Файл: Математический анализ.pdf

Функция f(x, y) = ye
−(1+x
2
)y
2
неотрицательна и непрерывна на указанном множе- стве. Функция
K(x) =
+∞
Z
c ye
−(1+x
2
)y
2
dy =
+∞
Z
c

−
1 2(1 + x
2
)

e
−(1+x
2
)y
2
d

(1 + x
2
)y
2

=
= −
1 2(1 + x
2
)
e
−(1+x
2
)y
2
+∞
c
=
e
−(1+x
2
)
c
2 2(1 + x
2
)
непрерывна для любого x.
Функция I(y) =
+∞
Z
0
ye
−(1+x
2
)y
2
dx = y · e
−y
2
·
+∞
Z
0
e
−(xy)
2
dx непрерывна для y >
c как произведение непрерывных функций y · e
−y
2
и
+∞
Z
0
e
−(xy)
2
dx. Непрерывность последнего интеграла следует из теоремы 9.2.5 (точнее ее аналога, когда роль отрезка
[c, d] играет промежуток [c, +∞)). Равномерную сходимость при этом по параметру y ∈ [c, +∞) легко установить используя признак Вейрштрасса
+∞
Z
0
e
−(xy)
2
dx 6
+∞
Z
0
e
−c
2
x
2
dx,
y ∈ [c, ∞).
Интеграл
+∞
Z
0
K(x) dx =
1 2
+∞
Z
0
e
−(1+x
2
)c
2 1 + x
2
dx очевидным образом сходится и все усло- вия теоремы 9.2.8 на множестве P
∞
∞
выполнены. Ее использование дает:
+∞
Z
c
I(y) dy =
+∞
Z
c dy
+∞
Z
0
ye
−(1+x
2
)y
2
dx =
=
+∞
Z
0
dx
+∞
Z
c ye
−(1+x
2
)y
2
dy =
1 2
+∞
Z
0
e
−(1+x
2
)c
2 1 + x
2
dx.
Обозначим последний интеграл J(c). Нетрудно установить (по теореме 9.2.5) непре- рывность функции J(c) для c ∈ [0, 1] и записать цепочку равенств, которые и приве- дут к требуемому результату
+∞
Z
0
I(y) dy =
lim c→+0
+∞
Z
c
I(y) dy = lim c→+0 1
2
+∞
Z
0
e
−(1+x
2
)c
2 1 + x
2
dx =
=
lim c→+0
J(c) = J(0) =
1 2
+∞
Z
0
dx
1 + x
2
=
1 2
arctg x
+∞
0
=
π
4 9.2.5. Несобственные интегралы от неограниченной функции, завися- щие от параметра. Рассмотрим полуоткрытый прямоугольник
P
b
= {(x, y) : a 6 x < b, c 6 y 6 d},
– 305 –

функцию f(x, y), определенную на этом множестве P
b и неограниченную в окрест- ности точки x = b при любом фиксированном y ∈ [c, d] (см. рис. 9.2.3, поверхность
EGHF — график функции f (x, y)).
Рис 9.2.3. График функции f(x, y) (затемненная поверхность EGHF )
Пусть несобственный интеграл (второго рода)
b
Z
a f (x, y) dx сходится при любом фиксированном y ∈ [c, d]. При этих условиях на отрезке [c, d] определена функция
I(y) =
b
Z
a f (x, y) dx,
(9.2.6)
которая называется несобственным интегралом второго рода, зависящим от пара- метра y.
Для несобственных интегралов второго рода без труда формулируется понятие равномерной сходимости, а также на этой базе записываются и доказываются тео- ремы о непрерывности, диференцируемости и интегрируемости функции I(y) ви- да (9.2.6).
Заметим, что с помощью преобразования переменной x, несобственный интеграл второго рода, зависящий от параметра y, легко сводится к несобственному интегралу первого рода, зависящему от параметра.
9.3. Вычисление классических несобственных интегралов
9.3.1. Интеграл Дирихле. Интегралом Дирихле (или разрывным множителем
Дирихле) обычно называют интеграл
I(y) =
+∞
Z
0
sin xy x
dx.
(9.3.1)
– 306 –

Вычислим его сначала при y = 1
I(1) =
+∞
Z
0
sin x x
dx.
(9.3.2)
Он имеет одну особенность за счет бесконечного промежутка интегрирования. Его сходимость очевидным образом следует из признака Дирихле сходимости несобствен- ного интеграла. В точке x = 0 интеграл (9.3.2) особенности не имеет, т.к. подын- тегральная функция sin x x
ограничена в окрестности нуля. Заметим, что вычисле- ние интеграла (9.3.2) стандартным образом с помощью формулы Ньютона-Лейбница невозможно (интеграл
Z
sin x x
dx — "неберущийся"). Укажем другой путь с помощью теории интегралов, зависящих от параметра. Введем в рассмотрение интеграл
J(α) =
+∞
Z
0
e
−αx sin x x
dx,
(9.3.3)
который сходится при любом α ∈ [0, +∞). Очевидно, что
J(0) = I(1).
Все операции для вычисления интеграла J(0) разобьем на четыре последовательных этапа. Знаком "?" отметим равенства, требующие доказательства.
1) Вычисление J
′
(α)
J
′
(α)
?
=
+∞
Z
0

e
−αx
·
sin x x

′
α
dx = −
+∞
Z
0
e
−αx sin x dx =
= −
e
−αx
(α sin x − cos x)
1 + α
2
+∞
0
= −
1 1 + α
2
,
α > 0.
2) Вычисление J(α)
J(α) = −
Z
dα
1 + α
2
= − arctg α + C, α > 0.
3) Отысканние константы интегрирования C
0
?
=
lim
α→+∞
J(α) = − lim
α→+∞
(arctg α + C) = −
π
2
+ C ⇒ C =
π
2
⇒
⇒ J(α) =
π
2
− arctg α.
4) Вычисление J(0)
J(0)
?
=
lim
α→+0
J(α) = lim
α→+0
π
2
− arctg α

=
π
2
Обоснуем теперь законность всех четырех шагов. Для доказательства справед- ливости первого проверим условия теоремы 9.2.6 (о дифференцируемости несоб- ственного интеграла, зависящего от параметра). Функции f(x, α) = e
−αx
·
sin x x
и
∂f
∂α
= −e
−αx
· sin x непрерывны на множестве
P
∞
= {(x, α) : 0 6 x < +∞, c 6 α 6 d, c > 0},
если считать, что по определению f(0, α) = lim x→+0
e
−αx
·
sin x x
= 1.
– 307 –

Интеграл J(α
0
) =
+∞
Z
0
e
−α
0
x
·
sin x x
dx сходится при некотором α
0
∈ [c, d], так как он сходится для любого α > 0.
Равномерная сходимость интеграла
+∞
Z
0
e
−αx sin x dx
(9.3.4)
по параметру α для α
0
∈ [c, d] легко следует из признака Вейерштрасса (теоре- ма 9.2.2). Действительно, |e
−αx sin x| 6 e
−cx
,
α ∈ [c, d], c > 0, и интеграл
+∞
Z
0
e
−cx dx сходится.
Таким образом, все условия теоремы 9.2.6 выполнены и возможность дифферен- цирования функции J(α) на промежутке [c, d], c > 0 по формуле (9.2.4) доказана.
Заметим, что равномерная сходимость интеграла (9.3.4) на множестве (0, d] отсут- ствует, а значит и доказать дифференцируемость функции J(α) на этом промежутке по теореме 9.2.6 невозможно.
Существование производной функции J(α) для α > 0 следует из других сообра- жений, а именно, из произвольности чисел c и d (c > 0, c < d). Условие (α > 0)
не позволяет результаты этого первого шага прямо использовать для вычисления величины J(0), т.е. при α = 0.
Второй шаг (отыскание первообразной) очевиден.
Третий шаг (вычисление постоянной интегрирования C) базируется на равенстве lim
α→+∞
J(α) = 0, которое следует из оценки |J(α)| 6 1
α
. Действительно, верна следу- ющая цепочка равенств и неравенств:
J(α)
=
+∞
Z
0
e
−αx
·
sin x x
dx
6
+∞
Z
0
e
−αx
·
sin x x
dx =
=
+∞
Z
0
e
−αx sin x x
dx <
+∞
Z
0
e
−αx dx = −
1
α
e
−αx
+∞
0
=
1
α
Законность четвертого шага основана на непрерывности функции J(α) для α ∈
[0, +∞) и, следовательно, справедливости равенства J(0) = lim
α→+0
J(α). Проверим условия теоремы 9.2.5, которая и устанавливает непрерывность функции J(α) для
α ∈ [0, +∞).
Равномерная сходимость интеграла
+∞
Z
0
e
−αx
·
sin x x
dx для α ∈ [0, +∞) доказы- вается с помощью признака Абеля-Дирихле (теорема 9.2.3, пара условий a
2
, b
2
, где f (x, α) =
sin x x
и g(x, α) = e
−αx
). Непрерывность функции f(x, α) = e
−αx
·
sin x x
для x > 0, α > 0 уже установлена на первом этапе.
– 308 –

Таким образом, все операции при вычислении интеграла J(0) законны и
+∞
Z
0
sin x x
dx =
π
2
Рассмотрим теперь интеграл (9.3.1) и допустим, что y > 0. Сделаем в указанном интеграле замену переменной, полагая xy = t. Тогда
I(y) =
+∞
Z
0
sin xy x
dx =
+∞
Z
0
sin t t
dt =
π
2
При y < 0 произведем замену переменной, полагая xy = −t (t > 0). Тогда
I(y) = −
+∞
Z
0
sin t t
dt = −
π
2
При y = 0 интеграл (9.3.1) равен нулю.
Итак, для интеграла Дирихле получено выражение
I(y) =
+∞
Z
0
sin xy x
dx =







π
2
, если y > 0,
0, если y = 0,
−
π
2
, если y < 0.
Разделив полученные равенства на
π
2
, получим аналитическую запись для известной функции sign y, а именно:
sign y =
2
π
+∞
Z
0
sin xy x
dx,
y ∈ (−∞, +∞).
9.3.2. Интеграл Эйлера-Пуассона. Интеграл
J
0
=
+∞
Z
0
e
−x
2
dx
(9.3.5)
называется интегралом Эйлера-Пуассона.
Рассмотрим функцию
Ψ(y) =
+∞
Z
0
ye
−(xy)
2
dx.
(9.3.6)
Для y > 0 функция Ψ(y) легко вычисляется:
Ψ(y) =
+∞
Z
0
ye
−(xy)
2
dx =
+∞
Z
0
e
−(xy)
2
d(xy) =
+∞
Z
0
e
−z
2
dz = J
0
= const .
При y = 0 функция Ψ(y), равна нулю, т.е.
Ψ(y) =

J
0
, если y > 0,
0, если y = 0.
Ясно, что несобственный интеграл
– 309 –

+∞
Z
0
Ψ(y) · e
−y
2
dy
(9.3.7)
сходится и его значение не изменится, если функцию Ψ(y) изменить в одной точке y = 0, положив Ψ(0) = J
0
. Тогда последний интеграл равен
+∞
Z
0
J
0
e
−y
2
dy = J
0
+∞
Z
0
e
−y
2
dy = J
2 0
и его вычисление приведет к требуемому результату — нахождению величины J
0
Перепишем интеграл (9.3.7), подставив функцию Ψ(y) в виде (9.3.6)
+∞
Z
0


+∞
Z
0
ye
−(xy)
2
dx

 e
−y
2
dy =
+∞
Z
0
dy
+∞
Z
0
ye
−(1+x
2
)y
2
dx.
Последний интеграл вычислен в примере 9.2.5 с использованием теоремы о возмож- ности изменения порядка интегрирования. Заметим, что в примере непосредственно применить эту теорему для рассматриваемого интеграла не удается, приходится вво- дить множество
P
∞
∞
= {(x, y) : 0 6 x < +∞, c 6 y < +∞, c > 0}.
А уже затем предельным переходом при c → +0 получать окончательный результат
J
2 0
=
+∞
Z
0
dy
+∞
Z
0
ye
−(1+x
2
)y
2
dx =
π
4
или
J
0
=
√
π
2 9.3.3. Формула Фруллани. Пусть функция f(x) непрерывна для x ∈ [0, +∞)
и интеграл
+∞
Z
A
f (x)
x dx имеет смысл при некотором A > 0 (отметим, что тогда он имеет смысл при любом A > 0). Тогда справедлива формула Фруллани
+∞
Z
0
f (ax) − f(bx)
x dx = f (0) ln b
a
,
a > 0,
b > 0.
Для доказательства формулы рассмотрим функцию
F (x) =
Z
f (x)
x для x > 0
(отношение f (x)
x непрерывно для x > 0 и первообразная F (x) существует). Тогда
+∞
Z
A
f (ax)
x dx =
+∞
Z
A·a f (t)
t dt = F (+∞) − F (A · a).
– 310 –

Здесь F (+∞) = lim x→+∞
F (x), причем этот предел существует, т.к. интеграл
+∞
Z
A
f (x)
x dx сходится.
Аналогично получим
+∞
Z
A
f (bx)
x dx = F (+∞) − F (A · b).
Следовательно,
+∞
Z
A
f (ax) − f(bx)
x dx = F (A · b) − F (A · a) =
b·A
Z
A·a f (x)
x dx.
Применяя к последнему интегралу первую теорему о среднем и устремляя A к нулю,
с учетом непрерывности функции f(x) получаем lim
A→+0
+∞
Z
A
f (ax) − f(bx)
x dx = lim
A→+0

f (ξ) ln b
a

= f (0) ln b
a
,
где A · a < ξ < A · b (a < b).
Формула Фруллани доказана.

f (x, y) и f
′
y
(x, y) =

−e
−x
2
y
, если x 6= 0, y > 0,
−1, если x = 0, y > 0,
непрерывны на множестве P
∞
. (Проверить самостоятельно!) Интеграл (9.3.8) схо- дится при y
0
= b (I(b) = 0). А интеграл
+∞
Z
0
f
′
y
(x, y) dx = −
+∞
Z
0
e
−x
2
y dx сходится равномерно по y для y ∈ [a, b] (используется признак Вейерштрасса, мажо- рирующая функция e
−ax
2
). Тогда
I
′
(y) = −
+∞
Z
0
f
′
y
(x, y) dx = −
+∞
Z
0
e
−x
2
y dx = −
1
√
y
+∞
Z
0
e
−x
2
y d(x ·
√
y) =
= −
1
√
y
+∞
Z
0
e
−z
2
dz = −
1
√
y
·
√
π
2
= −
1 2
r
π
y
(см. пункт 9.3.2, интерал Эйлера-Пуассона). Отсюда получается, что
I(y) = −
√
π
2
Z
dy
√
y
= −
√
π · y + C.
Но I(b) = 0 и значение постоянной интегрирования C определяется: C =
√
π · b.
Таким образом, функция I(y) запишется в виде:
I(y) = −
√
π · y +
√
π · b.
Итак,
+∞
Z
0
e
−ax
2
− e
−bx
2
x
2
dx = I(a) =
√
π(
√
b −
√
a) (0 < a < b).
9.4. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье
Уже известно представление функции f(x) в виде ряда Фурье. Такая функция должна быть обязательно периодической с конечным периодом. Если это условие не выполнено, то теория рядов Фурье не может быть использована, например, для представления функции f(x) на всей числовой оси. Тогда может быть применен, так называемый интеграл Фурье. Изучим это понятие.
9.4.1. Определение интеграла Фурье и теорема о его сходимости. Бу- дем считать, что функция f(x) абсолютно интегрируема на всей вещественной оси
(−∞, +∞), т.е. потребуем, чтобы существовал несобственный интеграл
+∞
Z
−∞
|f(x)| dx.
(9.4.1)
Определение 9.4.1. Будем говорить, что функция f(x) принадлежит на бес- конечной прямой (−∞, +∞) классу RL
1
и писать f (x)
∈ RL
1
(−∞, +∞), если функция f (x) интегрируема по Риману на любом сегменте и существует несоб- ственный интеграл (9.4.1).
– 312 –