ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 08.11.2023
Просмотров: 539
Скачиваний: 4
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
СОДЕРЖАНИЕ
7.6.3. Формула Тейлора. Для формулировки основного результата удобно воспользоваться мультииндексной формой записи дифференциала произвольного по- рядка. Пусть α = (α
1
, . . . , α
n
) — вектор с целыми неотрицательными компонентами.
Обозначим |α| = α
1
+ · · · + α
n
, α! = α
1
! . . . α
n
!, x
α
= x
α
1 1
. . . x
α
n n
. Формула полинома
Ньютона выглядит следующим образом:
(x
1
+ x
2
+ · · · + x n
)
m
=
X
|α|=m
|α|!
α!
x
α
Доказывается она индукцией по n с базой индукции n = 2, т.е. известной формулой бинома Ньютона. Формула полинома Ньютона позволяет нам переписать выражение для дифференциала m-ого порядка функции y = f(x) в виде d
m y =
X
|α|=m
|α|!
α!
∂
|α|
f (x)
∂x
α
dx
α
,
где
∂
|α|
f (x)
∂x
α
=
∂
α
1
+···+α
n f (x)
∂x
α
1 1
. . . ∂x
α
n
1
, dx
α
= (dx
1
)
α
1
. . . (dx n
)
α
n
. Иногда для частных произ- водных используют также обозначения
D
α
f (x) =
∂
α
1
+···+α
n f (x)
∂x
α
1 1
. . . ∂x
α
n
1
Теорема 7.6.2 (формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа).
Пусть функция y = f (x) определена в некоторой ε-окрестности точки x
(0)
и (m+1)
раз дифференцитруема в этой окрестности. Для точки из указанной окрестности справедлива формула f (x) =
X
|α|6m
D
α
f (x
(0)
)
α!
(x − x
(0)
)
α
+
X
|α|=m+1
D
α
f (x
(0)
+ θ(x − x
(0)
))
α!
(x − x
(0)
)
α
,
где 0 < θ < 1. Вторая сумма в формуле называется остаточным членом в форме
Лагранжа.
Доказательство. Точки x
(0)
и x соединим отрезком (1−t)x
(0)
+tx = x
(0)
+t(x−x
(0)
),
0 6 t 6 1. Очевидно, что этот отрезок лежит в ε-окрестности точки x
(0)
и можно рассматривать сложную функцию F (t) = f(x
(0)
+ t(x − x
(0)
)). Эта функция явля- ется (m + 1) раз дифференцируемой на отрезке [0, 1], поэтому для нее справедлива формула Тейлора порядка m с остаточным членом в форме Лагранжа
F (t) =
m
X
k=0
F
(k)
(0)
k!
t k
+
F
(m+1)
(θt)
(m + 1)!
t m+1
,
0 < θ < 1.
Отметим, что F (1) = f(x). Вычисляя последовательно производные функции F (t),
найдем, что
F
(k)
(t) =
X
|α|=k
|α|!
α!
D
α
f (x
(0)
+ t(x − x
(0)
)).
Найдем из последней формулы F
(k)
(0) и F
(m+1)
(θt), подставим полученные выраже- ния в формулу Тейлора для функции F (t) и положим t = 1.
2
– 238 –
Замечание 7.6.3. Можно показать, что остаточный член формулы Тейлора может быть так же записан и в форме o(ρ
m
), ρ → 0. Этот способ записи назы- вается формой Пеано. Здесь ρ =
r n
P
i=1
(x i
− x
0
i
)
2
Замечание 7.6.4. Вместо ε-окрестности точки x
(0)
в теореме 7.6.2 можно рассматривать любую выпуклую область, содержащую точку x
(0)
. Утверждение теоремы остается при этом справедливым.
Как следствие теоремы 7.6.2 при m = 0 легко получается многомерный вариант формулы конечных приращений.
Теорема 7.6.3. Если функция y = f(x) дифференцируема в области D ⊂ R
n
, то для каждой пары точек a, b из этой области существует такое θ, 0 < θ < 1, что f (b) − f(a) =
n
X
k=0
∂f (a + θ(b − a))
∂x i
(b i
− a i
),
где a + θ(b − a) = (a
1
+ θ(b
1
− a
1
), . . . , a n
+ θ(b n
− a n
)).
Эта формула и называется формулой конечных приращений Лагранжа.
В качестве применеия теоремы 7.6.3 докажем следующее утверждение.
Теорема 7.6.4. Если функция y = f(x) дифференцируема в выпуклой области
D ⊂ R
n и имеет в D ограниченные частные производные, то она равномерно непре- рывна в этой области.
Доказательство. Если
∂f (x)
∂x i
6
C,
i = 1, 2, . . . , n,
x ∈ E
(C — постоянная), то для любых двух точек x
′
= (x
′
1
, . . . , x
′
n
) и x
′′
= (x
′′
1
, . . . , x
′′
n
) из формулы конечных приращений следует
|f(x
′
) − f(x
′′
)| 6
n
X
i=1
∂f (ξ)
∂x i
|x
′′
i
− x
′
i
| 6 Cnρ(x
′
, x
′′
),
где ξ — некоторая точка отрезка с концами в точках x
′
и x
′′
. Поэтому, если задано
ε > 0 достаточно взять δ = ε
Cn, чтобы для любых точек x
′
∈ D и x
′′
∈ D таких,
что ρ(x
′
, x
′′
) < δ выполнялось неравенство |f(x
′
) − f(x
′′
)| < ε.
2 7.7. Экстремумы функций многих переменных
7.7.1. Необходимое условие экстремума.
Определение 7.7.1. Пусть функция f(x) определена на множестве E ⊂ R
n
Точка x
(0)
∈ E является точкой строгого максимума (соответственно точкой строгого минимума), если существует такая окрестность U
x
(0)
точки x
(0)
, что для всех x ∈ U
x
(0)
∩ E, x 6= x
(0)
, выполняется неравенство f (x) < f (x
(0)
) (соответ- ственно неравенство f (x) > f (x
(0)
)).
Таким образом, точка строго максимума (соответственно точка строгого миниму- ма) характеризуется тем, что ∆f = f(x) − f(x
(0)
) < 0 (соответственно ∆f > 0) при всех x ∈ U
x
(0)
∩ E, x 6= x
(0)
– 239 –
Определение 7.7.2. Если для точки x
(0)
существует такая окрестность U
x
(0)
,
что при всех x ∈ U
x
(0)
∩ E выполняется условие f(x) 6 f(x
(0)
) (соответственно f (x) > f (x
(0)
)), то x
(0)
называется просто точкой максимума (соответственно точкой минимума).
Определение 7.7.3. Точки (строгого) максимума и минимума функции назы- ваются точками (строгого) экстремума.
Теорема 7.7.1. Пусть функция f(x), x = (x
1
, x
2
, . . . , x n
), определена в некото- рой окрестности точки x
(0)
, если она является точкой экстремума функции f (x)
и в ней существует какая-либо производная
∂f
∂x j
(j может принимать одно из значений 1, 2, . . . , n), то она равна нулю,
∂f (x
(0)
)
∂x j
= 0.
Следствие 7.7.1. Если функция f(x) дифференцируема в точке экстремума x
(0)
, то ее дифференциал равен нулю в этой точке, df (x
(0)
) = 0.
Доказательство теоремы и следствия. Пусть для определенности j = 1. Если x
(0)
= (x
(0)
1
, . . . x
(0)
n
) является точкой экстремума для функции f (x) = f (x
1
, . . . , x n
),
то x
(0)
1
является точкой экстремума для функции f(x
1
, x
(0)
2
, . . . x
(0)
n
) одной переменной x
1
, поэтому, если существует производная ∂f
∂x
1
то по теореме Ферма она равна нулю,
т.е.
∂f (x
(0)
)
∂x
1
=
df (x
1
, x
(0)
2
, . . . x
(0)
n dx
1
x
1
=x
(0)
1
= 0.
Аналогично обстоит дело в случае любой переменной x j
, j = 2, . . . , n.
Если функция f(x) дифференцируема в точке экстремума x
(0)
, то в этой точке существуют все ее производные ∂f
∂x i
, i = 1, 2, . . . , n, и, согласно доказанному, все они равны нулю, поэтому и df (x
(0)
) =
n
X
i=1
∂f (x
(0)
)
∂x i
dx i
= 0.
2
Пример 7.7.1. Найти точки экстремума функции z = x
2
+ y
2
Решение. Точки экстремума в силу доказанного находятся среди тех, для которых dz = 0. Так как dz = 2xdx + 2ydy, то условие dz = 0 выполняется в единственной точке (0, 0). В этой точке z = 0, во всех других точках z = x
2
+ y
2
> 0. Поэтому (0, 0)
является точкой строгого минимума для функции z = x
2
+ y
2
Пример 7.7.2. Найти точки экстремума функции z = x
2
− y
2
Решение. Поступая аналогично предыдущему примеру находим, что условие dz =
0 снова выполняется в точке (0, 0) и в этой точке z = 0. Однако, при y = 0 и любых x 6= 0 имеем z > 0, а при x = 0 и любом y 6= 0 имеем z < 0. Поэтому точка (0, 0)
не является точкой экстремума, и, значит, функция z = x
2
− y
2
вообще не имеет экстремальных точек.
7.7.2. Достаточное условие строго экстремума. Напомним несколько опре- деление из курса линейной алгебры (см. главу 11).
– 240 –
Определение 7.7.4. Квадратичная форма A(x) = A(x
1
, . . . , x n
) =
n
P
i,j=1
a ij x
i x
j
,
i, j = 1, 2, . . . , n, называется положительно определенной (соответственно отри- цательно определенной), если A(x) > 0 (A(x) < 0) для любой точки x ∈ R
n
, x 6= 0.
Квадратичная форма, являющаяся положительно или отрицательно определен- ной, называется также просто определенной (или знакоопределенной) квадратич- ной формой).
Лемма 7.7.1. Пусть S — единичная сфера в R
n
:
S = {x : x
2 1
+ . . . x
2
n
= 1},
и пусть A(x) — определенная квадратичная форма; тогда inf x∈S
|A(x)| = µ > 0.
Доказательство. Функция A(x) является многочленом второй степени по пе- ременным x
1
, . . . , x n
, поэтому A(x), а, следовательно, и |A(x)| непрерывны во всем пространстве R
n
. Отсюда вытекает, что функция |A(x)| непрерывна на компакте S.
Согласно теореме Вейрштрасса, функция |A(x)| достигает на S своей нижней грани,
т.е. существует такая точка x
(0)
∈ S, что
µ
def
= inf x∈S
|A(x)| = |A(x
(0)
)|.
По определению знакоопределенной квадратичной формы |A(x)| > 0 для всех точек x ∈ S, значит, в частности, µ = |A(x
(0)
)| > 0.
2
Определение 7.7.5. Пусть функция f дифференцируема в точке x
(0)
∈ R
n
Если df (x
(0)
) = 0, то x
(0)
называется стационарной точкой функции f .
Очевидно, что точка x
(0)
, в которой функция f дифференцируема, является ста- цинарной в том и только в том случае, если
∂f (x
(0)
)
∂x i
= 0,
i = 1, 2, . . . , n.
Согласно следствию из теоремы 7.7.1, точка экстремума, в которой функция f дифференцируема, является стационарной; обратное, конечно, вообще говоря, невер- но: не всякая стационарноя точка, в которой функция дифференцируема является точкой экстремума (см. пример 7.7.2 ).
Теорема 7.7.2 (достаточное условие строгого экстремума). Пусть функция f определена и имеет непрерывные производные второго порядка в некоторой окрест- ности точки x
(0)
. Пусть x
(0)
является стацинарной точкой функции f . Тогда если квадратичная форма
A(dx
1
, . . . , dx n
) =
n
X
i,j=1
∂
2
f (x
(0)
)
∂x i
∂x i
dx i
dx j
,
(т.е. второй дифференциал функции f в точке x
(0)
) положительно определена (от- рицательно определена), то x
(0)
является точкой строгого минимума (соответ- ственно точкой строгого максимума); если же квадратичная форма неопределена,
то в точке x
(0)
нет экстремума.
– 241 –
Доказательство. Пусть U
x
(0)
(δ
0
) — δ
0
-окрестность, стационарной для функции f точки x
(0)
, в которой функция f имеет непрерывные вторые производные. Пусть точка x = x
(0)
+ dx = (x
(0)
1
+ dx
1
, . . . , x
(0)
n
+ dx n
)
принадлежит этой окрестности.
По формуле Тейлора (теорема 7.6.2), учитывая условия стационарности df(x
(0)
) =
0, получим
∆f = f (x) − f(x
(0)
) =
1 2
n
X
i,j=1
∂
2
f (x
(0)
)
∂x i
∂x i
dx i
dx j
+ ε(dx)ρ
2
,
где dx = (dx
1
, . . . , dx n
), ρ
2
= dx
2 1
+ · · · + dx
2
n
, и lim
ρ→0
ε(dx) = 0,
или
∆f =
ρ
2 2
"
n
X
i,j=1
1 ... 18 19 20 21 22 23 24 25 ... 43
∂
2
f (x
(0)
)
∂x i
∂x i
dx i
ρ
dx i
ρ
+ 2ε(dx)
#
=
ρ
2 2
A
dx
1
ρ
, . . . ,
dx n
ρ
+ 2ε(dx)
Точка
dx
1
ρ , . . . ,
dx n
ρ
лежит на единичной сфере S (т.е. на сфере с центром в начале координат и радиусом, равным 1), ибо
dx
1
ρ
2
+ · · · +
dx n
ρ
2
= 1.
Пусть квадратичная форма A(dx) знакоопределена. Тогда, согласно лемме 7.7.1,
inf
S
|A(x)| = µ > 0. Выберем δ, 0 < δ < δ
0
, так, чтобы 2|ε(dx)| < µ при ρ < δ. Тогда при ρ < δ, т.е. при x = x
(0)
+ dx ∈ U
x
(0)
(δ) и dx 6= 0, все выражение в квадратных скобках в правой части формулы для ∆f будет иметь тот же знак, что и первое слагаемое A
dx
1
ρ , . . . ,
dx n
ρ
:
sign ∆f = sign A
dx
1
ρ
, . . . ,
dx n
ρ
Поэтому, если квадратичная форма A(dx) является положительно определенной, то
∆f > 0, а если отрицательно определенной, то ∆f < 0 при x
(0)
+ dx ∈
◦
U (x
(0)
, δ).
Значит, в первом случае x
(0)
является точкой строгого минимума, а во втором —
точкой строгого максимума.
Пусть теперь квадратичная форма A(dx) является неопределенной. Это озна- чает, что существуют две точки dx
′
= (dx
′
1
, . . . , dx
′
n
) и dx
′′
= (dx
′′
1
, . . . , dx
′′
n
), что
A(dx
′
1
, . . . , dx
′
n
) > 0, а A(dx
′′
1
, . . . , dx
′′
n
) < 0. Мы можем на основании этого сразу ска- зать, что приращение функции ∆f меняет знак в любой окрестности точки x
(0)
, так как точки x
(0)
+ dx
′
= (x
(0)
1
+ dx
′
1
, . . . , x
(0)
n
+ dx
′
n
) и x
(0)
+ dx
′′
= (x
(0)
1
+ dx
′′
1
, . . . , x
(0)
n
+ dx
′′
n
)
могут, вообще говоря, и не принадлежать области определения функции f. Однако,
нужный нам результат будет следовать из того, что квадратичная форма A(dx) со- храняет один и тот же знак или равенство нулю на каждой прямой, проходящей через точку x
(0)
, из которой удалена сама эта точка, а значение A
dx
ρ
, dx 6= 0,
вообще не зависит от выбора точки на этой прямой.
2
Сформулируем теперь теорему 7.7.2 для случая двух переменных, выразив усло- вия, накладываемые на квадратичную форму A(dx), в явном виде через вторые част- ные производные.
– 242 –
Теорема 7.7.3. Пусть функция f(x, y) определена и имеет непрерывные част- ные производные второго порядка в некоторой окрестности точки (x
0
, y
0
), которая является стационарной для f (x, y), т.е. в ней f
′
x
= f
′
y
= 0.
Тогда если в точке (x
0
, y
0
)
f
′′
xx f
′′
yy
− (f
′′
xy
)
2
> 0,
то она является точкой строгого экстремума, а именно строгого максимума, если в ней f
′′
xx
< 0,
и строгого минимума, если f
′′
xx
> 0.
Если в точке (x
0
, y
0
)
f
′′
xx f
′′
yy
− (f
′′
xy
)
2
< 0,
то экстремума в ней нет.
Наконец, когда f
′′
xx f
′′
yy
− (f
′′
xy
)
2
= 0
в точке (x
0
, y
0
), то необходимо дополнительное исследование.
Покажем на примерах, что, когда имеет место соотношение f
′′
xx f
′′
yy
− (f
′′
xy
)
2
= 0,
экстремум может быть, а может и не быть.
Пример 7.7.3. Исследовать функцию z = x
2
+ 2xy + y
2
на экстремум.
Решение. У этой функции точка (0, 0) является стационарной точкой, и в ней z
′′
xx
= z
′′
yy
= z
′′
xy
= 2, и, значит, соотношение z
′′
xx z
′′
yy
− (z
′′
xy
)
2
= 0 выполняется. Замечая,
что z = (x + y)
2
, видим, что всюду z > 0, причем z = 0 на прямой x + y = 0. Поэтому точка (0, 0) является точкой экстремума, правда, нестрогого.
Пример 7.7.4. Исследовать функцию z = xy
3
на экстремум.
Решение. Для данной функции точка (0, 0) является стационарной точкой, и в ней z
′′
xx
= z
′′
yy
= z
′′
xy
= 0, поэтому условие z
′′
xx z
′′
yy
− (z
′′
xy
)
2
= 0 также выполняется. Однако в силу того, что в формулу, задающую эту функцию, переменные x и y входят в нечетных степенях, функция меняет знак в любой окрестности нуля, значит, (0, 0)
не является точкой экстремума.
7.8. Теорема о неявной функции
Будем обозначать (x, y) = (x
1
, x
2
, . . . , x n
, y) точки (n + 1)-мерного пространства
R
n+1
= R
n
× R. Пусть F — функция переменных (x, y), нас будет интересовать во- прос о том, при каких условиях функциональное уравнение F (x, y) = 0 однозначно разрешимо относительно y, т.е. однозначно определяет явную функцию y = f(x) та- кую, что F (x, f(x)) ≡ 0. В этом случае говорят о неявном задании (или о неявной функции) функции y = f (x). Другой вопрос состоит в том, когда эта явная функция непрерывна и дифференцируема.
Теорема 7.8.1. Пусть функция F (x, y) дифференцируема в некоторой окрест- ности точки (x
(0)
, y
0
) пространства R
n
×R, причем частная производная ∂F
∂y непре- рывна в точке (x
(0)
, y
0
). Если F (x
(0)
, y
0
) = 0 и
∂F (x
(0)
, y
0
)
∂y
6= 0, то
– 243 –
1) для любого ε > 0 найдется окрестность точки x
(0)
∈ R
n и единственная определенная в этой окрестности функция y = f (x) такая, что |f(x) − y
0
| < ε,
f (x
(0)
) = y
0
и F (x, f (x)) = 0;
2) Функция f (x) дифференцируема в указанной окрестности точки x
(0)
Доказательство. 1) Пусть для определенности
∂F (x
(0)
, y
0
)
∂y
> 0. Тогда в силу непрерывности частной производной ∂F
∂y в точке (x
(0)
, y
0
) и свойства сохранения зна- ка нерерывной функции найдется окрестность B((x
(0)
, y
0
)) точки (x
(0)
, y
0
), в которой
∂F
∂y
> 0. Эту окрестность возьмем в виде шара достаточно малого радиуса с цен- тром в точке (x
(0)
, y
0
). Фиксируем теперь любое ε > 0 такое, что точки (x
(0)
, y
0
− ε) и
(x
(0)
, y
0
+ ε) лежат внутри шара B. Рассмотрим функцию F (x
(0)
, y) переменной y на отрезке [y
0
− ε, y
0
+ ε].
Так как
∂F (x
(0)
, y
0
)
∂y
> 0 на отрезке [y
0
−ε, y
0
+ε], то функция F (x
(0)
, y) возрастает на этом отрезке. Поскольку F (x
(0)
, y
0
) = 0, то F (x
(0)
, y
0
− ε) < 0, а F (x
(0)
, y
0
+ ε) > 0.
Рассмотрим теперь две функции F (x, y
0
− ε) и F (x, y
0
+ ε) переменных x =
(x
1
, . . . , x n
). В точке x
(0)
эти функции принимают значения разных знаков и в си- лу теоремы о сохранении знака непрерывной функции найдутся окрестности то- чек (x
(0)
, y
0
− ε) и (x
(0)
, y
0
+ ε), в которых эти функции сохраняют знак. Таким образом, найдется δ > 0 такое, что F (x, y
0
− ε) < 0 и F (x, y
0
+ ε) > 0 для x ∈ U
x
(0)
(δ) = {x ∈ R
n
: |x i
− x
0
i
| < δ, i = 1, 2, . . . , n}. Кроме того, возь- мем δ так, чтобы для x ∈ U
x
(0)
(δ) точки (x
(0)
, y
0
− ε) и (x
(0)
, y
0
+ ε) лежали в шаре B(x
(0)
, y
0
). При таком выборе δ все точки (n + 1)-мерного параллелепипеда
Π = {(x, y) : |x i
− x
0
i
| < δ, |y − y
0
| < ε, i = 1, 2, . . . , n} лежат в шаре B(x
(0)
, y
0
).
Покажем теперь, что уравнение F (x, y) = 0 однозначно разрешимо в параллеле- пипеде Π, т.е. для любой точки x = (x
1
, . . . , x n
) такой, что |x i
− x
0
i
| < δ, i = 1, 2, . . . , n,
найдется y ∈ (y
0
−ε, y
0
+ε) такое, что F (x, y) = 0. Фиксируем x и рассмотрим функцию
F (x, y) переменной y. Так как ∂F
∂y
> 0 на отрезке [y
0
− ε, y
0
+ ε], то функция строго возрастает на этом отрезке, а так как она принимает на концах отрезка значения разных знаков, то по теореме Коши о промежуточных значениях найдется y такое,
что F (x, y) = 0. В силу строгой монотонности функции F (x, y) такое y единственное.
Тем самым определена функция f, которая каждой точке x ∈ U(x
(0)
, δ) ставит в соответствие число y ∈ (y
0
− ε, y
0
+ ε), причем для этой функции f (x) справедливы следующие соотношения:
y
0
= f (x
(0)
)
F (x, y) = 0,
и |f(x) − y
0
| < ε.
2) Докажем сначала, что функция y = f(x) непрерывна для всех x ∈ U
x
(0)
(δ).
Так как для любой точки x ∈ U
x
(0)
выполнены те же условия, что и для точки x
(0)
(а именно, любой точке x ∈ U
x
(0)
соответствует точка (x, y) ∈ R
n+1
такая, что
F (x, y) = 0, F дифференцируема и ∂F
∂y 6
= 0 в некоторой окрестности точки), то достаточно доказать непрерывность в точке (x
(0)
, y
0
). А эта непрерывность следует из процедуры построения функции y = f(x), описанной в пункте 1 доказательства.
Действительно, для любого достаточно малого ε > 0 найдено δ > 0 такое, что для всех x ∈ U
x
(0)
(δ) выполняется неравенство |f(x)−f(x
(0)
)| < ε. Условие непрерывности функции y = f(x) в точке x ∈ U
x
(0)
запишем в следующем виде:
lim
∆x→0
∆y = 0,
где
∆y = f (x + ∆x) − f(x).
– 244 –