Файл: Математический анализ.pdf

Отрезку прямой u
2
= u
0 2
= const в области g соответствует в области G кривая x
1
= ϕ
1
(u
1
, u
0 2
);
x
2
= ϕ
2
(u
1
, u
0 2
),
(8.6.3)
где u
1
— параметр.
Определение 8.6.1. Кривые (8.6.2) и (8.6.3) области G, в которой отображе- ние (8.6.1) переводит прямые из g, параллельные координатным осям, называются координатными кривыми u
1
и u
2
на множестве G.
Из взаимной однозначности отображения x
1
= ϕ
1
(u
1
, u
2
),
x
1
= ϕ
2
(u
1
, u
2
)
следует, что через каждую точку (x
1
, x
2
) множества G проходит единственная кри- вая вида (8.6.2), отвечающая постоянному значению u
1
и единственная кривая ви- да (8.6.3), отвечающая постоянному значению u
2
. Следовательно, величины u
1
и u
2
можно рассматривать как координаты (отличные, конечно, от декартовых) точек множества G. Так как координатные кривые (8.6.2) и (8.6.3), отвечающие этим коор- динатам, не будут, вообще говоря, прямыми, как в случае декартовой координатной сетки, то величины u
1
и u
2
называются криволинейными координатами.
Полярные коодинаты. Наиболее употребляемым примером криволинейных ко- одинат на плоскости — это полярные координаты. Они связаны с декартовыми ко- ординатами x и y соотношениями x = r cos ϕ,
y = r sin ϕ,
(r > 0;
0 6 ϕ < 2π).
(8.6.4)
Координатными линиями для полярных координат служат концентрические окружности с центром в начале координат (r = const) и лучи, выходящие из это- го центра (ϕ = const). Отображение (8.6.4) переводит полуполосу r > 0, 0 6 ϕ < 2π
в целую плоскость xy. Оно взаимнооднозначно всюду, кроме точки x = 0, y = 0,
которой на плоскости rϕ отвечает промежуток r = 0, 0 6 ϕ < 2π. Исключив точку x = 0, y = 0, мы можем можем рассмотреть отображение плоскости xy на полупо- лосу r > 0, обратное (8.6.4). Это обратное отображение непрерывно всюду, кроме положительной полуоси x, так как, хотя лежащим на ней точкам отвечает значение
ϕ, равное нулю, но если точка M приближается к этой полуоси снизу, то соответ- ствующее значение ϕ стремится не к нулю, а к 2π. Таким образом, формулы (8.6.4)
устанавливают отображение полуполосы r > 0, 0 6 ϕ < 2π на плоскость xy, взаим- нооднозначное и в обе стороны непрерывное всюду, кроме тех точек, в которых r = 0
или ϕ = 0.
Вычислим якобиан перехода от декартовых координат к полярным, т.е. якобиан преобразования (8.6.4). Получим
D(x, y)
D(r, ϕ)
=
cos ϕ −r sin ϕ
sin ϕ
r cos ϕ
= r.
Он отличен от нуля всюду, кроме точки x = 0, y = 0.
В пространстве R
3
наиболее употребляемые криволинейные координаты: цилин- дрические и сферические.
Цилиндрические координаты. Определим положение точки M в пространстве ее декартовой координатой z и полярными координатами r, ϕ ее проекции M
1
на плос- кость Oxy (рис.8.6.2).
– 276 –

0 6
y z
- x
PPP
PPP
PP




M
1
r r
M
r p
p
ϕ
z
Рис 8.6.2. Цилиндрические координаты
Тройка чисел (r, ϕ, z) называется цилиндрическими координатами точки M. Пе- реход от прямоугольных координат (x, y, z) к цилиндрическим (r, ϕ, z) задается фор- мулами x = r cos ϕ,
y = r sin ϕ,
z = z.
(8.6.5)
Цилиндрическим координатам отвечают три семейства координатных поверхно- стей:
1) цилиндры,
2) вертикальные полуплоскости ϕ = const (0 6 ϕ 6 2π),
3) горизонтальные плоскости z = const (−∞ < z < ∞).
Вычислим якобиан отображения
D(x, y, z)
D(r, ϕ, z)
=
cos ϕ
sin ϕ
0
−r sin ϕ r cos ϕ 0 0
0 1
= r.
Формулы (8.6.5) определяют отображение множества
0 6 r < +∞, 0 6 ϕ < 2π, −∞ < z < ∞
(8.6.6)
пространства (r, ϕ, z) на все пространство (x, y, z). При этом каждой точке (0, 0, z
0
)
отвечает на множестве, заданном (8.6.6), промежуток r = 0,
0 6 ϕ < 2π,
z = z
0
В точках, лежащих на оси Oz отображение не будет взаимооднозначным. В осталь- ных точках пространства отображение (8.6.5) является взаимооднозначным.
Сферические координаты. Пусть точка M — произвольная точка в пространстве
(x, y, z), а M
1
— ее проекция на плоскость Oxy. Введем сферические координаты,
которые определяются тройкой чисел (r, θ, ϕ), где r — расстояние точки M от начала координат, θ — угол между лучами OM и Oz, ϕ — угол между проекцией OM
1
отрезка OM на плоскость Oxy и положительным направлением оси Ox.
Связь между декартовыми и сферическими координатами определяется форму- лами x = r sin θ cos ϕ,
y = r sin θ sin ϕ,
z = r cos θ.
(8.6.7)
– 277 –

Сферическим координатам отвечают три семейства координатных поверхностей:
1) сферы r = const (0 6 r < ∞)
2) полуконусы θ = const (0 6 θ 6 π),
3) вертикальные плоскости ϕ = const (0 6 ϕ 6 2π).
0 6
y z
- x
PPP
PPP
PP




M
1
r r
M
r p
p
ϕ
θ
Рис 8.6.3. Сферические координаты
Якобиан перехода имеет вид
D(x, y, z)
D(r, θ, ϕ)
=
sin θ cos ϕ
sin θ cos ϕ
cos θ
r cos θ cos ϕ
r cos θ sin ϕ −r sin θ
−r sin θ sin ϕ r sin θ sin ϕ
0
= r
2
sin θ.
Иногда в качестве θ берется угол между лучами OM и OM
1
со знаком плюс, если z > 0, и со знаком минус, если z < 0. В этом случае −π/2 6 θ 6 π/2, а в формулах
(8.6.7) нужно заменить sin θ на cos θ, а cos θ на sin θ и якобиан отображения равен r
2
cos θ.
Формулы (8.6.7) определяют отображение множества
0 6 r < +∞, 0 6 θ 6 π, 0 6 ϕ < 2π
пространства (r, θ, ϕ) на все пространство (x, y, z). Это отображение не является вза- имнооднозначным для точек, лежащих на оси Oz.
8.6.3. Площадь в криволинейных координатах. Для наглядности рассмот- рим случай G ⊂ R
2
x
,
g ⊂ R
2
u
Пусть формулы x
1
= ϕ
1
(u
1
, u
2
),
x
2
= ϕ
2
(u
1
, u
2
)
задают отображение множества g на G, которое удовлетворяет условиям A)–B) §8.6.1
Рассмотрим на множестве G две пары близких координатных линий.
Первая пара u
1
= u
0 1
,
u
1
= u
0 1
+ ∆u
1
Вторая пара u
2
= u
0 2
,
u
2
= u
0 2
+ ∆u
2
Эти координатные линии вырезают на множестве G элемент площади ABCD.
В силу малости фигуры ABCD считаем, что ABCD — параллелограмм. Стороны
– 278 –

этого параллелограмма — векторы −→
AB и
−−→
AD.
−→
AB =

∂x
1
∂u
1
du
1
,
∂x
2
∂u
1
du
1

,
−−→
AD =

∂x
1
∂u
2 1
du
2
,
∂x
2
∂u
2
du
2

−→
AB ×
−−→
AD =
∂x
1
∂u
1
du
1
∂x
2
∂u
1
du
1
∂x
1
∂u
2
du
2
∂x
2
∂u
2
du
2
=
∂x
1
∂u
1
∂x
2
∂u
1
∂x
1
∂u
2
∂x
2
∂u
2
du
1
du
2
Следовательно, площадь параллелограмма
0 6
x
1
x
2
- p
6
x
1
x
2
- p
B
A
C
D u
1
=
u
0 1
u
1
=
u
0 1
+
∆
u
1
u
2
= u
0 2
u
2
= u
0 2
+ ∆u
2
Рис 8.6.4. Криволинейный параллелограм dS =
D(x
1
, x
2
)
D(u
1
, u
2
)
du
1
du
2
dS — элемент площади в криволинейных координатах u
1
, u
2
Площадь S всего множества получается суммированием всех таких элементов,
т.е. представляется в виде двойного интеграла по множеству g.
ZZ
g
D(x
1
, x
2
)
D(u
1
, u
2
)
du
1
du
2
Рассмотрим снова полярные координаты. Линии r = r
0
, r = r
0
+ dr, ϕ = ϕ
0
, dϕ =
ϕ
0
+ dϕ вырезают на плоскости xy малый прямоугольник со сторонами dr и r
0
dϕ
(рис. 8.6.5).
Поэтому элемент площади в полярных координатах равен r
0
dϕdr. Следовательно,
площадь в полярных координатах выражается формулой
ZZ
g rdrdϕ,
– 279 –

0
-
6
x y
















ϕ =
ϕ
0
ϕ
=
ϕ
0
+
dϕ
r = r
0
r = r
0
+ dr r = r
0
dϕ

PPP
dr
Рис 8.6.5. Криволинейный прямоугольник в полярных координатах
0
-
6
x y












ϕ =
ϕ
1
ϕ
=
ϕ
2
Рис 8.6.6. Криволинейный сектор где g — область изменения переменных r и ϕ. В частности, если область G ограничена двумя лучами ϕ = ϕ
1
и ϕ = ϕ
2
и кривой r = r(ϕ), т.е. имеет вид, изображенный на рис. 8.6.6, то, преобразовав двойной интеграл в повторный, получим
S =
ϕ
2
Z
ϕ
1
dϕ
r(ϕ)
Z
0
rdr.
Выполнив здесь интегрирование по r, находим
S =
1 2
ϕ
2
Z
ϕ
1
r
2
(ϕ)dϕ.
Это известная формула площади фигуры в полярных координатах.
Замечание 8.6.1. Геометрический смысл абсолютной величины якобиана ото- бражения в данной точке — это коэффициент изменения меры множества в этой точке.
8.6.4. Формула замены переменных в кратном интеграле.
Теорема 8.6.1. Пусть g и G замкнутые измеримые множества, функция f (x
1
, . . . , x n
) ограничена на G и непрерывна всюду, кроме, быть может, некоторого
– 280 –

множества точек жордановой меры нуль, а отображение (8.6.1) удовлетворяет условиям A, B, C. Тогда справедливо равенство
Z
· · ·
Z
G
f (x
1
, x
2
, . . . , x n
)dx
1
dx
2
. . . dx n
=
=
Z
· · ·
Z
g f (ϕ
1
(u
1
, . . . , u n
), . . . , ϕ
n
(u
1
, . . . , u n
)) ·
D(x
1
, . . . , x n
)
D(u
1
, . . . , u n
)
du
1
. . . du n
(8.6.8)
Равенство (8.6.8) есть формула замены переменных в кратном интеграле.
Замечание 8.6.2. Формула замены переменных остается в силе, если условия
A и C нарушаются на множестве точек жордановой меры нуль.
Пример 8.6.1. Вычислить двойной интеграл
ZZ
x
2
+y
2 6
1
p x
2
+ y
2
dxdy.
Решение. Для вычисления интеграла перейдем к полярным координатам. Мно- жество g будет прямоугольником 0 6 r 6 1, 0 6 ϕ 6 2π.
Поэтому
ZZ
G
p x
2
+ y
2
dxdy =
ZZ
g r · rdrdϕ =
2π
Z
0
dϕ
1
Z
0
r
2
dr =
2π
3
Пример 8.6.2. Вычислить интеграл
ZZ
G
p x
2
+ y

получаем
I =
ZZZ
g r
3
sin θ drdθdϕ =
2π
Z
0
dϕ
π/2
Z
0
dθ
cos θ
Z
0
r
3
sin θ dr =
=
2π
Z
0
dϕ
π/2
Z
0 1
4
cos
4
θ sin θ dθ = 2π ·
1 4
1 5
=
π
10 8.7. Приложения кратных интегралов
8.7.1. Площадь. Площадь плоской области G вычисляется с помощью двойно- го интеграла по этой области от функции, равной 1
µ(G) =
ZZ
G
dxdy.
Использование двойного интеграла является более сильным методом, чем различ- ные способы на основе определенного интеграла. В качестве иллюстрации получим формулу площади криволинейной трапеции.
Если G — это криволинейная трапеция, т.е. область, заданная неравенствами a 6 x 6 b, 0 6 y 6 f (x), то
S =
ZZ
G
dxdy =
b
Z
a dx f (x)
Z
0
dy =
b
Z
a f (x)dx.
Пример 8.7.1. Вычислить площадь, заключенную между кривыми xy = 1, xy =
2 и прямыми x − 2y = 0, 2x − y = 0.
Решение. Область описывается неравенствами 1 6 xy 6 2, и 0, 5 6 y/x 6 2. В
качестве новых параметров следует выбрать переменные u = xy, v = y/x. Тогда в новой системе координат (u, v) область будет прямоугольником: 1 6 u 6 2, 0, 5 6 v 6 2. Поэтому
S =
ZZ
S
dxdy =
2
Z
1
du
2
Z
0,5
J(u, v)dv =
2
Z
1
du
2
Z
0,5
D(x, y)
D(u, v)
dv,
где J(u, v) — якобиан. Для его вычисления выражаем переменные x и y через u и v :
(
x =
p u
v
,
y =
√
uv,
после чего находим:
J(u, v) =
D(x, y)
D(u, v)
=
1 2
q
1
uv
−
1 2
p u
v
3 1
2
p v
u
1 2
p u
v
=
1 2v
Теперь получим окончательный результат:
S =
2
Z
1
du
2
Z
0,5
dv
2v
=
1 2
(ln 2 − ln 0, 5) = ln 2.
– 282 –

8.7.2. Объем. Вычисление объемов аналогично вычислению площадей. Выиг- рыш от применения тройного интеграла при этом еще ощутимее.
Предположим, что тело G имеет простые сечения горизонтальными плоскостями
(т.е. параллельными Oxy). Спроектируем G на ось Oz, тогда
V =
ZZZ
V
dxdydz =
b
Z
a dz
ZZ
S(z)
dxdy =
b
Z
a
S(z)dz.
Мы как следствие получили формулу объема по площади параллельных сечений.
Если ось Oz является осью вращения, то S(z) — это площадь круга, и мы получаем формулу для объема тела вращения. Предположим, что тело ограничено цилиндри- ческой поверхностью ϕ(x, y) = 0 и графиком некоторой функции z = f(x, y), опреде- ленной внутри плоской области, высекаемой на Oxy цилиндрической поверхностью.
Тогда объем можно вычислять так:
V =
ZZ
S
dxdy f (x,y)
Z
0
dz =
ZZ
S
f (x, y)dxdy.
Пример 8.7.2. Вычислить объем шара радиуса R.
Решение. Шар описывается неравенством x
2
+ y
2
+ z
2 6
R
2
. Переходя к сфериче- ским координатам, получим:
V =
2π
Z
0
dϕ
π
Z
0
sin θdθ
R
Z
0
r
2
dr = 2π · 2 ·
R
3 3
=
4 3
πR
3 8.7.3. Приложения в механике. Кратные интегралы могут применяться для вычисления различных механических и физических величин.
На основании плотности может быть вычислена масса объемного тела. Если по- ложение точек описывается их декартовыми координатами в пространстве, а плот- ность задается как функция трех переменных ρ(x, y, z), то масса тела будет опреде- ляться интегралом
M =
ZZZ
V
ρ(x, y, z)dxdydz.
Важной характеристикой твердого тела в механике является его центр тяже- сти. В случае, когда тело представляет собой конечную совокупность материальных точек P
i
(x i
, y i
, z i
) с массами m i
, то координаты центра тяжести вычисляются по фор- мулам x =
P
i x
i m
i
M
,
y =
P
i y
i m
i
M
,
z =
P
i z
i m
i
M
(M — общая масса тела).
В случае же непрерывного распределния масс координаты центра тяжести вы- числяются по аналогичным формулам x =
1
M
ZZZ
V
xρ(x, y, z)dxdydz,
y =
1
M
ZZZ
V
yρ(x, y, z)dxdydz,
z =
1
M
ZZZ
V
zρ(x, y, z)dxdydz,
– 283 –

где ρ(x, y, z) — плотность распределения массы, M — его масса. Три интеграла, опре- деляющие координаты центра тяжести называют статистическими моментами твердого тела.
В теории вращения твердого тела важную роль играет момент инерции тела.
Для ситемы материальных точек момент инерции относительно, например, оси Oy вычисляется по формуле
I
y
=
X
i
(x
2
i
+ z
2
i
)m i
Аналогом этой формулы для непрерывного тела является
I
y
=
ZZZ
V
(x
2
+ y
2
)ρ(x, y, z)dxdydz,
где ρ(x, y, z) — плотность твердого тела.
Моменты инерции относительно координатных плоскостей вычисляются по фор- мулам
I
yz
=
ZZZ
V
x
2
ρ(x, y, z)dxdydz,
I
xz
=
ZZZ
V
y
2
ρ(x, y, z)dxdydz,
I
xy
=
ZZZ
V
z
2
ρ(x, y, z)dxdydz.
Моменты инерции относительно координатных осей
I
x
= I
xy
+ I
xz
,
I
y
= I
xy
+ I
yz
,
I
z
= I
xz
+ I
yz
Момент инерции относительно начала координат — это
I
O
= I
xz
+ I
xy
+ I
yz
8.8. Несобственный кратный интеграл
8.8.1. Понятие несобственного кратного интеграла. В этом параграфе мы обобщим понятие кратного интеграла на случай неограниченной области интегриро- вания или неограниченной подинтегральной функции. Пусть G — открытое связное множество пространства R
n
. Множество G — замыкание G, которое получается пу- тем присоединения к G его границы.
Определение 8.8.1. Исчерпанием множества G ⊂ R
n называется последова- тельность {G
m
} открытых связных измеримых множеств, для которой
1) для всех n G
m
⊂ G
m+1
;
2) объединение всех множеств G
m совпадает с G.
Пусть на множестве G определена функция f(x), x = (x
1
, x
2
, . . . , x n
), интегриру- емая по Риману на любом измеримом ограниченном подмножестве G. Рассмотрим всевозможные исчерпания {G
m
} множества G.
Определение 8.8.2. Если для любого такого исчерпания {G
n
} множества G
существует предел последовательности
I = lim m→∞
a m
= lim m→∞
Z
· · ·
Z
G
m f (x
1
, x
2
, . . . , x n
)dx
1
. . . dx n
(8.8.1)
– 284 –