Файл: Математический анализ.pdf

вычислить интеграл по y при фиксированном x, а затем получившуюся функцию проинтегрировать по x.
Рассмотрим сначала двойной интеграл по прямоугольнику со сторонами парал- лельными осям координат.
Теорема 8.5.1 (Фубини). Если для функции f(x, y), определенной и ограничен- ной в прямоугольнике
Π = {a 6 x 6 b,
c 6 y 6 d},
(8.5.3)
существует двойной интеграл
ZZ
Π
f (x, y) dxdy,
(8.5.4)
а при каждом фиксированном значении x, a 6 x 6 b существует однократный интеграл
J(x) =
d
Z
c f (x, y) dy,
(8.5.5)
то существует повторный интеграл b
Z
a dx d
Z
c f (x, y) dy =
b
Z
a
J(x) dx
(8.5.6)
и выполняется равенство
ZZ
Π
f (x, y) dxdy =
b
Z
a dx d
Z
c f (x, y) dy.
(8.5.7)
Доказательство. Рассмотрим разбиение T = {Π
ij
}, i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , k,
прямоугольника Π, разделив стороны прямоугольника Π точками a = x
0
< x
1
<
x
2
< · · · < x m
= b и c = y
0
< y
1
< y
2
< · · · < y k
= d. Таким образом, {Π
ij
} = {x i−1 6
x 6 x i
, y j−1 6
y 6 y j
} (рис. 8.5.2)
0
-
6
x y
p p
p p
p p
p p
p p
p p
p p
p p
p p
p p
p p
p p
p p
p p
p p
p p
p p
p p
p p
p p
p p
p p
p p
p p
p p
p p
p p
p p
p p
p p
p p
p p
p p
p p
p p
P
ij
P
a b
x i−1
x i
c d
y j−1
y j
– 266 –

Рис 8.5.2. Разбиение прямоугольника
Пусть m ij
= inf
Π
ij f (x, y), M
ij
= sup
Π
ij f (x, y). Выберем в каждом промежутке [x i−1
, x i
]
произвольную точку ξ
i
. При y j−1 6
y 6 y j
выполняется m ij
6
f (ξ
i
, y) 6 M
ij
. Ин- теграл y
j
Z
y j−1
f (ξ, y) dy, существование которого следует из (8.5.5), удовлетворяет нера- венствам m
ij
∆y j
6
y j
Z
y j−1
f (ξ
i
, y) dy 6 M
ij
∆y j
,
j = 1, . . . , k,
(8.5.8)
где ∆y j
= y j
− y j−1
Cуммируя неравенства (8.5.8) по j от 1 до k, получим k
X
j=1
m ij
∆y j
6
J(ξ
i
) 6
k
X
j=1
M
ij
∆y j
,
i = 1, . . . , m,
где J(ξ
i
) =
d
Z
c f (ξ
i
, y) dy. Умножим каждое из получившихся неравенств на ∆x i
=
x i
− x i−1
и просуммируем по i от 1 до k. В результате имеем неравенства m
X
i=1
∆x i
k
X
j=1
m ij
∆y j
6
m
X
i=1
J(ξ
i
)∆x i
6
m
X
i=1
∆x i
k
X
j=1
M
ij
∆y j
,
i = 1, . . . , m.
Слева и справа в последнем равенстве стоят нижняя и верхняя суммы Дарбу, соот- ветствующие двойному интегралу (8.5.4). Таким образом,
s
T
6
m
X
i=1
J(ξ
i
)∆x i
6
S
T
Внутри последнего неравенства стоит интегральная сумма для функции J(x) по отрезку [a, b]. Устремим к нулю все ∆x i
, ∆y j
. Cогласно условиям теоремы интеграл
(8.5.4) существует, то верхние и нижние суммы Дарбу будут стремится к этому двой- ному интегралу. Следовательно, предел интегральной суммы m
P
i=1
J(ξ
i
)∆x i
совпадет с двойным интегралом (8.5.4). Таким образом,
ZZ
Π
f (x, y) dxdy =
b
Z
a
J(x) dx =
b
Z
a dx d
Z
c f (x, y) dy.
2
Отметим, что если функция f — непрерывна на прямоугольнике, то двойной интеграл от нее существует и существуют все интегралы J(x), поэтому теорема 8.5.1
автоматически выполняется.
– 267 –

Меняя роли переменных x и y (и предполагая существование интеграла J
1
(y) =
b
Z
a f (x, y) dx), получаем аналогичное равенство
ZZ
Π
f (x, y) dxdy =
d
Z
c dy b
Z
a f (x, y) dx.
Наконец, если наряду с двойным интегралом (8.5.4) существуют оба интеграла
J(x) =
d
Z
c f (x, y) dy и J
1
(y) =
b
Z
a f (x, y) dx, то
ZZ
Π
f (x, y) dxdy =
b
Z
a dx d
Z
c f (x, y) dy =
d
Z
c dy b
Z
a f (x, y) dx.
Рассмотрим теперь вопрос о сведении двойного интеграла к повторному для случая криволинейной области G заданной (8.5.1).
Теорема 8.5.2 (Фубини). Если для функции f(x, y), определенной и ограничен- ной в области G, существует двойной интеграл
ZZ
G
f (x, y) dxdy,
а при каждом фиксированном значении x, a 6 x 6 b существует интеграл
J(x) =
ψ(x)
Z
ϕ(x)
f (x, y) dy,
то существует повторный интеграл b
Z
a dx
ψ(x)
Z
ϕ(x)
f (x, y) dy и выполняется равенство (8.5.2).
Доказательство. Обозначим через m минимальное значение функции ϕ(x) на отрезке [a; b], через M — максимальное значение функции ψ(x) на отрезке [a; b]. Тогда множество G целиком попадает в прямоугольник Π = [a; b] × [m; M]. Доопределим функцию f(x, y) во всем прямоугольнике Π, полагая f(x, y) = 0 на множестве Π\G
(рис. 8.5.3)
Доопределенную функцию обозначим e f (x, y). Эта функция интегрируема на Π,
так как множество ее точек разрыва — это множество точек разрыва функции f(x, y),
дополненное некоторым подмножеством границы множества G, которое имеет жор- данову меру 0.
Применяя теорему 8.5.1 к прямоугольнику Π и функции e f (x, y) получим
ZZ
G
f (x, y) dxdy =
ZZ
Π
e f (x, y) dxdy =
b
Z
a dx
M
Z
m e
f (x, y) dy =
b
Z
a dx
ψ(x)
Z
ϕ(x)
f (x, y) dy.
– 268 –

2 0
-
6
x y
a b
m
M
G
Рис 8.5.3. Множество Π
Замечание 8.5.1. Если множество G имеет вид
G = {(x, y) : a(y) 6 x 6 b(y), c 6 y 6 d},
где c, d — константы, a(y), b(y) — непрерывные функции на отрезке [c; d], (a(y) 6
b(y) для всех y ∈ [c; d]), то для интегрируемой на множестве G функции f(x, y)
верно равенство
ZZ
G
f (x, y) dxdy =
d
Z
c dy b(y)
Z
a(y)
f (x, y) dx.
0
-
6
x y
@
@
@
@
@
@
y
=
1
+
x y
=
1
−
x
G
2
G
1
Рис 8.5.4. Разбиение {G
1
, G
2
}
Замечание 8.5.2. Если множество G таково, что некоторые прямые парал- лельные осям координат пересекают его границу более чем в двух точках, то для представления двойного интеграла, взятого по этой области, в виде повторно- го множество G следует разбить на части, каждая из которых удовлетворяет
– 269 –

условиям теоремы 8.5.2 и сводить к повторному каждый из соответствующих двойных интегралов.
Пример 8.5.1. Свести двойной интеграл
ZZ
G
f (x, y) dxdy к повторному, где мно- жество G ограничено кривыми y = 1 − |x| и y = x
2
− 1.
Решение. Прямой x = 0 множество G разбивается на множества G
1
и G
2
вида
(8.5.1) (рис. 8.5.4)
Таким образом, G = G
1
∪ G
2
, где G
1
= {(x, y) : −1 6 x 6 0, x
2
− 1 6 y 6 1 + x}
G
2
= {(x, y) : 0 6 x 6 1, x
2
− 1 6 y 6 1 − x}.
Тогда двойной интеграл сводится к повторному следующим образом
ZZ
G
f (x, y) dxdy =
ZZ
G
1
f (x, y) dxdy +
ZZ
G
2
f (x, y) dxdy =
=
0
Z
−1
dx
1+x
Z
x
2
−1
f (x, y) dy +
1
Z
0
dx
1−x
Z
x
2
−1
f (x, y) dy.
Если мы хотим изменить порядок интегрирования, то следует рассматривать мно- жество G как объединение двух множеств G
3
= {(x, y) : 0 6 y 6 1, y −1 6 y 6 1−y}
и G
4
= {(x, y) : −1 6 y 6 0, −
√
y + 1 6 y 6
√
y + 1} (рис. 8.5.5)
0
-
6
x y
@
@
@
@
@
@
G
3
G
4
y
=
1
+
x y
=
1
−
x
Рис 8.5.5. Разбиение {G
3
, G
4
}
Тогда двойной интеграл сводится к повторному следующим образом
ZZ
G
f (x, y) dxdy =
ZZ
G
3
f (x, y) dxdy +
ZZ
G
4
f (x, y) dxdy =
=
0
Z
1
dy
1−y
Z
y−1
f (x, y) dx +
0
Z
−1
dy
√
y+1
Z
−
√
y+1
f (x, y) dx.
– 270 –

8.5.2. Сведение тройного интеграла к повторному. В данном пункте рас- смотрим два способа сведения тройного интеграла к повторному.
Пусть G ⊂ R
3
, G — измеримое по Жордану множество.
Первый способ состоит в том, чтобы спроектировать множество на координат- ную плоскость, например, на Oxy. Проекция представляет собой некоторое плоское множество D. Предположим, что D — измеримо в R
2
Тогда
ZZZ
G
f (x, y, z) dxdydz =
ZZ
D
dxdy
Z
G(x,y)
f (x, y, z) dz,
где G(x, y) — сечение множества G прямой, параллельной координатной оси Oz
Пусть каждая прямая параллельная оси Oz пересекает границу множества G не более, чем в двух точках, то есть множество G имеет вид
G = {(x, y, z) : (x, y) ∈ D, α(x, y) 6 z 6 β(x, y)},
(8.5.9)
где α(x, y) 6 β(x, y) для всех (x, y) ∈ D, α(x, y), β(x, y) — непрерывные функции на множестве D.
Теорема 8.5.3 (Фубини). Если для функции f(x, y, z) заданной и ограниченной на множестве G существует тройной интеграл
ZZZ
G
f (x, y, z) dxdydz,
а для каждой фиксированной точки (x, y) ∈ D, существует интеграл
I(x, y) =
β(x,y)
Z
α(x,y)
f (x, y, z) dz,
то повторный интеграл
ZZ
D
dxdy
β(x,y)
Z
α(x,y)
f (x, y, z) dz существует и имеет место равенство
ZZZ
G
f (x, y, z) dxdydz =
ZZ
D
dxdy
β(x,y)
Z
α(x,y)
f (x, y, z) dz.
(8.5.10)
Доказательство этой теоремы повторяет доказательство теоремы 8.5.2 в плоском случае.
Если множество G имеет более сложный вид, чем (8.5.9), то для сведения взятого по нему кратного интеграла к повторному нужно это множество предварительно разбить на такие части, к каждой из которых применима формула (8.5.10).
Повторный интеграл в правой части (8.5.10) является результатом последователь- ного вычисления сначало интеграла по z при фиксированных x и y, а затем двойного интеграла по множеству D.
– 271 –

Выражение I(x, y) =
β(x,y)
Z
α(x,y)
f (x, y, z) dz представляет собой функцию двух пере- менных. Если для этой функции и той области D, по которой она интегрируема,
выполнены условия теоремы 8.5.2, то двойной интеграл
ZZ
D
f (x, y) dxdy можно в свою очередь представить в виде повторного, взятого, например, сначала по y, а потом по x. В результате получаем равенство
ZZZ
G
f (x, y, z) dxdydz =
b
Z
a dx
ψ(x)
Z
ϕ(x)
dy
β(x,y)
Z
α(x,y)
f (x, y, z) dz.
Это и есть окончательная формула, сводящая тройной интеграл к повторному.
Ясно, что можно поменять ролями переменные x, y, z и свести тройной интеграл к повторному, взятому в каком-нибудь ином порядке. При этом всегда пределы инте- грирования по какой-либо переменной зависит от тех координат, по которым еще не интегрировали.
Пример 8.5.2. Рассмотрим интеграл по области G, ограниченной поверхностями x
2
+ y
2
− z
2
+ 2z = 1 и z = 0. Свести этот интеграл к повторному интегралу.
Решение. Описанное множество представляет собой конус с вершиной в точке

Теорема 8.5.4 (Фубини). Пусть множество G измеримо по Жордану в R
3
,
множество I измеримо по Жордану в R
1
, множество D(z) измеримо по Жордану в R
2
для любого z ∈ I. Пусть функция f(x, y, z) интегрируема на G, а как функция от (x, y) интегрируема и ограничена на D(z) для любого z ∈ I. Тогда верна формула
(8.5.11).
Пример 8.5.3. Свести тройной интеграл из примера 8.5.2 к повторному вторым способом.
Решение. Проекция на ось Oz — это множество тех значений z, при которых система указанных в примере 8.5.2 неравенств разрешима относительно x и y. Эта проекция есть отрезок I = [0; 1]. Плоское множество D(z) описывается неравенством x
2
+ y
2 6
(z − 1)
2
, в котором z играет роль параметра Таким образом,
ZZZ
G
f (x, y, z) dxdydz =
1
Z
0
dz
ZZ
x
2
+y
2 6
(z−1)
2
f (x, y, z) dxdy.
8.5.3. Общий случай. Аналогично трехмерному случаю кратные интегралы от функций любого числа переменных (n > 3) можно свести к повторным интегралам.
Пусть R
n
— n-мерное пространство, R
n−1
— гиперплоскость x n
= 0. Рассмотрим измеримое по Жордану множество G ⊂ R
n
Обозначим G
x
1
...x n−1
проекцию множества G на гиперплоскость R
n−1
, то есть
G
x
1
...x n−1
= {(x
1
, . . . , x n−1
, 0) : существует x n
, что (x
1
, . . . , x n−1
, x n
) ∈ G}.
Пусть множество G
x
1
...x n−1
измеримо в смысле (n − 1)-мерной меры Жордана и замкнуто.
Пусть на множестве G
x
1
...x n−1
заданы непрерывные функции ϕ(x
1
, . . . , x n−1
) и
ψ(x
1
, . . . , x n−1
) и множество G имеет вид
G = {(x
1
, . . . , x n−1
, x n
) : (x
1
, . . . , x n−1
) ∈ G
x
1
...x n−1
,
ϕ(x
1
, . . . , x n−1
) 6 x n
6
ψ(x
1
, . . . , x n−1
)}.
Если функция f(x
1
, . . . , x n
) ограничена и интегрируема на G и для каждой фик- сированной точки, принадлежащей проекции G
x
1
...x n−1
существует интеграл
ψ(x
1
,...,x n−1
)
Z
ϕ(x
1
,...,x n−1
)
f (x
1
, . . . , x n
) dx n
,
то справедлива формула n раз z }| {
Z
· · ·
Z
G
f (x
1
, . . . , x n
)dx
1
. . . dx n
=
(8.5.12)
=
n − 1 раз z }| {
Z
· · ·
Z
G
x1...xn−1
dx
1
. . . dx n−1
ψ(x
1
,...,x n−1
)
Z
ϕ(x
1
,...,x n−1
)
f (x
1
, . . . , x n
) dx n
которая сводит интегрирование функции n переменных к последовательному инте- грированию функции одной переменной и функции n − 1 переменных.
– 273 –

Если проекция G
x
1
...x n−1
множества G на гиперплоскость R
n−1
в свою очередь мо- жет быть представлена в виде аналогичном множеству G, то получившийся в правой части равенства (8.5.12) (n − 1)-кратный интеграл можно свести к (n − 2)-кратному интегралу. Продолжая этот процесс при соответствующих условиях, налагаемых на множество G и на подынтегральную функцию f(x
1
, . . . , x n
), кратный интеграл может быть вычислен с помощью последовательных интегрирований по каждой переменной в отдельности n раз z }| {
Z
Z
f (x
1
, . . . , x n
) dx
1
. . . dx n
=
G
=
b
Z
a dx
1
ψ
1
(x
1
)
Z
ϕ
1
(x
1
)
dx
2
ψ
2
(x
1
,x
2
)
Z
ϕ
2
(x
1
,x
2
)
dx
3
ψ
n−1
(x
1
,...,x n−1
)
Z
ϕ
n−1
(x
1
,...,x n−1
)
f (x
1
, . . . , x n
) dx n
Пример 8.5.4. Вычислить интеграл
I =
Z
Z
dx
1
. . . dx n
,
G
взятый по множеству G, заданному неравенствами x
1
+ x
2
+ · · · + x n
6 1,
x i
>
0,
i = 1, . . . , n.
Решение. При сведении этого интеграла к повторному получаем
I =
Z
Z
dx
1
. . . dx n
=
G
=
1
Z
0
dx
1 1−x
1
Z
0
dx
2 1−x
1
−x
2
−···−x n−1
Z
0
dx n
Выполнив интегрирование по x n
и подставив пределы интегрирования, получим
I =
1
Z
0
dx
1 1−x
1
Z
0
dx
2 1−x
1
−x
2
−···−x n−2
Z
0
(1 − x
1
− x
2
− · · · − x n−1
)dx n−1
Затем проинтегрируем по x n−1
и подставив пределы интегрирования, будем иметь
I =
1
Z
0
dx
1 1−x
1
Z
0
dx
2 1−x
1
−x
2
−···−x n−3
Z
0
(1 − x
1
− x
2
− · · · − x n−2
)
2 2!
dx n−2
Продолжая данный процесс, окончательно получим
I =
1
Z
0
(1 − x
1
)
n−1
(n − 1)!
dx
1
=
1
n!
– 274 –

8.6. Замена переменных в кратном интеграле
8.6.1. Отображение множеств. Пусть G, g - измеримые замкнутые множе- ства, G ⊂ R
n x
, g ⊂ R
n u
Предположим, что на множестве g определены функции x
1
= ϕ
1
(u
1
, . . . , u n
),
· · · · · · · · · · · · · · · · · ·
x n
= ϕ
n
(u
1
, . . . , u n
),
(8.6.1)
такие, что когда точка (u
1
, . . . , u n
) пробегает множество g, соответствующая ей точка
(x
1
, . . . , x n
) пробегает множество G.
Таким образом, функции (8.6.1) определяют отображение множества g на мно- жество G.
Пусть отображение (8.6.1) удовлетворяет следующим условиям:
А) Отображение (8.6.1) взаимнооднозначно, т.е. различным точкам множества g от- вечают различные точки множества G.
B) Функции ϕ
i
(u
1
, . . . , u n
), i = 1, . . . , n, непрерывны в g и имеют в g непрерывные частные производные первого полядка.
С) Якобиан отображения
D(x
1
, . . . , x n
)
D(u
1
, . . . , u n
)
=
∂ϕ
1
∂u
1
∂ϕ
1
∂u n
∂ϕ
n
∂u
1
∂ϕ
n
∂u n
отличен от нуля во всех точках области g.
8.6.2. Криволинейные координаты. Формулам (8.6.1), которые в предыду- щем пункте рассматривались как отображение множества g на множество G можно придать другой смысл.
Для наглядности положим n = 2 (рис. 8.6.1)
6
x
1
x
2
-
0
G
u
0 2
u
0 1


B
B
6
u
1
u
2
- u
0 2
u
0 1
0
g
Рис 8.6.1. Криволинейные координаты
Рассмотрим на множестве g отрезок прямой u
1
= u
0 1
= const (рис. 8.6.1). В области
G ей соответствует гладкая линия, заданная параметрически x
1
= ϕ
1
(u
0 1
, u
2
);
x
2
= ϕ
2
(u
0 1
, u
2
),
(8.6.2)
где u
2
— параметр.
– 275 –