Файл: Математический анализ.pdf

В силу дифференцируемости функций x i
= x i
(t), i = 1, 2, . . . , n, в точке t
(0)
для
ρ =
k
P
j=1
∆t
2
j
< δ имеем
∆x i
= x i
(t
(0)
+ ∆t) − x i
(t
(0)
) =
k
X
j=1
∂x i
(t
(0)
)
∂t j
∆t j
+ ε
i
ρ,
i = 1, 2, . . . , n,
где lim
ρ→0
ε
i
= 0, i = 1, 2, . . . , n.
Подставляя полученные для ∆x i
выражения в формулу для ∆f, получим
∆f =
n
X
i=1
∂f (x
(0)
)
∂x i
k
X
j=1
∂x i
(t
(0)
)
∂t j
∆t j
+ β,
где β =
n
P
i=1
∂f (x
(0)
)
∂x i
ε
i
ρ + εr. Переставляя порядок суммирования, имеем
∆f =
k
X
j=1
n
X
i=1
∂f (x
(0)
)
∂x i
∂x i
(t
(0)
)
∂t j
!
∆t j
+ β.
В силу непрерывности функций x i
= x i
(t), i = 1, 2, . . . , n, в точке t
(0)
имеем lim
ρ→0
∆x i
=
0 и, следовательно, lim
ρ→0
r = 0. Отсюда в силу теоремы о непрерывности сложной функции lim
ρ→0
ε = 0.
Покажем, что β = o(ρ), ρ → 0. Действительно,
β
ρ
=
n
P
i=1
∂f (x
(0)
)
∂x i
ε
i
+ε
r
ρ
, а отношение r
ρ
ограничено:
1
ρ
v u
u t
n
X
i=1
∆x
2
i
6 1
ρ
n
X
i=1
|∆x i
| 6
k
X
i=n k
X
j=1
∂x i
(t
(0)
)
∂t j
|∆t j
|
ρ
+ ε
i
!
Так как |
∆t j
|
ρ
6 1 и функции ε
i также ограничены, то отношение rρ ограничено. Но тогда lim
ρ→0
β
ρ =
n
P
i=1
lim
ρ→0
∂f (x
(0)
)
∂x i
ε
i
+ lim
ρ→0
ε · rρ = 0.
Дифференцируемость сложной функции f(x(t)) в точке t
(0)
доказана.
Из формулы для приращения ∆f имеем df (x
(0)
) =
n
X
i=1
∂f (x
(0)
)
∂x i
k
X
j=1
∂x i
(t
(0)
)
∂t j
∆t j
Отсюда, учитывая, что k
P
j=1
∂x i
∂t j
∆t j
= dx i
, i = 1, 2, . . . , n, получаем для дифферен- циала сложной функции выражение df (x
(0)
) =
n
X
i=1
∂f (x
(0)
)
∂x i
dx i
,
где dx i
= dx i
(t)|
t=t
(0)
2
– 230 –

Отметим, что обе записи дифференциала:
df =
k
X
j=1
∂f (x(t
(0)
))
∂t j
dt j
,
df =
n
X
i=1
∂f (x
(0)
)
∂x i
dx i
,
dx i
= dx i
(t)|
t=t
(0)
выглядят одинаково в том смысле, что в них дифференциал равен сумме произведе- ний частных производных на соответствующие дифференциалы. Однако, в первом случае dt j
— дифференциалы независимых переменных, а во второй формуле dx i
—
дифференциалы функций. Это свойство называется инвариантностью формы пер- вого дифференциала относительно выбора переменных.
Следствие 7.4.1. В условиях теоремы 7.4.4 справедлива следующая формула для вычисления частных производных сложной функции:
∂f (x(t))
∂t j
=
n
X
i=1
∂f (x(t))
∂x i
∂x i
∂t j
,
j = 1, 2, . . . , k.
Доказательство. Из теоремы 7.4.4 имеем df (x(t
(0)
)) =
n
X
i=1
∂f (x
(0)
)
∂x i
dx i
,
где dx i
=
k
P
j=1
∂x i
(t
(0)
)
∂t j
dt j
После изменения порядка суммирования получим df (x(t
(0)
)) =
k
X
j=1
n
X
i=1
∂f (x(t
(0)
))
∂x i
·
∂x i
(t
(0)
)
∂t j
!
dt j
,
что в силу единственности дифференциала и доказывает следствие.
2
Инвариантность формы первого дифференциала широко используется при прак- тическом вычислении дифференциалов и частных производных. Так, если u, v функ- ции какого-то числа переменных, то легко убедится в справедливости следующих правил
1. d(u + v) = du + dv,
2. d(u · v) = vdu + udv,
3. d u v

= vdu − udv v
2
Пример 7.4.3. Найти дифференциал функции z = arctg x
y
Решение.
dz = d

arctg x
y

=
1 1 +
x
2
y
2
d

x y

=
x
2
x
2
+ y
2
·
xdy − ydx x
2
=
xdy − ydx x
2
+ y
2
– 231 –

7.5. Производная по направлению. Градиент
Пусть в некоторой окрестности точки x
(0)
= (x
0 1
, . . . , x
0
n
) определена функция y = f (x) и точка x
(1)
= (x
1 1
, . . . , x
1
n
) принадлежит этой окрестности. Проведем прямую через точки x
(0)
и x
(1)
, или, что то же прямую через точку x
(0)
в направлении вектора l =

x
1 1
− x
0 1
ρ
, . . . ,
x
1
n
− x
0
n
ρ

,
где ρ =
n
P
i=1
(x
1
i
− x
0
i
)
2
Уравнение этой прямой имеет вид x
i
= x
0
i
+
x
1
i
− x
0
i
ρ
s,
i = 1, 2, . . . , n,
−∞ < s < +∞.
Учитывая, что x
i
1
− x
0
i
ρ
6 1, обозначим cos α
i
=
x i
1
− x
0
i
ρ
, i = 1, 2, . . . , n, и назовем числа cos α
i направляющими косинусами прямой x
i
= x
0
i
+ s · cos α
i
,
i = 1, 2, . . . , n,
−∞ < s < +∞.
Нетрудно проверить, что n
P
i=1
cos
2
α
i
= 1.
Определение 7.5.1. Производной функции f(x) в направлении вектора l =
(cos α
1
, . . . , cos α
n
) называется производная по переменной s сложной функции f (x
0 1
+ s · cos α
1
, . . . , x
0
n
+ s · cos α
n
).
Определение 7.5.2. Вектор с координатами
∂f (x
(0)
)
∂x
1
, . . . ,
∂f (x
(0)
)
∂x n
называется градиентом функции f (x) в точке x
(0)
и обозначется grad f .
Если l i
= (0, . . . , 0, 1, 0 . . . , 0) координатные орты i = 1, 2, . . . , n, то grad f =
n
P
i=1
∂f
∂x i
l i
Часто оказывается удобным использование символического вектора Гамильтона
∇ =
n
X
i=1
l j
∂
∂x i
,
называемого наблой. Набла является обозначением определенной операции, которую следует произвести над функцией. Для функции f(x), по определению, полагаем
∇f =
n
X
i=1
l i
∂f
∂x i
Таким образом, grad f и ∇f являются обозначением одного и того же выражения.
Теорема 7.5.1. Пусть функция f(x) дифференцируема в некоторой точке x
(0)
=
(x
0 1
, . . . , x
0
n
), тогда в этой точке функция f (x) имеет производную по любому на- правлению l = (cos α
1
, . . . , cos α
n
) и эта производная может быть найдена по фор- муле
∂f
∂l
=
n
X
i=1
∂f
∂x i
cos α
i
= (grad f, l),
– 232 –

где (·, ·) означает скалярное произведение векторов.
Доказательство. К сложной функции f (x
(0)
+ sl), где l = (cos α
1
, . . . , cos α
n
) при- меним формулу для вычисления производной, полученную в следствии 7.4.1.
2 7.6. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула
Тейлора
7.6.1. Частные производные высших порядков. Пусть частная производ- ная ∂y
∂x i
по аргументу x i
функции y = f(x
1
, x
2
, . . . , x n
), определенной в области D,
существует в каждой точке области D. В этом случае указанная частная производ- ная представляет собой функцию переменных x
1
, x
2
, . . . , x n
также определенную в области D.
Может случится, что эта функция ∂y
∂x i
имеет частную производную по аргументу x
k в некоторой точке x области D. Тогда указанную частную производную по аргу- менту x k
называют второй частной производной или частной производной второго порядка функции y = f (x
1
, x
2
, . . . , x n
) в точке x сначала по аргументу x i
а затем по аргументу x k
и обозначают одним из следующих символов:
∂
2
y
∂x k
∂x i
,
f x
i x
k
,
y x
i x
k
При этом, если i 6= k, то частная производная
∂
2
y
∂x k
∂x i
называется смешанной част- ной производной второго порядка. После того как введено понятие второй частной производной, можно последовательно ввести понятие третьей частной производной,
затем четвертой и т.д.
Определение 7.6.1. Если предположить, что нами уже введено понятие
(m − 1)-ой частной производной функции y = f(x
1
, x
2
, . . . , x n
) по аргументам x
i
1
, x i
2
, . . . , x i
m−1
(отдельные или даже все номера которых могут совпадать) и что эта (m − 1)-я частная производная имеет в точке x частную производную по аргументу x i
m
, то указанную частную производную называют m-ой частной производной (или частной производной m-го порядка) функции y = f (x
1
, x
2
, . . . , x n
)
в точке x по аргументам x i
1
, x i
2
, . . . , x i
m
Таким образом, мы вводим понятие m-й частной производной индуктивно, пере- ходя от первой частной производной к последующим. Соотношение, определяющее m-ю частную производную по аргументам x i
1
, x i
2
, . . . , x i
m
, имеет вид
∂
m f
∂x i
m
∂x i
m−1
. . . ∂x i
2
∂x i
1
=
∂
∂x i
m

∂
m−1
f
∂x i
m−1
. . . ∂x i
2
∂x i
1

Если не все индексы i
1
, i
2
, . . . , i m
совпадают между собой, то частная производная
∂
m f
∂x i
m
. . . ∂x i
2
∂x i
1
называется смешенной частной производной m-го порядка.
Так как частная производная функции по аргументу x i
определяется как обыкно- венная производная одной переменной x i
при фиксированных значениях остальных переменных, то методика вычисления частных производных высших порядков пред- полагает умение вычислять только обыкновенные производные первого порядка.
Пример 7.6.1. Найти частные производные второго порядка функции f =
arctg x
y
– 233 –

Решение.
∂f
∂x
=
y x
2
+ y
2
,
∂f
∂y
= −
x x
2
+ y
2
,
∂
2
f
∂x
2
= −
2xy
(x
2
+ y
2
)
2
,
∂
2
f
∂x∂y
=
x
2
− y
2
(x
2
+ y
2
)
2
,
∂
2
f
∂y∂x
=
x
2
− y
2
(x
2
+ y
2
)
2
,
∂
2
f
∂y
2
=
2xy
(x
2
+ y
2
)
2
В рассмотренном примере смешанные частные производные
∂
2
f x∂y и ∂
2
f
∂y∂x равны друг другу. Вообще говоря, значения смешанных производных зависят от порядка,
в котором производятся последовательные дифференцирования.
Пример 7.6.2. Показать, что смешанные частные производные ∂
2
f
∂x∂y и ∂
2
f
∂y∂x функции f =



xy x
2
− y
2
x
2
+ y
2
, при x
2
+ y
2 6= 0,
0,
при x
2
+ y
2
= 0
в точке (0, 0) существуют, но не равны друг другу.
Решение. Найдем частную производную по переменной x.
∂f
∂x
=



y(x
4
− y
4
+ 4x
2
y
2
)
(x
2
+ y
2
)
2
, при x
2
+ y
2 6= 0,
0,
при x
2
+ y
2
= 0.
Тогда
∂
2
f
∂y∂x x=0,y=0
= lim y→0 1
y
∂f
∂x x=0,y6=0
−
∂f
∂x x=0,y=0
!
= −1.
Проводя аналогичные вычисления, получим ∂
2
f
∂x∂y x=0,y=0
= 1. Таким образом, в точке (0, 0) смешанные производные не равны: ∂
2
f
∂y∂x 6
=
∂
2
f
∂x∂y
Выясним достаточное условие независимости значений смешанных производных от порядка, в котором производятся последовательные дифференцирования.
Теорема 7.6.1. Пусть функция f(x, y) определена вместе со своими частными производными f
′
x
, f
′
y
, f
′′
xy и f
′′
yx в некоторой окрестности точки (x
0
, y
0
), причем производные f
′′
xy и f
′′
yx непрерывны в этой точке, тогда f
′′
xy
(x
0
, y
0
) = f
′′
yx
(x
0
, y
0
).
Доказательство. Пусть функция f (x, y) определеная вместе с производными f
′
x
,
f
′
y
, f
′′
xy и f
′′
yx в δ-окрестности точки (x
0
, y
0
) и пусть ∆x и ∆y фиксированы так, что
∆x
2
+ ∆y
2
< δ
2
. Будем обозначать символом ∆
x
, соответственно символом ∆
y
, при- ращение функции f(x, y) по аргументу x, соответственно, по аргументу y, в точке
(x
0
, y
0
). Положим ∆
xy f = ∆
x
(∆
y f ), ∆
yx f = ∆
y
(∆
x f ) и покажем, что ∆
xy f = ∆
yx f .
Действительно,
∆
xy f = ∆
x
(∆
y f ) = ∆
x
[f (x
0
, y
0
+ ∆y) − f(x
0
, y
0
)] =
= [f (x
0
+ ∆x, y
0
+ ∆y) − f(x
0
+ ∆x, y
0
)] − [f(x
0
, y
0
+ ∆y) − f(x
0
, y
0
)].
– 234 –

Аналогично,
∆
yx f = ∆
y
(∆
x f ) = [f (x
0
+ ∆x, y
0
+ ∆y) − f(x
0
, , y
0
+ ∆y)]−
−[f(x
0
+ ∆x, y
0
) − f(x
0
, y
0
)].
Таким образом, ∆
xy f = ∆
yx f . Обозначим
ϕ(x) = f (x, y
0
+ ∆y) − f(x, y
0
),
тогда
∆
yx f = ϕ(x
0
+ ∆x) − ϕ(x
0
).
В силу того, что в рассматриваемой окрестности точки (x
0
, y
0
) существует частная производная f
′
x
, функция ϕ(x) дифференцируема на отрезке с концами в точках x
0
и x
0
+ ∆x.
По теореме Лагранжа о конечных приращениях получим
∆
xy f = ϕ
′
(x
0
+ θ
1
∆x)∆x,
0 < θ
1
< 1.
Но ϕ
′
(x) = f
′
x
(x, y
0
+ ∆y) − f
′
x
(x, y
0
), поэтому
∆
xy f = [f
′
x
(x
0
+ θ
1
∆x, y
0
+ ∆y) − f
′
x
(x
0
+ θ
1
∆x, y
0
)]∆x.
Применяя еще раз ту же теорему о конечных приращениях, но теперь уже по пере- менной y будем иметь
∆
xy f = f
′′
xy
(x
0
+ θ
1
∆x, y
0
+ θ
2
∆y)∆x∆y,
0 < θ
1
< 1,
0 < θ
2
< 1.
Совершенно аналогично, полагая
ψ(y) = f (x
0
+ ∆x, y) − f(x
0
, y),
получим
∆
yx f = ψ(y
0
+ ∆y) − ψ(y
0
) = ψ
′
(y
0
+ θ
3
∆y)∆y =
= [f
′
y
(x
0
+ ∆x, y
0
+ θ
3
∆y) − f
′
y
(x
0
, y
0
+ θ
3
∆y)]∆y =
= f
′′
yx
(x
0
+ θ
4
∆x, y
0
+ θ
3
∆y)∆x∆y,
0 < θ
3
< 1,
0 < θ
4
< 1.
Так как ∆
xy f = ∆
yx f , то равны между собой и правые части равенств. Сокращая на
∆x∆y при ∆x 6= 0 и ∆y 6= 0, получим f
′′
xy
(x
0
+ θ
1
∆x, y
0
+ θ
2
∆y) = f
′′
yx
(x
0
+ θ
4
∆x, y
0
+ θ
3
∆y),
0 < θ
i
< 1,
i = 1, 2, 3, 4.
В силу непрерывности частных производных f
′′
xy и f
′′
yx в точке (x
0
, y
0
) в пределе из последнего равенства получим, что f

Это следует из того, что любые две последовательности дифференцирования,
отличающиеся только порядком дифференцирования (т.е. такие, что по каждому фиксированному аргументу они содержат одно и то же суммарное число дифферен- цирований), можно перевести одну в другую конечным числом шагов, при каждом из которых меняется порядок дифференцирования только по двум пременным, а другие остаются при этом фиксированными. Таким образом, при каждом шаге фак- тически рассматривается изменение порядка дифференцирования у функции лишь двух переменных, т.е. в этом случае мы находимся в условиях вышедоказанной тео- ремы.
Поясним это на примере. Докажем, например, что f
′′′
xyz
= f
′′′
zyx
Согласно вышесказанному, имеем последовательно f
′′′
xyz
= (f
′
x
)
′′
yz
= (f
′
x
)
′′
zy
= (f
′′
xz
)
′
y
= (f
′′
zx
)
′
y
= (f
′
z
)
′′
xy
= (f
′
z
)
′′
yx
= f
′′′
zyx
Определение 7.6.2. Функция, имеющая в некоторой точке (или, соответ- ственно, на некотором открытом множестве) непрерывные частные производные всех порядков до некоторого порядка m включительно, называется m раз непрерыв- но дифференцируемой в этой точке (на этом множестве).
Заметим, что, для того чтобы функция имела в точке (на открытом множестве)
непрерывные частные производные всех порядков до некоторого порядка m включи- тельно, достаточно, чтобы она имела в этой точке (на этом множестве) непрерывные частные производные порядка m. Действительно, из непрерывности всех частных производных порядка m в точке (на открытом множестве) вытекает непрерывность всех частных производных порядка m −1 в рассматриваемой точке (на рассматрива- емом множестве). Из непрерывности частных производных порядка m − 1 вытекает
(в случае m > 1 ) непрерывность частных производных порядка m − 2 и т.д.
7.6.2. Дифференциалы высших порядков. В дальнейшем для удобства из- ложения будем обозначать дифференциалы не только символом d, но символом δ,
например, писать не только dz = ∂z
∂x dx + ∂z
∂y dy, но и δz = ∂z
∂x
δx + ∂z
∂y
δy, причем дифференциал какой-либо функции будем называть ее первым дифференциалом.
Пусть функция y = f(x), x = (x
1
, . . . , x n
), имеет непрерывные частные производ- ные первого и второго порядка в некоторой области D. Из непрерывности частных производных следует (теорема 7.4.3) дифференцируемость функции y = f(x) в об- ласти D. Таким образом, для всех точек области D определен дифференциал dy =
n
X
i=1
∂f (x)
∂x i
dx i
Частные производные
∂f (x)
∂x i
, i = 1, 2, . . . , n, в силу сделанных преположений отно- сительно функции f(x) сами являются дифференцируемыми в области D. Поэтому дифференциал dy, рассматривается как функция переменных x i
, i = 1, 2, . . . , n, в свою очередь является дифференцируемой на D функцией. Вычислим дифференци- ал от первого дифференциала dy, считая, что dx i
, i = 1, 2, . . . , n, фиксированными,
а x ∈ E. Новое дифференцирование обозначим δ:
δ(dy) = δ
n
X
i=1
∂f (x)
∂x i
dx i
!
=
n
X
i=1

δ
∂f (x)
∂x i

dx i
=
– 236 –

=
n
X
i=1
n
X
j=1
∂
2
f (x)
∂x i
∂x j
δx j
!
dx i
=
n
X
i=1
n
X
j=1
∂
2
f (x)
∂x i
∂x j
dx i
δx j
Отметим, что при сделанных относительно функции f(x) предположениях при вычислении частных производных можно не обращать внимание на порядок диф- ференцирования. В результате мы получим билинейную форму переменных dx i
,δx i
,
i = 1, 2, . . . , n, являющуюся симметричной в силу теоремы о независимости порядка дифференцирования.
Полагая dx i
= δx i
, получим соответствующую ей квадратичную формулу n
X
i=1
n
X
j=1
∂
2
f (x)
∂x i
∂x j
dx i
dx j
,
которая и называется вторым дифференциалом функции y = f(x) в точке x ∈ E.
Таким образом, мы пришли к определению
Определение 7.6.3. Вторым дифференциалом (или дифференциалом второго порядка) d
2
y функции y = f (x) в точке x называется квадратичная форма от дифференциалов dx i
, i = 1, 2, . . . , n, независимых переменных, соответствующая билинейной форме дифференциала от первого дифференциала, т.е.
d
2
y =
n
X
i=1
n
X
j=1
∂
2
f (x)
∂x i
∂x j
dx i
dx j
Дифференциал любого порядка вводится по индукции. Именно, в предположе- нии непрерывности у рассматриваемой функции y = f(x) всех ее частных производ- ных до порядка m включительно в некоторой области, получить ее дифференциал d
m y порядка m, надо взять дифференциал от дифференциала d m−1
y порядка m − 1:
δ(d m−1
y) = и положить δx i
= dx i
, i = 1, 2, . . . , n. Легко убедится, (в случае, когда x
1
, . . . , x n
, являются независимыми переменными) что при соответствующих услови- ях на дифференцируемость функции y = f(x), справедлива формула d
m y =
n
X
i
1
=1
n
X
i
2
=1
· · ·
n
X
i m
=1
∂
m f (x)
∂x i
1
∂x i
2
. . . ∂x i
m dx
1
dx
2
. . . dx i
m
Замечание 7.6.2. Следует иметь в виду, если функция y = f(x(t)) сложная,
x i
= x i
(t
1
, . . . , t k
), i = 1, 2, . . . , n, то второй дифференциал функции f , записанный через дифференциалы dx i
, i = 1, 2, . . . , n, уже не будет, как правило иметь вид d
2
f =
n
P
i=1
n
P
j=1
∂
2
f (x)
∂x i
∂x j
dx i
dx j
, а будет выглядеть сложнее. Таким образом, в случае дифференциалов порядка больше единицы не имеет место инвариантность формы дифференциала относительно выбора и переменных.
Пример 7.6.3. Найти второй дифференциал функции z = f(x, y), x = x(u, v),
y = y(u, v).
Решение. В силу инвариантности формы первого дифференциала имеем dz =
∂z
∂x dx + ∂z
∂y dy. Далее, вычисляя второй дифференциал и учитывая, что dx, dy —
дифференциалы функций от переменных u, v, получаем d
2
z =
∂
2
z
∂x
2
dx
2
+ 2
∂
2
z
∂x∂y dxdy +
∂
2
z
∂y
2
dy
2
+
∂z
∂x d
2
x +
∂z
∂y d
2
y.
– 237 –