Файл: Математический анализ.pdf

Решение. Рассмотрим функцию f (x, y) =
p x
3
+ y
3
,
определенную на прямоугольнике P = {(x, y) : 1 6 x 6 2, −1 6 y 6 1}. Тогда для интеграла
I(y) =
2
Z
1
p x
3
+ y
3
dx,
y ∈ [−1, 1]
выполнены все условия теоремы 9.1.1 и, следовательно,
lim y→0
I(y) = I(0).
Теперь вычисление искомого предела нетрудно осуществить:
lim y→0 2
Z
1
p x
3
+ y
3
dx = lim y→0
I(y) = I(0) =
=
2
Z
1
√
x
3
dx =
2 5
x
5/2 2
1
=
2 5
(2 5/2
− 1).
Пример 9.1.3. Найти lim y→+0 1
Z
0
dx
1 + (1 + xy)
1/y
Решение. Функция f (x, y) =
1 1 + (1 + xy)
1/y определена на множестве
K = {(x, y) : 0 6 x 6 1, 0 < y 6 1}.
Условия теоремы 9.1.1 не выполнены, т.к. множество K не замкнуто. Доопределим функцию по непрерывности в точках отрезка
K
0
= {(x, y) : 0 6 x 6 1, y = 0} .
Найдем для этого предел lim x→x0
y→+0
f (x, y), 0 6 x
0 6
1.
Пусть x
0
> 0. Тогда lim x→x0
y→+0 1
1 + (1 + xy)
1/y
= lim x→x0
y→+0 1
1 + (1 + xy)
1
xy
·x
=
1 1 + e x
0
Здесь использован второй замечательный предел "число e" ( lim xy→+0
(1 + xy)
1
xy
= e) и условие, что x > 0, если x
0
> 0.
Пусть теперь x
0
= 0. Найдем, что в этом случае предел lim x→+0
y→+0
f (x, y) =
1 1 + e
0
=
1 2
(при условии, что x > 0)
равен пределу lim x→+0
y→+0
f (x, y) = lim y→+0
f (0, y) = lim y→0 1
2
=
1 2
(при условии, что x = 0).
– 296 –

Таким образом,
lim x→+0
y→+0
f (x, y) =
1 2
(при любом способе стремления x → +0, y → +0).
Рассмотрим теперь функцию g(x, y) =
(
f (x, y), (x, y) ∈ K
1 1 + e x
, (x, y) ∈ K
0
,
которая определена и непрерывна на замкнутом множестве P = K ∪K
0
= {(x, y)
0 6
x 6 1, 0 6 y 6 1}. Теперь для вычисления предела достаточно заметить, что f(x, y) =
g(x, y) для y > 0 и поэтому lim y→+0 1
Z
0
f (x, y) dx = lim y→+0 1
Z
0
g(x, y) dx.
Но функция G(y) =
1
R
0
g(x, y) dx непрерывна для y ∈ [0, 1] по теореме 9.1.1. Следова- тельно,
lim y→+0
G(y) = G(0) =
1
Z
0
g(x, 0) dx =
1
Z
0
dx
1 + e x
=
=
1
Z
0 1 + e x
− e x
1 + e x
dx = 1 −
1
Z
0
e x
dx
1 + e x
= 1 − ln(1 + e x
)
1 0
=
= 1 − ln(1 + e) + ln 2 = ln
2e
1 + e
Ответ: lim y→+0 1
Z
0
dx
1 + (1 + xy)
1/y
= ln
2e
1 + e
9.2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра
Рассмотрим множество
P
∞
= {(x, y) : a 6 x < ∞, c 6 y 6 d}
для того, чтобы определить понятие несобственного интеграла, зависящего от пара- метра (рис. 9.2.1).
Определение 9.2.1. Пусть на множестве P
∞
задана функция f (x, y), инте- грируемая по x в несобственном смысле на полупрямой a 6 x < ∞ при любом фиксированном y ∈ [c, d], т.е. имеет смысл функция
I(y) =
∞
Z
a f (x, y) dx,
y ∈ [c, d],
(9.2.1)
которая называется несобственным интегралом (первого рода), зависящим от па- раметра y.
– 297 –

Рис 9.2.1. Множество P
∞
Изучим сейчас теорию несобственного интеграла, зависящего от параметра на примере интеграла первого рода. Соответствующая теория интегралов второго рода излагается практически аналогично (см. далее п. 9.2.5).
На рис. 9.2.2 изображен бесконечный кусок поверхности EGHF — график функ- ции f(x, y), (x, y) ∈ P
∞
. Затемнено сечение, площадь которого равна значению функ- ции I(y) в точке y
0
Рис 9.2.2. Геометрический смысл значений несобственного интеграла первого рода,
зависящего от параметра
9.2.1. Равномерная сходимость несобственного интеграла, зависящего от параметра. Сформулируем понятие равномерной сходимости интеграла (9.2.1),
которое играет важнейшую роль в теории таких интегралов.
Определение 9.2.2. Несобственный интеграл (9.2.1) называется равномерно сходящимся по параметру y на отрезке [c, d], если:
– 298 –

1) он сходится на отрезке [c, d];
2) для любого ε > 0 существует B > a, что для всех b > B и всех y ∈ [c, d]
выполнено неравенство
∞
Z
b f (x, y) dx
< ε.
Сформулируем критерий Коши равномерной сходимости несобственных интегра- лов, зависящих от параметра.
Теорема 9.2.1 (критерий Коши равномерной сходимости несобственного инте- грала). Для того чтобы несобственный интеграл (9.2.1) равномерно сходился по параметру y на отрезке [c, d] необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0
существовало B > a, что для всех y ∈ [c, d], для всех b
′
> B и для всех b
′′
> B
выполнялось неравенство b
′′
Z
b
′
f (x, y) dx
< ε.
Доказательство следует очевидным образом из определения равномерной схо- димости несобственных интегралов, зависящих от параметра, и критерия Коши схо- димости несобственного интеграла.
2
На практике часто приходится пользоваться достаточными признаками равно- мерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра. Сформули- руем некоторые из них.
Теорема 9.2.2 (мажорантный признак Вейерштрасса). Пусть функция f(x, y)
определена на множестве P
∞
и для каждого y из отрезка [c, d] интегрируема по x на любом отрезке [a, B]. Пусть далее для всех точек множества P
∞
выполняется неравенство
|f(x, y)| 6 g(x)
(9.2.2)
Тогда из сходимости интеграла
∞
Z
a g(x) dx следует равномерная сходимость по y на отрезке [c, d] интеграла (9.2.1).
Доказательство. В силу критерия Коши сходимости несобственного интеграла от функции g(x) выполняется условие
∀ε > 0 ∃B > a ∀b
′
> B
∀b
′′
> B
b
′′
> b
′
⇒
b
′′
Z
b
′
g(x) dx < ε.
Применяя неравенство (9.2.2), получим b
′′
Z
b
′
f (x, y) dx
6
b
′′
Z
b
′
g(x) dx < ε,
для любого y ∈ [c, d].
Это означает выполнение критерия Коши равномерной сходимости интеграла (9.2.1).
2
Признак Вейерштрасса, являясь достаточным признаком равномерной сходимо- сти, гарантирует и абсолютную сходимость. Но существуют равномерно сходящиеся интегралы, у которых отсутствует абсолютная сходимость. Для исследования таких интегралов приведем объединенный признак Абеля-Дирихле.
– 299 –

Теорема 9.2.3 (признак Абеля-Дирихле). Пусть функции f(x, y) и g(x, y) для любого y ∈ [c, d] интегрируемы по x на любом отрезке [a, b] ⊂ [a, +∞).
Для равномерной сходимости по y интеграла
∞
Z
a f (x, y)g(x, y) dx на отрезке [c, d] достаточно, чтобы была выполнена любая из следующих двух пар условий:
a
1
) Существует постоянная M > 0 такая, что для всех b ∈ [a, +∞) и для всех y ∈ [c, d] выполняется неравенство b
Z
a f (x, y) dx
< M.
b
1
) Для любого y ∈ [c, d] функция g(x, y) монотонна по x на промежутке [a, +∞)
и g(x, y) равномерно по y для y ∈ [c, d] стремится к нулю при x → +∞.
a
2
) Интеграл
∞
Z
a f (x, y) dx сходится равномерно по y на множестве [c, d].
b
2
) При каждом y ∈ [c, d] функция g(x, y) монотонна по x на промежутке
[a, +∞) и существует постоянная M > 0 такая, что g(x, y)
< M для всех x ∈ [a, +∞) и всех y ∈ [c, d].
Доказательство проходит также, как доказательство признаков Абеля и Дирих- ле сходимости несобственного интеграла (см. § 4.7)только вместо обычного критерия
Коши используется критерий равномерной сходимости (теорема 9.2.1).
2
Сформулируем еще признак Дини равномерной сходимости несобственного инте- грала.
Теорема 9.2.4 (признак Дини). Пусть функция f(x, y) непрерывна и неотри- цательна на множестве P
∞
и пусть для каждого y ∈ [c, d] сходится несобствен- ный интеграл (9.2.1). Если функция I(y) непрерывна на отрезке [c, d], тогда инте- грал (9.2.1) сходится равномерно по y на отрезке [c, d].
Пример 9.2.1. Доказать, что интеграл
I(y) =
∞
Z
0
e
−xy dx
(9.2.3)
сходится равномерно по y на множестве [c, d], c > 0.
Решение. Если y > c > 0, то исех b > 0 справедливы неравенства
0 <
+∞
Z
b e
−xy dx = −
1
y
+∞
Z
b e
−xy d(−xy) = −
1
y e
−xy
+∞
b
=
= 0 +
1
y e
−by
<
1
c e
−bc
Так как lim b→+∞
1
c e
−bc
= 0,
– 300 –

то для любого ε > 0 существует B > 0, что для всех b > B и для всех y ∈ [c, d]
выполнено условие 0 <
+∞
Z
b e
−xy dx < ε, т.е. по определению 9.2.2 интеграл
+∞
Z
0
e
−xy dx сходится равномерно по y на [c, d], c > 0.
Замечание 9.2.1. Совершенно аналогично доказывается равномерная сходи- мость интеграла (9.2.3) по y на множестве [c, +∞], c > 0. Предварительно, прав- да, следует в определениях 9.2.1 и 9.2.2 (и во всех теоремах этого раздела) область задания параметра y (отрезок [c, d]) заменить на множество E, в частности, на- пример, взять E = [c, +∞).
Пример 9.2.2. Доказать, что интеграл (9.2.3) сходится неравномерно по y на множестве (0, d], d > 0.
Решение. Воспользуемся отрицанием определения 9.2.1. Для этого нужно указать такое положительное число ε, что для любого B > 0 при некоторых значениях b > B
и y
0
∈ [0, d] справедливо неравенство

Решение. Покажем, используя критерий Коши, что исследуемый интеграл схо- дится равномерно на отрезке [2, 5]. Действительно, для любой пары чисел b
1
, b
2
, 1 <
b
1
< b
2
и любого y ∈ [2, 5] справедливо неравенство
0 <
b
2
Z
b
1
dx
1 + x y
6
b
2
Z
b
1
dx
1 + x
2
= arctg b
2
− arctg b
1
Поскольку функция arctg t имеет предел при t → ∞, то для любого ε > 0 найдется такое число B > 1, что для любой пары чисел b
1
, b
2
и из неравенства B < b
1
< b
2
следует неравенство 0 < arctg b
2
− arctg b
1
< ε, т.е. 0 <
b
2
Z
b
1
dx
1 + x y
< ε для всех y ∈ [2, 5]. Тогда по теореме 9.2.5 функция I(y) =
+∞
Z
0
dx
1 + x y
непрерывна на отрезке
[2, 5] (непрерывность подынтегральной функции
1 1 + x y
на множестве P
∞
= {(x, y) :
0 6 x < +∞, 2 6 y 6 5} очевидна).
9.2.3. Дифференцируемость несобственного интеграла, зависящего от параметра.
Теорема 9.2.6. Пусть функция f(x, y) и ее частная производня
∂f
∂y непрерывны на множестве P
∞
и пусть для некоторого y
0
∈ [c, d] сходится интеграл
I(y
0
) =
+∞
Z
a f (x, y
0
) dx,
а интеграл
+∞
Z
a
∂f
∂y dx сходится равномерно по y на отрезке [c, d]. Тогда функция I(y) =
+∞
Z
a f (x, y) dx диф- ференцируема на отрезке [c, d] и справедливо равенство
I
′
(y) =
+∞
Z
a
∂f
∂y dx.
(9.2.4)
Другими словами, в условиях теоремы производная интеграла равна интегралу от производной.
Доказательство сформулированной теоремы может быть проведено по той же схеме, что и доказательство теоремы 9.2.5.
2
Пример 9.2.4. Найти производную функции
I(y) =
+∞
Z
1
sin xy x
2
dx,
y > 0
– 302 –

Решение. Проверим условия теоремы 9.2.6 на множестве
P
∞
= {(x, y) : 1 6 x < ∞, c 6 y 6 d},
где 0 < c < d. Функции f(x, y) =
sin xy x
2
и
∂f
∂y
=
x cos xy x
2
=
cos xy x
непрерывны на P
∞
Для y
0
∈ [c, d] интеграл
+∞
Z
1
sin xy
0
x
2
dx сходится. Достаточно использовать признак
Вейерштрасса,
sin xy
0
x
2 6
1
x
2
Интеграл
+∞
Z
1
∂f
∂y dx =
+∞
Z
1
cos xy x
dx сходится равномерно по y для y
∈ [c, d]
(можно использовать признак Абеля-Дирихле,
1
x стремится монотонно к нулю при x → +∞, величина b
Z
1
cos xy dx ограничена.) Таким образом все условия теоре- мы 9.2.6 выполнены. Следовательно, I
′
(y) =
+∞
R
1
cos xy x
dx,
y ∈ [c, d]. В силу произ- вольности c и d (0 < c < d) последний результат распространяется на множество
(0, +∞). Заметим, что равномерная сходимость интеграла
+∞
Z
1
cos xy x
dx на этом мно- жестве отсутствует, в связи с чем и появилась необходимость привлечения отрезка
[c, d],
0 < c < d.
9.2.4. Теоремы о собственном и несобственном интегрировании несоб- ственного интеграла, зависящего от параметра.
Теорема 9.2.7. Если выполнены условия теоремы 9.2.5, то интеграл (9.2.1)
можно интегрировать по параметру y на отрезке [c, d], причем d
Z
c
I(y) dy =
d
Z
c dy
+∞
Z
a f (x, y) dx =
+∞
Z
a dx d
Z
c f (x, y) dy.
(9.2.5)
Доказательство. Так как выплнены все условия теоремы 9.2.5, то функция I(y)
непрерывна на отрезке [c, d] и, следовательно, интегрируема на этом отрезке. Дока- жем формулу (9.2.5). Воспользуемся равномерной сходимостью интеграла (9.2.1) и для данного ε > 0 укажем такое B > a, что при b > B для всех y ∈ [c, d] будет выполнено неравенство
+∞
Z
b f (x, y) dx
<
ε
d − c
– 303 –

Считая, что b > B и используя теорему 9.1.3 запишем:
d
Z
c
I(y) dy =
d
Z
c


b
Z
a f (x, y) dx +
+∞
Z
b f (x, y) dx

 dy =
=
b
Z
a dx d
Z
c f (x, y) dy +
d
Z
c dy
+∞
Z
b f (x, y) dx или d
Z
c
I(y) dy −
b
Z
a dx d
Z
c f (x, y) dy =
d
Z
c dy
+∞
Z
b f (x, y) dx.
Тогда d
Z
c
I(y) dy −
b
Z
a dx d
Z
c f (x, y) dy
6
d
Z
c dy
+∞
Z
b f (x, y) dx
<
d
Z
c
ε
d − c dy = ε,
что и означает, что несобственный интеграл
+∞
Z
a dx d
Z
c f (x, y) dy по переменной x схо- дится и равен числу d
Z
c
I(y) dy.
2
Сформулируем без доказательства теорему о несобственном интегрировании несобственного интеграла, зависящего от параметра.
Теорема 9.2.8. Пусть функция f(x, y) неотрицательна и непрерывна на мно- жестве P
∞
∞
= {(x, y) : a 6 x < +∞, c 6 y < +∞}.
Пусть интегралы
I(y) =
+∞
Z
a f (x, y) dx и K(x) =
+∞
Z
c f (x, y) dy непрерывны соответственно при y > c и x > a. Тогда из сходимости одного из следующих двух несобственных интегралов
+∞
Z
c
I(y) dy =
+∞
Z
c dy
+∞
Z
a f (x, y) dx и
+∞
Z
a
K(x)dx =
+∞
Z
a dx
+∞
Z
c f (x, y) dy вытекает схо- димость другого и равенство этих интегралов.
Приведем пример несобственного интегрирования несобственного интеграла, за- висящего от параметра.
Пример 9.2.5. Найти
+∞
Z
0
I(y) dy, где I(y) =
+∞
Z
0
ye
−(1+x
2
)y
2
dx.
Решение. Проверим выполнение условий теоремы 9.2.8 на множестве
P
∞
∞
= {(x, y) : 0 6 x < +∞, c 6 y < +∞, c > 0}.
– 304 –