в R
1
, получаем утверждение.
Теорема 7.3.1. Элементарные функции непрерывны в области своего определе- ния.
Приведем ряд теорем для функций, непрерывных на множествах.
Теорема 7.3.2. Всякая функция, непрерывная на компакте, ограничена на нем и достигает на нем своих верхней и нижней граней.
Это аналог теоремы Вейерштрасса о функциях, непрерывных на отрезке.
Доказательство. Пусть f — непрерывна на K, но неограничена. Тогда для лю- бого m ∈ N найдется точка x
(m)
∈ K, для которой |f(x
(m)
| > m. Выберем по теоре- ме 7.2.4 сходящуюся подпоследовательность x
(m k
)
к какой-то точке x
(0)
∈ K. Полу- чим, f(x
(m k
)
) → f(x
(0)
) при k → ∞, в частности подпоследовательность f(x
(m k
)
) —
ограничена. Что противоречит предположению.
Пусть A = sup x∈K
f (x) и f (x) < A для всех x ∈ K. Рассмотрим функцию ϕ(x) =
1
A − f(x)
. Так как знаменатель не обращается в 0, то данная функция — непрерывна на K. По только что доказанной части теоремы она ограничена, т.е.
0 < ϕ(x) =
1
A − f(x)
6
C.
Отсюда f(x) < A −
1
C
, что противоречит определению точной верхней границы. 2
Теорема 7.3.3. Если функция, непрерывная в области, принимает в этой об- ласти два значения, то она принимает и все значения, заключенные между ними.
Для доказательства достаточно соединить точки, в которых эти два значения принимаются, ломаной и применить теорему Больцано-Коши для числовой прямой.
2
Это аналог теоремы Больцано-Коши о промежуточном значении.
– 225 –

Определение 7.3.3. Функция f, определенная на множестве E, называется равномерно непрерывной на этом множестве, если для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что как только |x − y| < δ, x, y ∈ E, то |f(x) − f(y)| < ε.
Равномерно непрерывная функция на E, очевидно, непрерывна на E. Обратное,
вообще говоря, не верно. Это мы видели на примерах функций одного переменного.
Тем не менее, справедливо следующее утверждение.
Теорема 7.3.4 (Кантора о равномерной непрерывности). Функция, непрерывная на компакте, равномерно непрерывна.
Доказательство полностью повторяет доказательство теоремы Кантора на чис- ловой прямой (см. § 1.14).
Определение 7.3.4. Пусть функция f определена на множестве E. Модулем непрерывности функции f (обозначается ω(δ, f, E)) называется выражение
ω(δ, f, E) = sup
|x−y|<δ
|f(x) − f(y)| ,
x, y ∈ E.
Модуль непрерывности является возрастающей функцией δ.
Следствие 7.3.1. Для того чтобы функция f была равномерно непрерывной на множестве E, необходимо и достаточно, чтобы lim
δ→0
ω(δ, f, E) = 0.
Мы видим, что свойства непрерывных функций многих переменных во многом повторяют свойства непрерывных функций на числовой оси, вплоть до их доказа- тельств.
7.4. Частные производные и дифференциал
7.4.1. Частные производные.
Определение 7.4.1. Пусть в некоторой окрестности точки x
(0)
= (x
0 1
, . . . , x
0
n
)
задана функция y = f (x) = f (x
1
, . . . , x n
). Фиксируя все переменные кроме i-ой: x
1
=
x
0 1
,. . . , x i−1
= x
0
i−1
, x i+1
= x
0
i+1
,. . . , x n
= x
0
n получим функцию одного переменного x
i
: y = f (x
0 1
, . . . , x
0
i−1
, x i
, x
0
i+1
, . . . , x
0
n
). Обычная производная этой функции в точке x
0
i называется частной производной функции y = f (x) в точке x
(0)
по x i
и обозначается через
∂f x
(0)

∂x i
=
∂y
∂x i
= y
′
x i
(x
(0)
).
Если обозначить ∆
x i
f = f (x
0 1
, . . . , x
0
i−1
, x
0
i
+ ∆x i
, x
0
i+1
, . . . , x
0
n
) − f (x
0 1
, . . . , x
0
i−1
,
x
0
i
, x
0
i+1
, . . . , x
0
n
) — приращение функции по переменной x i
, и вспомнить определение обычной производной, то можно написать, что
∂f x
(0)

∂x i
= lim
∆x i
→0
∆
x i
f
∆x i
Частный дифференциал d x
i f определяется по формуле d
x i
y =
∂y
∂x i
dx i
и тем самым является линейной функцией переменной dx i
, которая называется диф- ференциалом независимой переменной x i
, i = 1, 2, . . . , n.
– 226 –

В случае n = 1 частная производная совпадает с обычной производной, а частный дифференциал с обычным дифференциалом.
Из определения частных производных следует, что для их вычисления можно использовать все правила вычисления обычных производных.
Пример 7.4.1. Рассмотрим функцию z = xye xy
. Найти
∂z
∂y
Решение. Зафиксируем x, получим функцию одного переменного y и найдем ее производную:
∂z
∂y
= xe xy
+ xye xy
∂
∂y
(xy) = (x + x
2
y)e xy
Замечание 7.4.1. Для функции одной переменной из существования производ- ной функции в точке следует ее непрерывность в этой точке. Для n > 2 это уже не так, то есть из сущесвования всех часных производных функции в точке не следует ее непрерывность в этой точке. Приведем соответствующий пример для n = 2.
Пример 7.4.2. Пусть f (x, y) =
(
0,
если xy = 0,
1,
если xy 6= 0.
Показать, что
∂f (0, 0)
∂x
=
∂f (0, 0)
∂y
= 0. Однако эта функция разрывна в точке (0, 0).
Решение. Легко видеть, что частные производнуе в нуле этой функции равны нулю. То, что эта функция разрывна в нуле следует из того, что, например, ее предел вдоль прямой y = x при (x, y) → (0, 0) равен 1, а f(0, 0) = 0.
7.4.2. Дифференцируемость функции в точке. Пусть функция y = f(x)
определена в некоторой окрестности U
x
(0)
(δ) точки x
(0)
= (x
0 1
, . . . , x
0
n
) и пусть x ∈
U
x
(0)
(δ). Обозначим ∆x i
= x i
−x
0
i и ∆x = (∆x
1
, . . . , ∆x n
), а ρ = ρ(x, x
(0)
) =
r n
P
i=1
∆x
2
i
<
δ.
Определение 7.4.2. Величину ∆y = f(x
(0)
+ ∆x) − f(x
(0)
) назовем полным при- ращением функции.
Определение 7.4.3. Функция y = f(x) называется дифференцируемой в точке x
(0)
, если существуют числа A
1
, . . . , A
n такие, что
∆y = A
1
∆x
1
+ · · · + A
n
∆x n
+ α(∆x),
где α(∆x) = ε(∆x)ρ, ρ 6= 0, lim
ρ→0
ε(∆x) = 0.
Определение 7.4.4. В случае дифференцируемости функции y = f(x) в точке x
(0)
линейная функция A
1
dx
1
+ · · · + A
n dx n
переменных ∆x
1
, . . . , ∆x n
называется
(полным) дифференциалом функции f в точке x
(0)
и обозначается dy(x
(0)
).
Таким образом dy = A
1
∆x
1
+ · · · + A
n
∆x n
Вместо ∆x i
употребляются такие равнозначные обозначения dx i
, i = 1, . . . , n, то есть пишут dy = A
1
dx
1
+ · · · + A
n dx n
– 227 –

Отметим, что функция α(∆x) из определения (7.4.3) обладает свойством lim
∆x→0
α(∆x)
ρ
= 0,
поэтому по аналогии с функциями одного переменного будем обозначать ее o(ρ) при
ρ → 0. Применяя это обозначение, определение дифференцируемости можно запи- сать в виде
∆y = A
1
∆x
1
+ · · · + A
n
∆x n
+ o(ρ),
ρ → 0.
Лемма 7.4.1. Функция α = α(∆x) представима в виде α(∆x) = ε(∆x)ρ, ρ 6= 0,
lim
ρ→0
ε(∆x) = 0 тогда и только тогда, когда α(∆x) = ε
1
(∆x)∆x
1
+ · · · + ε
n
(∆x)∆x n
,
ρ 6= 0, lim
ρ→0
ε
1
= · · · = lim
ρ→0
ε
n
= 0.
Доказательство. Пусть α = ερ при ρ → 0, тогда α =
n
P
i=1
ε
∆x i
ρ
∆x i
=
n
P
i=1
ε
i
∆x i
,
где ε
i
= ε
∆x i
ρ
, i = 1, 2, . . . , n. Заметим, что
∆x i
ρ
6 1, и тогда |ε
i
| 6 |ε|. Поэтому lim
ρ→0
ε
i
= 0 для i = 1, 2, . . . , n.
Обратно, пусть α =
n
P
i=1
ε
i
∆x i
, ρ 6= 0, lim
ρ→0
ε
i
= 0. Тогда α =

n
P
i=1
ε
i
ρ
∆x i

ρ = ε · ρ,
где ε =
n
P
i=1
ε
i
ρ
∆x i
. Нетрудно видеть, что |ε| <
n
P
i=1
|ε
i
|. Поэтому ε → 0 при ρ → 0.
2
Теорема 7.4.1. Если функция y = f(x) дифференцируема в точке x
(0)
, то она непрерывна в этой точке.
Доказательство. Действительно, из определения дифференцируемости функции в точке и неравенств |∆x i
| 6 ρ, i = 1, . . . , n, следует, что ∆y → 0 при ρ → 0, что и означает непрерывность функции y = f(x) в точке x
(0)
2
Теорема 7.4.2. Если функция y = f(x) дифференцируема в точке x
(0)
и dy =
n
P
i=1
A
i dx i
ее дифференциал в этой точке, то в точке x
(0)
у функции y = f (x) суще- ствуют частные производные и

Заметим, что обратное утверждение к теореме 7.4.2 неверно. В качеcтве примера рассмотрим функцию двух переменных f (x, y) =
( xy x
2
+ y
2
, если x
2
+ y
2
> 0,
0,
если x = y = 0.
Эта функция имеет в точке (0, 0) частные производные
∂f (0, 0)
∂x
=
∂f (0, 0)
∂y
= 0,
однако не является непрерывной (а значит и дифференцируемой) в этой точке.
Сформулируем без доказательства условия дифференцируемости функции в тер- минах свойств частных производных.
Теорема 7.4.3. Если функция y = f(x) имеет в некоторой окрестности точки x
(0)
частные производные
∂f (x)
∂x i
, которые непрерывны в самой точке x
(0)
, тогда функция y = f (x) дифференцируема в этой точке.
Определение 7.4.5. Функция, имеющая в некоторой точке (или на некотором открытом множестве) непрерывные частные производные, называется непрерыв- но дифференцируемой в этой точке (соответственно на этом множестве).
Отметим, что проверка непрерывности частных производных зачастую оказыва- ется проще, чем непосредсвенная проверка дифференцируемости функции, а понятие дифференцируемости функции играет важную роль в ряде разделов теории функции многих переменных.
7.4.3. Дифференцирование сложной функции.
Теорема 7.4.4. Пусть функция f(x), x = (x
1
, . . . , x n
), определена в некото- рой окрестности точки x
(0)
= (x
0 1
, . . . , x
0
n
), а функции x i
= x i
(t), t = (t
1
, . . . , t k
),
i = 1, . . . , n, определены в некоторой окрестности точки t
(0)
= (t
0 1
, . . . , t
0
k
) и x
0
i
= x i
(t
(0)
), i = 1, . . . , n. Если функция f (x) дифференцируема в точке x
(0)
, а функ- ции x i
= x i
(t), i = 1, . . . , n, дифференцируемы в точке t
(0)
, то сложная функция f (x(t)) = f (x
1
(t), . . . , x n
(t)) определена в некоторой окрестности точки t
(0)
и диф- ференцируема в этой точке. При этом дифференциал df функции f (x(t)) в точке t
(0)
может быть записан в следующих двух видах:
df =
k
X
j=1
∂f (x(t
(0)
))
∂t j
dt j
,
df =
n
X
i=1
∂f (x
(0)
)
∂x i
dx i
,
где dx i
= dx i
(t)|
t=t
(0)
Доказательство. Условия теоремы обеспечивают существование таких окрест- ностей U
x
(0)
(η) и V
t
(0)
(δ) точек x
(0)
и t
(0)
соответственно, что для t ∈ V
t
(0)
(δ) точка x(t) ∈ U
x
(0)
(η) и в окрестности V
t
(0)
(δ) определена сложная функция f (x(t)).
Функция y = f(x) дифференцируема в точке x
(0)
, поэтому для r =
n
P
i=1
∆x
2
i
< η
имеем
∆f = f (x
(0)
+ ∆x) − f(x
(0)
) =
n
X
i=1
∂f (x
(0)
)
∂x i
∆x i
+ ε · r,
где ε = ε(∆x) удовлетворяет условию lim r→0
ε = 0. Доопределим функцию ε(∆x) в нуле по непрерывности: ε(0) = 0.
– 229 –