Файл: Математический анализ.pdf

и этот предел не зависит от выбора последовательности {G
m
}, то этот предел называется несобственным интегралом от функции f (x) по множеству G и обо- значается
Z
G
f (x)dx или
Z
· · ·
Z
G
f (x
1
, x
2
, . . . , x n
)dx
1
. . . dx n
(8.8.2)
При этом несобственный интеграл называется сходящимся. В противном случае,
т.е. когда предела указанных выше последовательностей не существует, указанный интеграл называется расходящимся.
8.8.2. Интеграл от неотрицательной функции. Интеграл от неотрицатель- ной функции по своим свойствам близок к одномерному несобственному интегралу.
Если множество G исчерпывается множесвами G
m
, то последовательность интегра- лов
Z
G
m f (x)dx является возрастающей и поэтому имеет предел, конечный или бес- конечный. Оказывается, что этот предел вообще не зависит от выбора исчерпания области, а сходимость интеграла равносильна тому, что конечен предел последова- тельности интегралов.
Теорема 8.8.1. Для сходимости несобственного интеграла (8.8.2) от неотри- цательной в области G функции f (x) необходимо и достаточно, чтобы хотя бы для одной последовательности G
n
, была ограничена числовая последовательность
(8.8.1).
Теорема 8.8.2 (признак сравнения). Пусть функции f(x) и g(x) всюду на от- крытом множестве G удовлетворяют условию 0 6 f (x) 6 g(x). Тогда из сходи- мости несобственног интеграла
Z
G
g(x)dx вытекает сходимость несобственного интеграла
Z
G
f (x)dx, а из расходимости
Z
G
f (x)dx следует расходимость
Z
G
g(x)dx.
Доказательство этой теоремы повторяет доказательство аналогичной теоремы для несобственного одномерного интеграла.
Пример 8.8.1. Пусть G = {(x, y) : 0 6 x
2
+ y
2 6
1}, функция f(x) непрерывна на множестве G и для всех точек (x, y) ∈ G удовлетворяет неравенствам 0 < M
1 6
f (x, y) 6 M
2
. Исследовать сходимость интеграла
ZZ
G
f (x, y)
(x
2
+ y
2
)
p dxdy.
Решение. Поскольку
M
1
(x
2
+ y
2
)
p
6
f (x, y)
(x
2
+ y
2
)
p
6
M
2
(x
2
+ y
2
)
p
,
то рассматриваемый интеграл сходится или расходится вместе с интегралом
ZZ
G
dxdy
(x
2
+ y
2
)
p
– 285 –

Последовательность G
m
= {
1
m
2 6
x
2
+ y
2 6
1} является исчерпанием множества G.
Переходя к полярным координатам, получаем, что
ZZ
G
m dxdy
(x
2
+ y
2
)
p
=
2π
Z
0
dϕ
1
Z
1/m dr r
2p−1
= 2π
1
Z
1/m dr r
2p−1
Следовательно,
lim m→∞
ZZ
G
m dxdy
(x
2
+ y
2
)
p
= lim m→∞
2π
1
Z
1/m dr r
2p−1
Поэтому исходный интеграл сходится при p < 1 и расходится при p > 1.
8.8.3. Интеграл от знакопеременной функции.
Теорема 8.8.3. Если
Z
G
|f(x)|dx сходится, то и
Z
G
f (x)dx сходится.
Доказательство. Рассмотрим неотрицательные функции f
+
(x) = max{f(x), 0}
и f
−
= max{−f(x), 0}. Тогда f(x) = f
+
(x) − f
−
(x),
|f(x)| = f
+
(x) + f
−
(x). Из интегрируемости функции |f(x)| следует интегрируемость функций f
+
(x) и f
−
(x),
что в свою очередь приводит к заключению об интегрируемости f(x).
2
Определение 8.8.3. Интеграл
Z
G
f (x)dx называется абсолютно сходящимся,
если сходится интеграл
Z
G
|f(x)|dx.
Из теоремы 8.8.3 следует, что абсолютная сходимость более жесткое условие, чем простая сходимость. Оба эти понятия встречаются в теории несобственных одномер- ных интегралах, рядах. Кратные несобственные интегралы в отличие от одномерного случая обладают тем свойством, что из обычной сходимости несобственного интегра- ла вытекает его абсолютная сходимость.
Теорема 8.8.4. Для несобственных n-кратных интегралов при n > 2 понятия сходимости и абсолютной сходимости эквивалентны.
8.8.4. Замена переменных в несобственном интеграле. Для несобствен- ных интегралов верна формула замены переменных.
Пусть G, g — открытые множества, G ⊂ R
n x
, g ⊂ R
n u
Предположим, что на множестве g определены функции x
1
= ϕ
1
(u
1
, . . . , u n
),
· · · · · · · · · · · · · · · · · ·
x n
= ϕ
n
(u
1
, . . . , u n
).
(8.8.3)
Теорема 8.8.5. Пусть ψ : g → G — отображение открытого множества g на открытое множество G, заданное формулами (8.8.3) и удовлетворяющее услови- ям A)–C) пункта 8.6.1. Если
Z
G
f (x)dx сходится, то и
Z
g
(f ψ(u))
D(x
1
, . . . , x n
)
D(u
1
, . . . , u n
)
du сходится и значения этих интегралов совпадают.
– 286 –

Пример 8.8.2. Исследовать на сходимость и вычислить, в случае сходимости,
несобственный кратный интеграл
I =
ZZ
G
e
−x
2
−y
2
dxdy,
G = {(x, y) ∈ R
2
: x > 0, y > 0}.
Решение. Сведем кратный интеграл к повторному и получим
I =
+∞
Z
0
dx
+∞
Z
0
e
−x
2
−y
2
dy =
+∞
Z
0
dx
+∞
Z
0
e
−x
2
e
−y
2
dy =


+∞
Z
0
e
−x
2
dx


2
Поскольку однократный несобственный интеграл сходится, то и сходится рассмат- риваемый несобственный интеграл.
Для вычисления интеграла I воспользуемся теоремой 8.8.5, переходя к полярным координатам. При этом множество G переходит в полосу G
′
= {(r, ϕ) ∈ R
2
: r ∈
(0; ∞), ϕ ∈ (0; π/2))} и
I =
ZZ
G
′
e
−r
2
rdr =
π/2
Z
0
dϕ
+∞
Z
0
e
−r
2
rdr =
π
2
+∞
Z
0
e
−r
2
rdr = −
π
2
e
−r
2
+∞
0
=
π
4
Сравнивая полученные два значения, легко получаем, что
+∞
Z
0
e
−x
2
dx =
√
π
2
Этот прием вычисления последнего интеграла принадлежит Пуассону.
8.8.5. Главное значение несобственного кратного интеграла. Обозначим через B(R, x
0
) n-мерный шар радиуса R с центром в точке x
0
, и пусть начало коор- динат находится в точке 0 ∈ E
m
Определение 8.8.4. Пусть функция f(x) определена при всех и интегрируема в каждом шаре B(R, 0). Будем говорить, что функция f (x) интегрируема по Коши в R
n
, если существует предел lim
R→∞
Z
B(R,0)
f (x)dx
Этот предел мы будем называть главным значением несобственного интеграла от функции f (x) в смысле Коши и обозначать символом v.p.
Z
R
n f (x)dx = lim
R→∞
Z
B(R,0)
f (x)dx.
Пример 8.8.3. Вычислить v.p.
Z
R
2
xdxdy.
Решение. Нетрудно проверить, что для функции f (x, y) = x в R
2
Z
B(R,0)
xdxdy = 0,
– 287 –

тем самым функция f(x, y) = x интегрируема по Коши в R
2
и v.p.
Z
R
2
xdxdy = 0.
Отметим, что несобственный интеграл
Z
R
2
xdxdy расходится.
В случае, когда функция f(x) имеет особенность в некоторой точке x
0
области
G ⊂ R
n и f(x) интегрируема в каждой области G
R
= G \ B(R, x
0
), где B(R, x
0
) ⊂ G,
интеграл в смысле Коши вводиться как предел:
v.p.
Z
G
f (x)dx = lim
R→0
Z
G
R
f (x)dx.
– 288 –

Глава 9
Интегралы, зависящие от параметра
В результате изучения этой главы читатель должен уметь вычислять и исследо- вать собственные и несобственные интегралы, зависящие от параметра. Использо- вать интегралы Эйлера, Фурье и преобразование Фурье для их вычисления. Знать основные определения, формулы и теоремы о собственных и несобственных инте- гралах, зависящих от параметра, классических интегралах: теоремы и непрерывно- сти, интегрируемости, дифференцируемости собственных и несобственных интегра- лов, критерии и признаки равномерной сходимости, интегралы Дирихле, Эйлера-
Пуассона, формулу Фруллани, Γ и B функции Эйлера. Владеть методами исследо- вания интегралов от параметра на сходимость и равномерную сходимость.
9.1. Собственные интегралы, зависящие от параметра
Определение 9.1.1. Пусть в замкнутом прямоугольнике
P
= {(x, y) : a 6 x 6 b, c 6 y 6 d)}
определена функция f (x, y), интегрируемая по переменной x на отрезке [a, b] при любом фиксированном значении y из отрезка [c, d]. В сформулированных условиях для любого y ∈ [c, d] определена функция
I(y) =
b
Z
a f (x, y) dx,
(9.1.1)
которая называется собственным интегралом, зависящим от параметра y.
Пример 9.1.1. Пусть задан прямоугольник
P
= {(x, y) : 0 6 x 6 1, 2 6 y 6 4)}
и функции a) f (x, y) = x
2
+ y
2
,
(x, y) ∈ P;
b) f (x, y) =

sin xy x
, если 0 < x 6 1,
2 6 y 6 4;
y, если x = 0,
2 6 y 6 4.
Записать соответствующие функции I(y).
Решение.
289

a) I(y) =
1
Z
0
(x
2
+ y
2
) dx,
y ∈ [2, 4] или
I(y) =

x
3 3
+ y
2
x

1 0
=
1 3
+ y
2
,
y ∈ [2, 4].
b) I(y) =
1
Z
0
sin xy x
dx,
y ∈ [2, 4].
Функция I(y) — не элементарна в этом случае. Исследование ее свойств, например,
непрерывности представляет собой не простую задачу.
9.1.1. Геометрическая интерпретация значений функции I(y). Поверх- ность EGF H (рис. 9.1.1) — график функции f(x, y), определенной в прямоугольнике
P
Рис 9.1.1. Геометрическая интерпретация значений собственного интеграла,
зависящего от параметра
В плоскости y = y
0
, (y
0
∈ [c, d]) получен график функции f(x, y
0
), как пересечение поверхности EGF H и плоскости y = y
0
. Затемнена площадь, которая численно равна значению функции I(y) в точке y
0
Для приведенного на этом рисунке графика f(x, y) (поверхность EGF H) функ- ция I(y) монотонно возрастает.
Упражнение 9.1.1. Найти точку y ∈ [c, d], для которой I(y) имеет экстремум на отрезке [c, d]).
Если рассматривать f(x, y) как значение плотности материальной пластины P в точке (x, y), то функция I(y) даст линейную плотность этой пластины вдоль оси OY .
Функция f(x, y) может быть задана и на множестве более общего вида, чем пря- моугольник P, например, на множестве D (см. рис. 9.1.2), где
D = {(x, y) : a(y) 6 x 6 b(y), c 6 y 6 d}
(9.1.2)
– 290 –

Рис 9.1.2. Область D для описания интеграла, зависящего от параметра (общий случай)
В этом случае на отрезке [c, d] функция I(y) задается формулой
I(y) =
b(y)
Z
a(y)

что означает непрерывность функции I(y) для y ∈ [c, d] и теорема доказана.
2
Теперь непрерывность функций I(y) из примера 9.1.1 становится фактически оче- видной.
Замечание 9.1.1. Непрерывность функции I(y) возможна иногда и в случае,
когда f (x, y) терпит разрыв в своей области определения P. Например, определим разрывную функцию f (x, y) в квадрате
K = {(x, y) : 0 6 x 6 1,
0 6 y 6 1}
как это показано на рис. 9.1.3 (график функции f (x, y) затемнен). Легко видеть,
что функция I(y) непрерывна на отрезке [0, 1].
Рис 9.1.3. Непрерывность функции I(y), когда f(x, y) разрывна
Упражнение 9.1.2. Записать формулу для функции I(y), если график функции f (x, y) задан на рис. 9.1.3 (поверхность затемнена).
Теорема 9.1.2 (правило Лейбница). Если функция f(x, y) и ее частная произ- водная
∂f (x, y)
∂y непрерывны в прямоугольнике P, то функция I(y) дифференцируема на отрезке [c, d], причем справедлива формула dI(y)
dy
=
b
Z
a
∂f (x, y)
∂y dx,
(9.1.5)
т.е. в условиях теоремы интеграл, зависящий от параметра, можно дифференци- ровать по параметру под знаком интеграла.
Доказательство. Рассмотрим функции
I(y) =
b
Z
a f (x, y) dx и G(y) =
b
Z
a f
′
y
(x, y) dx.
– 292 –

Они непрерывны на отрезке [c, d] по предыдущей теореме. Заметим, что в доказатель- стве потребуется только непрерывность функции G(y). Докажем, что справедливо равенство I
′
(y) = G(y) для y ∈ [c, d]. Запишем для этого цепочку равенств:
I
′
(y) =
lim
∆y→0
I(y + ∆y) − I(y)
∆y
= lim
∆y→0
b
Z
a f (x, y + ∆y) − f(x, y)
∆y dx =
=
lim
∆y→0
b
Z
a f
′
y
(x, y + θ∆y) · ∆y
∆y dx = lim
∆y→0
G(y + θ∆y) = G(y)
y ∈ [c, d], 0 < θ < 1.
Третье равенство указанной цепочки справедливо на основании теоремы Лагран- жа о среднем по переменной y. В последнем равенстве использована непрерывность фукции G(y), y ∈ [c, d].
2
Используя доказанную теорему, легко установить дифференцируемость функций
I(y) из примера 9.1.1.
9.1.3. Интегрируемость функции I(y).
Теорема 9.1.3. Если функция f(x, y) непрерывна в прямоугольнике P, то функ- ция I(y) интегрируема на отрезке [c, d], причем справедлива формула d
Z
c
I(y) dy =
d
Z
c


b
Z
a f (x, y) dx

 dy =
b
Z
a


d
Z
c f (x, y) dy

 dx или d
Z
c dy b
Z
a f (x, y) dx =
b
Z
a dx d
Z
c f (x, y) dy
(9.1.6)
Доказательство. Докажем более общее равенство t
Z
c dy b
Z
a f (x, y) dx =
b
Z
a dx t
Z
c f (x, y) dy.
(9.1.7)
для t ∈ [c, d].
Известна формула для вычисления производной интеграла с переменным верх- ним пределом:


t
Z
a f (x) dx


′
t
= f (t), если f (x) непрерывна на [a, b]. Используем ее для вычисления производной по t левой части доказываемого равенства (9.1.7):


t
Z
c dy b
Z
a f (x, y) dx


′
t
=


t
Z
c
I(y) dy


′
t
= I(t) =
Z
b a
f (x, t) dx.
– 293 –

Для производной по t правой части того же равенства (9.1.7) получим тот же результат. Действительно,


b
Z
a dx t
Z
c f (x, y) dy


′
t
=
b
Z
a


t
Z
c f (x, y) dy


′
t dx =
Z
b a
f (x, t) dx.
Здесь в первом равенстве использовалась предыдущая теорема 9.1.2, а во втором
— снова производная интеграла с переменным верхним пределом. Таким образом,
левая и правая части соотношения (9.1.7) как функции переменной t имеют рав- ные производные на отрезке [c, d] и, следовательно, могут отличаться разве лишь на константу. Но при t = c они совпадают (т.к. равны нулю), следовательно, они тождественно равны и для t ∈ [c, d]. При t = d получится формула (9.1.6).
2 9.1.4. Интеграл от параметра с переменными пределами интегрирова- ния. Пусть функция f(x, y) задана в прямоугольнике P, который заключает в себе область D, определенную равенством (9.1.2). Пусть также при любом фиксирован- ном y из отрезка [c, d] функция f(x, y) интегрируема по x на отрезке [a(y), b(y)]. Тогда формула (9.1.3) определит функцию I(y) для y ∈ [c, d].
Исследуем ее на непрерывность и дифференцируемость.
Теорема 9.1.4. Пусть функция f(x, y) непрерывна в прямоугольнике P, а функ- ции a(y) и b(y) непрерывны на отрезке [c, d]. Тогда функция I(y), определенная со- отношением (9.1.3), непрерывна на отрезке [c, d].
Доказательство. Зафиксируем произвольное y
0
∈ [c, d] и докажем непрерывность функции I(y) в точке y
0
. Представим I(y) в следующей форме:
I(y) =
b(y
0
)
Z
a(y
0
)
f (x, y) dx +
b(y)
Z
b(y
0
)
f (x, y) dx −
a(y)
Z
a(y
0
)
f (x, y) dx.
(9.1.8)
Найдем lim y→y
0
I(y) вычислив предел каждого слагаемого. Предел первого равен I(y
0
)
(по теореме 9.1.1), а пределы второго и третьего равны нулю. Это легко следует из неравенств b(y)
Z
b(y
0
)
f (x, y) dx
6
M |b(y) − b(y
0
)|,
а a(y)
Z
a(y
0
)
f (x, y) dx
6
M |a(y) − a(y
0
)|, (M = sup
(x,y)∈P
|f(x, y)|)
и непрерывности функций a(y) и b(y). Таким образом,
lim y→y
0
I(y) = I(y
0
),
что и доказывает непрерывность функции I(y) в произвольной точке y
0
∈ [c, d].
2
Достаточные условия дифференцируемости функции I(y) сформулируем в сле- дующей теореме.
– 294 –

Теорема 9.1.5. Пусть функция f(x, y) и ее производная
∂f
∂y непрерывны в пря- моугольнике P, а функции a(y) и b(y) дифференцируемы на отрезке [c, d]. Тогда функ- ция I(y), определенная соотношением (9.1.3), дифференцируема на отрезке [c, d] и ее производная I
′
(y) вычисляется по формуле
I
′
(y) =
b(y)
Z
a(y)
∂f
∂y dx + b
′
(y)f (b(y), y) − a
′
(y)f (a(y), y).
(9.1.9)
Доказательство. Дифференцируемость функции I(y) и формула (9.1.9) легко получаются из представления I(y) в виде суммы (9.1.8) для некоторого y
0
∈ [c, d].
Производная первого слагаемого в точке y
0
равна b(y
0
)
Z
a(y
0
)
∂f (x, y
0
)
∂y dx. Это сразу следует из теоремы 9.1.2. Для производной второго слагаемого можно записать формулу lim
∆y→0
b(y
0
+∆y)
Z
b(y
0
)
f (x, y
0
+ ∆y) dx −
b(y
0
)
Z
b(y
0
)
f (x, y
0
) dx
∆y
,
(9.1.10)
которая после вычисления предела и дает нужный результат b
′
(y
0
) · f(b(y
0
), y
0
).
(9.1.11)
Действительно, применяя теорему о среднем для первого интеграла числите- ля формулы (9.1.10) и замечая, что второй интеграл равен нулю, перепишем пре- дел (9.1.10) в виде lim
∆y→0
f (x, y
0
+ ∆y)[b(y + ∆y) − b(y
0
)]
∆y
,
(9.1.12)
где x заключено между b(y
0
) и b(y
0
+ ∆y), причем lim
∆y→0
x = b(y
0
).
Тогда очевидно, что предел (9.1.12) равен величине (9.1.11).
Рассуждая совершенно аналогично, найдем, что производная третьего слагаемого в правой части формулы (9.1.9), равна
−a
′
(y
0
) · f(a(y
0
), y
0
).
Тем самым доказана дифференцируемость функции I(y) в произвольной точке y
0
∈
[c, d] и формула (9.1.9) для вычисления производной.
2
Замечание 9.1.2. Теоремы 9.1.4 и 9.1.5 верны и в случае, когда функция f(x, y)
задана лишь в области D и удовлетворяет в этой области тем же требованиям,
что и в прямоугольнике P.
Приведем примеры на использование теоремы 9.1.1 о непрерывности интеграла,
зависящего от параметра для вычисления предела.
Пример 9.1.2. Найти lim y→0 2
Z
1
p x
3
+ y
3
dx.
– 295 –