ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 08.11.2023
Просмотров: 544
Скачиваний: 4
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
СОДЕРЖАНИЕ
Определение 7.11.2. Если среди функций системы y
i
= f i
(x),
i = 1, 2, . . . , m,
x = (x
1
, . . . , x n
) ∈ G,
есть функция, зависимая от остальных на множестве G, то эта система назы- вается зависимой на множестве G.
Если ни одна из функций системы не зависит от остальных на множестве G,
то эта система называется независимой на множестве G.
Главную роль в вопросе зависимости системы функций играет матрица Якоби этой системы
∂f i
∂x j
m×n
Теорема 7.11.1 (необходимое условие зависимости функций). Пусть m 6 n и система функций y i
= f i
(x), i = 1, 2, . . . , m зависима на открытом множестве G.
Тогда в любой точке множества G ранг матрицы Якоби этой системы меньше m.
Доказательство. По условию, по крайней мере одна из функций системы зависит от остальных. Пусть для определенности f m
(x) зависит от f
1
(x), . . . , f m−1
(x) :
f m
(x) = Φ (f
1
(x), . . . , f m−1
(x)) ,
x ∈ G,
где Φ — непрерывно дифференцируемая функция от m − 1 аргументов y
1
, . . . , y m−1
Отсюда имеем
∂y m
∂x j
=
m−1
X
i=1
∂Φ
∂y i
·
∂y i
∂x j
,
j = 1, 2, . . . , n.
Эта формула означает, что m− я строка матрицы Якоби является линейной ком- бинацией остальных строк матрицы и, следовательно, ее ранг меньше m в каждой точке x ∈ G.
2
Следствие 7.11.1. Пусть m = n и система функций y i
= f i
(x),
j = 1, 2, . . . , n,
x ∈ G зависима на G. Тогда якобиан
∂(y
1
, y
2
, . . . , y n
)
∂(x
1
, y
2
, . . . , x n
)
= 0 для всех x ∈ G.
Доказательство. Следует из теоремы 7.11.1 при m = n.
2
Следствие 7.11.2 (достаточные условия независимости фунций). Пусть m 6 n и пусть ранг матрицы Якоби системы функций равен m хотя бы в одной точке открытого множества G. Тогда система независима на множестве G.
Доказательство. Легко получается методом от противного.
2
Замечание 7.11.1. Поскольку строки матрицы Якоби
∂f i
∂x j
, j = 1, 2, . . . , n явля- ются координатами градиентов ∇f i
функции f i
, то теорему 7.11.1 можно пере- формулировать следующим образом.
Если система функций y i
= f i
(x), i = 1, 2, . . . , m, x = (x
1
, . . . , x n
) ∈ G зависима на открытом множестве G, то градиенты ∇f
1
, . . . , ∇f m
этих функций линейно зависимы в каждой точке G.
– 252 –
7.11.2. Достаточные условия зависимости функций. Приведем без дока- зательства достаточные условия зависимости функций.
Теорема 7.11.2 (достаточные условия зависимости функций). Пусть ранг мат- рицы Якоби системы функций y
i
= f i
(x), i = 1, 2, . . . , m, x = (x
1
, . . . , x n
) ∈ G
в каждой точке открытого множества G не превышает числа r, r < m 6 n, а в некоторой точке x
(0)
∈ G равен r, т.е.
∂(y i
1
, . . . , y i
r
)
∂(x j
1
, . . . , x j
r
)
x
(0)
6= 0.
Тогда фунции y i
k
= f i
k
(x), k = 1, 2, . . . , r, независимы на множестве G и суще- ствует окрестность точки x
(0)
такая, что любая из оставшихся m − r функций зависит на этой окрестности от указанных r функций.
Замечание 7.11.2. Утверждение теоремы 7.11.2 имеет локальный характер.
Это означает, что при выполнении условий теоремы только на некоторой окрест- ности точки x
(0)
(а не на всем множестве G) данная система функций является зависимой системой.
Пример 7.11.1. Исследовать на зависимость систему функций u = sin(x + y),
v = cos(x + y).
Решение. Якобиан этой системы
∂(u, v)
∂(x, y)
=
cos(x + y)
cos(x + y)
− sin(x + y) − sin(x + y)
= 0
для всех (x, y). Легко видеть, что ранг матрицы Якоби равен единице во всех точках плоскости. Согласно теореме 7.11.2 функции зависимы в окрестности каждой точки плоскости. В данном случае зависимость легко найти в явном виде, например, на открытом множестве G = {(x, y) : cos(x + y) > 0} она может быть задана формулой v =
√
1 − u
2 7.12. Условный экстремум
В математике и ее приложениях часто встречается задача об отыскании экстрему- мов функции, аргументы которой удовлетворяют дополнительным условиям связи.
Экстремумы такого рода называют условными, чтобы отличить их от изученных ранее в §7.7 экстремумов (безусловных).
Пусть на открытом множестве G ⊂ R
n+m заданы m функций
F
i
(x, y),
i = 1, 2, . . . , m переменных x = (x
1
, x
2
, . . . , x n
), y = (y
1
, y
2
, . . . , y m
), (x, y) ∈ G. Обозначим через E
множество тех точек, в которых все эти функции обращаются в ноль:
E = {(x, y) ∈ G : F
i
(x, y) = 0, i = 1, 2, . . . , m} .
Уравнения
F
i
(x, y) = 0, i = 1, 2, . . . , m будем называть уравнениями связи.
– 253 –
Определение 7.12.1. Пусть на множестве G задана функция F
0
(x, y). Точка x
(0)
, y
(0)
∈ G называется точкой условного экстремума функции F
0
при выпол- нении уравнения связи, если она является точкой обычного экстремума сужения функции F на множество E.
Иначе говоря, здесь значение функции F
0
(x, y) в точке x
(0)
, y
(0)
сравнивается не со всеми ее значениями в достаточно малой окрестности этой точки, а только со значениями в точках, принадлежащих одновременно указанной достаточно малой окрестности и множеству E. Как и в случае обычных экстремумов, можно, есте- ственно, рассматриваить точки условного экстремума и точки строгого условного экстремума.
Пример 7.12.1. Рассмотрим функцию
F (x, y) = x
2
+ y
2
и уравнение связи x + y − 1 = 0.
Найти условный экстремум функции F при выполнении уравнения связи.
Решение. Из уравнения связи имеем y = 1 − x, откуда
F (x, 1 − x) = 2x
2
− 2x + 1.
Таким образом, при выполнении условия связи функция F является функцией одно- го переменного. Ее экстремум находится элементарно: приравнивая к нулю ее про- изводную (необходимое условие экстремума), получим 2x − 1 = 0, откуда x =
1 2
. В
этой точке рассматриваемая функция, очевидно, имеет минимум (она является мно- гочленом второй степени с положительным коэффициентом при старшем члене).
Значению x =
1 2
, согласно уравнению связи, соответствует y =
1 2
Следовательно, в точке (
1 2
,
1 2
) функция F (x, y) достигает минимума относительно уранения связи x + y − 1 = 0. Геометрически это означает, что точка параболоида z = x
2
+ y
2
, проектирующаяся в точку (
1 2
,
1 2
), является самой низкой из всех его точек, лежащих над прямой x + y − 1 = 0. Этот пример показывает, что точка,
в которой функция достигает условного экстремума, не является, вообще говоря,
точкой экстремума этой функции.
Пример 7.12.2. Рассмотрим функцию F (x, y) = y
2
−x
2
и уравнение связи y = 2x.
Найти условный экстремум.
Решение. Имеем F (x, 2x) = 3x
2
, т.е. при выполнении уравнения связи рассматри- ваемая функция также является функцией одного переменного и, очевидно, дости- гает минимума при x = 0.
Значению x = 0, согласно уравнению связи, соответствует значение y = 0, а по- этому функция F (x, y) = y
2
−x
2
имеет в точке (0, 0) условный минимум относительно уравнения связи y = 2x.
Следут заметить, что в этом случае сама функция F (x, y) не имеет ни макси- мума, ни минимума ни в какой точке плоскости. Таким образом, рассмотренный пример показывает, что функция может не иметь экстремума, но при определенных уравнениях связи может иметь условный экстремум.
В дальнейшем будем предполагать, что
1) все функции F
0
, F
1
, . . . , F
m непрерывно дифференцируемы в открытом множестве
G;
2) в рассматриваемой точке x
(0)
, y
(0)
якобиан
∂(F
1
, . . . , F
m
)
∂(y
1
, . . . , y m
)
отличен от нуля. В си- лу теоремы 7.9.1 для достаточно малых положительных ε
1
, ε
2
, . . . , ε
m найдется такая
– 254 –
окрестность U
x
(0)
точки x
(0)
∈ R
n
, в которой определены функции y i
= f i
(x), i =
1, 2, . . . , m, удовлетворяющие условиям |f i
(x) − y
(0)
i
| < ε
i
, i = 1, 2, . . . , m, и являющи- еся (единственным) дифференцируемым решением уравнений связи F
i
(x, y) = 0, i =
1, 2, . . . , m. Подставляя найденные функции в F
x
(0)
точки x
(0)
∈ R
n
, в которой определены функции y i
= f i
(x), i =
1, 2, . . . , m, удовлетворяющие условиям |f i
(x) − y
(0)
i
| < ε
i
, i = 1, 2, . . . , m, и являющи- еся (единственным) дифференцируемым решением уравнений связи F
i
(x, y) = 0, i =
1, 2, . . . , m. Подставляя найденные функции в F
1 ... 20 21 22 23 24 25 26 27 ... 43
0
(x, y) получим
F
0
(x, f (x)) = F (x
1
, . . . , x n
, f
1
(x
1
, . . . , x n
), . . . , f m
(x
1
, . . . , x n
)) = Φ(x
1
, . . . , x n
).
Таким образом задача об отыскании условного экстремума функции F
0
(x, y) сводится к задаче об отыскании обычного экстремума функции Φ(x) = F
0
(x, f (x)). Данная схема решения задач об условном экстремуме была реализована в приведенных выше примерах.
Согласно теореме 7.7.3 необходимым условием экстремума функции Φ(x) в точке x
(0)
является равенство нулю в этой точке ее дифференциала dΦ =
∂Φ
∂x
1
dx
1
+ . . . +
∂Φ
∂x n
dx n
= 0,
относительно любых dx
1
, . . . , dx n
. В силу инвариантности формы первого диффе- ренциала и формулы Φ(x) = F
0
(x, f (x)) последнее равенство можно переписать в виде
∂F
0
∂x
1
dx
1
+ . . . +
∂F
0
∂x n
dx n
+
∂F
0
∂y
1
dy
1
+ . . . +
∂F
0
∂y m
dy m
= 0
(7.12.1)
(В этой формуле все частнве производные берутся в точке (x
(0)
, y
(0)
.) Отметим, что в последнем равенстве дифференциалы dy
1
, . . . , dy m
являются дифференциалами функций y i
= f i
(x), i = 1, 2, . . . , m, так что это равенство не является тождеством относительно dy
1
, . . . , dy m
Продифференцировав тождества F
i
(x, f (x)) ≡ 0, i = 1, 2, . . . , m, получим
∂F
i
∂x
1
dx
1
+ . . . +
∂F
i
∂x n
dx n
+
∂F
i
∂y
1
dy
1
+ . . . +
∂F
i
∂y m
dy m
= 0,
i = 1, 2, . . . , m.
(7.12.2)
Так как
∂(F
1
, . . . , F
m
)
∂(y
1
, . . . , y m
)
(x
(0)
,y
(0)
)
6= 0, то из системы уравнений (7.12.2) можно найти dy
1
, . . . , dy m
и подставить в (7.12.1). Собирая в полученном равенстве члены, содер- жащие dx
1
, . . . , dx n
будем иметь
A
1
dx
1
+ . . . + A
n dx n
= 0,
где через A
1
, . . . , A
n обозначены некоторые рациональные выражения от частных производных F
0
, F
1
, . . . , F
m
. Так как последнее равенство является тождеством отно- сительно dx
1
, . . . , dx n
(x
1
, . . . , x n
— независимые переменные), то A
1
= 0, . . . , A
n
= 0.
Таким образом, мы получили необходимые условия существования условного экс- тремума функции F
0
(x, y) при наличии связей F
i
(x, y) = 0, i = 1, 2, . . . , m :
A
1
= 0, . . . , A
n
= 0, F
1
= 0, . . . , F
m
= 0.
Эти равенства представляют собой систему n + m уравнений для отыскания n + m координат точки возможного условного экстремума.
Для отыскания точек возможного условного экстремума часто используется ме- тод неопределенных множителей Лагранжа.
Умножим равенства (7.12.2) на (неопределенные) множители λ
i
, i = 1, 2, . . . , m,
и сложим их почленно с равенством (7.12.1). В результате получим равенство
∂L
∂x
1
dx
1
+ . . . +
∂L
∂x n
dx n
+
∂L
∂y
1
dy
1
+ . . . +
∂L
∂y m
dy m
= 0,
(7.12.3)
– 255 –
где символом L = L(x
1
, . . . , x n
, y
1
, . . . , y m
) обозначается функция
L = F
0
+ λ
1
F
1
+ . . . + λ
m
F
m
Определение 7.12.2. Функция L называется функцией Лагранжа, а множи- тели λ
1
, . . . , λ
m множителями Лагранжа.
Выберем λ
1
, . . . , λ
m так, чтобы выполнялись равенства
∂L
∂y
1
= 0, . . . ,
∂L
∂y m
= 0 или
∂F
0
∂y j
+ λ
1
∂F
1
∂y j
+ . . . λ
m
∂F
m
∂y j
= 0,
i = 1, 2, . . . , m.
Полученная система линейных (относительно λ
1
, . . . , λ
m
) уравнений имеет опреде- литель, который равен якобиану
∂(F
1
, . . . , F
m
)
∂(y
1
, . . . , y m
)
и, следовательно, согласно условию
2) он отличен от нуля.
Подставляя найденные λ
1
, . . . , λ
m в (7.12.3), получим
∂L
∂x
1
dx
1
+ . . . +
∂L
∂x n
dx n
= 0.
Поскольку переменные x
1
, . . . , x n
независимы, то последнее равенство является тождеством относительно dx
1
, . . . , dx n
, поэтому
∂L
∂x
1
= 0, . . . ,
∂L
∂x n
= 0.
Таким образом, для отыскания точек возможного экстремума функции F
0
(x, y) при наличии уравнений связи F
i
(x, y) = 0, i = 1, 2, . . . , m, нужно найти точки возможного безусловного экстремума функции Лагранжа L = F
0
+ λ
1
F
1
+ . . . + λ
m
F
m
:
∂L
∂x
1
= 0, . . . ,
∂L
∂x n
= 0,
∂L
∂y
1
= 0, . . . ,
∂L
∂y m
= 0
и учесть уравнения связи
F
1
= 0, . . . , F
m
= 0.
Т.е. нужно решить систему n + 2m уравнений с n + 2m неизвестными, среди которых n + m координат точек возможного экстремума и m неопределенных множителей
Лагранжа.
Приведем (без доказательства) достаточные условия (строгого) условного экстре- мума.
Теорема 7.12.1 (достаточные условия условного экстремума). Пусть x
(0)
, y
(0)
удовлетворяет уравнениям связи F
i
(x, y) = 0, i = 1, 2, . . . , m и является стацио- нарной точкой функции Лагранжа, т.е. в этой точке
∂L
∂x
1
= 0, . . . ,
∂L
∂x n
= 0,
∂L
∂y
1
= 0, . . . ,
∂L
∂y m
= 0.
Если второй дифференциал d
2
L функции Лагранжа в точке x
(0)
, y
(0)
являет- ся положительно (отрицательно) определенной квадратичной формой переменных dx
1
, . . . , dx n
, dy
1
, . . . , dy m
при условии, что они удовлетворяют системе уравнений
∂F
i
∂x
1
dx
1
+ . . . +
∂F
i
∂x n
dx n
+
∂F
i
∂y
1
dy
1
+ . . . +
∂F
i
∂y m
dx m
= 0, i = 1, 2, . . . , m,
то x
(0)
, y
(0)
является точкой строгого условного минимума (максимума) функ- ции F
0
(x, y) относительно уравнений связи F
i
(x, y) = 0, i = 1, 2, . . . , m.
– 256 –
1
, . . . , x n
, y
1
, . . . , y m
) обозначается функция
L = F
0
+ λ
1
F
1
+ . . . + λ
m
F
m
Определение 7.12.2. Функция L называется функцией Лагранжа, а множи- тели λ
1
, . . . , λ
m множителями Лагранжа.
Выберем λ
1
, . . . , λ
m так, чтобы выполнялись равенства
∂L
∂y
1
= 0, . . . ,
∂L
∂y m
= 0 или
∂F
0
∂y j
+ λ
1
∂F
1
∂y j
+ . . . λ
m
∂F
m
∂y j
= 0,
i = 1, 2, . . . , m.
Полученная система линейных (относительно λ
1
, . . . , λ
m
) уравнений имеет опреде- литель, который равен якобиану
∂(F
1
, . . . , F
m
)
∂(y
1
, . . . , y m
)
и, следовательно, согласно условию
2) он отличен от нуля.
Подставляя найденные λ
1
, . . . , λ
m в (7.12.3), получим
∂L
∂x
1
dx
1
+ . . . +
∂L
∂x n
dx n
= 0.
Поскольку переменные x
1
, . . . , x n
независимы, то последнее равенство является тождеством относительно dx
1
, . . . , dx n
, поэтому
∂L
∂x
1
= 0, . . . ,
∂L
∂x n
= 0.
Таким образом, для отыскания точек возможного экстремума функции F
0
(x, y) при наличии уравнений связи F
i
(x, y) = 0, i = 1, 2, . . . , m, нужно найти точки возможного безусловного экстремума функции Лагранжа L = F
0
+ λ
1
F
1
+ . . . + λ
m
F
m
:
∂L
∂x
1
= 0, . . . ,
∂L
∂x n
= 0,
∂L
∂y
1
= 0, . . . ,
∂L
∂y m
= 0
и учесть уравнения связи
F
1
= 0, . . . , F
m
= 0.
Т.е. нужно решить систему n + 2m уравнений с n + 2m неизвестными, среди которых n + m координат точек возможного экстремума и m неопределенных множителей
Лагранжа.
Приведем (без доказательства) достаточные условия (строгого) условного экстре- мума.
Теорема 7.12.1 (достаточные условия условного экстремума). Пусть x
(0)
, y
(0)
удовлетворяет уравнениям связи F
i
(x, y) = 0, i = 1, 2, . . . , m и является стацио- нарной точкой функции Лагранжа, т.е. в этой точке
∂L
∂x
1
= 0, . . . ,
∂L
∂x n
= 0,
∂L
∂y
1
= 0, . . . ,
∂L
∂y m
= 0.
Если второй дифференциал d
2
L функции Лагранжа в точке x
(0)
, y
(0)
являет- ся положительно (отрицательно) определенной квадратичной формой переменных dx
1
, . . . , dx n
, dy
1
, . . . , dy m
при условии, что они удовлетворяют системе уравнений
∂F
i
∂x
1
dx
1
+ . . . +
∂F
i
∂x n
dx n
+
∂F
i
∂y
1
dy
1
+ . . . +
∂F
i
∂y m
dx m
= 0, i = 1, 2, . . . , m,
то x
(0)
, y
(0)
является точкой строгого условного минимума (максимума) функ- ции F
0
(x, y) относительно уравнений связи F
i
(x, y) = 0, i = 1, 2, . . . , m.
– 256 –