Файл: Математический анализ.pdf

Замечание 7.12.1. Если второй дифференциал функции Лагранжа в рассмат- риваемой точке окажется положительно (отрицательно) определенным и без вы- полнения условий связи, то он будет таковым, конечно, и при их выполнении.
Пример 7.12.3. Найти точки экстремума функции F
0
(x, y) = xy, когда точка
(x, y) лежит на прямой x − y = 0.
Решение. Функцией Лагранжа в данном случае является L(x, y) = xy − λ(x − y),
и так как
∂L
∂x
= y − λ,
∂L
∂y
= x + λ, то для определения стационарных точек функции
L(x, y), удовлетворяющих условиям связи, имеем систему уравнений





x − y = 0,
y − λ = 0,
x + λ = 0,
из которых следует, что x = y = λ = 0.
Исследуем в точке (0, 0) второй дифференциал функции L(x, y) при выполнении условий связи, т.е. когда dx − dy = 0. Имеем d
2
L = 2dxdy,
и, значит, при выполнении условий связи d
2
F = 2dx
2
> 0,
т.е. второй дифференциал, являясь неопределенной квадратичной формой, при вы- полнении условий связи превращается в положительно определенную квадратичную форму. Поэтому (0, 0) является точкой строгого условного минимума для рассмот- ренной задачи. Впрочем в данном случае это легко усмотреть и сразу: вдоль прямой x − y = 0 функция F
0
(x, y) = xy примет вид F
0
(x, x) = x
2
, имея, очевидно, в точке x = 0 строгий минимум.
– 257 –

Глава 8
Кратный интеграл Римана
8.1. Кратный интеграл
После изучения данной главы читатель должен уметь вычислять двойные, трой- ные, кратные интегралы, находить площади, объемы тел и площади поверхностей.
Проводить замену переменных в кратных интегралах. Знать основные формулы,
определения, преобразования и теоремы для кратного интеграла Римана и несоб- ственного интеграла Римана: меру Жордана, свойства сумм Дарбу, критерии ин- тегрируемости, интегрируемость различных классов функций, теоремы Фубини и сведении кратного интеграла к повторному, формулу замены переменных в кратном интеграле, сходимость несобственных интегралов. Владеть методами исследований собственного и несобственного интегралов.
8.1.1. Мера Жордана (n-мерный случай). Обобщим понятие меры Жорда- на на случай пространства R
n
Определение 8.1.1. Гиперплоскостью в пространстве R
n называется множе- ство точек x ∈ R
n
, координаты x i
которых удовлетворяют линейному уравнению вида a
1
x
1
+ · · · + a n
x n
+ a
0
= 0,
a
2 1
+ · · · + a
2
n
> 0,
где a i
, i = 1, 2, . . . , n, — фиксированные числа.
При n = 3 понятие гиперплоскости совпадает с понятием обычной плоскости в
R
3
Рассмотрим разбиение T
m пространства R
n ранга m. Для этого разбиваем все пространство на замкнутые кубы гиперплоскостями {x i
= l i
}, i = 1, 2, . . . , n,
l i
= 0, ±1, ±2, . . . . Получаем разбиение T
0
ранга 0. Каждый из полученных ку- бов разбиваем на 10
n равных кубов гиперплоскостями {x i
= l i
/10}, i = 1, 2, . . . , n,
l i
= 0, ±1, ±2, . . . Получаем разбиение T
1
ранга 1. И так далее. Получаем разбие- ние T
m ранга m (m = 0, 1, . . . ), представляющее собой совокупность всех замкнутых кубов вида
Q
m
=

x :
l i
10
m
6
x i
6
l i+1 10
m
, i = 1, . . . , n

Назовем Q
m кубом ранга m.
В R
1
кубы Q
m
— отрезки, в R
2
кубы Q
m
— квадраты, в R
3
кубы Q
m
— обычные кубы.
Определение 8.1.2. Мерой µ(Q
m
) куба Q
m назовем число 10
−nm
, то есть
µ(Q
m
) = 10
−nm
В случае R
1
мера — это длина, в случае R
2
мера — это площадь, в случае R
3
мера
— это объем.
Пусть G — ограниченное непустое множество в пространстве R
n
. Рассмотрим мно- жества s m
— объединение кубов ранга m, полностью содержащихся в G. Если таких
258

кубов нет, то считаем, что s m
= ∅. Также рассмотрим множества S
m
— объединение кубов ранга m, которые пересекаются с G хотя бы в одной точке.
Пусть µ(s m
) — мера многогранника s m
(мера многогранника s m
— это сумма мер кубов, из которых он состоит), а µ(S
m
) — мера многограника S
m
. Если множество s
m
= ∅, то полагаем, что µ(s m
) = 0.
Имеет место последовательность неравенств
µ(s
0
) 6 µ(s
1
) 6 · · · 6 µ(s m
) 6 · · · 6 µ(S
m
) 6 · · · 6 µ(S
1
) 6 µ(S
0
).
Положим
µ
∗
= µ
∗
(G) = sup{µ(s m
)}, m = 0, 1, 2, . . . ,
µ
∗
= µ
∗
(G) = inf{µ(s m
)}, m = 0, 1, 2, . . . .
Отметим, что µ
∗
и µ
∗
— конечные числа.
Назовем µ
∗
— внутренней мерой множества G, а µ
∗
— внешней мерой множества
G.
Для внутренней и внешней мер справедливо неравенство 0 6 µ
∗
6
µ
∗
Определение 8.1.3. Множество G называется измеримым по Жордану, если
µ
∗
= µ
∗
= µ.
Число µ называется мерой Жордана множества G.
Объем пустого множества считается равным нулю.
Рассматриваемая в данном параграфе мера обладет теми же свойствами, что и понятие площади на плоскости или объема в R
3
(см. §§4.9, 4.10).
Определение 8.1.4. Множество G имеет Жорданову меру нуль, если для лю- бого ε > 0 существует многогранник S
m ранга m такой, что
µ(S
m
) < ε.
Теорема 8.1.1. Для того, чтобы множество G было измеримо по Жордану необходимо и достаточно, чтобы его граница ∂G имела меру Жордана равную нулю.
8.1.2. Определение кратного интеграла. Рассмотрим измеримое по Жор- дану множество G ⊂ R
n
. Разобъем множество G на k измеримых множеств G
i
,
i = 1, . . . , k, так, чтобы любые две части не имели общих внутренних точек и
G =
k
S
i=1
G
i
. Обозначим через µ(G
i
) — меру (объем) множества G
i
, T = {G
i
}
k i=1
—
разбиение множества G. Пусть на G определена функция y = f(x) = f(x
1
, . . . , x n
).
Выберем произвольным образом точки P
i
∈ G
i
Определение 8.1.5. Сумма
σ = σ
T
(f ) = σ
T
(f, P
i
) =
k
X
i=1
f (P
i
)µ(G
i
)
называется интегральной суммой Римана функции f (x) на множестве G.
Определение 8.1.6. Диаметр множества — это точная верхняя грань рас- стояний между двумя произвольными точками этого множества.
Пусть d = max
16i6k d
i
, где d i
— диаметр G
i
Число d обычно называют мелкостью или диаметром разбиения {G
i
}
k i=1
– 259 –

Определение 8.1.7. Число I называется пределом интегральных сумм σ
T
(f )
при d → 0, если для любого ε > 0 существует δ > 0, такое что для любого раз- биения множества G, у которого диаметр d < δ, и для любого выбора точек P
i выполняется неравенство
|σ
T
(f ) − I| < ε.
Определение 8.1.8. Если существует lim d→0
σ
T
(f ) = I, то он называется n- кратным интегралом Римана от функции f (x) по множеству G и обозначается
Z
· · ·
Z
G
f (x
1
, . . . x n
) dx
1
. . . dx n
=
Z
G
f (x) dx.
Функцию f(x) называют в этом случае интегрируемой по Риману на множестве
G.
В R
2
двукратный интеграл называют двойным и обозначают
ZZ
G
f (x, y)dxdy.
В R
3
трехкратный интеграл называют тройным и обозначают
ZZZ
G
f (x, y, z)dxdydz.
Пример 8.1.1. Пусть функция f(x, y) = x · y определена на множестве G =
[0, 1] × [0, 1]. Вычислить
ZZ
G
f (x, y)dxdy как предел сумм Римана σ
T
, где T = {G
ij
},
G
ij
=

i−1
n
,
i n

×

j−1
n
,
j n

, точка P
ij
— центр квадрата G
ij
, i, j = 1, . . . , n.
Решение. Так как точка P
ij
— центр квадрата G
ij
, то ее координаты

2i − 1 2n
,
2j − 1 2n

,
i, j = 1, . . . , n.
Мера µ(G
ij
) = 1
n
2
— площадь квадрата G
ij
. Заметим, что диаметр разбиения d → 0
при n → ∞. Составим интегральную сумму σ
T
σ
T
=
n
X
i,j=1
f (P
ij
) · µ(G
ij
) =
n
X
i,j=1 2i − 1 2n
·
2j − 1 2n
·
1
n
2
=
=
1 4n
4
n
X
i,j=1
(4ij − 2i − 2j + 1) =
(1 + n)
2
n + n − 2 4n
3
Перейдя к пределу в интегральной сумме σ
T
при n → ∞, получим
ZZ
G
f (x, y)dxdy = lim n→∞
σ
T
=
1 4
– 260 –

8.2. Критерии интегрируемости
8.2.1. Суммы Дарбу. В отличии от интеграла Римана на прямой для кратного интеграла, в общем, не выполняется необходимое условие интегрируемость — огра- ниченность функции. Так, если множество G имеет меру 0, то любая функция f,
заданная на G, интегрируема и интеграл от f равен нулю. Поэтому ограниченность функции при рассмотрении критериев интегрируемости выступает дополнительным требованием.
Пусть y = f(x) = f(x
1
, . . . , x n
) ограниченная функция, определенная на измери- мом по Жордану множестве G ⊂ R
n
Рассмотрим разбиение T = {G
i
}
m i=1
множества G. Пусть
M
i
= sup x∈G
i f (x),
m i
= inf x∈G
i f (x).
Определение 8.2.1. Сумма S
T
= S
T
(f ) =
m
P
i=1
M
i
µ(G
i
) называется верхней сум- мой Дарбу функции f (x) на множестве G.
Определение 8.2.2. Сумма s
T
=
m
P
i=1
m i
µ(G
i
) называется нижней суммой Дар- бу функции f (x) на множестве G.
Свойства сумм Дарбу
1. Для данного разбиения T = {G
i
}
m i=1
множества G верхняя и нижняя сум- мы есть точная верхняя и точная нижняя грани интегральных сумм σ
T
(f, P
i
) =
m
P
i=1
f (P
i
)µ(G
i
), отвечающих этому разбиению и всевозможным выборам точек P
i
В частности, верно s
T
6
σ
T
(f ) 6 S
T
Определение 8.2.3. Разбиение T
′
=

G
′
j k
j=1
называется измельчением разби- ения T = {G
i
}
m i=1
, если каждый элемент G
i второго разбиения либо является эле- ментом первого разбиения, либо представляет собой объединение нескольких эле- ментов этого первого разбиения.
2. При измельчении разбиения верхняя интегральная сумма не увеличивается, а нижняя интегральня сумма не уменьшается, то есть s
T
6
s
T
′
6
S
T
′
6
S
T
3. Пусть T
′
{G
′
i
}
m i=1
и T
′′
{G
′′
i
}
k i=1
— два произвольных разбиения множества G.
Тогда справедливо неравенство
S
T
′
>
s
T
′′
Определение 8.2.4. Точная нижняя грань верхних сумм Дарбу называется верхним интегралом Дарбу и обозначается I.
Определение 8.2.5. Точная верхняя грань нижних сумм Дарбу называется нижним интегралом Дарбу и обозначается I.
Лемма 8.2.1 (Дарбу). Верхний и нижний интегралы Дарбу являются преде- лами верхних и нижних сумм Дарбу соответственно при d → 0 (d — диаметр разбиения).
– 261 –

8.2.2. Критерии интегрируемости.
Теорема 8.2.1 (Риман). Ограниченная на измеримом по Жордану множестве
G функция f (x) интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда для любого
ε > 0 существует такое разбиение T = {G
i
}
m i=1
множества G, что
S
T
− s
T
< ε,
где S
T
, s
T
— верхняя и нижняя суммы Дарбу функции f (x), соответствующие разбиению T .
Доказательство. Необходимость. Пусть функция f (x) интегрируема на множе- стве G. Обозначим I =
Z
· · ·
Z
G
f (x
1
, . . . x n
) dx
1
. . . dx n
. Зафиксируем ε > 0. Тогда для данного ε > 0 найдется такое δ > 0, что для всякого разбиения T = {G
i
}
m i=1
, для которого d < δ, выполняется неравенство
|I − σ
T
(f, P
i
)| < ε/4
(8.2.1)
независимо от выбора точек P
i
(x i
1
, . . . , x i
n
) ∈ G
i
Зафиксируем разбиение T = {G
i
}
m i=1
. Так как верхняя S
T
и нижняя s
T
суммы
Дарбу являются точной верхней и точной нижней гранями интегральных сумм отве- чающих разбиению T , то в G
i можно выбрать точки P
′
i и P
′′
i так, чтобы выполнялись неравенства
S
T
− σ
T
(f, P
′
i
) < ε/4,
σ
T
(f, P
′′
i
) − s
T
< ε/4.
Сложим два последних неравенства

8.3. Классы интегрируемых функций
Теорема 8.3.1. Любая функция f(x) непрерывная на замкнутом, измеримом по
Жордану множестве G, интегрируема на этом множестве.
Доказательство Так как G — измеримое множество, то G — ограниченное мно- жество, то есть G — компакт. Функция f(x), непрерывная на компакте, по теореме
Кантора равномерно непрерывна на этом компакте.
Тогда для любого ε > 0 найдется такое δ > 0, что для любого разбиения T =
{G
i
}
m i=1
такого, что d < δ будет выполняться
M
i
− m i
< ε
где M
i
= sup x∈ G
i f (x), m i
= inf x∈ G
i f (x), i = 1, 2, . . . , m.
Поэтому
S
T
− s
T
=
m
X
i=1
M
i
µ(G
i
) −
m
X
i=1
m i
µ(G
i
) =
m
X
i=1
(M
i
− m i
)µ(G
i
).
Таким образом,
S
T
− s
T
< ε
m
X
i=1
µ(G
i
) < εµ(G).
Следовательно, функция f(x) интегрируема на G.
2
Требование непрерывности подынтегральной функции слишком "жесткое". Для приложений важна следующая теорема, гарантирующая существование кратного ин- теграла для некоторого класса разрывных функций.
Теорема 8.3.2. Если функция ограниченная на измеримом по Жордану компак- те G и множество ее точек разрыва имеет жорданову меру нуль, то эта функция интегрируема на G.
8.4. Свойства кратного интеграла
В этом параграфе представлены свойства кратного интеграла аналогичные свой- ствам определенного интеграла от функции одной переменной.
1. Пусть G — измеримое множество, тогда
Z
· · ·
Z
G
dx
1
. . . dx n
= µ(G).
2. Пусть G и e
G — измеримые множества, e
G ⊂ G, функция f(x
1
, . . . , x n
) ограничена и интегрируема на G. Тогда f(x
1
, . . . , x n
) интегрируема на e
G.
3. Линейность интеграла. Если функции f(x
1
, . . . , x n
) и g(x
1
, . . . , x n
) интегрируе- мы на множестве G, то для любых действительных чисел α и β существует интеграл
Z
· · ·
Z
G
(αf (x
1
, . . . , x n
) + βg(x
1
, . . . , x n
))dx
1
. . . dx n
и справедливо равенство
Z
· · ·
Z
G
(αf (x
1
, . . . , x n
) + βg(x
1
, . . . , x n
))dx
1
. . . dx n
=
– 263 –

= α
Z
· · ·
Z
G
f (x
1
, . . . , x n
)dx
1
. . . dx n
+ β
Z
· · ·
Z
G
g(x
1
, . . . , x n
)dx
1
. . . dx n
4. Аддитивность интеграла. Пусть G = G
1
∪G
2
, где G
1
, G
2
— измеримые множе- ства, на каждом из которых функция f(x
1
, . . . , x n
) интегрируема, тогда f (x
1
, . . . , x n
)
интегрируема на G. Если G
1
и G
2
не имеют общих внутренних точек, то
Z
· · ·
Z
G
f (x
1
, . . . , x n
)dx
1
. . . dx n
=
=
Z
· · ·
Z
G
1
f (x
1
, . . . , x n
)dx
1
. . . dx n
+
Z
· · ·
Z
G
2
f (x
1
, . . . , x n
)dx
1
. . . dx n
5. Монотонность интеграла. Если f(x
1
, . . . , x n
) и g(x
1
, . . . , x n
) интегрируемы на измеримом множестве G и для всех x ∈ G выполняется f(x
1
, . . . , x n
) 6 g(x
1
, . . . , x n
),
то
Z
· · ·
Z
G
f (x
1
, . . . , x n
)dx
1
. . . dx n
6
Z
· · ·
Z
G
g(x
1
, . . . , x n
)dx
1
. . . dx n
6. Оценка интеграла по модулю. Если f(x) интегрируема и ограничена на изме- римом множестве G, то функция |f(x)| также интегрируема на G и
Z
· · ·
Z
G
f (x
1
, . . . , x n
)dx
1
. . . dx n
6
Z
· · ·
Z
G
|f(x
1
, . . . , x n
)|dx
1
. . . dx n
7. Если G и e
G — измеримые множества, e
G ⊂ G, функция f(x
1
, . . . , x n
) неотрица- тельна, ограничена и интегрируема на G, то
Z
· · ·
Z
e
G
f (x
1
, . . . , x n
) dx
1
. . . dx n
6
Z
· · ·
Z
G
f (x
1
, . . . , x n
) dx
1
. . . dx n
8. Пусть функция f(x
1
, . . . , x n
) интегрируема и неотрицательна на измеримом множестве G, x
0
∈ G и является внутренней точкой G, f(x
1
, . . . , x n
) непрерывна в точке x
0
= (x
0 1
, . . . , x
0
n
) и f (x
0
) > 0. Тогда
Z
· · ·
Z
G
f (x
1
, . . . , x n
) dx
1
. . . dx n
> 0.
9. Теорема о среднем. Если f(x
1
, . . . , x n
) интегрируема на измеримом множестве
G и удовлетворяет неравенству
C
1 6
f (x
1
, . . . , x n
) 6 C
2
,
то существует такое число ν, C
1 6
ν 6 C
2
, что
Z
· · ·
Z
G
f (x
1
, . . . , x n
) dx
1
. . . dx n
= νµ(G),
где µ(G) — мера множества G, C
1
, C
2
— константы.
Если дополнительно потребовать, чтобы f(x
1
, . . . , x n
) была непрерывна на G, а
G является областью, то свойство 9 можно сформулировать в таком виде
– 264 –

9
′
. Существует точка M
∗
(x
1
, . . . , x n
) ∈ G, такая что
Z
· · ·
Z
G
f (x
1
, . . . , x n
) dx
1
. . . dx n
= f (M
∗
)µ(G).
8.5. Теоремы Фубини
8.5.1. Сведение двойного интеграла к повторному. Непрерывные функ- ции ϕ(x) и ψ(x) (ϕ(x) 6 ψ(x)) заданы на отрезке [a, b]. Пусть на множестве (рис.
8.5.1)
G = {(x, y) : a 6 x 6 b, ϕ(x) 6 y 6 ψ(x)}
(8.5.1)
определена функция f(x, y).
0
-
6
x y
a b
ϕ(x)
ψ(x)
Рис 8.5.1. Множество G
Если для любого фиксированного x ∈ [a, b] функция f(x, y), как функция пе- ременного y, интегрируема на отрезке [ϕ(x), ψ(x)], то есть при любом x ∈ [a, b] су- ществует интеграл
ψ(x)
R
ϕ(x)
f (x, y) dy и функция F (x) =
ψ(x)
R
ϕ(x)
f (x, y) dy интегрируема на отрезке [a, b], то интеграл b
R
a
ψ(x)
R
ϕ(x)
f (x, y) dy
!
dx называют повторным интегралом и обозначают b
Z
a dx
ψ(x)
Z
ϕ(x)
f (x, y) dy.
Целью данного пункта является доказательство справедливости равенства
ZZ
G
f (x, y) dxdy =
b
Z
a dx
ψ(x)
Z
ϕ(x)
f (x, y) dy,
(8.5.2)
Такого типа утверждения обычно называют теоремами Фубини.
Таким образом, (8.5.2) есть формула, по которой вычисляется двойной интеграл.
Согласно (8.5.2) для нахождения двойного интеграла по области G надо сначало
– 265 –