Файл: Математический анализ.pdf

Как и непрерывность, дифференцируемость функции y = f(x) достаточно дока- зать для точки (x
(0)
, y
0
). Пусть ∆y = f (x
(0)
+∆x)−f(x
(0)
), тогда F (x
(0)
+∆x, y
0
+∆y) =
0 и так как F (x
(0)
, y
0
) = 0, то полное приращение функции F равно нулю: ∆F = 0.
Но в силу дифференцируемости функции F в точке (x
(0)
, y
0
) это полное приращение имеет согласно теореме 7.6.3 вид
∆F =
n
X
i=1

∂F
∂x i
+ ε
i

∆x i
+

∂F
∂y
+ ε
0

∆y.
Здесь все частные производные ∂F
∂x i
, ∂F
∂y берутся в точке (x
(0)
, y
0
) и lim
(∆x,∆y)→(0,0)
ε
i
=
lim
(∆x,∆y)→(0,0)
ε
0
= 0, i = 1, 2, . . . , n. Из непрерывности функции y = f (x) в точке x
(0)
следует, что ∆y → 0 при ∆x → 0, а так как ∂F
∂y
(x
(0)
, y
0
) 6= 0, то при ∆x → 0 и
∂F
∂y
+ ε
0 6= 0. После деления на ∂F
∂y
+ ε
0
получим
∆y = −
n
X
i=1
∂F
∂x i
+ ε
i
∂F
∂y
+ ε
0
∆x i
По теореме о пределе частного двух функций можно утверждать, что
−
∂F
∂x i
+ ε
i
∂F
∂y
+ ε
0
= −
∂F
∂x i
∂F
∂y
+ µ
i
,
i = 1, 2, . . . , n,
где lim
∆x→0
µ
i
= 0, i = 1, 2, . . . , n.
Таким образом, окончательно получаем
∆y = −
n
X
i=1
∂F
∂x i
∂F
∂y
∆x i
+
n
X
i=1
µ
i
∆x i
,
где lim
∆x→0
µ
i
= 0, i = 1, 2, . . . , n.
Полученная формула и доказывает дифференцируемость функции f(x) в точке x
(0)
2
Замечание 7.8.1. При доказательстве теоремы 7.8.1 получены и формулы для частных производных неявной функции y = f (x), определяемой уравнением
F (x, y) = 0:
∂y
∂x i
= −
∂F
∂x i
∂F
∂y
,
i = 1, 2, . . . , n.
– 245 –

7.9. Теорема о системе неявных функций
В предыдущем параграфе мы рассматривали вопрос о существовании и диффе- ренцируемости неявной функции, определяемой одним уравнением. В данном пара- графе мы рассмотрим аналогичный вопрос для совокупности m (m — любое нату- ральное число) неявных функций, определенных системой уравнений. Точнее, пред- положим, что m функций y
j
= f j
(x),
j = 1, . . . , m переменных x = (x
1
, . . . , x n
) ищутся как решение системы m функциональных урав- нений
F
i
(x, y) = 0,
j = 1, . . . , m,
где y = (y
1
, . . . , y m
).
Нас интересует вопрос о разрешимости этой системы относительно переменных y = (y
1
, . . . , y m
). Под термином "решение системы уранений" мы будем понимать на- бор m функций (f
1
(x), . . . , f m
(x)) = f (x) таких, что при подстановке этих функций в систему все уравнения этой системы обращаются в тождества. Это решение мы будем называть непрерывным (дифференцируемым) в некоторой области D изменения пе- ременных x
1
, . . . , x n
, если каждая из функций f j
(x) непрерывна (дифференцируема)
в области D.
Обозначим R
n+m пространство переменных (x, y) = (x
1
, . . . , x n
, y
1
, . . . , y m
), кроме того, пусть F = (F
1
, . . . , F
m
). Для набора функций F введем определитель Якоби
(якобиан) по переменным y
∂F
1
∂y
1
∂F
1
∂y
2
∂F
1
∂y m
∂F
2
∂y
1
∂F
2
∂y
2
∂F
2
∂y m
∂F
m
∂y
1
∂F
m
∂y
2
∂F
m
∂y m
будем обозначать кратко
∂F
∂y
Теорема 7.9.1 (о системе неявных функций). Пусть функции F
j
(x, y), j =
1, . . . , m, дифференцируемы в некоторой окрестности точки (x
(0)
, y
(0)
) ∈ R
n+m
, при- чем частные производные этих функций по переменным y непрерывны в этой точ- ке. Если
F
j
(x
(0)
, y
(0)
) = 0, j = 1, . . . , m и
∂F
∂y
(x
(0)
, y
(0)
) 6= 0,
то для любого набора положительных чисел ε = (ε
1
, . . . , ε
m
) найдется окрест- ность U
x
(0)
точки x
(0)
и определенные в этой окрестности функции f (x) =
(f
1
(x), . . . , f m
(x)) такие, что
1)
f j
(x) − y
(0)
j
< ε
j
, j = 1, . . . , m;
2) F
j
(x, f (x)) ≡ 0, j = 1, . . . , m;
3) f j
(x) дифференцируемы в U
x
(0)
Доказательство. Воспользуемся индукцией по числу уравнений m. Для m = 1
теорема доказана в §7.8. Поэтому достаточно, предположив ее справедливочть для
(m − 1)-го уравнения, доказать ее справедливость для m уравнений. Т.к. по условию
– 246 –

теоремы якобиан
∂F
∂y
(x
(0)
, y
(0)
) 6= 0, то хотя бы один из миноров этого якобиана
(m − 1)-го порядка также не равен нулю. Не ограничивая общности, можно считать,
что не равен нулю минор
∂F
1
∂y
1
∂F
1
∂y
2
∂F
1
∂y m−1
∂F
2
∂y
1
∂F
2
∂y
2
∂F
2
∂y m−1
∂F
m
∂y
1
∂F
m
∂y
2
∂F
m
∂y m−1
Тогда, в силу предположения индукции первые (m − 1) уравнений можно решить относительно y
1
, y
2
, . . . , y m−1
. Точнее, для любых достаточно малых положительных
ε
1
, . . . , ε
m−1
найдется окрестность U
(x
(0)
,y
(0)
m
)
∈ R
n
× R точки (x
(0)
, y
(0)
m
), в которой определены дифференцируемые функции y
j
= ϕ
j
(x, y m
), j = 1, . . . , m − 1,
удовлетворяющие первым (m − 1) уравнениям системы и условиям
ϕ
j
(x, y m
) − y
(0)
j
< ε
j
, j = 1, . . . , m − 1.
Найденные функции ϕ
j
(x, y m
) подставим в левую часть последнего из уравнений системы. При этом левая часть последнего из уравнений системы превращается в функцию зависящую от x
1
, . . . , x n
, y m
:
F
m
(x
1
, . . . , x n
, ϕ
1
(x, y m
), . . . , ϕ
m−1
(x, y m
), y m
) = Ψ(x, y m
).
Эта функция дифференцируема в некоторой окрестности точки (x
(0)
, y
(0)
m
) в силу теоремы о дифференцируемости сложной функции. Задача свелась к тому, чтобы доказать разрешимость уравнения
Ψ(x, y m
) = 0
относительно y m
. Для этого достаточно доказать, что частная производная
∂Ψ
∂y m
непрерывна и не равна нулю в точке (x
(0)
, y
(0)
m
). Вычислим производную
∂Ψ
∂y m
. Под- ставим в первые (m − 1) уравнений системы F
j
(x, y) = 0, j = 1, 2, . . . , m, функции y
j
= ϕ(x, y m
), j = 1, 2, . . . , m − 1, являющиеся решением этих уравнений, и продиф- ференцируем полученные при этом тождества по y m
. Получим m−1
X
i=1
∂F
j
∂y i
·
∂ϕ
i
∂y m
+
∂F
j
∂y m
= 0,
j = 1, 2, . . . , m − 1.
(7.9.1)
Продифференцировав по y m
соотношение
F
m
(x, ϕ
1
(x, y m
), . . . , ϕ
m−1
(x, y m
), y m
) = Ψ(x, y m
),
получим равенство m−1
X
i=1
∂F
j
∂y i
·
∂ϕ
i
∂y m
+
∂F
m
∂y m
=
∂Ψ
∂y m
(7.9.2)
Умножим теперь равенства (7.9.1) и (7.9.2) на соответствующие алгебраические до- полнения ∆
1
, ∆
2
, . . . , ∆
m элементов последнего столбца якобиана
∂F
∂y и после этого
– 247 –

сложим эти равенства. Получим m−1
X
i=1
∂ϕ
j
∂y m

∆
1
∂F
1
∂y j
+ ∆
2
∂F
2
∂y j
+ ·∆
m
∂F
m
∂y j

+
+

∆
1
∂F
1
∂y m
+ ∆
2
∂F
2
∂y m
+ ·∆
m
∂F
m
∂y m

= ∆
m
∂Ψ
∂y m
Так как сумма произведений элементов данного столбца определителя на соответ- ствующие алгебраические дополнения этого (другого) столбца равна определителю
(нулю), то мы получим
∂F
∂y
= ∆
m
∂Ψ
∂y m
Здесь ∆
m
— алгебраическое дополнение последнего элемента последнего столбца яко- биана, по предположению ∆
m
6= 0 в точке (x
(0)
, y
(0)
).
Таким образом, получаем, что
∂Ψ
∂y m
=
∂F
∂y
∆
m
. Отсюда следует непрерывность част- ной производной
∂Ψ
∂y m
в точке (x
(0)
, y
(0)
m
) и тот факт, что эта производная отлична от нуля в этой точке. Тем самым к уравнению применима теорема 7.8.1 о неяв- ной функции. Согласно этой теореме для достаточно малого положительного ε
m найдется окрестность U
x
(0)
точки x
(0)
∈ R
n такая, что в ней определена функция y
m
= f m
(x), которая удовлетворяет условию |f m
(x) − y
(0)
m
| < ε
m и является непре- рывным и дифференцируемым решением уравнения Ψ(x, y m
) = 0. Подставляя най- денную функцию в функции y j
= ϕ
j
(x, y m
),
j = 1, 2, . . . , m − 1, мы получим функ- ции y j
= ϕ
j
(x, f m
(x)) = f j
(x),
j = 1, 2, . . . , m − 1, зависящие только от перемен- ных x = (x
1
, . . . , x n

где y = (y
1
, . . . , y m
), можно следующим образом. Подставим f (x) в систему урав- нений (7.9.3) и продифференцируем полученные тождества по x k
. Получим
∂F
1
∂y
1
·
∂y
1
∂x k
+ · · · +
∂F
1
∂y m
·
∂y m
∂x k
+
∂F
1
∂x k
= 0,
∂F
m
∂y
1
·
∂y
1
∂x k
+ · · · +
∂F
m
∂y m
·
∂y m
∂x k
+
∂F
m
∂x k
= 0.
Это система линейных уранений относительно неизвестных
∂y
1
∂x k
,
∂y
2
∂x k
, . . . ,
∂y m
∂x k
с определителем, равным якобиану
∂F
∂y
. Якобиан отличен от нуля в некоторой окрестности точки x
(0)
, y
(0)

, поэтому система уравнений имеет единственное решение, которое можно найти, напрмер, по формулам Крамера.
Доказанная теорема о неявных функциях является одной из основных теорем математического анализа и имеет много разнообразных приложений в различнх его разделах. Она относится к числу "чистых теорем существования": ни из ее форму- лировки, ни из приведенного ее доказательства не следует, вообще говоря, никакого конкретного метода для решения системы уравнений. Такие методы, как правило приближенные, являются предметом изучения других разделов математики. А тео- рема 7.9.1 дает объективную уверенность, что проводя правильно соответствующие вычисления, мы действительно вычисляем искомое решение системы.
7.10. Теорема об обратном отображении
В данном параграфе будем рассматривать отображение: f : E → R
m
,
E ⊂ R
n
,
т.е. соответствия, которые каждой точке x = (x
1
, . . . , x n
) множества E из n-мерного арифметического пространства R
n
, ставят в соответствие точку y = (y
1
, . . . , y n
) m- мерного пространства R
m
. Задание такого отображения равносильно заданию m функций f j
: E → R, которые называются координатными функциями отображе- ния и пишется f = (f
1
, f
2
, . . . , f m
).
Отображение называется непрерывным (дифференцируемым), если таковыми яв- ляются все координатные функции этого отображения.
Определение 7.10.1. Матрица, составленная из частных производных коор- динатных функций f
′
(x) =





∂f
1
∂x
1
∂f
1
∂x
2
∂f
1
∂x n
∂f
2
∂x
1
∂f
2
∂x
2
∂f
2
∂x n
∂f m
∂x
1
∂f m
∂x
2
∂f m
∂x n





=
∂f i
∂x j
m×n называется матрицей Якоби отображения f. В случае m = n определитель мат- рицы Якоби det
∂f i
∂x j
– 249 –

называется якобианом отображения f и обозначается
∂(f
1
, f
2
, . . . , f n
)
∂(x
1
, x
2
, . . . , x n
)
=
∂f
∂x
Мы уже имели дело с якобианом в предыдущем параграфе.
Пусть E ⊂ R
n x
,
D ⊂ R
m y
,
y = f (x) — отображение множества E в R
m y
, причем f (E) ⊂ D и z = g(y) — отображение D в R
p z
, т.е. f : E → D, g : D → R
p
. В этом случае имеет смысл композиция g ◦ f : E → R
p
, отображающая множество E ⊂ R
n в
p-мерное пространство R
n
:
(g ◦ f)(x) = g(f(x)),
x ∈ E.
Напомним, что отображение f : E → R
m
,
E ⊂ R
n называется взаимно однознач- ным, или инъекцией, если для любых x
(1)
, x
(2)
∈ E из условия x
(1)
6= x
(2)
следует f (x
(1)
) 6= f(x
(2)
). В этом случае говорят также, что множество E взаимно однозначно отображается на множество f(E), т.е. f : E → f(E) является биекцией. В этом слу- чае на множестве f(E) существует обратное отображение f
−1
такое, что f
−1
(y) = x,
где x таково, что f(x) = y. Поэтому f
−1
(f (x)) = x, т.е. композиция f
−1
◦ f является тождественным отображением. Из соответствующих теорем для функций нетрудно получить, что композиция непрерывных (дифференцируемых) отображений являет- ся отображением непрерывным (дифференцируемым).
Из формулы дифференцирования сложной функции получаем следующее: если z
k
= g k
(y
1
, y
2
, . . . , y m
),
k = 1, 2, . . . , p, а y i
= f i
(x
1
, x
2
, . . . , x n
),
i = 1, 2, . . . , m, то
∂z k
∂x j
=
m
X
i=1
∂z k
∂y i
∂y i
∂x j
,
k = 1, 2, . . . , p,
j = 1, 2, . . . , n,
что согласно правилу умножения матриц означает, что матрица
∂z k
∂x j
p×n
=
∂z k
∂y i
p×m
·
∂y i
∂x j
m×n
,
т.е. матрица Якоби композиции отображений f и g равна произведению матриц
Якоби этих отображений.
Если m = n = p в силу известного свойства определителя произведения матриц получаем
∂z
∂x
=
∂z
∂y
·
∂y
∂x
,
т.е. якобиан композиции z = f(g(x)) отображений равен произведению якобианов отображений y = f(x) и z = g(y). Заметим еще, что якобиан тождественного отоб- ражения id (x) = (x
1
, x
2
, . . . , x n
) равен единице, а поскольку f
−1
◦ f — тождественное отображение, то якобианы взаимно обратных отображений y = f(x) и x = g(y) свя- заны соотношением
∂(x
1
, x
2
, . . . , x n
)
∂(y
1
, y
2
, . . . , y n
)
·
∂(y
1
, y
2
, . . . , y n
)
∂(x
1
, x
2
, . . . , x n
)
= 1.
Эта формула является очевидным обощением формулы для производной обратной функции одного переменного dx dy
=
1
dy dx
Рассмотрим вопрос о существовании отображения, обратного данному. В случае n = 1 для непрерывно дифференцируемой на отрезке функции условие необращения
– 250 –

в ноль ее производной влечет ее строгую монотонность и, следовательно, являет- ся достаточным для существования обратной непрерывно дифференцруемой функ- ции. В случае же произвольного n ситуация существенно усложняется: аналогичные условия, налагаемые на дифференциальные свойства отображения позволяют утвер- ждать лишь что локально, т.е. в окрестности точки, существует обратное отображе- ние.
Теорема 7.10.1 (об обратном отображении). Пусть f (x) = (f
1
(x), f
2
(x) . . . , f n
(x))
непрерывно дифференцируемое отображение области G ⊂ R
n в пространство R
n
Если якобиан
∂f
∂x этого отображения не равен нулю в точке x
(0)
∈ G, то существу- ют такие окрестности U
x
(0)
и V
y
(0)
точек x
(0)
и y
(0)
= f (x
(0)
) соответственно, что f (x),
x ∈ U
x
(0)
является взаимно однозначным отображением на окрестность
V
y
(0)
, а обратное отображение непрерывно дифференцируемо в окрестности V
y
(0)
Доказательство. Рассмотрим функции F
i
(x, y) = f i
(x)−y i
,
i = 1, 2, . . . , n. С их помощью система равенств y i
= f i
(x),
i = 1, 2, . . . , n, определяющая отображение f, перепишется в виде системы уравнений
F
i
(x, y) = 0,
i = 1, 2, . . . , n.
При этом функции F
i
(x, y) определены и непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности точки x
(0)
, y
(0)

(например, в G × R
n y
). Кроме того,
F x
(0)
, y
(0)

= 0 и
∂(F
1
, F
2
, . . . , F
n
)
∂(x
1
, x
2
, . . . , x n
)
(x
(0)
,y
(0)
)
=
∂(f
1
, f
2
, . . . , f n
)
∂(x
1
, x
2
, . . . , x n
)
x
(0)
6= 0.
Таким образом, выполнены все условия теоремы 7.9.1 о разрешимости системы урав- нений. В силу этой теоремы найдутся такие окрестности U
∗
x
(0)
и V
y
(0)
точек x
(0)
и y
(0)
соответственно такие единственные функции x
j
= g j
(y
1
, y
2
, . . . , y n
),
j = 1, 2, . . . , n,
что отображение x = g(y) взаимно однозначно отображает V
y
(0)
в U
∗
x
(0)
и имеет место тождество f (g(y)) = y,
y ∈ V
y
(0)
. Таким образом g является отображени- ем, обратным к отбражению f, оно также непрерывно дифференцируемо. Положим
U
x
(0)
= U
∗
x
(0)
∩ f
−1
V
y
(0)

— это искомая окрестность точки x
(0)
2 7.11. Зависимость функций
7.11.1. Необходимое условие зависимости функций.
Определение 7.11.1. Пусть на открытом множестве E ⊂ R
n заданы непре- рывно дифференцируемые функции y
i
= f i
(x),
i = 1, 2, . . . , m,
x = (x
1
, . . . , x n
) ∈ G.
Если существует открытое множество D ⊂ R
m−1
и определенная на D непре- рывно дифференцируемая функция Φ(y
1
, . . . , y m−1
) такая, что в любой точке x ∈ G
выполняются условия
(f
1
(x), . . . , f m−1
(x)) ∈ D и f m
(x) = Φ (f
1
(x), . . . , f m−1
(x)) ,
то функция f m
(x) называется зависимой на множестве G от функций f
1
(x), f
2
(x),
. . . , f m−1
(x).
– 251 –